亲爱的同学们，大家好。今天咱们来继续讲解高中数学基础知识梳理专栏的第十九节，三角函数的图像与性质。这一节可以说是咱们三角函数的灵魂，为什么呢？如果没有图像和性质相关的一些综合题，肯定是做不了的。在这一节的这三个函数的图像一定要的牢记于心。这个性质要求大家理解性的记忆，千万不要死记硬背。就是只要能够记住这三个图像，就是我们在这一栏的这三个图像。由这三个图像其他的性质全部由图像推导出来就可以了，不要去使劲背它。比如说第一个图，正弦函数图像。首先咱们来谈一下定义域，由图像已知图像上所有点对应的横坐标的集合就是定义。很明显正弦余弦都是全体实数，正切是除了注意横坐标就除了这个二分之派2分之3派负二分之派，-2分之3派，也就是二分之派的奇数倍数取不到其他都可以。二分之派的奇数倍就是二分之派乘以2K加1K属于Z那再乘开之后，就是K派加二分之派，其中K是属于Z的。除了这些点它去掉之后，其他都可以注意，这些值我们都不取，就是X不等于二分之派加K派，K属于Z好，这是定义域。我们再看值域。值域很简单，如图，已知正弦和余弦的都是-1到1，而正确的是全体实数。下面我们再看一下奇偶性，由图像我们可以知道，这里面还是一样的，这边的空，因为换换液之后，它这个单调性最值，你不能看这个图像了，然后我就直接在图像这一栏内说，就性正弦为奇函数，余弦为偶函数，正切为奇函数。因为只要看图片关于圆是不是关于原点的对称，是不是关于Y轴对称就可以了。我们再看一下单调性，单调性首先我们来看一下正弦函数的，正弦函数我们先看第一个区间上，从负的二分之派到正的二分之派上。大家看这个图像，它是单调递增，两边再同时加上周期的整整数倍。我们知道正弦和余弦的最小正周期都是二派，而正切的最小正周期是派，所以说就如如图像也可以看出来，就每隔多少个单位图像出现重复就行了。所以说这个正弦的增区间就是从负二分之派到二分之派，两边同时加上2K派，就是二派的K倍就可以了。所以说是2K派减去二分之派到2K派加上二分之派，就是正弦函数的单调增区间。同理，单调减区间就是二分之派到2分之3派，这个之间它就是它的单调递减区间，所以说单调减区间就是2K派加二分之派到2K派加2分之3派。好，这是正弦的单调区间。那么余弦的同理你就找这样的两个，一个是负派到0，一个是零到派，所以说对于余弦的单调增区间就是负派到0，两边图纸加上2K派是单调增区间，0到派两边同时加上2K派是2K派到2K派加派，这是单调减区间。那么正切的大家注意，这注意，这个是开机，这是开机，这里打错了，这个是开机。那么在从K派减二分之派到K派加20的双开区间，这是单调递值。我们来看一下这个图像，正切函数的图像，从因为在第一段最简单图像的时候是负二分之派，到谁呢？到二分之派这个肯定是正区间的。然后我们加上周期的这种，注意这里面我们不加2K派了，加K派因为它的最小正中心是派派的，K派就是K派。所以说正切函数的增区间是K派减二分之派到K派加二分之派，这是增区间。下面我们接着来看最值，最终我们来看一下正弦，我们都在二分之派3 90度是一样。所以说只要在二分之派基础上加上周期的整数倍，加上2K派可以了。这里只要在零处加上2K派，就直接是0加2K派就取最大值。那么同理最小值就是在负二分之派加2K派处取得最小值，那么余弦的就是2K派加派，这个时候有最小值负一。这个正切函数很明显它是无最值的。下面我们来看一下这个奇偶性。刚才已经说了奇函数为正项数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数对称中心对称中心。大家注意正弦函数对称中心00派02派0都是。所以说派的整数倍零都是它的对称中心，其中K是属于Z而余弦刚好相当于平移二分之派的单位，在基础上加上一个二分之派，就是二分之派的基数倍数，然后零都是它的对称中心。而注意这个易错，大家注意正切函数的只要是二分之派整数倍全都可以，这个一定要注意。同理这个正弦和余弦的对称中心和沌轴刚好互换位置，所以它的对称轴就是X等于K派加二分之。派可以。除以Z余弦的对称轴就是X等于K派。这是最后程序已经说过。我们就不再说了。这个正切函数注意，它只是中心对称图形，它不是轴对称图形，所以它无对称轴。这个对称中心好，这是刚才咱们讲的一些结论，我们由刚才的那些结论，我们来看一下对称与与周期。首先第一个正弦曲线余弦曲线，相邻两个对称轴之间的距离是半个周期，相邻两个对称中心的距离也是半个周期，而相邻的对称中心和对之间的距离就是4分之1个周期。所以两个对轴之间是半个周期，两个对称中心之间也是半个周期。但是对称中心和相邻对称轴之间的间距，水平间距就是4分之1个周期，这是由图像我们可以观察出来的，下面咱们来讲几道习题，首先看第一题，首先看第一题，这道题我们按照这个多选题来做，有几个就算几个。大家注意，可以看多选题有有几个就算几个。首先周期为派，大家发现看一下，这个周期都是派，就是根据T等于2派除以omega的绝对值，就是形如Y等于A倍的sine欧米伽X加斐，或者是Y等于A倍的cosine omega x加斐。这个后面的基础值我们还要再讲，那么它们两个的最小正周期都是二派之一，欧米伽绝对值，所以说周期都是派。那么如果是偶是不是偶函数呢？这里面我们可以用诱导公式进行判定，这个它就变成了负的cos 2X这个注意，先变名称，先变sine 2X符号看象限，只要是一个阿尔法角减去二分之派，就第四象限角余弦为正，所以说它就变成sine 2X。然后再看第三个，第三个就变成了第二象限，这个变成cosine 2X那么第四个就变成了负的sine 2X这是根据诱导公式变出来了，变完之后我们发现sine的这个都是奇函数，这两个都没有数，所以此题的答案选AC所以答案选AC。好，下面咱们接着来看第二小题。已知函数FX等于两倍的cosine方X减去sine方X加2则函数的最小正周期是多少？那么最大值是多少？这里我们可以用这个降幂公式或者是什么呢？或者我们先把它化简，化简也就是总之都要化简，两倍的cosine方X不动，然后我把二拆个一出来，就加上一个一减sine方X就画同名，再加个一。这个整理一下，一减sine方X就是cosine方X再和前面合并三倍的cosine方X再加1，然后将这个降幂可以写成2分之3倍的一，加上一个cosine 2X然后我们再加个一，这是加密公式。然后我们整理一下，就是2分之3倍的cosine 2X加个2分之3再加一就相当于加上一个2分之5好，大家看一下，很明显这个最小正周期T就等于2派除以二这个就是派。所以说CD两个选项排除。那么又因为cosine是一个最大值，我们这是一，所以说这个FX最大值就是2分之3，加2分之5就是2分之8，所以最大值只能选只能是4，这此题答案选B，这是第二题。下面我们来看一下第三题。比较大小的是比较sine 7分之5派，cosine 7分之2派、tangent 7分之2派这几个值的大小。首先咱们来看一下他们角的象限，先由正负看能不能排除，就先跟这个零比7分之5派。我们知道7分之5派肯定是小于派的那我们再看一下二分之派和7分之5派谁大谁小通分之后，这个是14分之7派，这个通分之后是14分之10派，所以说7分之5派一定是大于这个二分之派，小于派。我们来看一下7分之2派，7分之2派我们通分之后，是10分之4派，肯定是啊通知是14分之4派，肯定是小于二分之派等于0。这是注意，这是两个范围，说明这个是钝角，这个是锐角，这个也是锐角。看来三个都是正的，无法排除。那无法排除怎么办呢？这里面我们看来只能用诱导公式和其他的手段来判定了。好，下面咱们来看一下37分，根据诱导公式我们知道7分之5派加7分之2派等于派，所以sine就是诱导，有一个诱导公式，就是sine派减阿尔法是等于sine阿尔法是什么意思呢？就是互补的两个角的正弦值相等，所以说sine 7分之5派就等于sine派减去7分之2派，这个是等于sine 7分之2派的。这个就我们把它变完了，变到这一步了。变成这一步之后，我们来看一下sine 7分之2派和cosine 7分之2派。那么谁大谁小的？这里我们可以根据三角函数图像，你看我们这一节不就学的图像吗？大家看一下我这个图像，我这样来画，这个是正弦，这个是二分之派，那么这个是余弦。这边是有一个正切，注意这个焦点是四分之派。看那四分之派对应的是正切，这个就是一的。你看它画上去，所以这一条线是正切线高一些，这是Y等于tangent x好，我们看啊7分之2派，我们看跟四分之派比谁大谁小。通过分左边就是28分之8派分子分同时14这个28分之7派有这样的话7分之2派是大于四分之派了。既然是大于四分之派，这里面我们换一个颜色来表示，我们用这个黄色的、绿色的来表示。也就是说7分之2派在这里，我们现在用一条绿色的线来画，X等于七分之派加7分之2派这种线，这样的话正切最高，那么对的就是tangent，7分之2派就是C的值。那么这个是正弦，其实正弦搞一下，这个正弦就是sine，7分之2派就是A的值。那么最下面这个是cosine 7分之2分之5B的值，则此题答案就是C大于A大于BC大于A大于B，此题答案选D。好，这是第三题。下面我们接着来看第四题，我们看第四题，第四题的题意说函数Y等于cosine x减3X图像的一条对轴，这里我们说了，你要用辅角公式，两种方法都可以。你如果用推导，你想变正弦就变正弦，想变余弦就变余弦。如果你有此套公式，我先讲此套公式的方法，Y等于cosine x减sine x你就分清楚AB所以A始终是sine前面系数负一就是这个特殊点的斐角的中间的一点坐标是-11。负一我们知道是位于第二象限角，第二项要用钝角，所以说我们提出来一个根号下的A方加B方，然后直接写3，一定可以写成3。第二项用钝角，用加号，那么这个正切值乘以Y就等于A分之B就是-1分之1就是负一。那么只有它径4分之3派对应的才是负一，那这就完了，所以这个化简之后就是根号二倍的CX加上一个4分之3派。这就根据我们刚才讲的基础知识直接推导来的。那么要求对称轴注意，只要使你这个函数对应的值是最高点，就是对应的是最大值或者最小值就行了。也就是我要让X加4分之3派，这个整体取的是K派加二分之派，就是二分之派的奇数倍就可以了。所以说X只要取K派，二分之派减4分之3派就是负的四分之派就可以了。好，所以说我们看一下H0-4分之派可以X等于-3，H1X等于4分之3派可以对不对？当然了，这里这里我们再看一下，如果说你要是想这个对上了，想对上，你看K取零复试它有这个答案。有一些题。因为现在高考的新高考地区有什么题有多选题。如果对于多选题的话，你注意你要多取几个字，或者把四个选项都往里面带，看看谁使X加4分之3派取得K派加二分之派，这是对称轴的题。像人家有些时候改成这个对称中心，那你就看一看带进去，随时X加4分之3派取的是K派就可以了。这是根据我们刚才所讲的这个，根据那个结论直接推导出来。如果说我想根据推导走也可以。比如说我们推导走，我提一个根号二出来，那么里面就变成二分之根2 cosine x减去二分之根2 sine比如说想变余弦可以，你变余弦的写成根号二倍的cosine x乘以二分之根号可以写成cosine 4分之派减去二分之根二减去sine 4分之派sine x那这样的话，我这个函数还可以变成扣根号二倍的cosine x加四分之派的形式也行。这个时候根据这个余弦函数的对称中心，那对称轴就是X等于K派，也就是让X加四分之派这个整体取K派就可以了。所以说X仍然取的是K派减四分之派，跟刚才这个结论是一模一样的这是题单选D好，下面我们来看一下最后一道题。已知欧米伽大于0，顺次连接函数Y等于sine欧米伽X，Y等于cosine欧米伽X的任意三个相邻的焦点都构成一个等边三角形，则欧米伽的值是多少？这里面我们来画出草图，根据草图。来解。这个是Y轴X轴原点。Sine欧米伽X还是一样的，可以往正弦上画任意的变形。这个余弦一定是对应的，因为它们俩同时在变，对吧？所以说这里面可以画余弦这样画。这是画的，他说任意三个相邻的焦点，现在我来用紫色的来表示这个图形，任意三个相邻的焦点，这是第一个焦点，这是第二个焦点。这边对称的是第三个焦点，只要画一个周期上的，其他都一样的，就不用画那么多了。现在我把这三个相邻的交点连接起来之后，他说保证它是一个什么三角形呢？是一个等边三角形。既然是等边三角形，大家注意那么第一个焦点，第一个焦点你们看啊，从这个焦点，比如说这个焦点是A这个焦点是B下方的这个焦点是C下方这个焦点是C大家看这个A和B，A和B这个交点的水平间距，你们可以思考一下这个水平间距是多少个周期，可以看一下。你看你从这边上去下来回来自己再回到一个周期。这两个交点之后，水平间距刚好图像出现了重复，所以说AB之间一定是它们的一个周期。水平间距是什么周期？这个周期就是T等于2派除以欧米伽的绝对值。如果欧米伽大于0，直接就是2派除以欧米伽。所以这个AB就是最小正周期，就是2派除以欧米伽，这我们就搞定了。第一个就是这个边长，那么现在我们来看一下这个AC你要是本来尤其对称性，它一定是等腰三角形。既然是等腰三角形，只要你能够算出AC的长，也就是让AC的长等于AB的长就可以了。这样的话我们就可以建立一个关系式，可以将欧米伽给解出来。那我们来看一下AC怎么求AC大家看由这样一个关系式，由这个关系式我们看一下它们之间的间距大概是多少。我们看一下它们的间距，这里面我们知道这个点的横坐标就是让欧米伽X整体等于四分之派。等于四分之派的时候得出第一个这个点坐标，用X一这个呢图过来就是四欧米伽分之派。那么同理，根据正弦和余弦的焦点，这个位置应该是位于第三象限，它也是相当于4分之5派。也就是第二个焦点，欧米伽X2等于4分之5派，所以说这个X2应该等于四欧米伽分之五派，就这个位置就是四欧米伽分之五派。好了，那么这样都算完之后，我们来看一下，根据我们现在做一条这个高，你们看这条高这条高就说明这两个之间的水平的间距，那水平的间距水平的间距其实就是4分之5派减去是不是就是欧米伽分之派，就是它的半个周期，这个也很简单，但是我们现在又算什么呢？你要保证它是等边三角形，你这个直角边和这个高，这个等腰，等边三角形的高必须是一比根号三的关系，你才能保证这个角度是多少，这个角度是60度，那么才可以。所以说我要算这个纵坐标，这个纵坐标我们知道你取这个整体取四分之派的时候，那就是二分之根二，所以你这一半的长是二分之根二，那这整个长，那整个长就是根号2，所以这个高一定是根号二高。既然是根号2，所以说你这AB的一半就是你二分之AB的一半去除以注意，除以高根号2，这个应该是。等于。三分之根三，等于三分之根号3。所以说这里面我们可以算出这个派除以欧米伽，那么就等于根号2乘过来，就是三分之根号6。所以欧米伽就等于这个三派除以根号6。分子分母同时乘以根号6，就是2分之1派倍的根号6就是二分之根号6派就是此题答案选B。这是一道相对麻烦一点的一个中考题，有一点小难度。如果说你没听懂的话，可以加视频反复播放，直到看懂为止。今天的课我们就上到这里，下期我们接着再见。