同学们好，今天咱们继续来讲解高中数学基础知识梳理的第十七节，同角三角函数的基本关系与诱导公式。这是咱们三角函数基本知识梳理的第二节内容。好，下面咱们来看知识梳理部分，今天咱们讲的基础知识点非常的少，首先看同角间的三角函数，基本关系有两个，第一个是平方关系，相信大家在初中的时候已经学过，就是任意一个角的正弦的平方加上余弦的平方和为一，那么第二个上述关系就是正切等于正弦除以这个余弦，这个可以实际应配。好，下面咱们来看一下诱导公式，诱导公式咱们只需实际一个口诀就可以了，就是奇变偶不变符号看象限，叫做奇变偶不变符号看象限。具体在应用的时候大家注意一下，我们来举几个例子。比如说第一组的前面咱们已经讲过，就是sine 2K派加阿尔法就等于sine阿尔法，cosine 2K派加阿尔法就等于cosine阿尔法，tangent 2K派加阿尔法等于tangent阿尔法。那比如说我们现在来看第二组，第二组对于3E派加尔法，首先只要是二分之派的偶数倍加减，阿尔法的形式都变成三眼尔法。因为这是二分之派的二倍，所以不变名称，所以说这个是偶不变。如果奇数的话就变名称，比如说就是sine 2分之3派或者是二分之派加阿尔法。首先你要变名称，把这个变成cosine阿尔法。好，然后符号看象限。因为这个诱导公式它对于阿尔法取一切角都是成立的。所以说我们在记忆的时候，不妨把阿尔法看作锐角来记忆。比如说我们这里面把它做成锐角派，加上一个锐角就位于第三象限，第三象限的正弦为负值。因为你把阿尔法看成第一象限的时候，这个始终是正值。所以说它两个如果相等，前面为正值就是正值。前面如果是负值，前面就填负值。所以说这里面外面加个负号。那么同理这个变名称RA看成是一个锐角二分之派，加上它就是一个钝角。第二象限角的正弦就是一个正值。所以说你们这所以说看符号要看前面这个整体的正负来决定。那那我们如果说是减法，比如说cos派减阿尔法，我们在记忆的时候只要是二分之派的偶数倍都不变名称，不管是加阿尔法还是减阿尔法，都变成cos阿尔法sine尔法和减阿尔法的形式。那么这里，派减阿尔法是第二象限角第二象限的余弦为负值，所以说前面填上一个符号，其他的以此类推。在这里面，这个第二组、第三组就都可以按照我刚才所讲来记忆。你比如说第四组sine派减阿尔法就是sine阿尔法，cosine派减阿尔法就是负的cosine阿尔法。那么都不变名称tine派奖的话就变成碳减阿尔法。因为是第二象限，第二象限正切为负值，它就变成负的tine阿尔法。同理如果是sine我们看这个空，如果是sine 2分之派加阿尔法就变成正的cosine阿尔法，这是诱导公式。下面我们来看这个重要的结论。刚才其实我们也已经讲过了，诱导公式我们可以简记为奇变偶变符号看象限，奇与偶指的是二分之派的K加阿尔法中的K是奇数还是偶数。变与不变指的是函数名称的变化，如果K为奇数，则正余弦互变，K为偶数，函数名称不变。符号看象限就指的是二分之K派加阿尔法中把阿尔法看作锐角时，这个整体这个角所在的象限，也就是看前面左边这个三角函数值的符号。好，这是重要结论。下面我们来练几道题，加深一下对这个公式的理解。首先我们来看第一题，已知函数，已知阿尔法属于零到派。Cosine阿尔法既然是等于负的15分之3，这里面有个隐含范围。因为cosine阿尔法是一个负值，既然是一个负值只能位于第二象限，所以阿尔法的范围一定是大于0，而不是大于二分之派小于派的，它不可能是第一象限角。好，那现在我们来进行化解，所以说这个圆是sine 2分之派减阿尔法，根据诱导公式，那么它就变成cosine阿尔法就是变名称，变名称是把阿尔法看作锐角的时候，二分之派减锐角就是一个锐角，锐角的低正弦值就是一个正值。那么有同学说老师你的讲法有问题，为什么呢？因为阿尔法人家是钝角。你们注意我刚才所说的，我是把这个看成锐角来记忆，保证这个公式是对的。然后具体提阿尔法是钝钝角，这个代顿角是锐角，就在锐角就可以了。你保证这个公式是对的，因为这个公式里面对于阿尔法任意角都是成立的对，阿尔法是任意角都是成立的。这里面我重复一下，所以说我就这样来记忆，保证这个公式是对的。所以说这里面sine 2分之派减阿尔法乘以一个tangent阿尔法首先变成名称，就是变成cosine阿尔法乘以探径阿尔法用切换嫌就变成sine阿尔法除以cosine阿尔法2 cos阿尔法一消，这个结果就等于sine阿尔法。因为阿尔法是零到这个派之间的角，所以sine阿尔法就等于根号下，等于一减cosine方阿尔法就始终是正值，这个就等于根号下的一减负的13分之5的平方，这个计算法就是13分之12。这此题答案选C，这是基础题，这是第一题。下面我们来看第二题，已知sine阿尔法是等于两倍的cosine法，这个是打入一个阿尔法，我把它填上，让我们求sine阿尔法乘以cosine阿尔法的值，这里面我们可以用74来做。首先我们来看一下sine阿尔法方法很多，这里面我们讲两种方法。首先我们看方法一直接法。因为sine e方阿尔法加cosine方阿尔法是等于一的。所以说把sine阿尔法用两倍的cosine阿尔法换掉，那就变成两倍的cosine阿尔法的平方加上cosine阿尔法的平方，这个一计算就是四倍的cosine方阿尔法，加一倍的cosine方阿尔法就是五倍的cosine方阿尔法是等于一，所以说可以推出cosine方阿尔法是等于5分之1，这个先放在这里。所以说我们要求的这个结果，sine阿尔法乘以cosine阿尔法就变成把sine阿法换掉，那就变成两倍的cosine阿尔法乘以cosine 2阿尔法就两倍的cosine方阿尔法结果就等于2乘以5分之1，就是5分之2，这是方法一。下面我们来看一下方法二，方法二我们用简化切就是将式子结构发生改变，这里面我们也叫一一的代换，叫曹值代换。什么意思呢？我把这个分母看成一，就是我写成一分之sine阿尔法乘以cosine 2。那么这个一我给它转化成sine方阿尔法，加上一个cosine方阿尔法，分之sine阿尔法乘以cosine阿尔法。这样的话我就把这个化成什么四呢？叫74，叫74。你看由这个两边同时除以cocos样的话，由这个已知，我们可以推出你这个探径阿尔法是等于2。所以说我将这个分子分母同时除以cosine方阿尔法，上面就变成cotton阿尔法，cosine方阿尔法分母就变成tent方阿尔法，再加上cosine阿尔法方阿尔法除以cosine方阿尔法就变成一。然后再把这个值代进去是2除以2的平方加1，结果也是等于5分之2。这此题的答案，不管是你是用哪一种方法做，这答案都是5分之2。好，这是第二题。下面我们来看一下第三题，已知角阿尔法的终边经过P-5-12，求这个值，这个我们直接套公式，套诱导公式。那么sin 2分之3派加阿尔法，首先是二分之派的三倍，变名称变成cosine阿尔法将阿尔法看成锐角来记忆，一个锐角加上2分之3派就在第四象限，第四象限的正弦为一个负值，这是由于导公式推导出来的。好，那么根据我们前面任意角的三角函数值定义，这个cosine阿尔法是等于X比R这个R就是根号下的X方加上Y方，其中的这个XY就是终边上任意一个点的坐标，然后把这个坐标值都带去，那么就是-5除以根号下-5的平方，再加上一个-12的平方开根号，这个结果就等于负的13分之5，然后带进来，所以负的cosine阿尔法就是13分之5。所以此题的答案选C，这是第三题。下面我们来看一下第四题，第四题这道题，我们可以用已知角来构造未知角，就是给值求值的题型。这一类基金我们称之为A值求知。我们就用构造角的思路，我们来看一下，这个叫已知角，我们用已知角表示未知角。我们先让6分之5派，我们先看一下两个角之间关系。我减去一个三分之派减阿尔法，那么这个结果就等于6分之5派减三分之派，那么就是二分之派，这就是二分之派，所以6分之5派减阿尔法这个角，那么就等于二分之派加上三分之派减阿尔法。这样的话我们看一下，原来这个cosine 6分之5派减阿尔法，我们根据刚才的分析，我也给你可以写成cos这个二分之派加上一个三分之派减阿尔法。那么把这个看成一个整体，cosine 2分之加，首先变名称变成sine三分之派减阿尔法，再看象限，把这个整体看成是一个锐角来记忆。那么二分之派角中有在第二象限的余弦为负值，我们加个负号。又因为这个sine三分之派减阿尔法已知条件是3分之1，所以这个答案就是负的3分之1，就是此题答案是选B，这是第四题。好，下面我们来看再看一道题。第五题已知西塔是属于负二分之派，到0 cosine西塔是等于二分之根。三则sine西塔值是等于多少？那么下面这一道题，还是一样的，直接用公式。因为西塔是属于第四象限角，余弦为正值，但是正弦为负值，所以说这个sine西塔就应该取的是负的根号下一减cosine方西塔。所以说这个计算之后，就是负的2分之1，这个比较简单，一定要注意角的范围。好，今天这个课就上到这里，下期我们继续来讲解三角函数，欢迎关注，再见。