同学们好，今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏第十四节，导数在研究函数中的应用。首先这一节课的基本知识点，可以说在导数的复习过程当中是一个最为重要的，而且知识比较集中的一个基础知识。小结，希望大家给予足够的重视。首先我们来看一下函数的单调性与导数。第一个我们来看概念函数FX在某个区间上可导。首先第一个如果说导函数大于，那我们就说这个函数在区间内单调递增。相信这个大家一般来说都会，这个原因我们就不再过多解释。当导函数小于0的时候，FX在这个区间上是单调递减。一个是单调递增，一个是单调递减。第三个，如果说FX是在某个区间上恒有导函数等于0，那我们就说FX为常函数，这个也比较好理解。因为常数求导或者叫常值函数求导就是零，这是第一个概念。我们看第二个单调性的应用，若函数Y等于FX在区间A到B上单调，我们就说FX在该区间上不存在变号零点，那什么意思呢？大家看一下，我来画一个草图。比如说你这个导函数，如果说你在区间A到B上存在的变化零点，比如说我这个图这个是导函数图像，那就说明你比如说你这个0.4X0位于A到B之间，那么A到X0之间的导函数是个负值，说明原函数得到递减。那么在右侧，导函数大于0，说明原函数单调递增，那是先减后增的，所以说它根本就不是单调的。有同学说老师，那你的意思是你的意思是说可能存在零点，而且是同号的零点，确确实实有可能。比如说我看出图，我导航出来是这个样子的，这个就是一个二次函数型，比如说就是X方，这是导函数的解析式，那么这个时候它就存在着不变化的力量，就左右两侧都是同号的，这个时候原函数就得到递增了，因为这个原函数我们可以写成3分之1X的3次方，那么这个时候它求导之后，就是X方。很明显这个函数在R上都是单调递增的那自然而然是单调的，这是第二个小知识点。我们来看一下极值的概念，就极值与导数。你看第二个知识点。首先第一个极小值的概念，我们来看什么是极小值。当函数Y等于FX在X等于0，不是，X等于A它的函数是FAB它比这个X等于A的附近其他值都要小，我们称之为极小值。那么极小值首先这是第一个基本定义。第二个导函数值为零，也就是经过这个点的切线的斜率是0，就水平的。还有在A的附近的附近，A的附近左侧，大家注意它是先增后减，也就是导函数小于0，这个大于0。右侧不是小于0，右侧导函数是大于0，也就是说你是先减后增的情况才可以。你看画一个草图就这样子的，这个是A你看X等于A处，它是最小的，就在某一个区某一个附近，它最小的。远处那就不一定了，远处的我们就不管，我们就在就研究A的附近，A的附近导函数小于零就单调递减，导函数大于0，右侧单大于零就单递增，就是先减后增。那么A处对应的函数值就是它的极小值，所以说这个A点A就叫做极小值点。注意A叫极小值点，所以说这个A并不是。注意这个A是极小值点，所以说极小值点并不是A0绩效值点是一个值，FA就叫做函数的绩效值。好，这是极小值的概念。同理我们来看一下极大值的概念，根据刚才所讲类比，我们可以进行分析。如果有如果说有同学你可以尝试一下，你可以把这个视频暂停，自己填一填我这个上面的空，看是不是跟老师讲的一样的。首先函数极大值的概念，一函数Y等于FX在点X等于B处的函数值FB比它附近的值都大。第二个同样导函数为零，你看我们前面这个讲的，它只要是水平的，你看经过这个A点A点FA点这个切线的斜率为零，这就说明这个斜率为零，水平的直线自然而然导函数为零，导函数值为零。然后在X等于B处的左侧，我们这它是先增后减。左侧这个导函数就是大于零的，右侧导函数是小于零了。大家看一下，和刚才的先小于0或大于零刚好是相反。所以说这个时候我们点B就叫做它的极大指点，FB就叫做它的极大值。所以说极大值点与极小值点，我们这里面有一个规定，统称为极值点。极大值极小值统称为极值。所以说如果说你看到一道题让你求函数的极值，就涉及到两个，既求极大值又求极小值。如果他有就求，没有来就不求可以了，这是第二点。我们来看一下后面的第三个函数的最值与导数，求函数Y等于FX在B区间A到B上的最大值与最小值的步骤。第一步我们是先求FX在A到B上的所有的集值。对，所有的集值。然后判断各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。这个也比较好理解，因为你只要是连续不断的图像，比如说这个是A到B只要是连续不断的，它不就这样弯弯曲曲的，对不对？你看它不可能在两个极值点之间夹的这个区间上取得最大值、最小值。它只可能是在这个小范围的最大的、最小的取出取这个最最值或者是区间的端点。你们看这个区间端点也有可能。所以说求B区间上连续函数的最值步骤，首先要先求极值，再求区间端点。函数值比较大小，哪一个大哪就是最大值，哪个小哪个就是最小值。当然这个是一般解法，这个是一般的一个解法，还有其他的解法。好，然后我们看第四个基本知识点，利用导数解决实际生活中的优化问题。首先我们看第一个，分析实际问题中各变量之间的关系。我们要建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系，这是第一步，当然我们要确定函数的定义域。第二步我们求导数FEPX解方程对吧？你要把这个解方程解出来。然后我们要判断这个磁导函数等于0的点是极大值点还是极小值点就看它的左右两侧是否异号。如果不异号也不是极值点，如果易耗耗是看是先大于零还是先小于0，第四步确定函数的最大值、最小值，我们再还原到实际问题中作答即可，这是比较重要的思路。好，下面我们来看有几个重要结论。第一个，若函数FX图像是连续不断的，那么函数在A到B上一定有最值，这个比较简单，我们就不再多说了。第二个，若函数FXA到B上是单调，那么它一定在区间端点出去的。这个也比较好理解。因为你不管是对单调增的单调减的，确确实实在区间端点处取得最值。三函数FX在开区间A到B上只有一个极值点，那么这相应机制一定是函数最值。你看你可以画一个草图，只要你是开区间的，比如你0到2开的，你只要有一个机制，他要么是什么呢？要么是最大值，要么是反着来的，要么最小值对吧？它只能是这样的。好，还有第四，极值和最值关系。我们看啊极值只能在定义域内取得，不包括端点，但是最值可以在端点出去的。你看刚才我们研究B区间上的函数的最值，还要判断区间端点的函数值跟极值的大小。就是有极值的不一定有最值，有最值的未必有极值。极值有可能成为最值，非常数可导函数。注意这句话，可导函数的最值只要不在锻炼中取得，必定在极值中取的。确确实实因为你要么在只要不是常数的对吧？你只要不是在锻炼录取的，必然在技术录取的，所以说这个是也是比较好理解的。大家可以通过一些图像去画一画，看一看就明白了。所以说极值有可能成为最值非常数可导函数这个最值只要不再锻炼出去的就是极值。刚才我们刚才说了，只要是封闭区间，好，下面咱们来看一下对点自测的几道小题。首先看第一题，函数FX等于X减三倍的EX次幂的单调增区间。这里我们求真区间就是求导函数大于零的这个不等式的解集，导函数大于零就是解这个不等式。我们先求导，求导这是一个两个函数相乘相对第一个函数求导X减3，求导就是一减0，就是一乘以1X加上一个X减3。对一X求导还是EX那么整理一下，就是把EX提出来，就是X减3加1就是减二倍的EX这是导函数。然后让这个大云，因为一个指数函数是恒大于零的，所以说可以推出X减2，大于0所以说可以推出X大于2。既然推出X大于2，所以说你这个正区间就是二到正的无穷大，这是第一题选C看第二题函数FX等于KX减去ln x在区间一到A上单调递增。注意这个有一个易错点，这个导函数注意导函数大于零推出来一定是正区间，大于等于零推出来区间不一定是正区间，因为有可能有一段水平，但是反之是成立，什么意思呢？如果说函数在D上单调递增，则一定推出的是导函数，注意是大于等于的。如果说你不带等号，那就有问题了，只要是单子的都可以。你像刚才我们这个第一题，我给大家说一下，你这个位置二写成二到正的无穷大，它也是对的。注意，其实2到正午车更准确。对，它更加准确，它比开机还要准确。所以说大家注意，你看我们讲的那个三角函数，负二分之派到加2K派到2K派加二分之派KCZ它是正弦函数，单调正确。你们看它这个区间的端点就是在B级，这是可以的，所以这里面带上更准确，不锻炼也不算错。这里一定要注意，两条更准确。如果人家单独是一个填空题，求它的单调增区间，如果不带的话其实还不严谨，蛋疼更准确一些。这里要注意，严格意义上讲蛋疼才是对的。好，我们看一下这个第二题，就是求导大于等于0。所以说在一到纵向的N6递增，那我们就对这个函数求导，即导函数KX求导是k ln x求导就是X分之一是大于等于0，很成立的分餐，所以说K就大于等于X分之一，所以说可以只需满足大于等于X分之一的最大值，它就会成立。也就是说当X取一的有最小值，所以说K就大于等于一，所以此题的答案选C。因为你这个X是一到正常一是开机，那么这里不管是开和闭都可以取到，因为这个位置在等号，这个叫这种方法，我们称之为分离参数法参数法分离参数法就恒成立问题，对吧？有恒成立就大于等于它的最大值。好，我们看第三题，当X大于0小于一的时候，导函数不是原函数是X分之2X那么则下列大小关系正确的是？好，这里面我们涉及到比较大小了。有同学说一看到这种题不想做了，他直接带特值，居然也能算出来没有什么大问题，但是一道解答题就不行了，对吧？所以这题比如说有同学说老师我就带一个这样的特质，我就令X等于1分之1，那么这个时候FE分之一就等于1分之1分之ln 1分之1烙印亿分之一就是负一，结果就等于负一，再把它带去，那么你这个平方乙方那么FX方，FX方这个是负一。你看负一它是个负的，那么FX方就是FEE分之一的平方，它是给它带进来的，就是ln e的平方分之一除以E的平方分之一，那么E的平方就是E的负2次方，所以说上面就是-2，那么乘以一结果就是-21。而这个负二一它是小于负一的，然后是小于一的平方。这样的话我们通过刚才这样一个计算发现FX平方最大就是不是FX这个整体的平方，它是最大的，它是最大的，它最大的就把A和B排出来，C和D里面选。然后这里面刚才我们说了，你这个是居中的，ipad居中这段它通过带一个特值答案直接选D就可以搞定了，不用什么导数什么来做就可以了。那那有的老师，我们我们如果说要做的话，那这个题怎么做呢？怎么去判断呢？如何由由这样一个关系去判断，对吧？好，我们来看一下，这里我们可以由0到1，我们来判断一下它的取值范围。首先我们对这个函数进行求导，求导之后分母就是平方分子ln x求导就是X分之一乘上一个X乘上分母减去ln x乘以X求导就是一，这是基本定义，就等于X平方分之一减去一个ln x。首先我们令这个为零可以推出这个X值是等于1分之1。我们看当X大于0小于E分之一的时候，大于0小于1分之1的时候，这个时候我们知道一减去ln x因为这个时候ln x一定是小于到零一之一的，一定是啊0到1。这里写错了，稍等一下，我把这个改一下。0到1，这个一定是大一定是小于一的，小于一的这个就大于零了。同理当X大于一的时候，这个一减ln x很明显是小于零的。也就是说我这个原函数FX在零到意义上它是单调递增，E到正的无穷大上是单调递减，所以说这个草图我们可以这样来画，这个图像是考试经常考，你看取一的话就是零了，而且零到意义上是单调递增。它图像是这样画的，一处把一处带进去就是1分之1是最大的。一处对应的是1分之1，这是最大的。而一到正负是单调递减，但是它永远不可能是一个负值，它是无限接近X轴，这是它的大概的草图，不一定很准确，但是这个趋势它是对的。你看0到1之间都是负值，0到1之间竟然都是负值，所以说你平方之后一定是最大的对吧？所以说你这个AB两个选项绝对是错的。那下面就比较这里面比较谁大谁小，你就看是X大还是X平方大。因为X是大于0小于一的两边同时乘以X所以说X一定是大于0，就是X平方一定是大于，所以同时乘以X就是X平方小于X所以说X平方一定是小于X既然小于它，所以说FX的平方一定是因为它的单调递增的，而且这个也是小于一的，大于零的，所以说FX平方一定是小于FX就根据单调性来求的，里面的自变量值越小，对函数就越小。那就相当于你的图像是这样的。你看就相当于你这个X平方在这里，X在这里，你看对应的这边那个函数值就是FX平方，那么这个对，就是FX，所以说FX就大于FX平方，这答案选D或者用特值法直接秒了也可以。这第三题我们额外多讲一下，然后我们来看一下第四题，求这个极大值点还是一样的，我们先求导，对这个函数我们先求导。求导首先第一个函数求导，那就是两倍的X加2乘上一个X减一的3次方，加上X加2的平方。对于第二个函数求导，就是三倍的X减一的平方。注意，里面其实都还有内函数求导，内函数X加2求导就是一X减一求导也是一两个都乘以，我就没有写了。然后这里面我们提公因式，公因式就是X加2乘以X减一的平方。提了之后第一项第一项就保留2倍的X减1，加上第二项，剩下一个三倍的这个X加2OK。写到这里，我们前面继续写成X加2乘以X减一的平方。这边我口算一下，有一个5X减2加2加3是6，6减2就是4加4。好，这个我们就整理到这里。下面咱们来看一下这个导函数的图像。首先这个是恒正的，那么就相当于你要是大于0，就相当于有两根，一根是-2，一根是负的5分之4。好，我们来画个草图，实际上影响它的正负就是这两个因式乘积相当于是个二次函数型的，一个是-2，一个是负的5分之4，开口方向相当于向上。很明显如果大于负的5分之4或者是小于-2的时候，恒为正值。这是导函数的大概图像，不一定准确。但是正负我们可以判断说明原函数，原函数我现在换一个颜色笔来画。大家看紫色的原函数的图像，就是先增后减，再什么呢？再增。所以说在负二处我们可以取得极大值，所以说极大值点就是-2。这此题的答案选D，这是第四题。下面我们来看一下第五题，函数Y等于X加一的EX幂的最小值。那还是一样的，我们来判断单调性，根据图像来解，根据单调性来解，先对它进行求导，X加一求导是一乘以一X幂加上X加一乘以1X次幂求导就是一X次幂。这个整理一下，因式分解就变成X加二倍的EX幂。很明显这有一个令导函数为零，可以得到一个X0是等于-2。我们来看一下，当X小于-2，也就是负穷大到负二的时候，这个时候我们知道这个导函数很明显是小于零的，所以说原函数是单调递增。当X属于-2到正的无穷大的时候，那么这个导函数很明显是大于零的。这个大于零了，那这边是单调递递减，大于0，这个是单调递增。也就是说它的图像是什么呢？它的图像是先减后增，注意它的图像是先减后增，在负二处注意，在-2处取得最小值。那我们很明显，所以说当X等于负二时，Y有最小值，那么就等于-2加1去乘以一的2次方。-2加1就是负一一的负2次方就是一的平方分之一，一遍就是负的一方分之一。所以说这个草图我们可以写成这样一个形式，可以写成这样一个形式，这是大概的图像。这个是-2，负二对应的就是负的立方分之一。因为X小于负一的时候都是负值，它是先减对吧？这边是无限接近X轴的，所以说你不能画到上面。这个是这还是要求思维比较严谨的，所以此题的答案就是负的一方分之一。好，今天的这个基础知识梳理专栏我们就上到这里，感谢大家的收看，下一期我们再见。