亲爱的同学们，大家好。今天咱们来继续讲解高中数学基础知识梳理专栏的第十三节导数的概念及运算。下面还是老规矩，我们来先看一下基本知识点里面的函数的平均变化率。首先我们来看一下概念，什么是平均变化率呢？对于函数Y等于FX如果有FX2减FX1除以X2减X1，那么这个时候它是等于delta y除以德尔塔X其中这个delta y是Y的变化量除以X变化量，我们把这样一种比例关系叫做函数Y等于FX从X1到X2的平均变化率，这里我们有个名字叫平均变化率。你像物理上有一个平均速度，就可以用我们刚才讲的这个概念来表示。我们来看一下几何意义，代表的是函数图像上两点，就这样的两个点连线的斜率，这是它的几何意义。为了解释这样一个概念，我大家看我在这个PPT上画一个图，有助于大家来理解形象的去理解它。这个是平面直角坐标系，这个是Y等于FX函数图像。我来取这里两个点。首先我们来看一下A点的坐标，我们让它为X一为也就是或者是写成FX1。这个B点的坐标我们写成X2，FX2，大家可以看一下，那么对于X1和X2的差的绝对值就是德耳塔X那么反映的图像上就是这一个小小线段的长。这个的长就是德耳塔X那么这一段的长就是德耳塔Y就是两个Y之间纵坐标之间的差。这个差那么德尔塔Y比上德尔塔X我们连接AB2点，我们会发现根据已知两点求斜率的公式，那么它就是线段AB所在的直线的斜率，这是它的几何意义。物理意义函数Y等于FX表示变速运动质点的运动方程，就是该质点在X1X2上的平均速度。注意，这个是平均速度。好，也就是说你用位移比上变化的时间就是哪些，这个花的时间是多少就可以了，这是前三个基本概念。下面我们来看一下导数的概念，函数Y等于FX在X等于X0处的导数。首先我们来看一下，第一，我们规定Y等于FX在X等于X0处的瞬时变化率，limit德耳塔X趋近于0，德尔塔Y除以德尔塔X那么这个还有一种写法是这样来写，我们也可以写成limit x趋近于X0。那么下面就是X减去X0，上面就是FX减去FX0。那么这个我们用一个记号，谁呢？F1撇X0，那么就代表的是Y等于FX在X等于X0处的导数。我们记住F1撇X0，当然也可以写成Y一撇X等于X0，这是另外一个记号。这个记号我们不是特别的常考，但是你要得知道，所以说GF1撇X0就等于limit德耳塔X趋近于0，德尔塔Y除以德尔塔X然后把这个式子填到这里来就可以了，这个我们就称之为它的瞬时变化率，所以也叫瞬时变化率，就相当于在S0处的瞬时变化率。下面我们来看一下它有几个一函数FX在X等于零处的就X等于X0处的导数F1撇X0的几何意义。这个几何意义就指代的是在曲线Y等于FX上点X0，FX0处的瞬时速度就是位移函数ST对时间T的导数。大家注意，这里面既然我们知道斜率，我们可以用典型式来写这样一个倾向方程。所以说这个切分就是Y减Y0，就是FX0等于F1撇X0乘以X减去X0，那么这个就是切线方程。我们再看第二这个函数FX的导函数，我们就称当你这个X0不断变化的时候，即limit这个delta x趋近于0。然后上面写成FX加上德耳塔X减去FX除以德耳塔X取得极限值之后，那么这个F1撇X就是FX导函数，这是导函数的定义。下面我们重点来讲这样八类基本初等函数的导数。首先第一个常数求导是零，第二个幂函数求导就是A乘上一个X的A减一次幂。第三个sine x求导cosine x第四个cosine x求导是负的sine x好，这个和就是指数的和对数的这两个很多同学记不住，也一定要来当做重点来记。AX次幂求导是AX次幂乘以ln a当特别的A取一的时候，那一就是一。所以说EX求导就是EX次幂。这个参考很多同学恐怕都记得，也比较好记，就是它本身。第七个对数函数求导就是不以一为底的，那么这个求导是X倍的ln a分之一。后面这个特别的H一的话，一就是一，所以说它求导就是X分之一。这是常见的基本初等函数的导数公式，这个不要求推导，大家直接死记就行了。我们来看一下导数的运算法则。导数的运算法则。首先和差两个函数的和差求导，那么就是两个函数导函数的和或和和差有对应的和和差，这是第一个。第二个乘积集合导就是第一个导函数乘以第二个函数，原函数加上第一个函数乘以第二个函数的导函数。好，这是第二个。我们看第三个除法的。好多同学除法没记住。除法就是分母就是FX除以GX，那么它的导数就等于分母的平方。然后分子函数导函数乘以分母函数中间是减号，就是把上面这个式子加号改成减号就可以了。那么减去FX乘以GPX好，这是第三类。我们来看一下复合函数求导，这个是特殊形式。那么我现在举一个一般形式来看，我这个举一般形式。这个一般形式是比如说形如Y等于FGX的形式。我们一般来说换元，我令这个U等于GX，U等于GX这个就可以写成这个FUXFU，其中U是等于GX好，那这这老师我们来看一下复合函数的求导，那么就等于F相当于先对U求导，然后乘以U关于X求导，最后再把这个U替换掉就可以了。所以说最后我们可以写成F1撇GX然后乘上一个GPX，可以写成这种形式，大家注意要理解这是什么意思。比如说我们这个复函数，如果里面是AX加B那么它的求导法则就是相对整体求导。求导就相当于再乘以AX加B关于X求导就是A因为B求的是0，中间就是A加零就是A所以说我们可以写成这种形式。等一下后面我们有具体的题我们再说。下面我们来看一下有几个重要结论。第一个导函数F1撇X0与X0的值有关，不同的X07导数值一般也是不同的。大家注意，这个导函数的值与X0的值是有关的。你因为你X0取不同，代入导函数里面的值一般来说也是不同的，这个一定要注意。第二个，F1撇X0不一定为零，但是这个FX0求导之后，一定为零，这个原因就是如果说你要先把X0带到函数里面，它就是一个常数值。注意，它是一个常数值，常数求导一定为零，这是第二个。第三个，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，这个一定要注意，因为你奇函数求导之后也很好理解。你比如说你FX是奇函数对吧？你求导之后，你f five带进来，前面有一个，因为它这个长度不受影响，所以说这个后面求导之后一定是个偶函数。比如说我们举个例子，比如说FX等于X3次方。大家看一下这个求导之后，那么就是三倍的X平方，你看它就变成偶函数了。同样偶函数求导之后是奇函数。周期函数的导数它还是周期函数，要注意周期函数的导数一定是周期函数，这是三个重要的结论。下面我们来讲几道练习题，加深对咱们刚才讲的概念的理解。首先看第一个，设函数FX等于sine x减cosine XFX的导函数为F1撇X若F1撇X0等于2倍的FX0，则tangent x0等于什么？大家可以直接往下做，根据两个函数求导的法则，那么F1撇X先求F1撇X等于sine x求导就是cosine x减去cosine x求导就是负的sine x那么就变成了cosine x加上一个sine x好，再根据题目中的这样一个条件，我把X0占据。所以说我们可以得到F1撇X0，那么就是cosine x0加上一个sine x0等于2倍的FX0，那么就是sine x0减去一个cosine x0。整理右边两倍的sine x0，左边sine x0移过来，右边又变成sine x0。左边cosine x0，右边负二倍的cosine x0移到左边，合并同类项变成三倍的cosine x0。所以tent x0就等于sine x0除以cosine x0 93，所以此题答案选D。这个题比较简单，直接来做就行了，这是第一小题。下面我们来看一下第二小题。如果曲线Y等于FX在点X0，FX0处的切线方程为x ln 3加Y减根号三等于0，那么这四个选项哪一个是正确的？首先我们来看一下七项工程切线方程。刚才前面我们已经讲过了，你要利用导数的几何意义来做，你要利用导数的几何E那么我们知道切线的斜率K一定是等于F1撇X0。这个F1撇X零什么意思呢？就是导函数在X等于零处的导函数值。好，下面咱们来看一下这个切线方程，我们可以写成。典型式的形式。这个习题四的形式可以写成Y等于负的ln 3倍的X然后再加上一个根号3，我们可以写成这种形式，这个切线也是过X0FX0的。好，下面咱们来看一下这个导函数值一定是等于它的斜率，负的log 3一定是小于零的。大家可以看一下，它在什么什么处的切线方程在在某个点出现，说明这个切点就是X0FX0。所以说大家注意，所以说这里我们可以得到什么呢？得到这个导函数的值一定是一个负值，所以说此题答案选C这是第二小题。下面我们看第三小题，函数Y等于X3次方减X的图像与直线AX加二相切，那么这实数也是值，这里面又出现一个期限，它是一样的。如果说有关切线问题的切点不知道，我们一定要注意将切点给设出来，这是一个通用解法。这里面我们先设，到时候我们可以先画一个草图，先画一个这是个奇函数，这是个N型函数，我可以这样来画一个草图。这个可能画错了，我来我来把这个图像改一下，重新画一下。我们应该这样画。N进行曲线，因为它应该是一个曲线的无穷大的数，应该是个正值。所以说我刚才有说话说当然不影响解题。经过02经过02这个点我们可以往上画一点，比如说二在这里那个曲线换成这样，我们画一个相切的情况这个是Y等于AX加2，注意画一个草图。大家看啊如果不知道起点，我们可以设这个切点为X0，X0的3次方减去X0，就将这个谁X零带到这个Y等于就是这个三次函数，Y等于X3次方减去X这个解析式里面来。好，这样子看一个参数设出来之后，我们对这个函数求导，求导X3次方求导就是3X的平方，X求到0就是一，所以后面就是减1。所以说这个斜率K一定是等于把横坐标切的和X0带到里面来，那就是三倍的X0的平方减1，这个是等于A好，再一个力，这个切点也在直线上，所以说我们会得到第二个方程式，就是由Y等于AX加二过切点过我们刚才设的S0。S0的3次方减去X0得我们可以得到一个Y就是X0的3次方减去X0等于A倍的X0，再加上一个二，所以大家看一下，我来现在来解A的值，我要解A的值，我要先解X0的值。我们不妨将上面这个A代到2式里面，这是一式，这是二次。把一式代到二里面，左边是X0的3次方，减去X0等于A就是3X0的平方减1乘以X0，然后再加上一个二。好，我们将它整理一下，这边有一个3X的3次方，左边有一个X的3次方一项，那么就变成了2倍的X0的3次方。这边有个减X0这边有个减X0消掉，然后再加上一个二等于0。好，这个就整理完了，所以说可以推出二再消掉X03次方加一等于0，所以说X0的3次方等于负一，所以X0就等于负一，像这个S0等于负一再代到一式里面，所以你就解出来了，是等于3。X平方就是3乘上负一的平方再减1，结果是等于2，所以此题答案选C。这个基本题型还是有一点小绕的，希望大家能够听得懂。因为它是一个含参的，所以步骤还是有比较多的。好，我们再看一下第四小题，曲线Y等于ln x上的点到直线的最短距离。我们来看一下这个最短距离怎么求。我们可以根据函数的图像，根据几何一来解，这样的话就相对来说比较简单一些。大家看一下，我画出Y等于ln x的函数图像，这是对数函数图像。而Y等于X加一也比较简单，它是经过零一和-10这样一的一条直线，很明显有几何意义。我们知道只要你做一系列水平的直线和Y等于X加一平行的时候，而且与Y等于X相切的时候，比如说Y等于X加T相切的时候，这个时候把切线求出来，然后两平线间的距离，大家看我这个草图，这个D这个是Y等于X加1，这个D就是Y等于ln x上的点到Y等于X加一的最短距离，它一定是最短距离。你看你再往后移的变大了，变大了就不是了，对吧？所以说在这里我们你要求出切点也可以，你要求出切点你只要能求出切线方程，然后根据两平线间的距离公式来套就可以了。那这里面还是不知道切点那么不值的切点，我们就设切点。同样我们把这个横坐标设成X0，带到Y等于ln x里面，我们可以得到它的纵坐标就是ln x0。然后我对这个曲线求导，ln x求导就是X分之一。所以说我们可以推出这个行K把横坐标X零带进去的就是X0分之1。注意这个KX0分之1就等于斜率，所以说我可以推出这个S0，就是1S01V1，所以说切点就求出来了，切点就是10。你看就是把一代进来，就是一乘以一就是0，切点就是10，其实是相对是这个点。这个图像因为我们开始不知道，所以说我们是随便先画的图像。通过计算之后，我们发现这个切点就是与X轴的交点比较的有意思。好了，现在我既然求出切点了，我们可以用点到直线的距离公式来求。当然你也可以求出切线方程，再利用点形式去写也行，无所谓。然后我们把把这个Y等于X加加一转化成一般方程，写成X减Y加一等于0，然后再根据点到直线的距离公式，D等于根号下的一方加上一个负一的平方，开根号就是上面的把10带到里面来，那么就是1减0加1。所以说这个答案就是根号2，上面是2，下面是根号2，解出来就是根号2，所以此题的答案选A，这是第四题。那么下面我们来看第五题，曲线在00处的切线方程。所以在点处的切线方程说明切点已经知道了，然后我们直接求出斜率就可以，然后用扁形式来写。好，先求导，这是一个复合函数的Y1撇就等于二不动。然后ln x加一就等于就是我们令X加一等于U那么就等于U分之一。U就是X加一可以写成X加1分之1，然后再乘以X加1。关于X求导，X求导是一一求导是零一加零就是一。所以说这个导函数是就是X加1分之2，所以说这个斜率K然后我们把切点的横坐标零带到导函数里面来，那就是零加1分之2，再用典型事例写，就是Y减Y0等于K倍的X减去X0。其中X0Y0就是这个点直线上的这个定点的坐标，那么在此题里面就是00，所以说我们将其画点之后，就是Y等于2X，或者你写成一般方程形式，就是2X减Y表明，本节的课我们就上到这里，下一期我们继续来讲解导数有关的一些基本知识点。好，感谢大家的收看，再见。