同学们大家好。今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏的第十节函数的图像。函数的图像可以说是咱们高中阶段函数部分非常重要的一个小板块。那么它的基础知识的重要性无需多言，因为我们数学思想方法里面，其中有一个思想叫数形结合的思想。如果说你图像学不好，函数的题大多数你恐怕你都解不出来。这里我们继续来讲解初中阶段的这个描点法。在高中阶段我们描点可以说在解题中还是起到一个非常关键的作用。尤其是在三角函数中有一个五点着手法是非常重要的，就是5.5点法。这个高考有可能会考，希望大家给予重视。回头到3角函数的那一块，我们还继续来讲这个五点法。这里我们来总结一下这个基本步骤，其基本步骤就是列表描点连线。首先我们要确定函数的定义域，任何时候都有一个定义域优先的原则，大家一定要注意。第二个一定要注意化简，因为有些解析式非常的复杂，你如果说不化解点恐怕要出问题。第三个是讨论函数的性质，这里主要还是这几样，几个性质，奇偶性、单调性、周期性、对称性等。其次列表一定要注意特殊点，零点、极值点和最值点。最值点就是最大值点、最小值点，还有与坐标轴的交点等。另外描点的时候要注意用平滑的曲线来进行连接。有成员那个图像画的一波三折，很就是说画起来看着非常的生硬，要注意平滑。好，下面我们来看一下图像的变换，这也是我们高中阶段的叫变换做法。主要讲四个变换。首先第一个变换就是平移变换平行变化，有一个口诀就是左加右减，还有一个是上加下减。那么具体的平移就是看图。对，左右平移纵坐标保持不变，横坐标变化，所以变只变XX都是横坐标。那么上下平移的是横坐标保持不变，纵坐标发生改变就是Y的值发生改变了。所以说左右平移不影响值域，影响定义域。上下平移不影响地域，但是会影响值域。好，下面我们来看第二个变化，叫对称变换。首先第一个注意，第一个FX与负的FX图像关于X轴对称，FX与F负X关于Y轴对称，FX与负的FY关于原点对称，还有这两个就是同底数的指数对数是关于Y等于X对称。那么这里我们再补充两个，第5个FX与F2A减X所以这两个图像是关于X等于A对称。好，这是第五个。那么第6个FX与负的F2A减X那么这两个是关于alien对称。好，这是六个最基本的对称了，你们要作为一个重点把它记一下。然后分值变化，大家注意，分值变换，注意后面这个，这个是Y等于里面加绝对值的。好，这个我们讲解一下，这个外面加绝对值就是保留X轴上方这个图像，把X轴下方的图像放大到上去。这个原理是什么呢？你们可以用去绝对值的方法去理解，你确定值之后，它就是个分段函数。不变号的时候会有FX是恒大于等于零的变号就变成负的FX你们由这个解析式我们可以看一下，对于FX大于等于0，就相当于Y的值大于等于0，那不就是X轴上方的图像吗？从上方图像你看，还是FX保留不变。如果FX小于0，那不就相当于在X轴下方部分图像吗？那就变成负的FX因为我们知道FX与负的FX是关于X轴对称，所以说相当于把X轴下方的图像翻折到X轴的上方。第二个同理，也是一样的，它有这样的两个，一个是当X大于零的时候保留不变，大于等于0的时候，小于零就变成F负X去绝直接变号，大于等于零的就是自变量，X大于等于0的时候不就相当于Y轴右侧部分的图像吗？所以说保留不变小于零部分图像，因为我们知道FX与F负X关于Y轴对称，所以说小于零部分图像关于Y轴对称。所以说这个函数它一定是个偶函数，可以根据偶函数性质来画。第四个伸缩，第一个就是由FX变形到FAX第二个是变成A倍的FX那么第一个你们看啊就是纵坐标保持不变，横坐标变成原来的A分之一。那么第二个是横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍。所以说第一个相当于左右伸缩变换，注意是左右伸缩变换。第二个就是上下伸缩变换，它属于上下伸缩变换，这是高中阶段图像的最核心的四个变换，希望大家一定要理解透。好，我们来讲几道知识题。首先看第一个，来我换一种讲解法讲，你们试一试。首先第一个，由FX图像向右平移一个单位，根据刚才所讲，它就变成FX减1。然后图像再关于Y轴对称，那就相当于用负X替换里面的X那么就变成了F负X减1，那么这个得到的解析式就是一X次幂。然后再求FX那么就用换元法，我们可以令T等于负X减一则反减X那么这个负X就等于T加1，X就等于负T减1，所以前面就用T换掉了，FT就等于一的负T减1。然后最后把再把这个式七改写成FX所以FX就等于一的负X减一就可以了。所以说此题答案选D第一题比较简单，那么这个第二题大家注意这个对称中心，你们一定要切记，可以用那个三次函数的这个对称中心的结论，就是你求二阶导。先求第一阶段就变成3X方减去这个6X，然后再求二阶导的，二阶导函数的零点，横坐标就对应中心的横坐标。求完了之后就是6X减66X减6，然后我们令它为零，所以说可以解出X是一，所以横坐标一定是一把，一旦去定坐标就是-2，在此题答案是选C，我给大家再讲一个一般解法，因为它如果不是三次函数，你就不能套这个结论了，对不对？那怎么办呢？我跟大家说一下，这里我们可以根据，比如说你可以设这个对称中心为AB那么在图上任意找一个点X0，找个点XY。那么XY关于AB的对称点，注意，这个是基本原理，推了我就不再讲了，你们自己推对称点为谁呢？就是2A减X这个2B减Y好，那么这个图这个函数一定满足它的形式。由原来的我们可以知道这个Y一定是等于X3次方减3X平方。那么对称点2A减X2B减Y的也满足这个解析式，那么换句话说就是2B减Y就替换上面的Y，等于2A减这个X的3次方减去三倍的2A减X的平方。你看两式相加，先把Y消掉了，相加就是左边相加就是2BG那么就是X3次方减3X平方，然后加上2A减X的3次方，减去三倍的2A减X的平方。好，然后把这个整理按照X整理，让X前面所有的系数都为零，常数项也为零，那就是恒成立。那最后再解AB的值就可以了，这个具体的算我就不再算了，你们下去自己算。好，下面我们来看一下，其实我们可以，刚才我再啰嗦一句，其实我们可以根据刚才所讲的这个事，你们可以大概的可以口算一下它这个值，看是不是成立的就行了。好，我们来看第三题。第三题首先看定义域，就是2减X绝对值要大于0，这个叫做姿势。只有知识选图，这是基本题型。当然还有什么制图选4，制图选4，高考我们也考过，还有图示互选的。我们看一下定义域，那就是X绝对值小于2，也就是X大于负二小于2。你们看只要超过-2到2的，全部都排除掉，对吧？所以说C肯定是错了，C就不要看了。还有，你这里面的X我们看啊如果取零的话就是ln 2对吧，说明取零是可以的，ln 2就是大于零的，我们带个特值对吧？再一个这个函数是一个偶函数，所以说这个D根据奇偶性D是错的。因为根据奇偶性F负X恒等于FX好，你们再看根据这个特殊点特殊性，有同学说老师后面怎么搞？后面你看你要找不同的部分比较，我们看B选项中的这个1.5大概是2分之3处，2分之3处对应一个是正值，一个是负值。那我们就看F2分之3，F2分之3就是lin这个2减2分之3的距离就2分之3，那么这个是等于lin这个2分之1肯定是小于ln 1，ln一就是0，所以说它是个负值。他自己单只能选一个，这种特殊点可以排除。好，这是第三题。然后下面我们来看一下第四题，如图为函数Y等于FX图像，你看这个就是叫做知图选4，所以原来那个是叫知识选图，我们现在叫知图选4。首先它是奇函数对吧？由这个是奇函数，凡是偶函数的，你看两个奇函数相除偶函数对吧？我们前面课讲的对不对？这个是偶函数，可以，这个是E奇除以偶是奇，这个是E偶除以奇也是奇，没问题，还有定义域X都不能取0。好，然后我们再看一下带特殊值，一处对应的。大家看啊一处对应的值它是一个正值。好，我们看这个一竖对应是正值，那么这个一竖对三一也是个正值。这个一竖对应的是排除不了，那我们看二了对吧？二处对应的是负值，我们来看一下二处对应的负值。那么二处我们知道cosine 2，大家注意二这个角，二这个角肯定是大于二分之派，那么小于派，所以说二是第二象限角。我写一下，这是第二象限角二既然是一个第二象限角，余弦就是个负值，正弦它是个正值，所以说不对C不对，那么D也不对，你们看反只能选B，所以说由这个特殊点，我们可以直接把它排出来，非常快。好，我们再再看一下第五题，设函数FX等于X加A的绝对值GX等于X减1。对，你看这就是恒成立，任意的不等式FX恒大于等于GX这个不能分离常数参数。那我们直接根据图像来先把确定的图像给画出来。确定的图像你注意很大于等于它就说明它的图像前面的图像横在后面图像的上方。那么后面图像是一次函数，很简单，这条直线就是GX图等于X减一好，我现在来换一个颜色，换个颜色以示区别，我现在换一个紫色的，这个是圆点0，这是Y轴，这个是X轴，我把这个关键点标上，这个是一，这是对应的是一个负一是吧？这个其实就是折现，你看它是翻折了，对吧？番指的外面加绝对值翻折，把X轴下方翻折的上方，那么对应的这个最低点的这个横坐标就是应当为零的时候，就是负A好，这边你看它的斜率是相等的，跟它是平行的，所以它的图像一定是这样的。我们可以画一个满足的题，满足题意的是这样的，你看这个就是肥，也就是说你这个负A只有当负A小于等于一的时候，它是可以的，你刚好为一也可以。但是如果说你负一跑到这里来了，那就不行了，那有一部分它就在它下方了，所以说不行，所以说只有满足负A小于等于一，即A大于等于负一的时候才可以。所以说最后的这个答案应该是负一到正的无穷大。好，这一期视频我们就讲解到这里，感谢大家的收看，下期我们再见。