同学们好，我们这一期视频继续来讲解高中数学基础知识梳理。第九节，二次函数与幂函数。下面我们。来看一下基础知识梳理部分的第一个概念，二次函数。这个二次函数是咱们初中阶段已经接触到的一个基本初等函数，比较的简单。但是在高中阶段仍然是作为重点出现的，所以说希望大家在复习的过程当中也一定要来重视。可能对于大部分同学来说的话，这个基础知识已经没有太大的问题了，但是对于少部分的同学，二次函数恐怕你还仍然会有一些问题，你不妨听一听，看看是否有一些基本知识点已经忘记了。好，首先我们来看一下二次函数的定义。我们把形如FX等于AX方加BX加C的形式，或者我们写成Y等于AX方加BX加C其中这个二次项系数A它不是零这样的函数我们称之为二次函数。其表示形式就是一般是就是Y等于A倍的X方加BX加CA不能为零。那么顶点是就是如果说这个函数过哪一个顶点呢？过HK这个顶点，那么这个时候这个二次函数的顶点形式，我们可以写成A倍的X减去H的平方，再加上一个K那么它的顶点坐标就是HK0.4。就是如果X1X2是抛物线与X轴交点的横坐标，那么我们这个可以写成A倍的X减去X1乘以X减去X2。注意这三种形式的A都不能为零，如果为零它就不是二次函数了。好，下面我们来看一下图像和性质，这个我们要快点讲。因为这个二次函数这一块重点复习，所以说希望大家通过我们这个梳理，基本上能回忆起来。它的图像就OK了。比如说这个A大于零的时候，那么它的开口方向向上，这个定义域就是全体实数R不管你开口方向向上还是开口方向向下，那么它的定义域都是RA大于零朝上，A小于0K5分钟向下。那么值域对于K5分线向上的话，我们知道顶点的纵坐标就是函数的最小值，反之顶点的纵坐标就是函数的最大值。那么根据一般式的顶点坐标就是负的2A分之B4A1分之4AC减去一个B方，这个是函数的顶点坐标。所以说这个值域就是4A分之4AC减去一个B方到正的无穷大，就是开口方向向上的情况。对于开口方向向下的情况，那么就是负穷大到4A分之4AC减去一个B方就是负平方的。它对称轴很明显，就是X等于负的二的A分之B好，这个是图像里面的一步。我们来看顶点坐标，刚才已经写过了。好，这里我们再填写一下，是负的2A分之B纵坐标是4A分之4 ac减去一个BB方，这个是通过配方的方法我们可以推导出来。那么对于奇偶性来说，如果B为零，这个函数对称轴就是Y轴，很明显是一个偶函数，否则就是一个非极负有函数单调性很明显是从对称轴处一分为二。对于克服方向向上，那么在负无穷大到对称轴负的2A分之B的时候，那么它是减数。那么从负的2A分之B到正的无穷大的时候，它是一个增函数，它是先减后增，因为这样的话才符合开口向上，否则的话反之开口方向向下。那么在对称轴一分为二，同样的从负无穷大到负的2A分之B的时候，在这一段区间是单调递增，从负的2A分之B到正的无穷大的时候，那么它就是单调极限。所以说由这个单调性我们很明显可以得到最值当X取负的21分之B的时候，Y有最小值。设1分之11C减B方当X取-2A分之B的时候，当K方向向上的时候，这个时候才有最大值4A分之4 ac减去一个B方。好，我们来看一下幂函数。所谓幂函数就是形如Y等于XA次方的函数，我们称之为密函数。其中X是自变量，注意X是自变量，A是什么呢？常数，我们把它形成这样一种形式，我们称之为幂函数。下面我们来看一下常见的幂函数，这几个基本串函数大家一定要在熟记。大家先理解这个都比较简单。像Y等于XY等于X方，Y等于X3次方，Y等于X2分之1次方和Y等于X负一次幂加X负一次幂就是根据我们指数的运算性质，这个就是X分之一，就是我们初中阶段学的反比例函数。这个特殊函数也是属于幂函数。好，大家看一下这几个图像，你们可以看一下，这个比较简单。好，我们下面来看一下这个性质。这个性质对于这几个图像，由图像可以观察出来，他们的性质。这里大家注意，我不重点讲这样一个表，讲这个表它没有提炼到最终的幂函数需要掌握的这个知识点和规律。这里我做一个总结，也希望大家有需要的同学可以做一个笔记。对于形如XFX等于X阿尔法次方的图像，我们关键抓的是第一象限的图像。对于阿尔法大于零的情况，在第一象限一定是单调递增的。那么它的图像会有这样的三种情况。大家看我这个电脑屏幕上的这个图像，它一定是横过零点和一点，只要阿尔法大于0。所以第一类情况，当阿尔法大于零的时候，它一定经过定点00和11这样两个定点，且FX在第一象限。注意，它是在第一象限单针。好。对于阿尔法。大于一的情况是如图所示，向下图阿尔法大于0，小于一的情况是向上图，阿尔法等于一就是一三象限的角平分线。至于其他现象有没有图像，我们等一下再根据函数奇偶性来讨论，等一下我们这个再说。这个是阿尔法小于零的情况。所以第二种情况就是当阿尔法小于零的时候，它它不经过00，但是一定是经过一，且在第一象限只等到递减。既然是这样的话，那我们看一下，至于第二象限和第三象限的图像怎么判断呢？大家切记使用阿尔法为有理数。听好了，那么只要阿尔法有理数，你一定可以判断出函数的奇偶性。因为有理数是分为整数和分数的，所以对于形成这种情况，我们来适于其他。象限。的图像。其他象限的图像。you. 函数。的奇偶性。来判断。注意，由函数的奇偶性来判断。比如说当这里面分两种情况，那么第一种情况当阿尔法为整数时，因为有理数就分为整数和奇数，那么为奇数。那么。就是奇函数，为偶数，那么就是偶函数。第二类情况，如果说阿尔法为分数，我们写成M分之N的形式。假如它是契约分数，什么是几月份出来，就是已经约到最简了，他不能再约分了。这个时候比如说MN都是正值，但它不影响，那么对于形如X的M分之N次方，我们可以写成XN次方，开M次根式。那么根据函数奇偶性的判断，就是根据定义来判断。我们来看一下分这样的三类情况。如果说N为奇，M为G就是上下同时积奇次方，再开奇次根式。那么你用负X替换里面的X之后，这个负号可以提出来的，所以说该函数一定是奇函数。如果N为GM为偶，就是一奇偶，上奇下偶，就分子为积分母为偶。换句话就是里面是奇次方开偶次根式，那么这个定义域一定是大于零或者是大于等于零的。所以说他定义域根本就不关原因对称，所以这一定是一个非奇非偶的函数。好，那么对于如果说N为偶MVG你想里面是偶数吗？你一平方之后移4次方16次方之后，那么它的负号比如变成正号了，所以说它一定是一个。所以说对于幂函数来说，大家注意只要你在第二象限有图像，一定是偶函数，只要你在第三象限有图像一定是奇函数。只要你你第四象限出现图像一定是画错了。因为第四象限是绝对不可能出现图像的，只要你这个阿尔法是有理数。好，这是幂函数的图像和性质，我们就介绍到这里。下面我们来看一下，就有几个重要的结论。首先看第一个二次函数图象对称轴的判断方法。第一，对于二次函数Y等于FX对定义域内所有X都有FX一等于FX2，那么函数Y等于FX图像就关于X等于2分之1，所以二分之X1加X2对称，这个比较简单。第二个对于二次函数来说，对于定义域内如果有FA加X等于FA加X成立的充要条件就是关于X等于A对称。这个前面咱们已经讲过了，对称性，你别说对于二次函数，你这个条件大家注意，对于所有的情况它都是成立的，并不仅仅局限于这个二次函数，大家一定要切记。好，第四，下面我们来看一下幂函数的第一象限图像的特征。当阿尔法大于一，也就是说A大于一，这里我们用A表示了它图像一定是经过00和1向下凸，而且是单调递增的。你看只要是大于零都是单调递增，只不过一个是上凸一个是下凸的对吧？如果阿尔法小于0，一定是单调递减的，两个坐标轴就是它的渐近线，这个比较简单。好，所以说我们在记忆幂函数图像的时候，大家一定要切记，我们可以归纳成正抛负双大数小横。什么意思呢？就是如果A大于零的时候，你的图像是抛物线型的。比如说你A大于一的时候，图像是竖直的抛物线型。A大于小于一同样是横过抛物线型的，小于零就是双曲线型的，S小于零基本上都是。所以说当然了它有些定义域对吧？你比如说上七下偶，我举个例子，你这个FX等于X的负的4分之3次幂，对吧？这个是等于X的4分之3次幂分之一。那么它的图像首先在第一象限一定是单调递减的。是这个样子的，既然是上级下偶，那么它的定域一定是大于零的。好好，下面咱们来看一下，下面有几个重要的性质。首先看第一个，我们由这些性质我们练几道题，加深一下对这个定义和概念的理解。首先看第一个，幂函数FX等于XA次方的图像，经过点22分之根二，求F4的值。这个直接用待定系数，已经帮我们设好了帮我们设好了。帮我们设好了。我们直接带进去就行了。好，我们现在令X等于2，所以说我们可以得到函数值就是F2等于二的A次方等于二分之根二。所以说此时我们可以解得这个二分之根，二就是二的2分之1次方，所以说A就是2分之1，应该是负的2分之1-2分之1A既然是负的2分之1，所以说F4。因为这个。时候。我们可以解出FX就是X的-2分之1次幂，对吧？-2分之1次幂，所以说F4，那么就是4的-2分之1次幂，4的-2分之1次幂就是四的2分之1次幂，1分之1，4的2分之1幂就是2，所以这个答案就是2分之1，这此题答案选D这是第一小题。好，然后我们来看一下第二题。已知二次函数FXF0等于6，F3等于F2等于0。那么这个函数的解析式是什么？这里首先由我们可以用待定系数法来求这个函数的解析式。注意，这个方法我们称之为待定系数法。我们可以。设这个函数FX等于AX方加上一个BX加上C其中A不能为零。那么由F0等于6得F0就等于A乘0的平方，加B乘0就都是0，那么F0就是C即C为6。你看剩余六的话，我上去就可以把谁了，把B选项给排出来，再由F2F3等于0。所以说我们用一般式推，证明2和3是方程的两根。当然这里我们既然是二和三的两根，所以说我这个形式我们可以用这个零点就是两根四来写。我们可以写成FX等于A倍的X减2乘以X减3。整理一下可以写成A倍的X方减5，X加6T这个是等于AX方减5AX加上一个6A你们再看这个C就是6A，那么C既然是6A等于一。所以6A等于6. 所以说这个A就等于一，A等于代进来，所以说这个FX就等于X方减去5X再加上一个六，这此题答案选D，做这道题大家是不是有一种感觉，好像回到了初中时代。好，一不小心由这道题勾起了我们中考时间的回忆，这有一种一番另类的滋味在心头。当然了，如果说你初中时代是很强悍的，现在又不行了，可能这个心情不会特别好，有很多的五味杂陈那种心情在里面，对吧？如果初中时代很强，现在依然很强。不过如果说你特别强的话，可能你再看这个基础知识可能跳的很快，而且可能就跳过去了，你就听不见我说的这段话了，对吧？下面我们看第三题，函数Y等于X方减2XX属于0到3的值域。这道题我们可以根据函数图像来解，我们可以将这个函数进行配方，可以写成X减一的平方景怡。由此题的函数图象对称轴X等于一一数，对应的函数值是负一好，我可以将这个草图给画出来，画的不够标准。大家谅解一下，因为这个手写笔有点滑，你们多买专栏，买完专栏之后我再换手写板，保证下次课我们画的非常好好，开个玩笑。好，我们来看一下，我说了高中阶段的图像，你可以画个草图，但是要做到草图不草。注意，要画的草图不草什么意思呢？你大概的关键点关键线你要标。对你比如说你这个画的明显不一样长，对不对？你把这个硬性标准二没有问题，比如说你这个标成三了，你哪怕你画的很标准，但图画的不对仍然没分，对吧？0到3对吧，这个位置是三，所以这里的图像我来换一个颜色。大家看一下，我来换一个颜色，我们标个绿色，标个环保的颜色。零开始到谁结束呢？到三结束，0到3的图像就是如图所示的部分。所以说由图像很明显，一处取得最小值，负一三处取得最大值。那么三处最大值，我们来看一下，当X等于3的时候，你这个函数值Y是等于三的平方减去2乘3就是3，那这个值就是三，所以这个值域就是-1到3，所以此题答案是D好，这个也是一道基本题型。下面我们来看一下第四题，已知函数FX等于负X方减X加二则函数Y等于F负X图像由前面的图像我们已经知道了FX与F负X关于Y轴对称，所以此题方法很多。你要么直接画出FX图像，根据对称性来选题。你要么直接求出F负X解释，直接画图也行，我们可以直接求F负X1负X替换里面的X那么它就等于负的负X方减去负X再加2，整理一下变成负X方加X加2。那么看这个函数图像，首先看开口，因为A这个A是等于负一小于0，所以开口抛物线的开口向下，由这个开口我们把AB两个选项排除，这个AB两个选项排除好，再看一下对称轴。对称轴是X等于负的2A分之B那么就是负的2乘-1分之1，整理一下就是2分之1。好，由图我们来看一下，C选项的是负的2分之1，那么D选项是正的2分之1，很明显，所以此题答案选D好，这是第四题。我们来看一下第五题，已知函数FX等于X方加二倍的A减一倍的X加2，在区间互送到53为减函数。好，我们首先看开口向上。既然你区间是负增大到5，大家看我现在随便标个位置。我们看啊如果你这个对称轴X等于负的二分之B就是负的2乘1分之2倍的1减1，整理一下之后就变成一减A如果你的意见A比5还小，大家可以有图片看一下。你在富城大道五上很明显是先减后增，根本就不是减弱不行，那一定是有问题的。现在我来换一个颜色，比我来换成一个紫色的，只有当一减A刚好压到5，或者是一减A大于5的时候，这个时候它在富春大道五来看，我加出去这一段，我这是任意画了其中的一种情况，加速这一段，那么它又得到递减。所以说由这个图像分析，我们知道你这个一减A大家注意，这个是一减A。你这个一减A必须是大于等于5，即负A移过来就是A小于等于5，移过去1.5就是-4，即A小于0，-4的时候成立。所以说此题的答案应该填上是负无穷大到负四左开右闭。好，今天咱们这个专栏就讲解到这里。好，感谢大家的收看，下期我们再见。