亲爱的同学们，大家好。今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏第八节对数函数。下面我们来先看一下什么是对数，跟大家说一下贝索曾经被恩格斯称之为17世纪数学的三大伟大发现。这里面另外两个发现就是解析几何和微积分。而且对数解析几何和微积分中的导数部分是我们高考数学的重难点。每年有一些高一的新生前面学的还很顺畅。一到对手之后就开始萎靡不振了，就是原因因为对手的难度较大。这里我跟大家说一下，对数去理解的话，可以从指数的角度去理解它对数是怎么来的。比较有意思的是，咱们这个对数是源于指，但是在历史上对数的发明却早于指数。所以说对数的发明被我们数学界的很多的数学史的研究学者认为他是数学史上的一个征文，也就是说非常的奇特。也就是像很多的可能说到底是先有鸡还有但还是先有蛋的问题。当然你像在十六、17世纪之交，像在天文航海工程贸易以及军事快速发展，对于对数的运算也提出了更高的要求。像第一次真正在研究上有一定巨大的进，就是在这上面影响最大的一个就是苏格兰的数学家叫拉皮尔。在研究天文学的过程当中，这个人经过对运算体系多年的研究，最后找到了简化大数运算的一个有效工具。当时他写在1614年出版的一本书，叫做奇妙的对数定理说明书定律说明书。这本书就标志着咱们今天这一节课对书的诞生。好，这里我们来看一下这个概念。假如说有一个A的X次幂等于N对，A的XB等于N底数A是大于零且不等于一的，那么数X叫做以A为底N的对数。注意这个幂指数叫做A以A为底N的对数，我们减记为X等于log以A为底N的对数，其中A叫做底数，这个N叫做真数。底数有一个限制，就是大于零且不等于一的这个对这个帧数N他们要要求这N是大于零的。所以说这里面有一个第一个重要的性质，就是负数和零它是没有对数的。另外指对之间的互换，就是如果A的X幂等于N那么它另外一种书写形式就是X等于log 1AVD就是呃比如说我们举个例子，我们知道二的3次方等于8，我们把这个指数的形式转换成对数，就可以写成log以2为底8的对数等于3。你们始终记住二的3次方等于8，它有这样一个关系就行了。你比如说他要设计的话，它可以有这样的几种设计方案。这第一种那个以二为底8的对数是等于几，那你就看二的几次方等于8，所以说这个位置填几。换句话说，八能写成二的几次方，这个位置填几，这是第一种。第二种，log以二为底积的对数是等于3，那么不就相当于这个X就等于二的3次方，所以这个空白这个位置一定是填二的3次方。好，再看一下第三个，那个以几为底8的对数是等于3，那就相当于等价于谁的3次方是等于8，那不就二的次方等于八吗？所以说你们要注意这样几个关系就行了。还有我们再来看一下下面性质，一的对数是0，因为A的0次方是一或者是一，可以写成A的0次方。底数的对数如果是一的话，那么就说明log以A为底，A的对数它好是一。这里还有一个对数恒等式，这个对数恒等式是恒等于。其实这个理解也蛮好理解，你们可以看一下由A的X次幂等于N是可以得出X就是log以A为底N的对数。所以说将这个X用log以A为底N的对数换掉，就可以得到A的log以A为零的对数是等于N所以这个底数是一样，前面系数为一，这个就等于幂指数的帧数N的值。这个应用也比较广泛，希望大家要重视。先理解后记忆，这是对数的概念和性质。下面我们来看一下运算性质，有这样几个，第一个log以A为底M乘N的对数，这个是等于log 1A为底M的对数加log以A. 为底。N的对数。第二个相除，那就等于两个相减，就等于log以A为底M的对数减去log以A为底N的对数。如果说log ADM的N次方上面带个N次方，我们可以把这个N次方放到对数的外面来，那么就变成N倍的log以AB底M的对数。还有一个换底公式就是log以A为底B的对数等于log以C为底B的对数除以log以C为底A的对数。这个公式我们也称之为换底公式。因为在指数的预算里面，尤其是在指数不等式以及对数不等式，对数方程就是这个指数不等式。有些时候我们也有跟对数有关的意思，比如你A的X方大于B也就是二的X方大于3。比如举个例子，这个可以用我们刚才讲的对数恒等式，那么三就等于我们换同理以二为底，那么就变成log以二为底三的对数。这样的话我们可以构造一个Y等于2X幂这样一个指数函数，那么底数是二大于一，单调递增，整个值越大说明幂指数值就越大。所以说可以推出X是大于那个12013，对，或者是啊像这种的两端同时取底，对吧？假如说你这个底不一致，我们也可以用换底公式进行化转化，可以化成一致的，这个叫换底公式。另外它有这样的几个推广，如果说以A的M次方为底B的N次方的对数，这样的话我们就可以把两个幂指数提到外面来，就可以写成M分之N这个log以A为底B的对数。这里我为了让大家理解更透彻一下，我将快递公司的推导写一下。大家看一下这个推导，我要想证明这个换底公式成立，那么我只需证明听好了，我只需证明那个一C为底A的对数乘以log以A为底B的对数，只需证明这个是等于log ECVDB的对数。我们看这两个层级就画了圈圈，这两个层级我们可以将后面这个圈圈可以当做前面的系数放到它的幂指数上。接着我们可以写成log以C为底A的对数，然后log以A为底B的对数次密。再看，我画横线的这个是真数位置，根据对数恒等式，这个就等于log以C为底B的对数，这个就做完了。所以说这个换理公司这又不是成立的。那么这个推广也比较简单，这个推广一，我把这个推广一也证明这一下log以A的M次方为底，B的N次方的对数，比如说我都换成以十为底，我都换成以十为底的话，那么这个就可以变成，或者我都换成以A为底也可以，这个更快。因为你最后的这个结果就是以A为底的对数，对吧？所以说我们把它换成以A为底，根据换底公式分子我们可以写成log以A为底B的N次方的对数除以下面直接是log以A为底A的M次方的对数。根据对数的运算，上面这个B可以上面这个N次B可以放到外面来写成N倍的log以A为底变成对数。那么下面log以A为底A的M次方的对数就是M所以说这个结果我们可以写成M分之N乘以log以A为底B的对数。这个就写完了，非常的巧妙。利用换底公式之后可以得到这样一个结论。另外下面当M和N等于一的时候，你看刚好就是上面这个是我们可以换成它的导数，可以换成调理导入。下面下面注意这个，如果说我们要用换底公式换一样的，直接把它换成log以B为底B的对数除以log以B为底A的对数。那么log以B为底B的对数就是一，从而可以得出这样一个结论，就是底数和真数互换位置的时候，它俩是互为导数的。好，下面我们来看对数函数的图像和性质。这个概念就是形如FX等于log，以A为底X对数，其中底数A是大于零且不等于一的这里面有两个最基本性质，可以用描点法，可以画两个最基本的图像来观察。当A大于一的时候，大家看一下第一个图，当A大于0小于一的时候，第二个图，这两个图像希望大家一定要得记理解，并基它们横经过10这个点横泾过定点10。因为我们知道log以A为底一的对数就是零，GX等于一的时候，Y的值是恒为零。定义域由图像可以知道是零到正的无穷大，值域是全体实数R那么当A大于一的时候，在零到正无穷。上是增函数。当A大于0小于一的时候，由图像已知它是一个减函数，这是图像和性质。然后我们来看一下有一个重要的结论，对于指数函数Y等于A的X幂与对数函数Y等于log以A为底X对数的，它俩是互为反函数，也就是它俩的图像一定是关于直线Y等于X对称。里面我们再补充一个，大家要注意，也就是说当对数函数的底数发生变化的时候，那么它的图像是什么样子的？这里我把这个。有一个非常重要的结论，咱们把它。讲一讲。大家看我画的这样的四个图。相信你们学校的老师也都讲过这样一个结论。这都。经过10这个定点，这是原点，这个是X轴，这是Y轴。那依次我来标一下，最上面的是log 1AVDX对数，下面这一条是Y等于log 1B为底X对数。那么这一条是Y等于log 1C为底X对数，最下面这一条是Y等于log以D为底X对数。好，我们来看一下这样的四个函数图像。那么这个ABCD的大小怎么来判定呢？今天告诉大家一种方法，跟前面的指数那一节课我们讲的是一样的。这里我们做了一条这样的线，在指数里面我们做的是X等于一这条线，而在对数里面我们刚好反过来做Y等于一这样一条线。大家看我这个蓝色的这条横线水平直线，这个时候大家看一下与四个分别有四个交点，那么它们交点的纵坐标都是一，而横坐标分别对应的就是很通过计算很容易可以得到，对的就是BAE. 还有。这个是C所以说最后得出这个大小的比较大小的这个式子是B大于A大于一大于D大于C大于0。那么我们记忆的时候怎么记呢？就是你从Y轴的角度上去看X轴还是在第一象限部分。比如说把Y轴看成水平线，这个时候越高级数值就越大。你们可以看一下，近数或者是做一条Y等于这种水平的直线与图像交点，这个交点值叫交点的横坐标越大，这个底数直觉，因为交点的横坐标就是底数的值。好，下面我们来巩固一下刚才的基础知识，我们来讲几道简单的小例题。首先看第一题，这个每节的咱们这个对点自测，希望大家可以练一练。对你们的这个理解最基本的概念还是有很有好处的。首先看第一个，已知A等于log以三为底2的对数，B是log 12为底3的对数，C是log 14为底栖对数。比较ABC的大小。像这种比较大小的题，我们有两种常见的思路。第一个是与特殊值或者是中间值进行比较。我们来看第一种方法就是运用特殊值和和中间值。要是。中间值和特殊值进行比较。第二个是构造函数，利用单调性比较大小。构造函数，然后利用函数的单调性比较大小。首先我们看有没有同底的，这个其实可以画同底。根据我们刚才讲的换底公式，它一定是等于log 2的平方，三的平方，就是M和N相等的时候，它会有这样一个结论，就是那个以A为底A的N次方为底，B的N次方的对数一定是等于N分之N就是一，那么就等于log以A为底B的对数。所以说我同时N次方值不变，所以这个B就可以换成log 14为底9的对数，这个一定是大于CC的。因为以四为底的X对数，这个对数函数一定是单调递增九大于7。所以说比如白。这是根据我们构造一个FX等于log，以4比0X对数，这是一个单增的函数，在零到正常量是单调递增的。那么前两个怎么不一样？前两个你们可以根据这个，因为那个以四为底9的对数，那么一定是大于log，以四为底四的指数一定是大于一的，而A一定是小于log，以三为底三的对数是小于一的。当然它是大于零的，因为零就是log以三为底一的对数，它是大于零小于一的。所以说A是。最小的。因为为什么呢？因为C它也是大于一的，一是log 4为底4对数，所以此题的答案是A小于C小于B此题答案选D好，这是第一小题。我们下面来看第二小题，第二小题上面多个log的时候，我们坚持由内向外算的原则，就像求函数值一样。如果求方程就是由外向内算。我们先看里面原式等于前面，我们抄写一下，就是log以三为底，中括号log以三为底。好，根据对数的运算，我们易得log以2为底8的对数，最里面的这一层括号就是3，因为二的3次方是8，算了外层之后，这个就log以三为底三的对数就是一，那就变成log以三为底一的对数，很明显三的0次方是一。所以此题的答案是选D我们再看第三题，不等式一加log x绝对值小于一好。首先我们直接解这样一个对数不等式，log x绝对值它就变成小于负，一化同底负一就是log 10分之1，就是十的负1次方。根据对数的运算，我们知道这个X绝对值一定是小于10分之1。因为底数是十，而且有个隐含条件是大于0，所以去绝对值，那X就应该大于0，小于4分之1，或者是X大于负的4分之1小于0，这就OK了。所以说此题答案是选A第四题，已知函数Y等于log，以ABDX加C的对数，其中AC为常数，A是大于零且不等于一的图像。首先根据复合函数的单调性，我们前面课讲过，根据同增异减的法则，内部这个函数是1元1次函数是单调递增的。你的图像又是单调递减的。根据同质异减的法则，外函数一定是单调递减，就是内函数是U等于X加C外函数是Y等于log。以A为底一的对数，内部是真的，外部必须是减的，外部是减函数。所以说可以推出A一定是大于零小于一的，所以说把AB两个选项先排除。至于C，我们可以用特殊值，大家可以看一下零处对应的函数值，零处对应的函数值是正值，一处对应的函数值是负值。好，这里我们可以或者是判断与X轴的交点也可以，所以这里我们先看一下您与XY轴的交点。首先我们看一下与Y轴的交点，就是X取0的时候，我们来看一下当X等于零的时候，这个函数值Y就变成log以A为底X的对数，这个很明显是大于0，这个零我们知道就是log 1A为一一的对数。又因为听好了，又因为你这个A是大于0，小于单调递减，所以说log以A为底B的对数大于log以A为底一的对数之后，相反这个C一定是小于一的，再加上在真数的位置上一定是大于零的，所以说此题答案选D你看你们看有一个特殊值就可以搞定。好，这是第四小题。下面我们来看一下最后一个第五小题。这里面涉及到与对数有关的定义问题，也是一类非常重要的基本题型。根据我们前面定义域的求解依据，我们知道这个一定可以得到3减log以二为底X对数是恒大于等于零的，还有对数的真数大于0，这是一个条件，然后解这个不等式就行了。下面这个不再说了，我们看上面，上面我们把它转化成log，以2为底X对数小于等于3。三化同底之后就变成log一二倍的2的3次方的对数，那就是8。所以说上面就可以得出X大于0小于等于8，和它取交集还是大于0小于等于8，所以说此题的定义域是0到8左开右闭的一个集合。好，下面我们来简单的回忆着说一下，对数这一节我们讲的时间相对长一些，因为它比较的重要。可以说对数的基本功影响到高中数学很大一部分的分数。希望大家在复习的过程当中要加以重视，这个重视的程度越高，你将来这一块的底子它就越厚。好，本期视频我们就讲到这里，下一期我们再见。