同学们好，今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏第六节，函数的奇偶性与周期性。首先我们还是来看知识梳理部分的第一个奇函数，偶函数的概念及其图像特征。对于奇函数来讲的话，那么只要满足F负X等于负的F负X或者是F负X等于负的FX即可。那么偶函数只要满足F负X等于FX即可。我们看如果你要有这两个式子成立，我们来看一下定域要满足什么样的条件。你们看一下对于奇偶函数的定义来讲的话，只要你有FX必然有一个F负X与之相对应。换句话说，只要你定义里面有X必有负的X这就说明了函数FX定义域一定要关于圆点对称，这是一个前提条件。换句话说，如果说一个函数的定义不关于原点对称，那么这个函数一定是非奇非偶函数，就是既不是奇函数也不是偶函数。好，还有这个X是定域内内成立的一个X这个一定要得注意。只要满足F负X和FX互为相反数，那么就是奇函数。只要有F负X等于FX那么它就是偶函数。这里面图像特征的奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于Y轴对称。好，下面我们来看一下周期函数。所谓周期函数只要对于函数Y等于FX如果存在一个非零的常数T使得当X取定域内的任何值的时候都有FX加T恒等于FX那么我们就称函数Y等于FX为周期函数，而且把这个常数T称之为函数的周期。这里面我们引入一个最小正周期的概念。如果说在周期函数FX所有的周期中最小的正数，所以是最小的正数，我们把这个最小的正数我们就称之为FX的最小正周期。好，我们来看一下一些常规的结论。首先第一个结论，如果一个奇函数FX在原点处有定义，GF0有1，那么一定会有F0等于0，这是第一个重要阶段。这个我们简单的来解释一下，因为奇函数的定义里面会有F负X等于负的FX我们就直接令X等于0，那么就得到F-0，就是F0等于负的F0。所以说由这个E得F0就等于0，这是第一个重要阶段。我们再看第二个重要阶段，如果函数FX是偶函数，那么FX就等于F负X就等于FX绝对值。你们看去掉这个绝对值之后，它是相等的。其实对于里面加绝对值的图像，我们可以进行分段。当X大于等于0的时候，去绝对值不变号，那就变成了FX当X小于零的时候，你就变成了F负X很明显根据偶函数的定义，由F负X恒等于FX所以说这两个是相等，而且都等于FX绝对值。好，这是第二个结论。那我们再看第三个结论，对于有些函数它是既是奇函数又是偶函数这样的类型，只有一种GFX等于零还是属于D对，这个D一定是关于原点对称的非空数集，一定要切记，是关于原点的对称非常数据。实际上就是说如果一个函数即是奇奇函数又是偶函数，它一定满足F负X等于负的FX而且F负X等于FX你们看将这两个式子联立消去F负X所以说我们可以得到FX就等于负的FX移过来就是两倍的FX等于，所以FX恒等于0乘以，这是第三个重要的阶段。我们再看第四个，奇函数在两个对称的曲线上具有相同的单调性。而偶函数在两个对称的曲线上具有相反的单调性，就是他们的单调性不一致，一个是一致，一个是不一致的。这个根据图像它的对称性的特点很容易也很容易判断。好，我们看再看第五个，偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大值或者是最小值，那么取最值是自变量互为相反数就可以。但是奇函数在对称两个群的最值互为相反数，取最值是自变量也互为相反数。比如说我们以奇函数为例，假设这个奇函数的图像关于原点对称它是过原点的，那么我们看它在大于零上，如果说有一个在一处有一个最大值2，那么根据基函数图像的对称性，我们知道他一定是过-1-2这个点。如果你过一二这个点，而且这个一二是在大于零的区间，是最高点，所以说我们可以得到当X大于零的时候，它有最大值2。那么同理在小于零的时候，一定有一个最小值是-2，而且就是在自变量取负一的时候，它有最小值。你看这是不是符合刚才基函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数。取最值的时候这变量也互为相反数，我举其中一个奇函数的这样一个例子，帮助大家来理解这样一个重要结论。好，下面我们来看第二个周期性的常用阶段，设函数Y等于FXX除以RA是大于零的。第一个结论，若FX加A等于FX减A则函数的周期为二A好，我们把这样一个推导，我们用迭代法来推理推导。那么对于第一个我们就以X加A来代换X注意是代换X得到左边就是FX加A再加一就是X加2A等于FX加A减一就是FX你们看这个常数就是A，所以说T就是A，这是第一个。第二个我们看如果满足这样一个情况的话，我们看这个周期为什么也是2A呢？好，还是一样的。我们以FX加一来代换X得到FX加一再加一就是加2A等于负的FX加1，那么这个由刚才的证明FX加一又是负的FX所以说它就是负的FX那么去掉括号之后，你就变成了FX所以说这个周期T就是2A第三个一样的，其实这个位置哪怕你改成常数K都是一样的，所以说这里面我们拓展一下，这个分子的位置可以是K任意长，非零的长处都是可以的。比如说我这个迭代的时候，还是以X加一来迭代，我们可以得到FX加2A等于FX加A分之一，那么FX加一加1分之1和FX互为倒数，所以说这个就还原变成FX所以说周期也是2A同理，如果这里面的前面有一个负一，也就是说不管你这个上面是正一还是负一都是可以的。所以说我们有一个通用阶段，只要满足就推到和上面是一样的，等于分之K的形式。这个K是非零的一个常数，这个周期T都是一个A对，这些T都是2A，这是周期的几个结论。那我们来看一下对称性的几个结论。如果函数FX加一是偶函数，那么GFA减A减X就等于FA加X就是以负X替换。那么这个时候函数图像关于X等于A对称。其实你们用平移的知识也好理解，比如它是偶函数，由它必须向右平移一个单位，那么这个数就变成FX你想你原来的对称轴是X等于0，你向右平移一个单位，那不就相当于里面这个X变成X减A再加上一个A左加右减上加下减，用这样一个平移的这个结论来理解就OK了。所以说它会有这样一个式子，这个是还有一个等价变形。如果说我们以X减一来代换，A减去X再加一就变成了F2A减X恒等于FX那么这个和FA减X等于FA加X它俩是等价的。那么这都说明了这个函数图像关于X等于A对称。好，这是第一个结论。然后我们来看第二个结论，对于R上的任意X都有F2A减X等于FX或者是F负X等于F2A加X那么它的图像也是关于原点的对称，就是我们刚才证明过的，这个不再多说了。然后我们来看第三个，若XFX加B是奇函数，你想你是奇函数，你一负X替换里面的就变成F负X加B等于负的。FX加B这是由定义推出来，那么它就等价于上面的这个式子，F负X加B加上FX加B就等于0。那么这个图像是关于10对称那根根据那个图像的平移一样的比较好理解。同样它也有一个等价变形，就是F2B减X是等于负的FX这个结论也是关于B0对称，也是用迭代法，就是以X减B来代换X就可以得到我下面这个式子。好，这是对称的三个常用的结论，我们就讲解到这里。然后我们来练一些题目。首先第一个，下列函数是偶函数的。好，这里面有一些结论就是EG就是两个函数来说，FX和GX来第一种情况对于两个函数相乘的时候，奇函数乘奇函数就是偶函数。所以奇函数乘奇函数这个是等于偶函数。那么奇函数乘以偶函数，就等于奇函数。其他的偶偶函数乘奇函数和奇函数和偶函数一样，对于偶函数乘以偶函数，它还是一个偶函数。那么对于奇函数加奇函数，很明显它是一个奇函数，偶加偶那就是一个偶函数。但是7加5不确定，这个一定要注意，7加5不确定。比如说我们举个例子，比如说FX为奇函数，GX为奇函数，为什么两个相乘是奇奇还是偶呢？你可以构造一个新函数是FX乘以GX那我们看H负X这个H负X我们可以推出它是F负X乘以就G负X那么FX介入，所以说F负X就是负的FX而G负X就是负的GX2个负号抵消，接着它就变成FX乘以GX那么就变成了原来的HX所以说由F负X等于。负X等于HX所以说HX就是一个偶函数。那么同样两个相加一样，你比如说你构造一个UX如果说等于两个奇函数相加，或者是两个奇函数相减一样的两个极限数相加，那么EU负X那么就是F负X加上一个G负X把负号都提出来，那么不就是负的FX加上一个GX所以说就是负的UX所以说两个奇函数相加，它还是奇函数。剩下所有的都可以用这样一种定义法来判断。对于抽象函数而言，好，我们来看一下X我们这是个奇函数sine x也是个奇函数，两个奇数相乘的就是偶函数，所以说A选项这是对的。那么第二个明显它不是奇函数，它不是偶函数，这个是中间二次函数偶函数一次项系数必须为零，所以它就不对。第三个一级加有偶不确定对吧，这个也不对。然后我们看第四个，第四个我们来看一下F负X加上一个FX那么就等于log以三为底根号负X平方还是X平方加一减去X这是F负X加上一个log以三为底根号下的X平方加一再加上一个X那么对于根据对数的运算，两个相加等于正数相乘，那么就变成根号下X方加一减X乘以根号下X方加一加X那么两个相乘的可以用平方公式，这个就可以得到X平方加一减去X平方刚好就等于log以三为底一的对数是恒为零的。所以说FX有可能为奇函数。为什么我们说有可能？因为我们还没有判断定义域，所以说对于大家看ABC这三个选项，他们定位都是全体实数。很明显关于原点对称，所以说它可能具有奇偶性。那么对于第四个选项，我们来看一下定义域也是全体的思路。因为X平方加一肯定恒大于X的绝对值，所以说X既然这样的话，两边加X指缝一定大于X绝对值，加X明显是恒大于零的，这是很明显D选项，它不是偶函数，它是一个奇函数，而B和C它是非奇非偶函数。下面我们来看第二题，已知定义在R上的函数FX满足对任意实数X都有FX加3等于FX减3，而且还有F负X等于FX好，我们来看一下，这里面我们可以推导周期。实际上大家以后如果说学的很熟练的话，一个函数图像关于一个点，关于两个点对称周期就是这两点横坐标的绝对值之差的绝对值，关于两条线对称也是这两条线的水平间距，就是半个周期。一个点是对线，就是关于一个点对称，就关于一个线对称，那么就是点和线之间间距一定是它的4分之1周期，我们可以类比3角函数来积。这里我们来看一下，对于任意的事物都有这个事成立。既然都有这个事成立的话，我们知道这个周期就是以X加3来替换，一定可以推出FX加6等于FX所以说周期七就等于6，这又是F负X等于FX就说明它是一个偶函数，-3到0的解析式。知道。好，现在我们用2018除以6，我们看余几，余几就是F几。就是说如果说函数的一个周期为T一定会有N倍的T一定等于FX加T是恒等于FX这样一个性质是成立的。好，我们用200 2018除以6三六十八点21三六十八38六六三十六余二。那换句话说，我这个2018我们可以拆成6乘以336一个二，所以根据周期的定义，F2018就应该等于F6乘以336加上一个二。所以说这个是恒等于F2。好，根据偶函数的性质，F2就等于F-2，F负二就可以套这个解析式，所以说它就等于log以2分之1为底6加上一个分，这个我们就综合来表示，又加上一个分，那么就等于log以2分之1为底四的倍数，所以说这个是等于-2。因为2分之1的负2次方，它就是是，所以说此题的答案选B，这是第二题。下面我们来看第三题，第三题已知定义在R上的函数FX等于二的负的X绝对值，那么再看这三个值。首先我们来把这个函数图像给画出来，那么这个FX我们可以写成2分之1的X绝对值的图像。它的图像是这样的，因为它一定是偶函数先画大于等于零的图像方向是这样的，是单调递减，小于零的部分是关于Y轴对称。最高点是一好，我们来看一下里面的三个自变量的值。三个自变量值首先对于log g一就是AR log以2分之1为底三的对数，这可以转化成负的log以二为底三的对数。所以说这个A等于F负的log以二为底三的对数，根据偶函数的性质，它一定是等于f log以二为底三的对数，这是A我们来看B就是f log以二为底5的对数，C就是F0，那么零处对的是最大值，对不对？所以说这个C就等于一，这是最大的以二为底三的对数，一定是小于以二为底5的对数，他们都是比一大的。因为一就是log以二为底2的对数，只要底数是二是大于一的一个数，它就得到递增。所以说那个一二为底三的对数在这里，那个一二为底五的对数在这里，所以说你这个以二为底三的对数对应的是A以2为底5的对数对就是B因为它在零的正方上是单调递减，所以说最后这个结果是C大于A大于B此题答案就是选D好，下面我们来看第四小题，函数FX等于负X方加上2加X绝对值分之6，若使不等式成立，求这个X值还是一样的。我们要判断奇偶性，然后利用单调性来解。首先很明显这是一个偶函数，这个是偶函数就是你或者用定义F负X就是负的负X平方，还是负X方加上2加X绝对值，还是2加负X绝对值，还是X绝对值分之6。所以说它恒等于FX很明显FX为偶函数。我们来看一下，当X大于零的时候，我们判断单调性。当X大于零的时候，那么FX等于负的X平方加上一个2加X就是说我们会用快捷的判断方法，这个负X方开口方向向下，它是单调递减，在零到正50大方，同样这边下面零到这种车道上，随着它的增加的时候，大家注意，增加的时候，增加的时候，这里下面也是增加了。反过来倒过来之后，它也是单调递减。两个单调递减相减相加，它一定是单调递减的。那么对于这样的函数的草图，我们可以这样来画。取零的时候我们可以来口算一下这个F0就等于0，就负零的平方就是0，加上一个2加0分之6，很明显可以得到这个值是三单调递减。我们画一个大致的草图即可，画个大致草图，这个对比剖线了。那么这里你要满足F这个，我们来做一个一，其实你把一代去计算一下也可以，这是一一竖我们来看一下F1是几，F1其实不计算也可以，F1的话就是负一加上一个6除以2加1，这是一。F1其实就是一。你们看F2X减3小于F1的图像，就是我图中加粗的部分，加粗的部分，这些值都比F1小，就是这条横线，就是Y等于F1这条直线。那么与函数图像交点的横坐标一个是负，一个是一。换句话来说，只要你这个2X减三这个整体大于一或者是小于负一的时候，那么这个时候的值都是比F1小。所以只需要满足2X减三大于一或者是2X减3小于负一，然后分别解出来就可以了。第一个我们口算2X大于4X就大于2，或者是第二段2X减3小于一，就是2X小于2X就小于一。所以此题的答案是选C，这是第四小题。那么接着我们来看一下第五小题定义在R上的奇函数，FX满足FX减2等于FX加2。这个很明显，由前面的定义我们知道这个X加4就等于FX周期为四。周期既然为四，那么这个F9就等于F周期的2倍，就是8加1，这个是等于F1。F1又等于负的F负一。根据奇偶性的定义，F负一把负一带到这个解析式里面，那么就变成了三的负一次幂减一口算三的负一次幂就是3分之1减1-3分之2，前面再加上一个负号就是3分之2，所以此题答案是3分之2。今天的这个视频我们就讲到这里，感谢大家的收看。中间有任何问题你们可以私信我，谢谢，下期我们再见。