同学们好，这期视频我们继续来讲解高中数学基础知识，梳理第五集函数的单调性与最值。下面我们来看一下函数的单调性。首先我们来看一下单调函数的定义，这里主要涉及到两个概念，一个是增函数，一个是减数。这个定义也比较简单，一般的设函数FX定义域为I如果对于定义域I内的某个区间地上的任意两个变量值X1X2，当X1小于X2的时候，很有FX1小于FX2。那么就是说函数FX在D上是增函数，所以由图像我们可以知道是这样一个趋势，震荡趋势。就由左向右看图像是上升了就可以了，那你就像爬坡一样，对吧？越随着X值增大，你这个在走上坡路，那就是上升了。从左往右看图像是下降的，我们就称函数在这一段等到递减。那么由定义我们知道当X1小于X2的时候，都有FX一大于FX2。那我们就说函数FX在区间D上是单调递减的。这两个定义是比较简单的。那么我们来看一下单调区间的定义。如果函数Y等于FX在区间D上是增函数或者是减函数，那么我们就说函数FX在这一区域上具有严格的单调性。所以这里面第一个空我们填增函数或者是减速，所以说我们就称它是具有单调性。这里面包括两个，一个单调递增，一个单调递减，其中这样一个区间D我们就称之为单调区间。所以说这里要么是单调增区间，要么单调减区间。下面我们来看一下最值的定义，这个前提是什么呢？如一般的设函数Y等于FX定义为I如果存在实数M满足第一个对于任意的X属于I首先很有你这个FX是很小于等于这个大M而且存在一个X0属于R使得FX0等于大M这个时候大M就是最大值。同理对于任意的X属于I都有FX大于等于大M而且存在一个X0属于A，使得FX0等于这个大M那么M就是最小值。注意，对于最大值和最小值的定义，尤其是第二个条件都是缺一不可的。咱们很多同学刚开始看这个概念时候有些理解不了。我可以给大家举一个最大值的例子。比如说你画一个图像，你这个区间比如说是0到2上，我任意画一个这样一个抛物线，比如说这个是一处取的最大值2，假如你选一个值M你这个M值是3，你选了这个三的话，我们会发现FX是很小于等于三的，这个肯定没有问题。但是你找不到一个值，就在0到2，你找不到一个区间值是等于使得这个函数值是等于三的。所以说三并不是它最大值。但是二是可以的，你所有值都是小于等于2，而且我可以找到一个值，至少找到一个值X0取1的时候使得F1等于2，所以说二就是函数的最大值。这个解释希望大家能够理解。下面我们来看一下有几个常见的结论。首先看对勾函数，这个是咱们不管是老高考还是新高考地区，必须要掌握的一个最重要的一个函数。首先看对勾函数的形式，它是形如Y等于X加X分之1，这个增区间和减区间大家一定要做到先理解。后记在此我可以先把函数的这个套图画给大家看一下。实际上这有一条渐近线，这个渐近线实际上就是Y等于X这条经济线。以前在老的这个叫做承托函数，可能有些同学不知道这个是乘除函数。画图的时候我们可以这样来画这接近线，这个最低点的坐标就是根号一，那么根据它是一个奇函数，所以说这边对称的这边有一个负的根号一。那么最小值，我们可以把这个根号A带进去，发现这个最小值就两倍根号A那么在沪深大道零上的这个对称有一个负的两倍根号A也就是对应的是最大值。好，这是证明的时候，怎么证呢？我们可以用定义法来证。比如说我想证明Y等于X加X分之1，在负无穷大到负A一上是单调递增的。或者你证明这个函数在根号一到正上也是单调体的，怎么证呢？就任取两个值，这是**作。大家可以看一下。比如说我们把这个证明一下，我只证明这个第一个区间，我们就任取X1X2属于负无穷大到负的根号A且我们满足X1小于X2直接做差，那么则有FX1减去FX2之差是等于X1加X1分之1减去X2加X2分之1。好，现在我们把X1减X2合并到一起，X1分之1减去X2分之1也合并到一起，我们就可以得到X1减去X2，加上一个通分X1X2分之A倍的X2减去X一好，继续提公因式，合并同类项化简得到X1减去X2。那么后面我们可以写成X1X2分之X1，X2减去一个A就可以了。那么由X1减X2小于0可以知道，第一个因式是小于零的，第二个因式大于0，因为两个都是负值。第三个，既然X1小于负的根号一，X2是小于等于负的根号A所以说X1乘X21乘编号，那么就大于A那后面是一个大于零的，所以说最后这个整个值就小于零了。整个值小于0，所以说FX1，那么就小于FH2。根据前面咱们讲的增函数的定义，很明显它是单调性的，同理可以证明其他的区间的单调性，就是我们刚才讲的这个性质的这个结论的判断性。好，这是第一个结论。我们就讲解到这里。我们来看第二个结论，设任意X1X2属于A到B且X1小于X2，所以这是一个它的一个等价变形。你们可以随便找一个，比如说你X1小于X2的时候，这边是负值，那后面肯定也是一个负值。所以说X1小于X2的时候会有FX1小于FX所以单调递增的其实没有这么这个条件的话，它也是单调递增的。你比如说你这里面无外乎H1，就是只要X一不等于X2，那么X1小于X2的时候，这边也是小于号，那么它大于它这边也是大于号，就是变化趋势一致，那就可以了。所以说FX在A到B上它是增函数。同理如果说两个相乘小于0，那就是减函数相乘小于零就等价于相除小于0。所以说这个也是单调递减函数的一个等价变形。以后你们在做题的过程当中，不要不要只想到第一个，那么第二个和第三个这种形式实际上就是告诉我们是单调增还是单调减的，这个大家一定要注意，要认识它。第三个结论，若函数FX在B区间，A到B上是正函数。那根据单调递增的定义，Y随X值的增大而增大，那就单调递增或者是减小，而减小也是单调递增的。换句话说X值越小你Y值就越大。所以说在A到B上如果是增函数，那A是最小的，反而取得在A处取得最不是单调B那是变化取得一致，就B是最小的那你函数值就是最小值，这最小值就是FA最大值就是FB反之如果说是单调递减了，那么最小值就是FB最大值就是南非，这是根据单调性，利用单调性求最值，这是一个最基本的原理。下面咱们来看一下几个重要结论的。第四个结论就是复合函数的单调性。这里面有一个重要的法则，叫做同增异减的法则。具体的步骤，你们就可以按照我上面写的这个四个步骤。第一个，首先确定单调性，任何时候都有一个定义域优先的原则，这个是非常重要的优先的原则。第二个，将复合函数分解为基本初等函数，也就是换元法，所以复合函数的一个常见解法就是换元法。换元之后咱们来看一下，这个是内函数，这个是外函数。内函数的自变量X就是整个复函函数的自变量，内函数的因变量就是外函数的自变量。你们可以看一下，外函数的因变量就是整个复合函数的因变量，这是它们三者之间的关系。第三步就是分别确定这两个函数的单调区间，注意就是分别确定单调区间。第四个，若两个函数在相对线上同增或者同减，整个函数在内函数区间上是增函数。如果一增1减或一减一增就是变化趋势不一致，就是减函数，简称四个字，同增异减。下面咱们来练几道题，顺便由这几个小例子来对基本概念进行一个理解。首先第一个，下列函数中在区间零到正数当上为增函数的是？首先根据定义域，我们的这个定义域是谁呢？大于等于负一，自然而然零到这种地方是定域的一个子区间，这个没有什么问题，而且确确实实是单调递增的这第一个是对的那我们来看一下第二个，第二个这个那就不行了。第二个这个三角函数，我们知道它在零到正琼大小，你们可以看由这个图像可以看出来是有真有减，所以这个不对。第三个是一个单调递减函数，因为这个可以化成2分之1的X次幂，底数是大于零小于一就是单调递减的，这个也不对。第四个只要这个底数是2分之1，Y函数是单调地点。就像刚才一样，我们换元可以写成log，以2分之1为底，又的对数是外函数，那么内函数是U等于X加一是单调递增的，外函数是单调递减，变化趋势不一致，那就是单调递减的。所以第四个也不对此题答案选A下面我们来看第二个练习，已知F已知X大于Y大于0。有同学说老师这四个题我们好像不用单调性来做也可以，你直接做差，什么都行。这题我们还是想用构造函数，利用单调性来判断这个不等式。这也是高考选填题，包括做一些大体的一个重要的技巧，利用单调性来判断不等式，或者是判断并证明或者是比较大小。首先第一个我们可以写成X分之一大于Y分之一，这样的话我们可以构造FT等于T分之一这样一个反比例函数。只要上面的K是大于零的，那么它在两段区间上零到正无穷大和注意单调区间不能用并集和负，无穷大到零分别都是单睑的，所以说X值越大倒过来就越小。那么第一个就错了，这应该是小于号，因为X大于Y倒过来就是小于号。第二个，我们构造一个FT等于cosine t这个函数，cosine t在零到正数上也是有增有减的，这个也是错的。第三个，我们构造FT等于2分之1的7次方，这个是单调递减。你们看一下它这个是单调递增才可以。因为它是2分之1X要大于2分之1的Y次方，也就是说是FX大于FY那才可以，这个也是不对的那只有第四个才能就是它是，所以此题的答案是D因为第四个我们可以构造一个FT等于烙印T这样一个对数函数，根据底数是一大于一的，所以说它是单帧，这个是满足题意的。好，下面我们来看第三题，已知函数Y等于FX图像关于X等于一对称且在一到正负上单调递增。那么比较大小这个就是利用单调性比较大小，这也是一类基本题型。下面我们来画一个草图，这个是X轴，这个是Y轴，你就是你要抄在纸上的时候，你可以打，你可以不打，这个无关紧要。但是在具体算的时候，这个对称轴及其位置一定的标准，也就是我经常说的草图可以画，但是一定要做到草图不草。这个不草的草字的什么意思呢？就是关键线及其位置一定要的准确，谁高谁低，这个不能画的太不太离谱了。这个是X等于一，这条线既然在一到正琼大上单针又对称，所以说负无穷大到一定是单调递减的。这里我们可以画一个抛物线的形式，可以类比你画折线也可以，无所谓，只要能满足它是关于X等于一对称，而且依照正负上单调递增，那就可以了。那么设A是X等于负的0.5，好，我们来看一下-0.5的位置在这里，这个就是负的0.5，就-2分之1，还一个是二，那么还一个是三。大家看这几个值，我们由图像可以发现，水泥对称轴一处近谁的函数值就小，谁离一远就自变量的值，谁离远谁的值就大。所以说根据对称性，我们知道2到1的距离是13到1的距离是2，-0.5到1的距离就是一加0.5是2分之3，就是1.5。所以说三级的语言三最大，那么就C最大，然后这个F-0.5居中，B是最小的。所以说这个答案是C大于A这个大于B此题答案只能选B。这个是利用单调性和图像结合起来看的这是一个中档题，希望大家给予重视。我们再看一下第四题，已知函数FX它是一个分段函数，你看又来这样来，这个也是一个常规题型，它在R上单调递减。大家注意对于分段函数在整个地域上单调递减的解决方案有两个。第一，先保证每一段都是单调递减的。第二个你要在整个函数流域上由左向右看，整个是一有水的单调递减才可以。你比如说他这个是从一处一分为二，一分为二的话，你首先保证你看负无穷大到一上解了。因为它是直线型的，我们可以画成直线，这就画成曲线的，画成直线，这是大家理解的。所以这个位置是个实心的左端的，左端的是1元1次函数，必须大家理解。右端反比例函数也是单调递减的，也是单调递减了。那你这个图你不能化成24象限，你只能画成24象限，我们都是单调递增的，一三象限才是单调递减的。那我们图是只能这样画，你看这样画单调递减，这样画也是单调递减的。这样画这边是XY轴四条经济线，对吧？看一下好了，而且要保证前一段的最小值大于等于后一段的最大值，这样的话才可以。你比如说你要画直线的，画下面来了，但是剪了之后突然又增了，又往上增了之后设计那就不行了。所以说要满足两个条，第一段每一段都是单调递减的那我们可以表示成A减3小于0。一次函数K小于零就得到递减了。反比例函数2A大于零就是单调递减了，这是保证的。然后前一段就是区间处区间的端点处一处并带进来，那就是A减3乘以一加上一个五，这是左端的最小值要大于等于右端的最大值。也把一代进去，那就是2A解这个不等式组就可以了。第一段解出来是A小于3，第一第二个不能是解出A大于0，第三个口算这个2A减一是A小于等于5，减32A小于等于2，然后三段取交集，所以说A就大于0小于等于2，所以说此题答案选D好，这个题是中档题，还是有一点难度的，希望大家给予重视。好，下面我们看第五小题，这是一个非常常规的基本题型。这是分式函数，我们用分离常数法来解。分离常数法我们把分子配凑和分母一样的，我减个一再加个一除以X减1，分离X减1分之X减1，就是一再加上一个X减1分之1。实际上这个函数就是由反比例函数Y等于X分之一，然后向右平移一个单位变成Y等于X减1分之1，然后再向上平移一个单位变成Y等于一，加上一个X减1分之1，这就完成了。所以说我们来看一下这这样的图像，我们在画的时候可以这样来画，原来是渐进线是XY轴向右平移个单位就变成X等于一这条线了。然后整个图像再向上平移一个单位，那就变成Y等于一，两段都是单调递减的，这是第一段。那么第二段我们开始经过00这样一个点，就这样的话这两张图像所以说它在2到正琼大上二到正数拉长图像对应的就是我图中加粗的部分。大家看我这个加粗的部分，这一段它是单调几点，所以说二处取得最大值，把二带去就是2减1分之2，这个最大值就是2。好，本期视频我们就讲解到这里。如果说你在学习的过程当中有遇到什么问题，大家都可以来私信我。好，感谢大家的观看，下期我们再见。