同学们好，今天我们继续来讲解高中数学基础知识，梳理第四节函数及其表示。我们来看一下函数的概念。说到函数的概念，在初中时期我们已经接触过函数的概念。我们知道函数它是刻画的变量之间对应关系的数学模型和工具。你比如说在正方形中的周长L与边长X之间，它会有一个对应关系，包括时间、速度、路程之间也有一个对应关系。这里在可以说在14 15世纪早期的时候，会有一个函数的最原始的或者是最朴素的定义。所以这里面我们来谈两个最基本的定义，一个是最原始的定义，还有一个是最近代定义，也叫现代定义。我们来首先来看一下最原始的定义或者叫朴素的定义。这原始的定义是什么意思呢？就是对于任意的两个变量XY其中Y是随着X的变化而变化。我们就称这个。Y是。X的函数。其中大家注意X是自己在变化，最终我们就称X为自变量。Y是因为X变化，而变化我们就把Y称之为因变量。相信这个大家都不陌生。然后我们来看一下这个静态定义。这个近的定义也是我们这节课的定义。我们看一下他说的是设AB都是非空的数集，所以这里面对AB两个集合要求都是数据。那么如果按照某种对应的关系F使得对于A集合中的任意一个数X在B集合中有，且只有唯一的确定的数FX与之相对应，我们就称这个对应法则。或者是对应关系F是集合A到集合B的一个函数，我们就记，所以这是一个记号，GY等于FX其中X是属于A集合的，X叫自变量，X取值范围我们就称之为函数的。这里有我们要填的款叫丁语，与X的值相对的，Y的值我们就称之为函数值，函数值的集合我们就称之为函数的值域。显然值域是B集合的子集，换句话说B集合可以有多余的元素。在这里面有一个重要的概念，就是函数的三要素，就是函数的定义域，函数的值域还有对应关系，这里要说到这个函数的概念的发展，我们不得不谈一下，你像这个函数的在英文里面有一个单独的单词叫方形，就是FUNCTION这样一个英文单词。实际上最早使用这样一个词的时候，是由德国的数学家叫莱布尼兹。他在1692年的时候是首次使用翻译的时候是咱们中国清代的数学家，叫李灿男。在1859年就是这个李赛楠。当时是有据说是在1859年和英国的一个传教士叫韦列亚利合一的，叫戴维及十级中首次使用这个方形移动这个函数。这是函数的概念的一个由来，大家要注意，实际上这个概念真正提出的是德国的数学家，又是德国的德国数学家叫狄利克雷。在1837年的时候首次使用的就是我们现在的这个定义。1837年你们可以想一下距离现在有多少年了。当时滴滴克雷说如果对于X的每一个值，Y总有一个完全确定的值与之相对应，那么Y就是X的函数，这个是可以说是现代定义。当时因为集合论还没有产生，我们知道集合论是在19世纪末的时候产生的。当时这个集成任务完善之后，他把滴滴颗粒这个函数完完全全的把它刻画的非常的完美，也是我们今天的这样一个定义，这个定义我们就先讲到这里。下面我们来看一看一下函数的表示方法，跟初中一样，这里面有三种表述方法。第一个是解析法解析，也就是说我们用解析式的方法去刻画函数的对应关系。第二个是图像，第三个是列表法。这里面我们还介绍有一个分段函数，就是在地域的不同范围内，函数有不同的解析式，我们就称这类函数为分段函数。这里我们填四个字叫做分段函数。分段函数注意，虽然说它是在地域内不同的范围对应的解析系数是不同的。它并不是多个函数，要注意分段函数就是一个函数。比如我们举个例子，我们举一个我们高中阶段比较神奇的一个函数，叫符号函数。相信大家都遇到过或者是见过符号函数。这个符号函数我们用英文字母的简写，就是那个英文字母signal的这个简写，SGN简写。当这个X大于零的时候，大家注意当X大于零时候，它对应的解析式十一，等于0的时候对应的是零，小于零的时候对应的是负一，这是符号函数它的定义。这个时候我们知道X取不同的值的时候，它的解析式是不一样。所以这里面我们看一下这并不是三个函数，它是一个函数。我们看分段函数的定义域，它是各段定义的并集，所以这里面我们填并集。而值域它是各段函数值域的并集，所以两个都是并集。最后并完之后，它是一个函数，所以它是一个函数的，就是最终是整个分段函数的值域。定域并起来之后是整个分段函数的定级，就整个各个函数的定义所以说这里大家要注意对这个概念进行理解。你比如说这一道题，那么它的定义就是全体实数。R. 那么它的值域就只有三个，10-1这三个，这是它的值域。下面我们来看一下第三个知识点叫映射，映射。大家注意对于老高考地区，这个还是要再注意了解。新高考地区我们不作为，必须要的会的内容你们了解就可以了。这个对于你们上大学之后学高等数学也是有帮助的。在这里面我们点一下这个概念，我们设AB都是非空的集合。如果说按照某种确定的对应关系F使对于集合A中的任意一个元素X在B集合中都有唯一确定的元素。而且是一个确定的元素，或者是游戏只有一个唯一确定元素与之相对应，我们就称这个对应关系F是A到B的一个音色。你看我它和这个函数的区别是什么呢？函数的AB两个集合必须是数集，而我这里面可以不是数据。那什么意思呢？比如说举个例子，比如说A集合，我们比如说A集合里面咱们可以弄三个明星人物，哪三个呢？比如说王一博、肖战。比如说我们第三个明星人物杨密，那么B结合我们弄三个水果？比如说苹果梨橘子，比如说甚至我们再。写一个头。比如说王一博爱吃苹果，肖战爱吃梨，杨幂爱吃桃子，这样的话大家看啊它就可以组成一个颜色。比如说你说老师我这样行不行呢？比如说王一博既爱吃苹果又爱吃梨，他一对二行不行呢？那就不行了。有人说老师，那我他三个都按词离行不行？那你就可以。所以说从这个意义上讲的话，映射可以一对一，可以多对一多对一，但是不能一对多。B集合中可以有多余的元素。那么反映在函数上，我们回到前面的这个定义。如果反映到这个函数上，大家注意如果说你在图像上来表的话，表示的话，那你们看我这个，比如我画一个抛物线，只要你做一条竖直的直线，比如说X等于X0与函数图像最多只有一个交点。如果你有多个焦点的话，那就是一个X对应多个Y那是一对多的关系。那就不是不满足这个函数的概念，他从刚才我们讲的映射和函数的定义来讲的话，函数说白了就是一种对应关系，而且它是一种特殊的映射函数，一定是映射，但是映射不一定是函数，这个一定要的注意。因为函数它AB的金额必须是数字一好。那如果你你们看啊对于抛物线来讲的话，你要画一条横线，它会对应有两个X值。换句话说它会出现二对一的关系，就是多对一也是符合函数的这也是可以的。这个我们就第一我们就讲到这里。然后我们下面来看一下，有两个重要的结论。第一个定义与对应关系完全一致的两个函数是相等函数。这个一定要注意，也就是我们判断两个相等函数只需判断定义域和对应关系是否一致。如果这两个一致，值域自然而然都是一致的。本来我们先来定义就是三个要素完全相同，那么这两个函数就是同一函数。还有这里面我们再说一下，比如你写个FX等于X平方，X大于等于0。如果说你要写一个GU又U是GU就是U方U也是大于等于大家不妨可以将视频暂停思考一下，那这个是不是相等函数呢？好。这里我可以。明确告诉大家，这两个函数它是相等函数。因为它的定义域是一样的，对应关系也是完全一致的，这个是没有什么问题的。你们不要看到老师他是一个X它是一个U那怎么能一样呢？那字母都不一样，所以这个字母就像你今天穿白色的衣服，明天穿黄色的衣服。那你说你这个人变没变了？没有变对吧？还是你这个人一样的。好，我们再看第二个，与X轴垂直的直线与一个函数的图像至多有一个公点，就是我们刚才点掉了，这是两个重要结论。下面我们为了把这个概念理解的更透彻一点，我们再刷几道题。这里首先第一个函数的定义域怎么求？对于给定函数的解析式给定函数解析式的定义，我们有这样几个求解依据。第一个，分式的分母不能为零。第二个，偶次方根被开方数要大于等于0。第三个，指数函数和对数函数的底数大于零且不等于一。第四个零次幂的数不能为零。第五个，一些特殊函数如正切函数，它的定义域是X属于R且X不等于K派加二分之派可以属于Z等等。这些常规的求解依据大家一定要熟练。在这里我们看第一小题，根据我们刚才所讲，首先满足偶次方根被开，就是偶次根式被开方数X加1，这个整体必须是大于等于零了。第二个分母不能为零，把这两个一解结算取交集，那么这个答案就是大于负一且不等于一，就是-1到1并上一个一到正负纳，所以此题答案选D注意定义域必须用区间或者是集合的形式来表示。假如说人家是一个填空题，你最后这个结果你写成X大于号负一，大于等于负一，且X不等于10分，它是没有分数的。因为定义域必须是用集合的形式来写，或者是用区间的形式来写，这个格式大家一定要知道。我们再看第二个，这是一个分段函数，那么这个分段函数的值域是R对于实数A的取值范围是什么呢？这里我们可以根据图像法来解，那么根据哪一个确定，我们先把哪一个解一下。大家看第二段，第二段我们知道对于ln x这样一个函数底数是一一，我们这是大于一是单调递增。所以说第二段就是ln x一定大于等于ln一就是0，所以第二段的值域就是零到正。的无穷大。好，我们可以画出这样一个草图，对于右半部分的大于等于一的重要是这样的，是单调递增的对数函数。左端大家看它是一次函数。首先A不可能取得0，如果A取到0，但是Y等于一这条直线这个值域不可能是R而且大家看一下对于一处的一个分界线，假如说你是这样画的，如果你是这样画的话，那就不行了。因为你的职业在负无穷大到零上是没有的，哪怕你是往下画的话也不行。这它只能是单调递增的一个直线一次函数。而且让你上面的这个一处的分界值一定要大于等于0。这样的话我们这个函数图像对应的Y轴上的值就是值域，它才可以取得全体值。好，这样的话我们把这个一处对应的函数值代进来，我们可以得到一概率口算，那就是-2A加上3A再加上一就等于1加1。所以说这个位置的值就是一加。所以说当其紧张A加一大于等于0的时候才满足这个题，这是第一个，而且满足单调递增。单调递增就是-2A就是开口，不是，就是这个单调递增。就是对于医院意识函数来说，这个K就是负A这个必须是大于零的，不能是小于零的。所以说解出A大于等于负一小于0，这此题的答案选C就可以了。要注意两点，第一单调性，第二个是满足值域为R这样一个条件才可以。下面我们来看一下第三小题，已知函数FX等于log，以二为底X平方加A这个整体的对数，这是一个复合函数。若F3等于一则A的值，我们可以直接求解。由题可以知道F3就等于log以二为底3的平方加上一个A这个就等于log以二为底9加A它是等于一的。所以根据对数的运算，9加A就等于2，所以说A就等于-7。因为这个一大家注意，是那个一为第一二的1次方的倍数就是二的对数，这个可以算出A的值是-7，这是第三小题，我们下面来看一下第四小题，求这个函数的值域，求这个函数值域可以利用单调性，下面大家看一下。是单调递增，倒过来之后，它是单调递减了，这是单点的，由X大于等于一，我们可以知道ln x一定是大于等于一就是一。那么倒过来之后，所以说这个Y的范围是小于等于一。因为它去正无穷大的时候，里面是无限趋近于零的，所以Y的范围就大于零且且小于等于B那么用区间来写就是0到1左开右闭。好，今天的这个函数定义及其表示咱们就整理到这里，下期我们再见。