亲爱的同学们，大家好。这期视频我们来继续讲解高中数学基础知识梳理专栏的第二个小节，命题及其关系，充分条件、必要条件。下面咱们来看一下命题的概念。那么什么是命题呢？就是用语言符号或者是四字表达的，这里有一个非常重要的一个东西，就是它可以判断真假的陈述句。注意，这里第一个非常重要的一个信息不仅是陈述句，而且可以判断它的真假。就是如果说有些陈述句你不能判断这个真假，它也不叫命题。其中正确的就是判断这个为真的语句。正确的语句我们叫做真命题。错误的或者是假的语句，就是假命题，这是基本概念，理解就可以。这里我举几个例子，比如说5加3，5加3，这个是陈述句，但是它不是命题，因为它不能够判断真假。比如说我再写一个5加3等于一，那么这个就是一个问句，它不是一个陈述句，所以说这个也不是命题。比如说第三个五大于三，第四个5小于等于3，那么第五个5加3等于一，其中345这3个都可以判断真假。比如说五大于三它是一个真的，那么我们就称之为真命题。4和5都是错误的，那么它就是假命题。好，这是基本概念。下面我们来看一下四种命题，原命题就是若P则Q那么它的逆命题就是若Q则P，逆命题是若Q则P还有否命题就是若非P则非Q所以这个是非非P则非Q就是条件和结论都否定。那么立法命题就是若非Q则非P大家注意一点，这里面原命题的否定，所以不是否命题，是命题的否定。在此我把它说明一下。这个命题的否定就是若P则非Q也就是说我条件不变，我只将这个结论进行否定，这是命题的否定和否命题之间的区别。你像这个命题的否定，有些时候在反证法中我们经常要用这样一个命题的否定来做。反证法也是证明部分做部分的证明题的一个重要的解题思路。好，这里我们举个例子，比如说若X大于三则X大于2，大家注意，这个是原命题。那我们来看一下它的逆命题。根据题目中的提议，就是我们讲的基础知识它的定义。逆命题就是若Q则P那么逆命题就要写成若X大于二则X大于3。那我们来看一下它的否命题，否命题就是把条件和结论都否定，所以说就是若X小于等于三则X小于等于2。那么逆否命题就是若非Q则非P那么另外命题就是若X小于等于二则X小于等于3。大家注意原命题和否另一否命题的真假性它是一致的，而逆命题和否命题的真假性，这两个它是一致的。所以说这里面增加关系，这是第二个小知识点，四种命题的真假关系。如果两个命题互为逆否，那么他们则具有相同的真假性。你这里面填相同的真假性，两个命题互为逆命题或者是互为否命题，它们的真假性就不是确定了。就是原命题为真，它的逆命题不确定，它的否命题也是不确定。所以说这里面它们的真假性就是没有确定的，就是说他们中间的真假关系不是很确定。好，这是要注意。没有，这里面我们来看一下第三个充要条件相关概念。我们来看一下，第一个，若P能推出Q我们就说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。好，那我们来看，如果P能推出Q而QQ的P这里面我们称它为充分不必要，叫充分不必要条件。第二个，如果说P推不了Q但Q能推出P就反倒能推，我们叫做必要不充分条件，我们称之为必要不充分，那么互相推出，我们就称之为重要条件，就是既充分又必要，简称充要条件。如果互相推不出来，我们称之为既不充分也不必要。好，这是和相关概念。那么下面我们来看一下集合之间的一些关系。假如说P成立的对象构成的集合是AQ成立的对象构成的集合是B这里面大家要记住一点，就是小范围我们可以推出大范围。大家注意，小范围我们可以推出大范围就可以了。好，这里我们看一下，如果P能推到Q你看第一个我们用箭头来表示，就P能推出Q但是Q推不到P那就说明小范围可以推到大范围，大范围推不到小范围。所以说这个我们就是说A是B的真子集，这里面用增子集，假如说仅仅有听好了，仅仅有P能推到Q但是Q推推不推出P不确定，大家注意不确定。我们就说A集合是B集合的子集，就是A包含于B之中，至于能不能反推出来不确定，因为我们没有研究它，所以说这里面可以用子集，就不要用真子集了。但是如果说你反倒推不出来，这里一定是增值集，注意这个区别。同理，如果P4Q的必要不充分，那么B就是A的增值集，就是反倒推推就是P推不到Q但是Q可以推到P所以B是A的正极，如果P是Q的充要条件，那两个接口肯定是等价就相等了。还有如果既不充分也不必要，就是AB互不包含，就是他们之间没有包含关系。不管是A从A到B看，还是从B到A看，都是都没有包含关系，这是第二个知识点。我们来看一下有几个重要的结论，我们来讲一下就是四个命题中的等价关系。首先我们来看一下，原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题。所以说在命题不容易证明的时候，这个很重要，往往需要找等价命题，也就是逆否命题。我们进行转化，等价转化去证明或者去求解都可以，也这是第一个非常重要的解题思路。第二个，在等价转化法判断充分条件必要条件的时候，我们要注意P是Q的充分不必要。那么倒过来，什么是充分不必要呢？就是P就是若P则Q一定是真的，若P则Q一定是真的，那么我们对它的逆否一定是对的，也就是若非Q则非P若非Q则非P也就是说非Q是非P的充分不一样，就是它能推到它对吧，但是反倒推推不出来，所以说是充分不必要。那么即P推出Q就等价于非Q推出谁啊CP这样一个等价转化。第三个一些常见词语的及其否定，我们看啊是它的否定，就是不是都是对，都是那就是不都是都不是，那就至少一个是，你们好好琢磨一下，尤其是有些同学语文的功底不是很深厚的时候，一定要注意这些字眼。这个完全玩了既玩文字游戏又玩逻辑游戏，所以说比较的有意思，这个不能搞错了，等于就是不等于，大于就是不大于就小于等于等等这些字眼，这是常见的一些否定。现在我们为了巩固这样一个基础知识，我们来讲几个小问题。大家在做这个习题的时候，可以将视频暂停，可以看一看。好，我们看一下，看第一个命题，若A大于B则A加C大于B加C的否命题。那我们直接根据定义，否命题就是将条件和结论都否定，所以A大于B的否定就是A小于等于BA加C大于B加C的否定，那么就是A加C小于等于B加C就是大于的否定，就是不大于，对吧？所以此题答案选A好，下面我们来看一下第二个命题，若X方等于一则X等于一或X等于负一的逆否命题。第一款命题大家注意，对于两个或字两个小条件，也就是P或Q就是我们用现在用新的符号表示，就是用向上的小尖尖代表。或那么如果说对于且P且Q那我们用符号表示就是向下的开口，向下的小尖尖来表示。非就是用这个横一横折的这样一个小符号来表示。这个要注意那么它的否定注意，那么它的否定就是非P且非Q那么什么意思呢？就是它的否定就应该是X不等于一，且X不等于负一。大家可以想一下，你看这是一个比较常规的，所以说你求它的立方命题，立方命题就是若X不等于一且X不等于负一，那么则X平方不等于一，所以此题的答案选C，如果说你这个理解不了，你可以想一下，你看X等于一或X等于负一，那么实际上它反映在这里面。我们如果说想用图像的角度上来考虑的话，可以这样来画X等于一。大家注意，X等于一就是这样一条线或X等于负一是右就是一个是左边的X等于负一，一个是右边的X等于一这样的两条线。大家看看我这个画了两条红线，那我们看啊X不等于一，且X不等于负一，那就是将这两条线剔除。地段的所有的区域都是包含的，所以说它的反面就是C选项。这样那个前面来表示，随时此题答案选C。剩下我们剩下来我们再掂量一下，如果说P且Q的否定刚好跟它是相反的，那么它的否定一定是非P或为Q这样来表示。这个不会的同学可以做个小笔记，可以整理到你们的笔记本上好，我们再看第三个，小自测题已知AB属于实数，AB大于B方，那么是A大于B大于零的什么条件？这里我们来看一下左推右不行，为什么呢？你两端同时除以，我们看下左推右看是不是不行。首先B方一定大于零的，B方大于0，那么AB一定是大于零的那就说明AB同号。AB同号，那就说明AB有可能为正值，也有可能同时为负值这样的两类情况。这类两类情况如果说A大于零来看，如果说A大于0，一类情况A大于零的时候，那么B也是大于零的那这个时候两边同时除以B不变号，我们可以推出A大于B大于0。那么第二类情况，如果说A小于0，B也是小于零的，两边同时除以B就变号，所以这个变成A小于B小于0。所以说这边左边还暗含着两类情况，而右边是只有一类情况。左边的是大范围，它是一个大范围，而右边它是一个小范围。我们刚才讲过小范围可以推出大范围，所以说左边推不出右边，但是右边能推出左边，所以说是必要不充分。根据定义。好，我们再看第四个P条件是K等于根号三就是一个条件。我们看Q条件，直线Y等于KX加一与圆X方加Y方加2Y等于一相切。那么P4Q有什么条件？上一个小专题里面我们也就上一小节里面，我们讲过判断直线和圆的位置关系可以连立德尔塔为零，这是第一个方法。第二个方法，我们可以根据圆心到直线的距离D大于半径、等于半径和小于半径来判断直线和圆的位置关系。如果相切D等于RD等于R对吧？所以说我们把这个圆的方程首先进行配方，把一般方程转化成标准方程。那么这个可以写成X方加上Y加一的平方等于这个配方比较简单，我们可以看出圆心坐标就是0-1 0-1是圆心。那么这个半径R是等于一把该直线转化成一般形式，可以写成KX减Y加一等于0。然后这里我们回忆一下点到直线的距离公式。如果说有一条直线是AX加BY加C等于0，那么圆外有一点的坐标，P的坐标是X0Y0。那么则P到直线的距离D就应该等于根号下的A方加上一个B方的绝对值，上面把X0Y0带到直线的方程里面，就是前面的方程，后面那个等于不写了，就是AX0加BY0再加上一个大C的绝对值。所以说我们套这个公式，这个D应该等于根号下的A就是K就是K方加上一个B就是-1-1的平方，就是一根号下的K方加1。那么上面我们将零负一带进来，那就是K乘0减去负一再加上一的绝对值，这个让它等于半径一好，上面我们知道是二，两边同时平方就是4除以K方加一等于一，所以说可以推出K方。如果来K方加一等于4，K方等于3，这样的话我可以解出K的值，K的值它是等于谁呢？正负根号3，我们可以得出Q的条件是几个呢？两个就是满足Q的条件的这个结果对象的这个集合中有两个元素，而P条件的这个结果它只有一个。所以说前面是小范围，后面是大范围，所以说P是Q的充分不必要，所以这题答案选A比如曾子集，我们再看一下第五个，若原命题这里面涉及到负数，我们首先来看一下共轭复数的概念。所谓共轭复数就是如果说Z一等于A加BI的时候，那么它的共轭复数Z2就应该等于A减BI就是实部相等，虚部互为相反数。所以这里面的A叫实部，B叫虚部，I是虚单位。好，如果说共轭为共轭复数，那我们来看一下Z一的模就是这个复数的模，我们这是就等于根号下的A方加B方，那么同理Z2的模就等于根号下的A方加上负B的平方，自然而然也等于Z的模。所以说这个原命题它就是一个真命题。我们来看一下原命题为真，他们该命题的逆命题、否命题和逆否命题的真假性。首先原命题是真的，那么逆否命题就不用判断了，直接也是真的。因为我们说过原命题与逆否命题的真假性是一致的，而这个逆命题和否命题它俩的增加性也一定一致的。因为逆命题和否命题互为立法，所以这里面我们只判断逆命题。好，我们来先写一下这个逆命题。这个逆命题就是将条件和结论进行对调，也是若Z一的模等于Z2的模则，Z1和Z2共轭就是为共轭附属。我简单写，我那我们看啊两个复数的模相等，那这个情况是不是太多了？它怎么可能一定是A减BA，对不对？比如说我们就可以随便举个例子，你这个是一，比如说是等于A加BI那我这个Z我还可以这样来写的，我都写成它的相反数，那么负A减BI对吧？甚至我可以我是一，我还可以这样来写，我写成负A加BI这都可以，所以说它不一定工作，所以逆命题就是错的，逆命题是错的，否命题肯定也是错的，所以说这个真假性就是加增，所以此题答案选C好，今天的这个命题及其这个充充分条件必要条件咱们就讲到这里，感谢大家的收看，下期视频我们再见。