同学们好，今天我们开始高中数学基础知识梳理专栏的第一节集合的基础知识讲解。好，我们来先看一下集合的基本概念集。什么叫集合呢？也就是我们把一些确定的对象组成的总体称之为集合，在这里面我们可以简单的写一下，就是把一些指定的对象或者是确定的对象。组成的总体。我们称之为集合。这里这些指定的对象我们称之为集合中的元素。所以这里面元素有三个特征，第一个是确定性，第二个是呼应性，第三个是无序性。这里我们首先来看一下什么是确定性。所谓确定性就是集合中的元素它是确定的。你比如说有一些集合它就不确定了。比如说2021年新高考全国一卷的数学试题中的所有难题。那我们来看一下这个数学中的所有难题能不能构成集合呢？首先对于有一些考生来说，这个集合中的元素可能是一个。对于有些考生来说，集合中的元素可能是两个。对于有些考生来说，可能集合中的元素是零个，也就是空集。所以说这里他并不满足确定性。而对于不同的人，他的评判标准不一样。那这样的话，你这个集合中的元素就不具备确定性了，那就不能构成集合。你比如说我国所有的长河流，那多长算长河流对不对？它没有一个评判的标准。比如说武汉中学中的这个长得帅的男生，那么长得帅什么样的才叫长得帅，吧？这个也没有一个评判标准，因为每个人的审美观不一样。比如我们常说的这个情人眼里出西施，他不一样。当然了这个例子举的这个咱们高中阶段不是特别合适，这是我们只说一个审美观的问题。你那第二个什么是互异性？也就是每一个元素都是独一无二的你。比如说我们说有一我们说这个集合，我们可以用大写的花括号，大写的括号，这个就叫大阔。原来我们教材教原来我上高中的时候，这个大括号这个叫中括号，这个叫小括号，后来这个叫做花括号。我们看这个花括号标识起来，比如说112，那么一二这三个并不能构成集合。因为这两个一是重复的，根据集合中元素的互异性，我们觉得这个是不行的。好，还有无序性，就是我们写两个集合，12和21这2个集合是没有区别的，它是相等的，这是集合元素的三个特征。第二个知识点我们来看一下集合与元素的关系。这里面我们用属于和不属于表示，其中我们即A属于就是这样来表示，这是属于符号，不属于中间打一道斜杠，所以斜杠这样来打。你有些同学刚开始学的时候，他给我写成这个样子的，这样的话是不要出现了。你要按照格式来写，这个是不属于。好，下面咱们接着来看下个知识点，常见集合的符号进行表示。这里我们回忆一下这个初中的实数的分类。首先我们将实数进行分类，实数我们可以分为有理数和无理数。有理数我们可以分为整数和分数，整数我们又可以分为奇数和偶数。当然这里面我们采用另外一种分类方法，可以分为自然数。和负整数。其中这个自然数我们又可以分为零和正整数。那么分数可以分，为什么呢？一类是除的尽的，一类是除不尽的。我们把除得尽的数我们称之为有限小数。你比如说这里面的4分之1、5分之1等等。4分之3还有一类除不尽的，比如说3分之1，我们称之为无限循环小数。比如说还有一些像这个8分之7，7分之8等等这些就是说无限循环小数。那么什么是无理数呢？从小数的角度来看的话，就是形如无限不循环小数，就是它的特征，就是无限不循环小数，我们称之为无理数。你比如说开方开不尽的数，根号2、根号三等等，根号11。还有初中阶段学的派，高中阶段我们学的自自然对数一，这个判是3.14159261是2.7828等，我们不用记那么多，只是只需记2.7就够了。其中我们要把分数和无理数，大家看都是小数，我们又统称为小数，上面就是整数，所以从某种意义上讲的话，我这个实数又可以分为整数和小数。那我们来看一下这个数据，这些数据它们的符号怎么表示。我们把这个实数集用大写的字母R来表示，所以说通常集合用大写字母来表示，中间的元素用小写字母来表示。有理数我们用大写的字母Q来表示，整数集用大写的字母Z来表示，自然数集用大写的字母N来表示。那么非零自然数也叫正整数集，我们用N心或者是N加来表示，这是常见的数据。我们只需记这样的12345这五个常见的数据的符号就可以了。其中这个数据是有两个符号来表示，当然你像那个实数集用R加RR减来表示也是可以的。像这个我们可以代表正实数，这也可以可以代表负实数，这个我们了解一下就可以了。还有看到无理数据其他的应用，我们可以用补集的概念来表示。对于集合的表示方法我们有三种，第一种是列举法。第二种是描述法，第三种是文图法，也就是图示法这三种方法。那么什么是列举法？像刚才我们举的123，比如三个数，这个就叫列举法。所以说对于有限集就是集合中的元素是有限的有限级或者个数较少的有限级，或者是很有规律的一些无限极也是可以的。比如说自然数集，我们可以写123，后面打省略号对吧？这样来表示。然后这个描述法可以表示任意集合，不管你是有限级，无限极都可以用描述法来描述。一类是用文字语言来描述，一类是用数学语言来描述。这个我们有一些规范，它一般来说可以写成X一竖杠PX的形式。其中前面大家注意，其中这个前面X代表的是集合中元素呈现的形式或者是特征，就是你以什么样的特征显示出来。这个PS就代表着我这个中元素要满足什么样的条件，满足什么样的性质，或者是它的属性是一个什么样的对，这里面代表的是集合中元素的一个属性。比如我们举个例子，比如说我写一个X一竖杠Y等于X平方，第二个写Y一竖杠Y等于X平方，第3个XY1竖杠Y等于这个X平方。大家看一下这三个集合，这三个集合对于比如我们都用大写的字母来表示。第一个用大写的字母A第二个用大写的字母B第三个用大写的字母C那么对于A几何很明显它是代表的函数1元2次函数Y等于X方里面所有的X值，也就是自变量的值。所以说A集合就代表Y等于X方的它的定义域。我们说X取值集合就是定义域，B集合就代表的是值域，C集合就代表的上面这个图像的所有的点的坐标。好，这是集合的基本概念。第四个小点，我们接着看后面的第二类集合之间的基本关系，这里面会涉及到子集真子集，还有两个集合相等以及空集的一些概念。我们把这些概念我们讲解一下。首先看第一个子集，集合A中，大家注意集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就称A是B的子集。这个读我们可以这样读读A韩语或者A包含于什么什么之中，后面带个余字，那么反着写，我们就这样写，或者我们读成B包含A，我这样写也可以。注意这个就叫包含，或者是含这个还可以读包含于，这是基本的定义。第二个我们看如果集合A是集合B的子集，但B中至少有一个元素不在A之中，那么这个时候我们就称A是B的一个真子集。那么我们写的话符号可以这样来写，反着写这个读的话就读A真包含于B或者B真包含A第三相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B的每一个元素也是集合A的元素。那么这两个集合就只能镶在哪？这是前面的。你像我们用这个符号语言，像第一个它这个文图表示，我们后面等一下。还有你看A包含在B之中，这个是A几何，外面这个大圈圈是B集合，这样的话A就是B的子集。而这个后面的这个第二个增值集怎么表示呢？正数集就是对于B集合来说，除了它本身之外，就是本身之外，其他的个数值比较少的，都是它的增值基。所以说这里面我们有句话就是空集是任何非空集合的真子集。比如说我们这里面填一句话，就是任何非空集合的真子集，就是下面这句话。那么它是任何集合，就是我们上面如果是子集的话，这里面我们可以写成任何集合的子集，它是任何非空集合的真子集。所以说空集是任何集合，子集对于B是非空的话，空集一定是该集合的。曾子期，这里大家注意，你像刚刚考完的武汉市的青年表演考试，考试里面就关于空集和他们之间的概念。比如说我们写这样几个东西，一个是空集是空气中的元素吗？这是A选项，那么B选项空集，是不是这样一个集合？就是集合外面再套集合，那么C空集是不是空集的子集呢？我们还有D空集，那么是不是这样一个集合的自己，甚至我们可以再加个E选项，你这个空集是不是它的增值机呢？大家可以试一下选一选，你看你觉得哪些是对的。首先我明确可以告诉大家，两个集合之间不能用这个属于符号来表示，但是这个例外。因为这个是集合里面套几何，这个集合中的元素就是空集，所以说这个B是可以的，那么C是对的。我们说空集是任何集合的子集，那自然而然也是空集的子集。D选项空集是这个集合的子集，也是这个集合的真子集。所以说E和D都是对的，C也是对的，BCDE都是对的，只有A是错了。好，这是我们刚才讲的这个有关空集的概念。空集是一个易错的东西，大家要给予重视。好，另外我们来看一下集合的基本运算。这里我们学并集、交集补集一说。补集必然涉及到这个全集的概念。一般来说全集是相对于普及同时产生的。我们首先看一下这个交集，所谓的交集看第二列，看这个交集的概念就是两个集合的公共部分。如果我们用符号语言来表示，就对于某个元素X它既在AA之中又在B中，就是AB的公共部分，我们就称之为交集符号。就是用向下的这样一个符号来表示，向下的符号写的时候手写的时候要注意这样来写。那么并集就是这个口子朝上，那挺像这个抛物线的，这个拱桥对吧？口子朝上就是并集，就是要么在A中要么在B中，就是AB里面两个都含了。这里面我们举个最简单的例子，有助于大家理解，就是照顾一下最基本的有一些基础很差的同学。比如说你A集合是1234，你B集合是234，那么这个时候A交B那么A加B就是把2323是它们的公共部分，对吧？所以说A交B就是23，那么A并B？A并B就是两个集合中都有。首先A集合一二三都有，我们先把它写上。那么对于B级格中除了二酸之还有一个四，所以说也在并集里面，我们再把四给填了就OK了，所以这个是A并B那我们看什么是补集。补集一般来说我们设定在每一个题中会设定一个全集。比如说此题我们设计全集为12345，这是一个全集U我们用一般来说用大写的字母U来表示。我们看这个补集的定义说X在全局之中，但是X不在A之中。那么我这个方框看这个伟人图，方框就这个矩形所有的情况都代表是全集。那么它的补集，就是除了A之外，其他所有的元素就是在补集。很明显若全集为U则A的补集我们可以用符号这样来写，就是这个不练C，这个不练C你就能直接读A的补集，在全集U下的一个补集就可以了。那么符号语言就是这样写，X与U且A不属于A就可以了。所以说我们看啊若全集为U则集合A的补集就在全集U下的一个补集，可以这样来写。所以说我们看这道题的A的补集在全局优下的这个医的补给，那么一定是除了123之外，那就是十五。同样我这个B的补集，我们可以写成一和这个5，它刚好是一和五都没有这样的话就有有助于大家对这个病急交集补集就基本给大家做一个了解。好，我们再看一下有几个重要的结论。当然这里还有一个德摩根律，我们等一下简单的补充一下。首先看第一个，如果说对于一个有限集合A这样有限集，这里面我的天哪是个有限集合A那么其元素的个数为N那么集合中子集的个数就是二的N次方个真子集的个数就是2的N次方减一个，非空真子集的个数就是2的N次方减二个。这个证明大家注意证明，我们可以用排列组合的知识来证明。比如说你一个集合，我们举个例子，A集合中有N个元素，那我们根据子集的概念，我们知道这个集合中我们可以按照元素的个数进行分类讨论。比如说子集中，当元素个数为零的就是空集，本身那就是CN0。如果集合中的元素个数为一个，那就是CN一个。这样的子集为两个就是CN2个，一直到N个的话就是CNN个。那么这个累加起来刚好是符合二项式系数的，和我们这就是二的N次方根。你可以用这样一个方法去简单的证明一下。如果说你是高一的同学，现在听不懂，没关系，先把这个结论先记下来。增子集所谓增子集的个数，大家看增子集就是除了它本身之外，就除了A级的本身。那增子集个数就是2的N次方减一个，非空真子集的个数就是2的N次方减2的，这是第一个重要的结论。我们再看第二个重要的结论，A并B如果等于AA并B等于A那说明B是A的子集。A交B如果等于A那说明A是B的子集。这地方我们这两个结论非常的重要，其他还有一些非常多的结论，你们可以不用记。这里这个结论很重要，希望大家给予记忆，先理解后记忆。我们可以用文图来画，比如说你可以尝试，比如说假如说A和B之间没有一种包含关系，你可以把A和B划开，比如说这是A这个是B你会发现ABB的B不等于A对吧？如果说它俩相交有交集有交集非空，这个时候ABA并B也不等于A那只有什么情况呢？只有你A集合很大，而B集合完全在含于A之中。这个时候A并B就等于A同样如果A加B等于A那你图只能这样画，这个是BA在里面，这个时候A加B它是完全是整个A本身，所以说可以推出A是B的自己，也就是A要含于B之中才可以。另外一个我们来看一下德摩根律，德国有这两个，就是它涉及到补给。比如说A交B的补集，这里面是等于A的补集，交上谁呢？B的补给，这是第一个，我们可以写成第三个阶段，第二个是A交B的这个补给，那么就等于A的补集并上这个B的估计。好，微量就是让大家形象的理解它，我现在还是用图示法来给大家推导一下。假设这个是全集U我们画两个圈圈，我们以相交的情况为例，这个是A集合，这个是B集合。这样的话大家看啊我这两个圈圈可以将这个矩形区可以分为这样的四个部分，大家看在A之中但是不在B之中的部分称为一区，公共部分我们称为二区。这个在B之中但是不在E之中成为三区，既不在A里面又不在B里面，又在U里面，我们称为四区。这样的话大家看一下A并B我写在这个下面，这个A并BABB就是一区加二区加三区，有时候等于七等于6。所以我这里面一二三指的是区域，不是1233个数值。好，那么A交B大家看一下，A交B那就是二区。我们再看下补给，A的补集就是除了一和二之外，那么其他的区域那不就是三区加四区，对吧？这个是3加4。那么大家再看一下B的补集，就是除了二和3之外，那么就是一区加四区，就是B的补给。你看它的公布就是四区，所以这个计算的结果也就是四驱。我们看A并B是一加2加3 1加2加3 1个全集是谁呢？全集就是1加2加3加4，所以说1加2加3加4之下，A并B1加2加3的补给要进入市区，所以两个是相等的。下面这个一样的去证明就可以了，下面我就不再论述了，你们可以进行思考就行了。如果说有听不懂的，可以在评论区留言，我再给你解释。好，下面我们来巩固几道题，叫对点自测。首先看第一题，到这里，大家可以将这个视频进行暂停。当然这个第一节课我们是一个免费的课，你们可以暂停。后面会就是收费的。收费了之后，你们购买之后才可以暂停去听。好，首先我们来看一下，第一个已知集合M是XY根据我们前面可讲的，这是如果说它画图形，它是一个圆，以00为圆心，以根号二为半径的一个圆，那么这个是N集合代表的是一条直线，那么M加N的个数就指的是这个圆和直线。圆和直线有几个交点的问题，我们有两种判断方法。第一种我们可以判断直线和圆的位置关系，这是一种方法。还有一种方法，我们就将两个方程联立，就是看共点对吧？看看有基础解上面这个就相当于这个2元2次方程的所有的根。你看XY我们可以看成是一组根。如果从图形角度看，可以看成是这个圆上所有的点。那么第二个我们可以看成是X加Y等于二这个2元1次方程。两个方程联立，我们看有几组解就行了。这是一种方法，这是方法一。那么方法二我们可以用这个树形结合的方法，或者我们称之为图像法，图像法我们来去解释就可以了。这里我们如果用图像法的话，我们可以画一个草图。这个是X方加Y方等于二的这个图形。X加Y等于2，它就是过这个20和02，20和02，我们来看看有几个焦点，这个图我们暂时只能丑化。我们来看一下，首先这个可以利用点到直线的距离公式，这个圆心坐标是00，这个D就等于根号下的，就是这个化成一般式，写成X加Y减二等于0，这是直线的一般式。我们用点到直线的距离公式，D等于A倍的X0加B倍的Y0加C的绝对值除以根号下的A方加B方。那么这个对于高一的学生可能就听不懂了，这个没关系，你们只能听懂第一种方法就可以了，就OK了。好，这个我们可以写成根号下的一方加一方，然后上面是将X0Y0，X0Y0是指哪个呢？就是用这个圆心坐标00，把00代到这个前面的X加Y减二里面，00带进去就是0加0减2的绝对值。这个刚好是等于根号2，刚好等于半径。我们知道如果说圆心到直线的距离，这个D如果等于半径就是相切，大于半径相离，小于半径就是相交。所以说它只有一个交点，一个交点那说明这个答案选B公共点的个数就是一个。那我们看方法2，我们可再用方法一，我们再用代数的方法去验证一下。好，现在我们用消元法把二次Y就等于2减X代入到一式。好，我写到左边，那变成X方加上一个2减X的平方，这个是等于2。我们口算一下，X方加X方2，X方减4X然后加4，这边有一个二移过来就是加二等于0。整理一下，两边同时除以2变成X方减2，X加一等于0，这个德尔塔刚好为零，对不对？这个你们一看就是X减一的平方，只要能写成完全平方式的形式，这个方程只有一根，你看可以解除这个一根只是一，那一再带上就是一点，这个点的坐标就是一，所以说M交的元素个数就是一个GM交N我们写的话就可以这样来写，用列举法来写就是一一就可以了。好，这是定点知识的第一小题。然后我们再看一下第二小题，已知集合A集合。大家注意，做这种题很多同学都被坑了，原因是什么呢？没有看人家前面的这个小条件，这个N有很多同学时间长了，这个N都把它记成整数积了，结果导致丢分。这也是为什么我要讲这个基础知识梳理的一个初中好多同学一个是审题，再一个就时间长了，一个符号给我搞忘记了，这个A集合就代表的是这个1元2次不等式的解集。但是这个解集里面只取这个N刚才我们说的是自然数集，这个B集合代表的是-1到2中的所有的实数，所以两个是不一样的。好，我们来解这个X方减2X小于等于0。这个很简单，这是1元2次不等式，我们写成X乘以X减2小于等于0，只要有两根。根据图像我们知道，比如说我们利用Y等于这个X方减2N次，那么它就是一个开口方向向上的一个1元2次函数，一根为零，一根为二，两根取中间。你看只有取0到2之间的时候，这个Y的值才是小于等于0。所以说解出来这个范围就是X大于等于0，小于等于2以后进入。只要画开口方向向上的，大于零取两边，小于取中间。如果带等号，分别都带等号就可以了。那么这个时候0到2之间的自然数，那只能所以说A集合我们用列举法来表示，只有012这3个，它只有这三个，那么只有这三个的话，我们看一下三个与B集合取交集，那么012这3个都可以。所以说A交B这样一个集合就是012，其实子子集的个数就是二的3次方个。直接套结论快速解题，所以说这个答案就选D如果说你要想用列举法写的话，我们可以这样写个数为零个。我们以元素的个数作为分类讨论的一个标准，这里元素个数为零个，空集个数为一个。我们用列举法来列，那就是0一二个数为两个，顺着写就可以了。跟零搭配的01020搭配完了再找一跟一搭配就是12。只有这三个个数搭配，有三个的情况，就是只有它本身零件，所以说加起来就是八个，这是子集的个数。还要注意，人家这里问了的是有时候问的是什么真子集的个数，非零非空真子集的个数等等。这个一定要注意审题，不能因为审题丢分。好，我们再看第三个，已知集合A有这样的五个元素，-1 0123B集合是X平方减2X就大于0，则A加B，这都是最基础的题了，我给帮大家复习一下，也顺便理解一下这个基础知识。首先B集合要解1元2次不等式，对于X方减2，X大于0。直接提公因式X倍的X减二大于0。这样的话一根是零，一根是二，大于0取中间取两端。所以说这个B集合我们用集合的形式写的话，应该是大于大的一根或者是小于小的一根就可以了。好，所以说A加B大家可以看一下，所以这个A加B那么大于二里面只有一个三。可以，那么小于零里面只有一个谁呢？负一它是可以的，所以说此题的答案选C。好，这是第三个。我们再看一下第四小题，第四小题我们来看一下，如果A交B有只有一个公共元素，一只有一个功率元素一的话，那就说明一定是在B集合当中。好，我们把一代进去，一代进去我们可以得到一方加上一个M减三等于0，所以说此时我们可以算出M的值是2。那这样的话这个B集合这个方程就变成X方加2X减3。等于用十字相乘法我们可以分解成X加3乘以X减一等于0。这样的话我们可以解出两根，一根是-3，一根十一。所以说这个B集合就是-3，用列句话来写就是-3和1。所以ABB很明显，由题意可以看出就是一二这个-3。所以说此题的答案选A，这是第四题。然后我们再练一道题，第五题再讲解一道题，已知其和MX是这个X对应的这个是方程的根，就是X方等于它等于一。所以说这个M集合就是正一和负一。我们看这个N集合。好，这里有一个麻烦，这个是易错，大家不妨可以把这个视频暂停一下，看你能不能选对。大家注意有一点意义，错的是什么呢？N如果是它的子集，要分这样的几类情况，要分四类情况。首先有可能是空，很多同学把空气给考虑漏了，考虑漏了。所以第一类情况，当N集合等于空集的时候，N集合如果是空集，那你只很明显你AX等于无根。既然无根只能A为零，你看A为零的时候方程就无根了。第二类情况，我们看当N集合之中只有一个元素，那这个元素有可能是正一，有可能是负一。我们来看如果为正义的时候，直接把那就是A乘一等于一，随时可以解出AB一好。第三类情况，当N集合等于负一的时候，那就说明负一是N集合中的元素。比如方程的根有一个N是负一，所以令X为负一可以得到负A等于1，所以可以推出A是等于负一。那么第四类情况我们看第四类情况存在不存在，就是当N集合等于正负一的时候，我还是分开写，一个是正一，一个是负一的时候。我们看啊，因为你知道方程这个是不成立的，很明显AX等于1，这个方程最多只有一根，所以第四种情况不成立。所以综上所述，所以说这个A要么取0，要么取一，要么取负一，所以此题答案选D好，那么咱们这个专栏的第一讲，我们就先讲到这里。中间有什么不适应的或者是感觉有很好的建议，你们也可以私信我。欢迎大家关注我的百家号，也可以输进或者是你们如果说有购买的同学需要这个电子版讲义也可以加我。这个微信微信就是这个数学方程式的一个汉语拼音。好的，今天第一节第一讲我们就先讲到这里，感谢大家的收看和关注，谢谢。