12.11 勾股定理（与勾股定理有关的计算问题）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.11 勾股定理（与勾股定理有关的计算问题） 题型一 用勾股定理解三角形 1．（22-23八年级上·北京石景山·期末）在等腰中，，，则底边上的高为（    ） A．12 B． C． D．18 【答案】B 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质求得，再由勾股定理得． 【详解】解：如图，过点A作于点， 是等腰三角形，， ， 在中，由勾股定理得， ， 即底边上的高为， 故选：． 【点睛】此题考查了等腰三角形和勾股定理，解题的关键是熟知等腰三角形的性质和勾股定理． 2．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，垂足分别是、、，，，，则的面积是（　　） A．48 B． C．96 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，得出是解答此题的关键．先连接、、，过点作于，根据得出，由直角三角形的性质可得出的值，进而可得出的面积． 【详解】解：连接、、，过点作于， \ ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（22-23八年级上·北京延庆·期末）如图，中，，是的平分线，E是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，根据可得，则,即为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ， ， ∴， ， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（21-22八年级上·北京密云·期末）如图， ，，点在射线上，若为钝角三角形，则线段长满足的条件为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分，为钝角两种情况讨论，根据是等腰直角三角形时，求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 当时，且, ∴, ∴当时， 当时，, ∴， ∴当时，， 综上所述，或 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 题型二 已知两点坐标求两点间的距离 1．（24-25八年级上·浙江·期末）点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中两点间距离计算，掌握坐标系中理由勾股定理求解两点之间的距离是解题的关键． 根据题意理由勾股定理求解即可． 【详解】解：点与点， 所以A、B两点的之间的距离为： 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，原点到点的距离可通过勾股定理计算． 【详解】解：∵点P的横坐标为5，纵坐标为12，原点O的坐标为， ∴横坐标差为，纵坐标差为． ∵两点间距离为直角三角形的斜边长度， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）新知引入；在平面直角坐标系中，任意两点之间的位置关系有以下三种情形： ①如果轴，则； ②如果轴，则； ③如果与轴、轴均不平行，如图1，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线相交于点，则点的坐标为，由得，由得，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式：． (1)概念理解：若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则__________， __________________； (2)迁移应用：若点的坐标为，点的坐标为，点是轴上的动点，直接写出的最小值：_________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请写出此三角形的形状________． (4)思维升华：已知，利用数形结合思想，求的最小值． 【答案】(1)4；3；5 (2)5 (3)直角三角形 (4)5 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可得解； （2）作点A关于x轴的对称点，则，利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； （3）先利用两点间距离公式求得各边长，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （4）M的值可以看作是点到点的距离与到点的距离之和，利用两点间距离公式及勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ；； 故答案为：4；3；5 （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，则， ∴， 即当点，P，B三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 即的最小值为5； 故答案为：5 （3）解：∵、、， ∴，， ∴， ∴为直角三角形； 故答案为：直角三角形 （4）解：∵， ∴M的值可以看作是点到点的距离与到点的距离之和， 即， 如图，连接， ∵，即的最小值为的长， ， ∴的最小值为5， 即M的最小值为5． 【点睛】此题考查轴对称最短路线问题，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案． 题型三 勾股数问题 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数，通过观察表格中a、b、c的规律，发现c = b + 2，且满足勾股定理．将代入方程求解b和c，再求和即可． 【详解】根据表格规律得，，且． 将代入得， 解得 ∴． 故选C． 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①a为最长边，，13是正整数，符合题意； ②12为最长边，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________； (2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)小安的猜想正确，见解析 【分析】本题考查的是勾股数，整式的混合运算，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理得到以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据勾股数的概念判断即可． 【详解】（1）解：当时，，，， ， 以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，面积为：， 故答案为：6； （2）解：小安的猜想正确， 理由如下：， ， ， 当取大于1的整数时，，，为勾股数， 小安的猜想正确． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等．根据题意设，分别表示出两个阴影面积和，再表示出的面积，后比较大小即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·北京·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 4．（23-24八年级下·北京·期末）直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，掌握勾股定理是解题的关键，分别表示出对应图形的，再结合进行逐一判断即可． 【详解】解：图①中，由等边三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图①符合题意； 图②中，由半圆的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图②符合题意； 图③中，由等腰直角三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图③符合题意； 图④中，由正方形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图④符合题意； 故选：D 题型五 勾股定理的证明 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 2（24-25八年级上·河南郑州·期末）意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．图①中两个正方形的边长分别为，，空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形可知，，然后即可判断哪个选项符合题意； 【详解】解：由图可得：，； 故选：A． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何背景，全等图形，结合图形求得等式是解题的关键． （1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积； 方法②：将阴影部分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．由此得到平方差公式； （2）用表示阴影部分面积，进而能验证平方差公式； （3）大正方形由四个全等的直角三角形的面积加上一个小正方形的面积，进而可以证明：． 【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3）证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 题型六 勾股定理与无理数 1．（21-22八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D. 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、是无理数，且，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果． 【详解】如图： ， ， ， ， ， ， 则数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 4（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）学习了无理数之后，数的领域扩大到了实数的范围，且实数和数轴上的点是一一对应的．因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直径为1的圆从原点O出发向右滚动一圈，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点A，则点A表示的实数是_______； (2)如图②，在数轴上有一个直角三角形如图所示放置，直角边BC落在数轴上，点B与数轴原点O重合，，以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的实数是_______； (3)在图③中，利用尺规作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键用勾股定理表示出无理数． （1）由圆的周长公式即可求解； （2）直接运用勾股定理求解； （3）直角边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，则，，，由勾股定理得，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示的实数为：， 故答案为：； （3）解：直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，则，，，由勾股定理得，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数为． 题型一 利用分类讨论思想求直角三角形边长 1．（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）已知是直角三角形的两边，且满足，则此直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】首先利用非负数的性质求得，然后对分类讨论：分是直角边和是斜边两种情况，进行计算即可得到答案． 【详解】解： 是直角三角形的两边，且满足， ， ， 当是直角边时，第三边为：， 当是斜边时，第三边为：， 综上所述，此直角三角形的第三边长为：5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，非负数的性质为：几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，此时还要注意两边可能都是直角边，也可能是一个是直角边一个是斜边． 2．（22-23八年级上·四川乐山·期末）已知直角三角形的两边分别为6，10，则剩下一边的长度为 ． 【答案】8或 【分析】本题涉及分类讨论的思考方法，即：由于“直角三角形两边长度分别为6和10”，要讨论第三边是直角边和斜边的情形． 【详解】解：由题意， ①当是斜边时，则剩下一边为：； ②当6和10都是直角边时，则剩下一边为：； 故答案为：8或； 【点睛】本题主要考查了勾股定理，能够分类讨论求第三边是解决问题的关键． 题型二 勾股定理与折叠问题 1．（22-23八年级上·北京昌平·期末）在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，进一步可得，设，则，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵将沿折叠，点与点重合， ∴，， ∴ 设， 则，， 在中，由勾股定理得，，即 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·北京怀柔·期末）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿向上翻折得到，使点在射线上， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得： 即的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，有一张直角三角形纸片沿直线折叠，使一直角边落在斜边上，且点与点重合，已知，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再由，得出，计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 题型三 利用勾股定理证明线段的平方关系 1．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据条件证即可； （2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ，， ∵，∴， ， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键． 2．（20-21八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在中，由勾股定理得：，根据等面积法即可求解； （2）根据题意得出，进而根据，，得出 （3）延长至点，使，连结，证明，，得出，根据，即可得出 ． 【详解】（1）在中，，，， 由勾股定理得： ， ，， ， 即 ， 解得： ； （2）证明：点是的中点， ， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使，连结， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键． 3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 4．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．    (1)如图1， ①求证：． ②线段之间存在的数量关系为_________． (2)如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①先判断出，得出，即可得出结论； ②先判断出，进而判断出，再用勾股定理得出，即可得出结论； （2）先判断出，进而得出的周长为，进而判断出当时，最短，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：， ， 在和中， ， ， ； ②； 证明：在中，， ， 由（1）知，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 由（1）知，， ∵，， ∴， ． （2）解：在中，， ， 的周长为， 要使的周长最小，则最短， 当时，最短， 在中，，根据勾股定理得，， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出时，最短是解本题的关键． 5．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】(1)且平分，证明过程见详解； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线的应用及勾股定理，关键是求出，题目比较典型，主要考查学生运用性质进行推理的能力． （1）连接、，根据直角三角形斜边上中线性质推出，，推出，在中，根据三线合一定理求出即可； （2）根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得． 【详解】（1）解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，M为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）解：， ， ，， ， 即． 题型四 以弦图为背景的计算题 32．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：， 设， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故选： 33．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示： 根据题意，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：． 34．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C． 35．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程， 设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可． 【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成 ∴设， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 41．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，分类讨论等知识和方法，灵活运用相关知识及方法是解答本题的关键． （1）根据关联点的定义，首先可判断， 两点是的关联点； （2）根据线段垂直平分线的性质可知，的关联点在三边的垂直平分线上，根据，关联点可以在以点A为圆心，长为半径的圆上，根据，关联点也可以在以点C为圆心，长为半径的圆上，在内处于3条垂直平分线和2个圆弧上，又是格点的点即为所求作的关联点； （3）作的中垂线，交 的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，分当点K与点E重合时，当点F与点M重合时，当点F与点B重合时，当时，当时，讨论即可． 【详解】（1）与中的相等， 点为的关联点， 与中的边均不相等， 点不是的关联点， 与中的相等， 点为的关联点， 故答案为：，． （2）如图，点，，即为满足条件的点P的位置；    （3）如图，作的中垂线，交 的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，    当点F与点M重合时，此时，与交于点H， ， ∴点M，点H是的关联点，此时上有2个的关联点， ， ， ， ； 当时，此时上有1个的关联点，为与的交点，不符合题意； 当点F与点B重合时，此时，与交于点Q， ， ∴点Q，点是的关联点，此时上有2个的关联点， ； 当时，此时上有2个的关联点，为与的交点，和圆弧与的交点，符合题意； 综上所述，结合图形可知，或，线段上存在的两个关联点， 的取值范围是：． 42．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”． (1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______． (2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______； ②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）首先得到A、B关于y轴对称，，得到P点在y轴上，然后根据“近关联点”的定义求解即可； （2）①首先求出，然后利用勾股定理得到，，设点P的坐标为，得到，，根据题意得到，然后代入求解即可； ②过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D，得到线段的“关联点”在的垂直平分线，证明出，是等边三角形，然后求出点C和点D的纵坐标，然后根据“远关联点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴A、B关于y轴对称，， ∵， ∴P点在y轴上， ∴线段的“关联点”是，，， 当时，， ∴， ∴，     ∴是线段的“近关联点”， 当时，， ∴， ∴， ∴是线段的“近关联点”， 当时，， ∴， ∴， ∴点是线段AB的“远关联点”， 故答案为：，； （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ①设点P的坐标为， ∴，， ∵点在轴上，且为线段的“关联点”， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点的坐标为． 故答案为：； ②如图所示，过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点C和点D在的垂直平分线上 ∴， ∴线段的“关联点”在的垂直平分线 ∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”； ∵和关于对称 ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴点D的纵坐标为6 ∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”； 综上所述，点的纵坐标或时，点为线段的“远关联点”． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了新定义，勾股定理，含角的直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握新定义，勾股定理解直角三角形，含角的直角三角形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质是解题的关键． 43．（22-23八年级上·北京怀柔·期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，． (1)①在图1中补全图形； ②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形． 请你回答是 三角形； ③利用图1证明这个结论． (2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P． ①按要求画出图形； ②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）； ③证明②的结论． (3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________． 【答案】(1)①图形见详解；②等边；③证明见详解； (2)①图形见详解；②；③证明见详解； (3)． 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②③通过证明，从而判定是等边三角形； （2）①根据题意画图即可；②③由已知可知：点关于直线的对称点一定在上，先证明，当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立即的最小值等于，即结论得证； （3）连接并延长交于，设交于点，先证明最小；再根据的值最大，可知点与点重合，点在上，最后证明得到． 【详解】（1）解：①补全图形如图1所示： ②根据题意可知，是等边三角形； 故答案为：等边； ③点E关于直线的对称点是点F， 垂直平分线段， ， 又是等边三角形，且是中线， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：①如图1， 可知， 为直角三角形， 边是定值，要使斜边最大，则最大， 当点与点重合时，最大， 故当点与点重合时，点关于直线的对称点即为所求点； 如图2所示： ②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值等于； 答案为：； ③如图，由已知可知：点关于直线的对称点一定在上， ， 又是等边三角形，且是中线， 垂直平分线段， ， ， 由图可知：， 当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立， 即的最小值等于， 故在上存在一点Q，使的值最小，且这最小值等于； （3）解：如图，连接并延长交于，设交于点， 点E关于直线的对称点是点F， 最小； 又的值最大， 点与点重合，点在上，如图， 是等边三角形， ， ， ， ， 为线段的中点， ； 故答案为：． 【点睛】此题是关于等边三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理与性质、添加适当的辅助线是解答此题的关键． 44．（21-22八年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形上各点的最短距离为，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”． 已知点，． （1）在点，，中，______是点A和点O的“等距点”； （2）在点，，中，______是线段OA和OB的“等距点”； （3）点为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和OB的“等距点”． ①当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由； ②若点P在内，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】（1）点E；（2）点H；（3）①存在，点P的坐标为（7，7）；② 【分析】（1）根据“等距点”的定义，即可求解； （2）根据“等距点”的定义，即可求解； （3）①根据点P是线段OA和OB的“等距点”，可设点P（x，x）且x＞0，再由点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到 ，即可求解； ②根据点P是线段OA和OB的“等距点”， 点P在∠AOB的角平分线上，可设点P（a，a）且a＞0，根据OA=OB，可得OP平分线段AB，再由点P在内，可得 ，根据点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到，整理得到，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴点是点A和点O的“等距点”； （2）根据题意得：线段OA在x轴上，线段OB在y轴上， ∴点到线段OA的距离为1，到线段OB的距离为2， 点到线段OA的距离为2，到线段OB的距离为2， 点到线段OA的距离为6，到线段OB的距离为3， ∴点到线段OA的距离和到线段OB的距离相等， ∴点是线段OA和OB的“等距点”； （3）①存在，点P的坐标为（7，7），理由如下： ∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上， ∴可设点P（x，x）且x＞0， ∵点P是点A和点C的“等距点”， ∴ ， ∵点C（8，0），， ∴ ， 解得： ， ∴点P的坐标为（7，7）； ②如图， ∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上， ∴点P在∠AOB的角平分线上， 可设点P（a，a）且a＞0， ∵，． ∴OA=OB=6， ∴OP平分线段AB， ∵点P在内， ∴当点P位于AB上时， 此时点P为AB的中点， ∴此时点P的坐标为 ，即 ， ∴ ， ∵点P是点A和点C的“等距点”， ∴ ， ∵点，， ∴， 整理得： ， 当 时，点C（6，0）， 此时点C、A重合，则a=6（不合题意，舍去）， 当时， ， ∴，解得： ， 即若点P在内，满足条件的m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 45．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.11 勾股定理（与勾股定理有关的计算问题） 题型一 用勾股定理解三角形 1．（22-23八年级上·北京石景山·期末）在等腰中，，，则底边上的高为（    ） A．12 B． C． D．18 2．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，垂足分别是、、，，，，则的面积是（　　） A．48 B． C．96 D． 3．（22-23八年级上·北京延庆·期末）如图，中，，是的平分线，E是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．2 4．（21-22八年级上·北京密云·期末）如图， ，，点在射线上，若为钝角三角形，则线段长满足的条件为（  ） A． B． C．或 D． 题型二 已知两点坐标求两点间的距离 1．（24-25八年级上·浙江·期末）点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）新知引入；在平面直角坐标系中，任意两点之间的位置关系有以下三种情形： ①如果轴，则； ②如果轴，则； ③如果与轴、轴均不平行，如图1，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线相交于点，则点的坐标为，由得，由得，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式：． (1)概念理解：若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则__________， __________________； (2)迁移应用：若点的坐标为，点的坐标为，点是轴上的动点，直接写出的最小值：_________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请写出此三角形的形状________． (4)思维升华：已知，利用数形结合思想，求的最小值． 题型三 勾股数问题 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________； (2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 3．（23-24八年级下·北京·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 4．（23-24八年级下·北京·期末）直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 题型五 勾股定理的证明 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 2（24-25八年级上·河南郑州·期末）意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．图①中两个正方形的边长分别为，，空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 题型六 勾股定理与无理数 1．（21-22八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（    ）    A． B．4 C． D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 4（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）学习了无理数之后，数的领域扩大到了实数的范围，且实数和数轴上的点是一一对应的．因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直径为1的圆从原点O出发向右滚动一圈，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点A，则点A表示的实数是_______； (2)如图②，在数轴上有一个直角三角形如图所示放置，直角边BC落在数轴上，点B与数轴原点O重合，，以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的实数是_______； (3)在图③中，利用尺规作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 题型一 利用分类讨论思想求直角三角形边长 1．（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）已知是直角三角形的两边，且满足，则此直角三角形的第三边长为 ． 2．（22-23八年级上·四川乐山·期末）已知直角三角形的两边分别为6，10，则剩下一边的长度为 ． 题型二 勾股定理与折叠问题 1．（22-23八年级上·北京昌平·期末）在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 2．（22-23八年级下·北京怀柔·期末）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，有一张直角三角形纸片沿直线折叠，使一直角边落在斜边上，且点与点重合，已知，，则的长是 ． 4．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 题型三 利用勾股定理证明线段的平方关系 1．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证：(1)； (2)． 2．（20-21八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证： ． 3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 4．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．    (1)如图1， ①求证：． ②线段之间存在的数量关系为_________． (2)如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长． 5．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 题型四 以弦图为背景的计算题 32．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 33．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 34．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 35．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则 ． 41．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 42．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”． (1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______． (2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______； ②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______． 43．（22-23八年级上·北京怀柔·期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，． (1)①在图1中补全图形； ②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形． 请你回答是 三角形； ③利用图1证明这个结论． (2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P． ①按要求画出图形； ②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）； ③证明②的结论． (3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________． 44．（21-22八年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形上各点的最短距离为，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”． 已知点，． （1）在点，，中，______是点A和点O的“等距点”； （2）在点，，中，______是线段OA和OB的“等距点”； （3）点为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和OB的“等距点”． ①当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由； ②若点P在内，请直接写出满足条件的m的取值范围． 45．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $