12.5全等三角形的判定（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

12.5全等三角形的判定 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 SSS SAS ASA 新课探索 AAS HL 讲义内容 添加条件使三角形全等 全等三角形的性质和ASA(AAS)综合 全等三角形性质和SAS综合 题型练习 全等三角形和SSS综合 全等三角形的综合问题 新 课 探 索 一、SSS(边边边)判定定理 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 二、SAS(边角边)判定定理 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 三、ASA（角边角)判定定理 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 四、AAS（角角边)判定定理 如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 五、L(斜边、直角边)判定定理（仅适用于直角三角形） 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。 题 型 练 习 添加条件使三角形全等 1,如图，己知∠ACB=∠ACD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是 () D A.CB=CD B.AC平分∠BAD C.AB=AD D.∠B=∠D 2.如图，AB=CD,要使△ABC≌△DCB,需要添加的条件是() D A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBCC.∠ABC=∠DCBD.AC=BC 3.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，可直接用“HL”判定这两个三角形全 等的条件是( A D Q A.AB=DE,AC=DF B.AB=DE,BC=EF C.AB=DE,∠A=∠D D.AC=DF,∠A=∠D 4.如图，点C是线段AB的中点，且∠CAD=∠BCE,若使aACD≌△CBE,需添加一个条 件，你认为添加的条件不能是() A.CD=BE B.AD=CE C.∠D=∠E D.CD∥BE 5.如图，己知AB=AC,AD=AE,现添加以下一个条件仍不能判定△ABD≌△ACE的是 () A.∠BAD=∠CAE B.∠B=∠C C.∠BAC=∠DAE D.BD=CE 全等三角形的性质和ASA(AAS)综合 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.若 DE=5,BE=3,则AD的长为() A.8 B.6 C.4 D.2 7.如图，在△ACE和△DBF中，AEDF,AE=DF,∠E=∠F,AD=18,AB=4,则BC 的长度为() B A.14 B.12 C.10 D.8 8.如图，己知ABC,BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P,连接PC,若△BPC的面积 为5cm2,则ABC的面积为() C A.5cm2 B.7.5cm2 C.10cm2 D.12.5cm2 9.如图，要测量河岸相对两点A,B的距离，已知AB垂直于河岸BF,先在BF上取两点 C、D,使CD=CB,再过点D作BF的垂线段DE,使点A,C,E在一条直线上，测出 DE=30米，则AB的长是() A.30米 B.20米 C.15米 D.10米 1O.如图，在ABC中，AB=AC,在AB,AC上分别截取相等的两条线段AE,AD,连接 CE,BD交于点F,则下列结论正确的是() B A.LABD=∠BCE B.∠AEC+∠ADB=180° C.AE=CD D.△BEF≌△CDF 全等三角形性质和SAS综合 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是ABC外一点，BE=BA, ∠E=∠C,若DE-号0，D}D=号BDE的面积为() B B.5 D.i 12.如图，ABC中，AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°，则∠DEF的度数是 () A.75° B.70° C.65° D.60 13.如图，AE=AC,DE=BC,∠AED=∠ACB=1O5°，BC的延长线经过点E,交AD于 F,∠D=50°，∠AFE=80°，则∠CAD的度数是() D B A.3 B.4° C.5° D.6° 14.如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠2-∠1等于() A.90° B.75 C.60° D.45° 15.图所示，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=24°，∠2=26°，则∠3的度数为() E D B A.52 B.48 C.50° D.60° 全等三角形和SSS综合 16.如图，在ABC中，点D在BC上，连接AD,AB=AC,BD=CD,则∠ADB的度 数为() D A.89° B.90° C.91° D.92° 17.如图，在ABC与△ADC中，AB=AD,CB=CD,∠BAD=46°，则∠BAC的度数是 () B D A.92° B.46° C.23° D.24° I8.如图，已知ABC与ADE,点E在BC上，AD=AB,AE=AC,DE=BC.若 ∠1=25°，则∠2的度数为() A.20° B.25° C.30° D.359 19.如图在ABC中，∠ABC=∠ACB=70°，分别以AB,AC为边作△ADB与△CEA,已知 BD=AE,AD=CE,∠D=100°，则∠DAE的度数为(). B A.100° B.110° C.120 D.140° 20.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠A0B的边OA、OB上分别取 OM=ON,移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线 OP,做法中用到三角形全等的判定方法是() B M A A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 全等三角形的综合问题 21.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD,AC、BD交于点O. D M D 图1 2 (1)证明：△A0B≌△C0D; (2)如图2，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若S图边形4BcD=8,求S。4OM+SBON: 22.如图是由小正方形组成的9x9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.如图，A,B,C 均为格点，在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线。 图1 图2 图3 (1)在图1中，画△PQC,使得△PQC≌△ABC; (2)在图2中，过点C画直线m,使得直线m平分△ACB; (3)在图3中，画ABC的高AE; 23.如图，△ABD和△ACD有一条公共边. B D 2 (1)命题“如果BD=CD,∠B=∠C,那么∠1=∠2”是 命题.（填“真”或“假”) (2)从∠1=∠2；∠B=∠C；BD=CD中任选两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真 命题，并加以证明 24.如图，某数学小组想要测量倾斜的树OP的长，设计了如下方案：①在点P的正下方地 面1上取一点Q,测得OQ的长；②在OP上取一点M,使OM=OQ;③过点M作 NM⊥OP交地面I于点N；④测得ON的长就是OP的长.（假设所有的点都在同一平面内.） M N地面1 (1)请你说明这样设计的理由； (2)设PQ与MN交于点K,求证：PK=NK. 25.已知：ABC和△A'B'C',D、D分别为BC、B'C'中点，且AD=AD',AB=AB. ' (I)当BD=B'D'时，求证：△ABC≌△A'B'C (2)当AC=AC时，求证：△ABC≌△A'B'C' 12.5全等三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、SSS（边边边）判定定理 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 二、SAS（边角边）判定定理 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 三、ASA（角边角）判定定理 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 四、AAS（角角边）判定定理 如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 五、HL（斜边、直角边）判定定理（仅适用于直角三角形） 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。 型 习 练 题 添加条件使三角形全等 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 由于，为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：，， 当添加时，可根据“边角边”证明，所以选项不符合题意； 当添加平分时，，可根据“角边角”证明，所以选项不符合题意； 当添加时，不能判断，所以选项符合题意； 当添加时，可根据“角角边”证明，所以选项不符合题意． 故选：． 2．如图，，要使，需要添加的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得，，已经有两边对应相等，则要使得，只能添加夹角相等或第三组边对应相等，即可作出判断． 【详解】解：∵，， ∴只能添加， ∴， 故选：C． 3．如图，在和中，，可直接用“”判定这两个三角形全等的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形的全等的判定方法． 根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：在、中，， A、，，可以根据证明三角形全等，本选项符合题意； B、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； C、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； D、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，点是线段的中点，且，若使，需添加一个条件，你认为添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，，则可以添加一个边从而利用来判定其全等，或添加一个角从而利用、来判定其全等． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又， 若添加，不能证明，故A符合题意； 若添加，，故B不符合题意； 若添加，，故C不符合题意； 若添加，则，，故D不符合题意； 故选：A． 5．如图，已知，，现添加以下一个条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据已知两组对应边对应相等，结合全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：，， A．若，则符合“”，，恰当，故本选项不符合题意； B．若，则符合“”，不能判定，不恰当，故本选项符合题意； C．若，则，即，符合“”，，恰当，故本选项不符合题意． D．若，则根据“”，，恰当，故本选项不符合题意； 故选：B． 全等三角形的性质和ASA(AAS)综合 6．如图，在中，，，于点E，于点D．若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 7．如图，在和中，，，，，，则的长度为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易证，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故选：C． 8．如图，已知，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中线的性质． 延长，交于点，证明，可得，可得，，可得，即可得的面积． 【详解】解：延长，交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故选：C． 9．如图，要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点、，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，测出米，则的长是（   ） A．30米 B．20米 C．15米 D．10米 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的应用. 根据证明，即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， 故选：A． 10．如图，在中，，在上分别截取相等的两条线段，连接交于点，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟知各种判定方法是解题的关键．根据题意先利用判定证明，从而有，，，再用判定证，从而能一一判别各选项的正误． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴并不能证明出，，，故A、B、C选项错误，D选项正确， 故选：D． 全等三角形性质和SAS综合 11．如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，的面积为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．在上截取，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， 在上截取，如图所示： 在与中 ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 12．如图，中，，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和定理，首先证明，进而得到，再根据三角形内角和计算出的度数，进而得到的度数，然后可算出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13．如图，，的延长线经过点，交于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，证明，根据全等三角形的性质求出，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 又， ， ， 故选：C． 14．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 15．图所示，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法和性质．证明，推出，再利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：C． 全等三角形和SSS综合 16．如图，在中，点D在上，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定是解题的关键． 先证明，再根据全等三角形的性质以及邻补角互补求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选B． 17．如图，在与中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过证明两个三角形全等，得出角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， 又， ， 故选：C． 18．如图，已知与，点在上，，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，，得证，故，运用三角形外角性质，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 19．如图在中，，分别以为边作与，已知，，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和，熟悉全等三角形的判定与性质以及三角形内角和为是解题的关键． 先根据全等判定定理证明，可得，结合三角形内角和为即可求解． 【详解】， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 20．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是． 证明如下： 由题意得，， 在和△中， ， ∴， ∴， 故为的平分线． 故选：A． 全等三角形的综合问题 21．如图，在四边形中，且交于点． (1)证明：； (2)如图2，过点的直线分别交、于点、，若，求； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）利用证明即可； （2）由得到，，，即可得到，再证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图2中，过点C画直线m，使得直线m平分； (3)在图3中，画的高； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的高，熟练运用网格的特点是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等的性质，在网格中找到适合的点和点，使得的三边分别与的三边相等； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，作出直线即可； （3）依据三角形高的定义，从点向边作垂线，垂足，连接即可． 【详解】（1）解：利用网格的特点，使、、，如图： （2）解：构造以为对角线的的矩形，作出另一条对角线，过两条对角线的交点和点作出直线，如图： （3）解：从点向边作垂线，借助网格的直角，找到过点且与边所在直线垂直的直线，这条直线与边所在直线的交点即为垂足，连接，如图： ． 23．如图，和有一条公共边． (1)命题“如果，，那么”是______命题．（填“真”或“假”） (2)从；；中任选两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 【答案】(1)假 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）“边边角”无法证明全等； （2）根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】（1）解：，，无法证明全等，不能推出； 故答案为：假； （2）解：命题1：如果，，那么； 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：如果，，那么； 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，某数学小组想要测量倾斜的树的长，设计了如下方案：①在点的正下方地面上取一点，测得的长；②在上取一点，使；③过点作交地面于点；④测得的长就是的长．（假设所有的点都在同一平面内．） (1)请你说明这样设计的理由； (2)设与交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、掌握相关定理内容即可； （1）证即可说明； （2）根据，得，推出，证，即可； 【详解】（1）解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 25．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证： (2)当时，求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得到，根据三角形的中线的性质得到，即可得出结论； （2）如图，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，先证明，得到，同理，得到，进而得到，证明，得到，同理，进而得到，再利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵、分别为、中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， 在和中， ，     ， ， 同理， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $