精品解析：河北省保定市易县2025-2026学年上学期期中考试八年级数学 试题

2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法判断 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各图中、、为的边长，根据图中标注数据，判断甲、乙、丙、丁四个三角形和如图不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 垂直平分 9. 在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若，则∠MGE的度数为（ ） A. 50° B. 90° C. 40° D. 80° 10. 如图，某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量，李师傅设计了一个方案．补充内容不正确的是（ ） （1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C； （2）连接BC并延长到E，使得 △ ； （3）连接AC并延长到D，使得 ▽ ； （4）连接 ○ 并测量出它的长度，即为AB的长； （5）上述方案的依据是 ◇ ． A. △代表 B. ▽代表 C. ○代表DE D. ◇代表SSS 11. 如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上，当△ABC是直角三角形时，AC的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 4或1 12. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ） A. 9 B. 15 C. 24 D. 27 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点与点关于轴对称，则______． 14. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为________． 15. 如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出______个． 16. 如图，直线，M，N分别为直线a和直线b上的点，连接，，P是线段上的一动点，直线始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E．当是等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放．简称“四艺”．从如图1所示的风筝中可以抽象出几何图形（图2），其中，． （1）猜想和的数量关系：______． （2）证明你的猜想． 18. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知△ABC和关于直线l对称． ①请在图中把△ABC和补充完整； ②在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）在直线l上画出点P，使得最短． 19. 如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 20. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒. （1）当t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分； （2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC=______ （3）当t=______时，△BPC的面积为18. 21. 【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 22. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（ ）． A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA （2）AD的取值范围是（ ）． A. B. C. D. （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 23. 【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 24. 【问题呈现】 如图，，是的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接CD，BC，BD． 【特例研究】 （1）如图1，若，则____，的形状为____三角形． 【一般研究】 （2）如图2，若，请判断的形状，并证明你的结论． 【拓展研究】 （3）如图3，，OP平分，且．若点G，H分别在射线OE，OF上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数一共有多少？请直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选：B． 3. 下列各图中、、为的边长，根据图中标注数据，判断甲、乙、丙、丁四个三角形和如图不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，掌握三角形的判定方法，会用， ， ，，来识别图形是否全等，看清条件，选择恰当的判定方法是解题的关键． 由已知得，利用全等三角形的判定即可判断． 【详解】解：如图： 由已知得， A. 与的夹角未定，因此与不一定全等，则选项A 符合题意； B.利用可证全等， C.利用可证全等， D. 利用可证全等， 故选：A； 4. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 5. 如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，先证明，求解，再进一步求解可得答案. 【详解】解：∵，于点， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴，. 故选：B． 6. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,根据轴对称图形的概念进行设计即可． 【详解】解：如图所示： 故选：C 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念． 7. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，根据作图得到，同位角相等，两直线平行，得到，进而得到，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴， 条件不足，无法得到； 故选A． 8. 如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 9. 在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若，则∠MGE的度数为（ ） A. 50° B. 90° C. 40° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形对折的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ∵， ∴ ∴ 故选D； 【点睛】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 10. 如图，某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量，李师傅设计了一个方案．补充内容不正确的是（ ） （1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C； （2）连接BC并延长到E，使得 △ ； （3）连接AC并延长到D，使得 ▽ ； （4）连接 ○ 并测量出它的长度，即为AB的长； （5）上述方案的依据是 ◇ ． A. △代表 B. ▽代表 C. ○代表DE D. ◇代表SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：（1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C； （2）连接BC并延长到E，使得CE=BC；故A项正确， （3）连接AC并延长到D，使得CD=CA；故B项正确， （4）连接DE并测量出它的长度，即为AB的长；故C项正确， （5）上述方案的依据是SAS．故D项错误， 故选；D． 【点睛】本题主要靠查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 11. 如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上，当△ABC是直角三角形时，AC的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 4或1 【答案】D 【解析】 【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，即可求出AC的值． 【详解】解：如图， 当△ABC是直角三角形时，有△ABC1，△ABC2两种情况，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2， 在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°， ∴∠ABC1＝30°， ∴AC1＝AB＝1； 在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°， ∴∠AC2B＝30°， ∴AC2＝4， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 12. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ） A. 9 B. 15 C. 24 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质； 连接．求出的最小值可得结论． 【详解】如图，连接， 垂直平分线段， ， 当P和E重合时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为9， 的周长的最小值为， 故选：B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点与点关于轴对称，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的横坐标相同、纵坐标互为相反数，列式求出和的值，再计算它们的和，即可作答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得， ∴ ， 故答案为：1 14. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H， 由作图痕迹知平分，，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：2． 15. 如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查网格作图、勾股定理、全等三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 由网格知，，根据勾股定理解得的长，再由全等三角形对应边相等的性质，作图即可． 【详解】解：如图： 共4个． 故答案为：4． 16. 如图，直线，M，N分别为直线a和直线b上的点，连接，，P是线段上的一动点，直线始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E．当是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论是解题的关键． 根据等腰三角形底边不同，需要分类讨论三种情况，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：，， ①当时，，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，的值是或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放．简称“四艺”．从如图1所示的风筝中可以抽象出几何图形（图2），其中，． （1）猜想和的数量关系：______． （2）证明你的猜想． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等来解答． （1）猜想和相等； （2）利用证明和全等即可得出结论． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 证明：在和中， ． ． 18. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知△ABC和关于直线l对称． ①请在图中把△ABC和补充完整； ②在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）在直线l上画出点P，使得最短． 【答案】（1）①如图；②； （2）见上图． 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、作图-轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）①根据轴对称的性质作图即可；②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）连接，与直线l交于点P，连接，此时最短． 【小问1详解】 解：如图，和即为所求； 由题意可得，点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求． 19. 如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2） 证明：， . 又，， . 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒. （1）当t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分； （2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC=______ （3）当t=______时，△BPC的面积为18. 【答案】(1)6.5；(2)1：4；(3)或. 【解析】 【分析】（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （2）求出当时，与的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可； （3）分两种情况：①当P在AC上时；②当P在AB上时． 【详解】（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时 ∵点P在AB中点 ∴ ∴CA+AP=12+7.5=19.5（cm）， ∴3t=19.5， 解得t=6.5． 故当t=6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分； （2）5×3=15， AP=15-12=3， BP=15-3=12， 则S△APC：S△BPC=3：12=1：4； （3）分两种情况： ①当P在AC上时， ∵△BCP的面积=18， ∴×9×CP=18， ∴CP=4， ∴3t=4， ∴t=； ②当P在AB上时， ∵△BCP的面积=18，△ABC面积=， ∴ ∴3t=12+15×=22， 解得t=． 故t=或秒时，△BCP的面积为18． 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握中线的性质、等高的三角形面积比等于底边的比、三角形的面积公式是解题的关键． 21. 【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（ ）． A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA （2）AD的取值范围是（ ）． A. B. C. D. （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【答案】（1）B （2）C （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 ∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； 【小问2详解】 ∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE=AC=6，AE=2AD， ∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 【小问3详解】 延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM． ∵AD是△ABC中线 ∴CD＝BD ∵在△ADC和△MDB中 ∴ ∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等） ∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等） ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角） ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠M， ∴BF＝BM（等角对等边） 又∵BM＝AC， ∴AC＝BF． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 23. 【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 【答案】（）是； （）如图所示： （）如图所示： （）如图所示： 由图可得的值为或． 【解析】 【分析】（）根据新定义画出图形即可判断； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． 【详解】解（）如图，可以分割成两个小的等腰三角形， ∴是“可两分三角形”， 故答案为：是； （）略 （）略 （）略 24. 【问题呈现】 如图，，是的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接CD，BC，BD． 【特例研究】 （1）如图1，若，则____，的形状为____三角形． 【一般研究】 （2）如图2，若，请判断的形状，并证明你的结论． 【拓展研究】 （3）如图3，，OP平分，且．若点G，H分别在射线OE，OF上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数一共有多少？请直接写出结论． 【答案】（1），等边；（2）是等边三角形，证明见解析；（3）无数个 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据四边形的内角和得到，由角平分线的性质得到，即可求解； （2）过点作于，作于，则，根据角平分线的性质得到，证明，得到，最后根据四边形的内角和得到，即可判定； （3）由角平分线的定义可得，先构造出等边三角形，找出特点，即可得出结论． 【详解】解：（1），， ，，， 是的平分线，，， ， 是等边三角形， 故答案为：，等边； （2）是等边三角形， 证明：如图2，过点作于，作于，则， 是的平分线，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 是等边三角形； （3）如图3，，OP平分， ， 在上截取，连接， 是等边三角形，此时点与点重合， 同理：是等边三角形，此时点与点重合， 将等边绕点逆时针旋转到等边，在旋转过程中，边、所在直线分别和、相交（如图中，）和点围成的三角形全部都是等边三角形（证法同（2）），（旋转角的范围是到，包括和）， 满足条件的的个数有无数个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $