专题07 概率初步（期末真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题07概率初步 6大高频考点概览 考点01 判断事情发生可能大小 考点02 概率公式 考点03 事件的分类 考点04 列表法或树状法求概率 考点05 频率估计概率 考点06 游戏的公平性 地 城 考点01 判断事情发生可能大小 一、选择题 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列说法正确的是（   ） A．“我市明天下雨的概率为”，意味着我市明天有的时间下雨 B．任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次 C．从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件 D．“某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中奖 2．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 D．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）一个不透明袋子中装有8个红球、个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2 5．（24-25九年级上·云南普洱·期末）下列说法正确的是（    ） A．“概率为0.0001”的事件是不可能事件 B．“种瓜得瓜，种豆得豆”在生物学上是必然事件 C．任意投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 D．“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 6．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．掷一枚硬币，国徽面朝上 B．圆的直径平分任意一条弦 C．没有水分，种子发芽 D．任意三角形都具有稳定性 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数 C．了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式 D．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 8．（24-25九年级上·广东中山·期末）“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（       ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定 地 城 考点02 概率公式 一、选择题 1．(24-25九年级上·广西南宁·期末)掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九年级上·陕西安康·期末)在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，转动质地均匀的正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于4的概率是（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 4．(24-25九年级上·重庆市·期末)不透明袋子中装有10个球，其中有4个绿球、3个黑球、3个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则是绿球的概率为 ． 5．(24-25九年级上·陕西安康·期末)从一组数，，，0，1，2，3中随机选一个数，恰好是非负数的概率为 ． 6．(24-25九年级上·江西南昌·期末)不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黄球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是 . 7．(24-25九年级上·重庆市·期末)元旦节期间电影院热映了3部电影、、，李华和王明两央分别从热映的3部电影中任意选择1部观看，李华和王明选择以上3部电影的可能性相同． (1)求李华选择电影的概率； (2)请通过画树状图的方法，求李华和王明选择同一部电影的概率． 地 城 考点03 事件的分类 一、选择题 1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)下列事件中，是随机事件的是（   ） A．太阳从西边落山 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．投一次骰子，朝上面的点数是7 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这一事件是（    ） A．确定性事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 3．(24-25九年级上·重庆市·期末)下列事件中是随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．掷一次骰子，向上一面的点数是7 D．在平面内任意画一个三角形，其内角和 4．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．水涨船高 D．守株待兔 5．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．射击运动员射击一次，命中十环 B．抛掷一枚硬币，反面朝上 C．向空中抛出的排球会落地 D．太阳西升东落 6．（24-25九年级上·全国·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．2021年全年有402天 B．打开电视，正在播放广告 C．刚出生的婴儿体重 D．袋中只有10个红球，任意摸出1个球是红球 7．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）“打开电视机，正在播放世界杯小组赛中国对波多黎各的比赛”这个事件是（　　） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定事件 8．（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 地 城 考点04 列表法或树状法求概率 1、 非选择题 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌． (1)摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ (2)摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 4．(24-25九年级上·江西南昌·期末)将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上．请用树状图或列表法解答下列问题： (1)从中随机抽取两张卡片，求卡片正面上的数字之积大于4的概率； (2)若先从中随机抽取一张卡片(不放回)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，求组成的两位数恰好是3的倍数的概率． 5．(24-25九年级上·广西南宁·期末)樱桃番茄又称圣女果，果皮颜色有红、黄色之分，因维生素含量高而广受喜爱．某农科所希望通过杂交育种的方式培育需要的圣女果品种． 【知识理解】 根据遗传学知识，红色果皮圣女果的基因组成是或，黄色果皮圣女果的基因组成是．若将一株红色果皮圣女果作为父本，与一株黄色果皮圣女果作为母本进行杂交，我们可以通过列表法或树状图法表示子一代圣女果的基因组成． 列表法 父本基因组成母本基因组成 A A a Aa Aa a Aa Aa 【知识应用】 (1)若实验员将一株红色果皮圣女果与一株黄色果皮圣女果进行杂交，请通过列表法或树状图法，求子一代圣女果是红色果皮的概率． (2)农科所计划扩大圣女果杂交规模．将基因组成与基因组成的圣女果进行杂交（排除其他因素干扰），培育得到5000株后代，请估计圣女果是红色果皮的有多少株？ 6．(24-25九年级上·陕西安康·期末)课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． (1)在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 7．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； (2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； (3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 地 城 考点05 频率估计概率 一、选择题 1．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 3．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25九年级上·山东济南·期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 二、非选择题 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 7．(24-25九年级上·广西南宁·期末)某乒乓球生产厂从一批乒乓球中，抽取部分进行质量检测，结果如下表： 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 476 954 1902 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.952 0.954 0.951 根据频率的稳定性，从这批产品中任意抽取一个乒乓球，估计抽到优等品的概率是 （结果保留小数点后两位）． 8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为 ；由此估计图形的面积为 平方米． 地 城 考点06 游戏的公平性 一、非选择题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【 3．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 5．（24-25九年级上·广东珠海·期末）甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域的数字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的箱子中装有4个除颜色外都相同的球，分别是2个红球，1个黑球和1个白球． (1)从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为______． (2)小明和小贝按如下的规则做摸球游戏，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 游戏规则： 小明先从箱子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再让小贝随机摸出一个球，记下颜色，若两人所摸球的颜色相同，则小明胜；反之，则小贝胜． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同． (1)若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________； (2)将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由． 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）绝大多数的彩色都可以利用红、绿、蓝三种颜色按不同比例混合而成，这叫做三原色原理．如：红色与蓝色重叠现紫色，红色与绿色重叠现黄色…小刚和小亮利用如图所示的两个转盘作游戏，转动两个转盘各一次，若配成紫色小刚嬴，若配成黄色小亮赢．请利用画树状图或者列表的方法说明这个游戏是否公平． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07概率初步 6大高频考点概览 考点01 判断事情发生可能大小 考点02 概率公式 考点03 事件的分类 考点04 列表法或树状法求概率 考点05 频率估计概率 考点06 游戏的公平性 地 城 考点01 判断事情发生可能大小 一、选择题 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列说法正确的是（   ） A．“我市明天下雨的概率为”，意味着我市明天有的时间下雨 B．任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次 C．从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件 D．“某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中奖 【答案】B 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】概率表示可能性的大小，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生．本题主要考查了事件的分类，概率的定义，解本题的要点在于了解概率值越大表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生． 【详解】解：A、下雨的概率为，表示明天降雨的可能性有六成，即下雨的可能性较大，故该选项不符合题意； B、任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次，故该选项符合题意； C、从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是随机事件，故该选项不符合题意； D、“某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票不一定会有1张中奖，故该选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【答案】D 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 D．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 【答案】D 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率最小”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； D、“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）一个不透明袋子中装有8个红球、个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了可能性的大小的知识，根据摸到哪种球的可能性最大，哪种球的数量最大确定答案即可． 【详解】解：∵摸到红球的可能性最大， ∴三种颜色的球红球数量最大， ∴， ∴各个选项中，的值不可能为， 故选：A． 5．（24-25九年级上·云南普洱·期末）下列说法正确的是（    ） A．“概率为0.0001”的事件是不可能事件 B．“种瓜得瓜，种豆得豆”在生物学上是必然事件 C．任意投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 D．“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 【答案】B 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义，理解并掌握相关定义是解题关键．根据不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义（即根据事件发生的可能性大小）逐项判断即可． 【详解】解：A、“概率为0.0001”是随机事件，本选项不符合题意； B、“种瓜得瓜，种豆得豆”在生物学上是必然事件，本选项符合题意； C、任意投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，本选项不符合题意； D、“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，本选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．掷一枚硬币，国徽面朝上 B．圆的直径平分任意一条弦 C．没有水分，种子发芽 D．任意三角形都具有稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用、利用垂径定理求解其他问题、事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、掷一枚硬币，国徽面朝上，是随机事件，故此选项错误； B、圆的直径平分任意一条弦是随机事件，故此选项错误； C、没有水分，种子发芽是不可能事件，故此选项错误； D、任意三角形都具有稳定性，属于必然事件，故此选项正确； 故选：D． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数 C．了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式 D．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 【答案】A 【知识点】判断全面调查与抽样调查、事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】根据事件的定义，调查方式，可能性，解答即可． 本题考查了事件的分类，调查方式，可能性，正确掌握分类，调查方式和可能性是解题的关键． 【详解】解：A. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，说法错误， 本选项符合题意； B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数是随机事件，正确； 本选项不符合题意；     C. 了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式，正确， 本选项不符合题意；     D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，正确， 本选项不符合题意； 故选：A． 8．（24-25九年级上·广东中山·期末）“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（       ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是随机事件， 故选：A． 地 城 考点02 概率公式 一、选择题 1．(24-25九年级上·广西南宁·期末)掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率公式计算随机事件的概率是解题的关键． 找出骰子出现点数的结果与可能出现5的结果，再运用概率公式计算即可． 【详解】解：骰子出现点数的结果有6种，可能出现5的结果有1种， ∴向上一面的点数为5的概率是， 故选：A ． 2．(24-25九年级上·陕西安康·期末)在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查已知概率求数量，根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知：， 化为整式方程，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故的值为6， 故选C． 3．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，转动质地均匀的正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于4的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 任意转动正六边形转盘一次，有6种等可能结果，当转盘停止转动时，指针指向小于4的数的有1、2、3这3种结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵任意转动正六边形转盘一次，有6种等可能结果，当转盘停止转动时，指针指向小于4的数的有1、2、3这3种结果， ∴指针指向大于4的数的概率是． 故选：D． 二、非选择题 4．(24-25九年级上·重庆市·期末)不透明袋子中装有10个球，其中有4个绿球、3个黑球、3个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则是绿球的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有4个绿球、3个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机取出1个球， 它是绿球的概率为． 故答案为：． 5．(24-25九年级上·陕西安康·期末)从一组数，，，0，1，2，3中随机选一个数，恰好是非负数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的求解，确定非负数的个数即可求解． 【详解】解：∵均为非负数， ∴随机选一个数，恰好是非负数的概率为：， 故答案为： 6．(24-25九年级上·江西南昌·期末)不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黄球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是 . 【答案】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：∵不透明袋子中装有17个球，其中有个绿球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是：． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 7．(24-25九年级上·重庆市·期末)元旦节期间电影院热映了3部电影、、，李华和王明两央分别从热映的3部电影中任意选择1部观看，李华和王明选择以上3部电影的可能性相同． (1)求李华选择电影的概率； (2)请通过画树状图的方法，求李华和王明选择同一部电影的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）根据画树状图列出所有等可能结果数，再根据概率公式求解即可． 本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 【详解】（1）李华选择电影有三种结果，且选择可能性相同． ∴； （2）根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中恰好选择同一部电影的结果有：，共3种， 恰好选择同一部电影的概率为． 地 城 考点03 事件的分类 一、选择题 1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)下列事件中，是随机事件的是（   ） A．太阳从西边落山 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．投一次骰子，朝上面的点数是7 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，掌握相关定义即可； 【详解】解：A：太阳从西边落山是必然事件，不符合题意； B：任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，不符合题意； C：投一次骰子，朝上面的点数是7是不可能事件，不符合题意； D：随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数是随机事件，符合题意； 故选：D ． 2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这一事件是（    ） A．确定性事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事，称为随机事件，即可求解，本题考查了随机事件，解题的关键是：掌握随机事件的定义． 【详解】解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这一事件是：随机事件， 故选：． 3．(24-25九年级上·重庆市·期末)下列事件中是随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．掷一次骰子，向上一面的点数是7 D．在平面内任意画一个三角形，其内角和 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故A错误； B、随意翻数学书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故B正确； C、掷一次骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故C错误； D、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故D错误； 故选：B． 4．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．水涨船高 D．守株待兔 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A. 竹篮打水是不可能事件，故该选项不符合题意；     B. 水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；     C. 水涨船高是必然事件，故该选项不符合题意； D. 守株待兔是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．射击运动员射击一次，命中十环 B．抛掷一枚硬币，反面朝上 C．向空中抛出的排球会落地 D．太阳西升东落 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 根据事件的分类逐一判断即可． 【详解】A.射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件； B.抛掷一枚硬币，反面朝上，是随机事件； C.向空中抛出的排球会落地，是必然事件； D.太阳西升东落，是不可能事件； 故选：C． 6．（24-25九年级上·全国·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．2021年全年有402天 B．打开电视，正在播放广告 C．刚出生的婴儿体重 D．袋中只有10个红球，任意摸出1个球是红球 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、2021年全年有402天，是不可能事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放广告是随机事件，符合题意； C、刚出生的婴儿体重，是不可能事件，不符合题意； D、袋中只有10个红球，任意摸出1个球是红球，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）“打开电视机，正在播放世界杯小组赛中国对波多黎各的比赛”这个事件是（　　） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定事件 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题主要考查随机事件的知识，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念进行作答，逐选项判定，即可求解． 【详解】解：打开电视机，正在播放世界杯小组赛中国对波多黎哥的比赛这个事件是随机事件， 故选：C； 8．（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键． 根据必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意； B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意； C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不符合题意； D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意． 故选D． 地 城 考点04 列表法或树状法求概率 1、 非选择题 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌． (1)摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ (2)摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【详解】（1）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字之和为4的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字之和为4的概率为； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字相等的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字相等的概率为． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 【答案】(1)；详见解析 (2) (3) 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可； （2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数； （3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率． 【详解】（1）被调查的学生有（名）， 足球人数：（名）， 补全条形统计图如下： （2）， 故答案为：． （3） 共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种， 甲和乙同时被选中的概率． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 4．(24-25九年级上·江西南昌·期末)将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上．请用树状图或列表法解答下列问题： (1)从中随机抽取两张卡片，求卡片正面上的数字之积大于4的概率； (2)若先从中随机抽取一张卡片(不放回)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，求组成的两位数恰好是3的倍数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，解题关键根据题意会用列表法或树状图法表示出所有等可能的结果． （1）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出卡片正面上的数字之积大于4的结果数，然后根据概率公式求解； （2）利用树状图得到共有12种等可能的结果数，再找出组成的两位数恰好是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中卡片正面上的数字之积大于4的结果数为6， 所以卡片正面上的数字之积大于4的概率； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中组成的两位数恰好是3的倍数有：12，21，24，42共4种情况， 所以组成的两位数恰好是3的倍数的概率． 5．(24-25九年级上·广西南宁·期末)樱桃番茄又称圣女果，果皮颜色有红、黄色之分，因维生素含量高而广受喜爱．某农科所希望通过杂交育种的方式培育需要的圣女果品种． 【知识理解】 根据遗传学知识，红色果皮圣女果的基因组成是或，黄色果皮圣女果的基因组成是．若将一株红色果皮圣女果作为父本，与一株黄色果皮圣女果作为母本进行杂交，我们可以通过列表法或树状图法表示子一代圣女果的基因组成． 列表法 父本基因组成母本基因组成 A A a Aa Aa a Aa Aa 【知识应用】 (1)若实验员将一株红色果皮圣女果与一株黄色果皮圣女果进行杂交，请通过列表法或树状图法，求子一代圣女果是红色果皮的概率． (2)农科所计划扩大圣女果杂交规模．将基因组成与基因组成的圣女果进行杂交（排除其他因素干扰），培育得到5000株后代，请估计圣女果是红色果皮的有多少株？ 【答案】(1) (2)2500株 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）先画树状图，再根据树状图计算概率即可； （2）根据概率计算即可得到答案． 【详解】（1）解：利用树状图求概率如下： 由图可知，子一代的基因组成结果共有4种，这些结果出现的可能性相等，恰好是红色果皮的结果有2种， ． （2）解：由（1）可知，基因组成与基因组成的圣女果进行杂交，后代是红色果皮的概率为． 红色果皮的有（株）． 答：估计是红色果皮的有2500株． 6．(24-25九年级上·陕西安康·期末)课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． (1)在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，概率所求情况数与总情况数之比． （1）所有等可能的情况数有3种，其中小灯泡发光的情况只有一种，求出小灯泡发光的概率即可； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合， 其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合， 则（小灯泡发光）； 故答案为：； （2）解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： 共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果， 能够让灯泡发光的概率为：． 7．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； (2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； (3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】(1)200； (2)见解析；90 (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率． （1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数； （2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）本次被调查的学生有：（人）； （2）扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：200；； （2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人）， 故答案为：90； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】(1)①随机；②4，1 (2) 【知识点】已知概率求数量、事件的分类、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②4，1； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 地 城 考点05 频率估计概率 一、选择题 1．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率． 利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 即布袋中黄球可能有个． 故选D． 4．（24-25九年级上·山东济南·期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ， 抽出某个球的颜色最有可能的是黄球； 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】D 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了已知频率求数量，根据一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，摸到红球的频率稳定在0.25左右，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，（个）， ∴袋中红球的个数约为15， 故选：D 二、非选择题 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③/③② 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了根据频率估计概率，概率公式求数量，求概率． 先根据题意求出绿色卡片和红色卡片的数量，再逐一判断即可． 【详解】∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在， ∴抽到红色卡片的概率为， ∴红色卡片有（张），绿色卡片有（张），抽到绿色卡片的概率为， ∴①错误，②正确，③正确． 故答案为：②③． 7．(24-25九年级上·广西南宁·期末)某乒乓球生产厂从一批乒乓球中，抽取部分进行质量检测，结果如下表： 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 476 954 1902 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.952 0.954 0.951 根据频率的稳定性，从这批产品中任意抽取一个乒乓球，估计抽到优等品的概率是 （结果保留小数点后两位）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是明确题意，利用频率估计概率解答． 根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右由此即可估计概率． 【详解】解：根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右 估计抽到优等品的概率是， 故答案为： ． 8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为 ；由此估计图形的面积为 平方米． 【答案】 0.4 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． （1）大量试验时，频率可估计概率； （2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】解：（1）因为石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为0.4； 故答案为：0.4； （2）∵圆的半径为1米， ∴它的面积为， ∵石子落在图形内的概率为， ∴估计图形的面积为平方米， 故答案为：． 地 城 考点06 游戏的公平性 一、非选择题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【知识点】轴对称图形的识别、游戏的公平性 【分析】本题考查了概率的计算与游戏公平性的判断，具体涉及以下知识点：等可能事件概率的计算，游戏公平性的标准，轴对称图形的概念应用，理解这些是计算相关概率的关键前提． 分别计算出小华获胜和妹妹获胜的概率，通过找出妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的所有情况，来计算小华获胜的概率；用总情况数减去小华获胜的情况数得到妹妹获胜的情况数，进而计算妹妹获胜的概率 【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章， 所以总共有 6 种等可能的结果． 通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种， 小华获胜的概率：． 妹妹获胜的概率：． 因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率， 所以此游戏规则不公平． 3．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 【答案】(1) (2)不公平，规则见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； 修改使双方获胜的概率相等即可． 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 一共有6种等可能结果，其中两个数的积为2的倍数有4种结果， 所以，积为2的倍数， 因此小王获胜的概率是 （2）解：不公平， 游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加， 如果和为2的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜答案不唯一 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【知识点】几何概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了概率的定义，概率的统计方式，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关键． （1）先求出盘的数字3扇形区域的圆心角，再利用概率公式即可解答； （2）先用列表法求出所有可能的结果及甲、乙获胜的概率即可解答． 【详解】（1）解：转盘被分成面积相等的三个扇形，盘中数字3所对扇形区域的圆心角为， 盘中数字3所对扇形区域占整体的， ∴转动转盘B，指向的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平 如图，将盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下： 这样指向每个区域的可能性相同 列表得 AB 1 2 2 2 3 4 5 5 5 4 5 6 6 6 5 6 7 7 7 共有12种等可能结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种， ∴， 所以游戏不公平． 5．（24-25九年级上·广东珠海·期末）甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域的数字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 【答案】这个游戏不公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．列表展示所有9种等可能的结果，再找出两次数字不相同得结果数为6，所以甲赢的概率为，则乙赢的概率为，然后比较两个概率的大小可判断游戏规则说法公平． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 共有9种机会均等的结果，其中数字相同的有3种，数字不相同的有6种， 所以，， ∴， ∴这个游戏不公平． 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的箱子中装有4个除颜色外都相同的球，分别是2个红球，1个黑球和1个白球． (1)从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为______． (2)小明和小贝按如下的规则做摸球游戏，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 游戏规则： 小明先从箱子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再让小贝随机摸出一个球，记下颜色，若两人所摸球的颜色相同，则小明胜；反之，则小贝胜． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出共有16种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有6种，两人所摸小球的颜色不同的有10种，进而求解即可． 【详解】（1）∵共有4个除颜色外都相同的球，有1个黑球， ∴从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为； （2）不公平 列表如下： 　小贝小明 红1 红2 黑 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，黑） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，黑） （红2，白） 黑 （黑，红1） （黑，红2） （黑，黑） （黑，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，黑） （白，白） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中颜色相同的有6种，颜色不同的有10种， 小明获胜的概率为，小贝获胜的概率为． ， 这个游戏不公平． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同． (1)若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________； (2)将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了概率公式和列表法与树状图法；游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两个球中有红球的结果数为7，再根据概率公式计算出小张胜的概率和小王胜的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率为 故答案为：． （2）该游戏不公平． 理由如下： 画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两个球中有红球的结果数为7，所以小张胜的概率；，小王胜的概率为 ∵ 所以该游戏不公平． 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）绝大多数的彩色都可以利用红、绿、蓝三种颜色按不同比例混合而成，这叫做三原色原理．如：红色与蓝色重叠现紫色，红色与绿色重叠现黄色…小刚和小亮利用如图所示的两个转盘作游戏，转动两个转盘各一次，若配成紫色小刚嬴，若配成黄色小亮赢．请利用画树状图或者列表的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】公平，见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了用树状图或列表法计算概率，分别计算出小刚、小亮获胜的概率，比较大小即可得出结论，熟练利用树状图或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：如下表所示： 红 蓝 绿 红 （红，红） （红，蓝） （红，绿） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，绿） 绿 （绿，红） （绿，蓝） （绿，绿） 白 （白，红） （白，蓝） （白，绿） 由表可知，共有12种等可能结果，其中配成紫色的有2种结果，其中配成黄色的有2种结果， 所以，， ， 小刚、小亮获胜的概率相同， 故游戏公平． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $