专题05 概率初步（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题05 概率初步 【考点01：事件类型】 【考点02：可能性大小】 【考点03：概率的意义】 【考点04：几何意义】 【考点05：概率公式】 【考点06：列表法与树状图法】 【考点07：游戏的公平性】 【考点08：用频率估计概率】 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 知识点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【考点01：事件类型】 【典例1】下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．明天下雨 B．篮球队员在罚球线投篮一次：未投中 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．任意画一个四边形，其内角将是 【变式1-1】下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．在标准大气压下，水加热到时会沸腾 B．在阳光的照射下，种子发芽 C．氢气在氧气中燃烧生成水 D．太阳绕着地球转 【变式1-2】以下事件为随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．通常加热到时，水沸腾 【变式1-3】一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 【考点02：可能性大小】 【典例2】下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 【变式2-1】把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 【变式2-2】一个不透明的袋子中装有3个黄球、1个白球、4个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到（    ）球的可能性最大． A．黄 B．白 C．红 D．黑 【变式2-3】连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【考点03：概率的意义】 【典例3】下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 C．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 D．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 【变式3-1】下列说法正确的是（　　） A．为了解大庆市中小学生的作业时长大体情况，应采取普查的方式 B．与是同类二次根式 C．天气预报说明天的降水概率是，则明天一定不会下雨 D．一次函数的图象向上平移6个单位长度，得到的函数解析式为 【变式3-2】在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为 ． 【变式3-3】一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 【考点04：几何概率】 【典例4】一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在原盘内各点的机会相等．则飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 【变式4-3】如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为 ． 【考点05：概率公式】 【典例5】小华在商场购物，获得两张奖券，已知两张奖券中奖的概率分别为，，则小华恰中张奖券的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】初三（1）班王同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（   ） A． B． C．1 D． 【变式5-2】为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则“电解水”实验被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．    【考点06：列表法与树状图法】 【典例6】甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【变式6-1】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光“的概率为 ．    【变式6-2】某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． (2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． (3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【变式6-3】云南是西部各省市中最大的地接旅游大省，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．寒假期间，小明和小豪到云南旅游，民宿附近的特产店刚好有鲜花饼、烧饵块、过桥米线、包浆豆腐（用A、B、C、D表示）四种特产美食售卖，两人分别从这四种小吃中选一种购买（选择每种小吃的可能性相同）． (1)用列表法或树状图法表示出两人购买特产美食的所有情况； (2)两人购买同一种特产美食的概率是多少． 【考点07：游戏的公平性】 【典例7】如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个转盘指针所指区域的数字之和为奇数时，甲获胜；数字之和为偶数时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用画树状图或列表法求甲获胜的概率； (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由． 【变式7-1】家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯． (1)用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率． (2)小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【变式7-2】游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． (1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； (2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； (3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 【变式7-3】在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平； (2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由． 【考点08：用频率估计概率】 【典例8】某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 【变式8-1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【变式8-2】忻州市忻府区地处山西省北部，昼夜温差较大，四季分明，全年降水集中，这种气候条件非常适合玉露香梨的生长．某研究院跟踪调查了某批玉露香梨树苗的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批玉露香梨树苗移栽成活的概率约为 ．（结果精确到0.1） 【变式8-3】一个盒子中装有10颗黄色幸运星，若干颗红色幸运星和16颗蓝色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 颗． 一、单选题 1．某校七、八年级分别从四部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片不相同的概率为（  　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适 B．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式 C．一组数据的中位数可能有两个 D．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（   ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 6．在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 8．在一个不透明的袋中装有个红、紫两种颜色的球，除颜色外其他都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到紫球的频率稳定在左右，则袋中紫球大约有 个． 9．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ． 10．已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“一”的概率是0.5，则在一定时间段内、由该元件组成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ． 11．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有 棵． 三、解答题 12．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 13．李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 14．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率初步 【考点01：事件类型】 【考点02：可能性大小】 【考点03：概率的意义】 【考点04：几何意义】 【考点05：概率公式】 【考点06：列表法与树状图法】 【考点07：游戏的公平性】 【考点08：用频率估计概率】 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 知识点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【考点01：事件类型】 【典例1】下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．明天下雨 B．篮球队员在罚球线投篮一次：未投中 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．任意画一个四边形，其内角将是 【答案】D 【分析】此题考查了随机事件和必然事件的定义，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定发生或一定不发生是事件是必然事件，根据定义解答． 【详解】解：A、明天下雨是随机事件，故不符合题意； B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中是随机事件，故不符合题意； C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意； D、任意画一个四边形，其内角将是360°是必然事件，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．在标准大气压下，水加热到时会沸腾 B．在阳光的照射下，种子发芽 C．氢气在氧气中燃烧生成水 D．太阳绕着地球转 【答案】D 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、在标准大气压下，水加热到时会沸腾，是必然事件，故本选项不合题意； B、在阳光的照射下，种子发芽，是可能事件，故本选项不合题意； C、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件，故本选项不合题意； D、太阳绕着地球转，是不可能事件，故本选项符合题意． 故选：D 【变式1-2】以下事件为随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．通常加热到时，水沸腾 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键．根据随机事件的定义，对选项逐个分析即可． 【详解】解：明天太阳从东方升起，这是必然事件，不是随机事件，故A选项错误； 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，这是随机事件，故B选项正确； 任意画一个三角形，其内角和是，这是必然事件，不是随机事件，故C选项错误； 通常加热到时，水沸腾，这是必然事件，不是随机事件，故D选项错误． 故选：B． 【变式1-3】一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意； B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意； C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意； D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 【考点02：可能性大小】 【典例2】下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 【答案】B 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间． 旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件， 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：B ． 【变式2-1】把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的可能性，卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数，据此可得答案． 【详解】解：∵一共有8张卡片，其中写有4的卡片最多，且每张卡片被摸到的可能性相同， ∴摸到可能性最大的数是4， 故选：B． 【变式2-2】一个不透明的袋子中装有3个黄球、1个白球、4个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到（    ）球的可能性最大． A．黄 B．白 C．红 D．黑 【答案】C 【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”．哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可． 【详解】解：∵红球数量最多， ∴摸到红球的可能性最大， 故选：C． 【变式2-3】连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义，概率公式，根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：掷一枚硬币会出现正面朝上和反面朝上两种等可能的情况， 第100次出现正面向上的概率为． 故选：B． 【考点03：概率的意义】 【典例3】下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 C．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 D．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，事件的分类．根据概率的意义，事件分类逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意； B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意； C、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意； D、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】下列说法正确的是（　　） A．为了解大庆市中小学生的作业时长大体情况，应采取普查的方式 B．与是同类二次根式 C．天气预报说明天的降水概率是，则明天一定不会下雨 D．一次函数的图象向上平移6个单位长度，得到的函数解析式为 【答案】B 【分析】本题考査了概率的意义，概率公式，全面调査与抽样调査，同类二次根式及一次函数图像的事平移，熟练掌握这些数学概念、性质是解题的关键． 根据概率的意义，概率公式，全面调査与抽样调査，同类二次根式及一次函数图像的事平移规律，逐一判断即可解答． 【详解】解：A. 为了解大庆市中小学生的作业时长大体情况，应采用抽样调査的方式，故A不符合题意； B. ，，与是同类二次根式，故B符合题意； C.天气预报说明天的降水概率是2%，则明天下雨的可能性是2%，故C不符合题意； D. 一次函数的图象向上平移6个单位长度，得到的函数解析式为，故D不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题的关键． 利用概率的意义直接得出答案． 【详解】∵连续抛掷一枚硬币，有种等可能结果：正面朝上，反面朝上，其中正面向上的只有种情况， ∴正面朝上的概率为：． 故答案为：． 【变式3-3】一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 【答案】4 【分析】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色面最多；红色和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可． 【详解】解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多． 如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面， 但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多， 因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面． 故答案为：4． 【考点04：几何概率】 【典例4】一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．结合图形可得一共有15块方砖，阴影方砖有5块，利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：由图可得，一共有块方砖，阴影方砖有5块， 停在阴影方砖上的概率． 故选：B． 【变式4-1】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在原盘内各点的机会相等．则飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，正多边形与圆，求出阴影部分正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出阴影部分正方形的面积，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】解：记阴影部分正方形为， 连接，交于点， ，， 设，则圆的直径为， ，， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为， 故选：C． 【变式4-2】如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据平行四边形的性质得，则阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的，然后根据几何概率的意义求解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的， ∴小石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【变式4-3】如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴和y轴的交点，几何概率，求出矩形的面积是解题的关键．首先求出，，得到，然后求出，求出矩形的面积为，然后利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴令，即 解得， ∴， ∴ 当时， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴ ∴矩形的面积为 ∵在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个， ∴阴影部分面积的近似值为． 故答案为：． 【考点05：概率公式】 【典例5】小华在商场购物，获得两张奖券，已知两张奖券中奖的概率分别为，，则小华恰中张奖券的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的计算，根据两张奖券中奖的概率分别为，，进行求解即可，掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：∵两张奖券中奖的概率分别为，， ∴小华恰中张奖券的概率为， 故选：． 【变式5-1】初三（1）班王同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单事件的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．直接利用概率公式计算即可得． 【详解】解：∵四把钥匙去开教室门，只有能开门， ∴任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是， 故选：D． 【变式5-2】为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则“电解水”实验被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率基本计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键．根据概率的计算方法：一般的，如果在一次试验中，有种等可能的结果，事件包含其中的有种结果，那么事件发生的概率，即可得到答案． 【详解】解：从四个实验中随机选一个实验有4种等可能结果，其中“电解水”实验被选中的结果有1种， 所以“电解水”实验被选中的概率是：． 故选：C． 【变式5-3】如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求概率，数出所有路径及有食物的路径，利用公式求解即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， 总共有6条路径，有食物的有一条， ∴， 故答案为：． 【考点06：列表法与树状图法】 【典例6】甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； （2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 【变式6-1】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光“的概率为 ．    【答案】 【分析】本题考查了用列举法（列表和树状图）求概率，理解题意，画出树状图是解题关键；由题意列出，画出树状图，然后计算所有可能出现的结果，再计算能使小灯泡发光的结果，根据概率的定义即可求得． 【详解】解：根据题意，可以画出如下的树状图：    由树状图可以看出，任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有4种， 则小灯泡发光的概率是， 故答案为：． 【变式6-2】某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． (2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． (3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)72；补全条形统计图见详解； (2)220； (3)． 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中一般等级的人数除以扇形统计图中一般的百分比可得抽取的学生人数，进而可得优秀等级的百分比用乘以优秀等级的百分比，即可得出扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角度数；求出良好等级的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用550乘以扇形统计图中良好的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解∶抽取的学生人数为 (人)， 扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 故答案为∶72； “良好”等级的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如图所示 （2）解：成绩良好的学生约有（人）， 故答案为：220； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有∶甲乙，乙甲，共2种． 选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为． 【变式6-3】云南是西部各省市中最大的地接旅游大省，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．寒假期间，小明和小豪到云南旅游，民宿附近的特产店刚好有鲜花饼、烧饵块、过桥米线、包浆豆腐（用A、B、C、D表示）四种特产美食售卖，两人分别从这四种小吃中选一种购买（选择每种小吃的可能性相同）． (1)用列表法或树状图法表示出两人购买特产美食的所有情况； (2)两人购买同一种特产美食的概率是多少． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列出表格即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表： A B C D A B C D （2）解：由（1）知，共有16种等可能的情况，其中两人购买同一种特产美食的情况有4种， ∴两人购买同一种特产美食的概率． 【考点07：游戏的公平性】 【典例7】如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个转盘指针所指区域的数字之和为奇数时，甲获胜；数字之和为偶数时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用画树状图或列表法求甲获胜的概率； (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏对双方公平，见解析 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，利用概率解决游戏公平性： （1）画出表格，利用概率公式进行计算即可； （2）求出乙获胜的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：列表如下： A盘 B盘 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 由列表可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为奇数的有6种结果， ∴甲获胜的概率为：； （2）这个游戏对双方公平． 理由：共有12种结果，它们出现的机会相等，其中和为偶数的也有6种结果， ∴乙获胜的概率为：． ∵甲获胜的概率为：， ∴两人获胜的概率相同， 游戏对双方公平． 【变式7-1】家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯． (1)用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率． (2)小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表格，然后求概率即可； （2）分别求出小亮胜，小芳胜的概率，进行比较，然后作答即可． 【详解】（1）解：树状图如图所示： 共有种等可能的结果，甲、乙二人在同一层楼出电梯共有4种等可能的结果， ∵， ∴甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率为； （2）解：游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲、乙住在同楼层或相邻楼层有10种等可能的结果， 小亮胜的概率为； 则小芳胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 【变式7-2】游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． (1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； (2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； (3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)公平，见解析 【分析】本题考查列表法或画树状图法的概率计算，得到所有的等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可； （3）首先求出某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况， ∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为； （2）解：列表如下： 小刚二叔 小刚父亲 A B C D 由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种， ∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为； （3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为， ∵ ∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的． 【变式7-3】在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平； (2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析，不公平 (2)见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，根据树状图计算甲、乙获胜的概率，比较作出判断即可； （2）制定新游戏规则，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，乙获胜的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平； （2）解：游戏规则：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1的为甲胜，否则为乙胜．理由如下： ∵由（1）中树状图可知，两个球上的数字之差的绝对值为1的有6种情况， ∴，， ∴， ∴这种游戏规则对甲、乙双方公平． 【考点08：用频率估计概率】 【典例8】某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率；分别计算出每个事件的概率，其值在的即符合题意； 【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【答案】B 【分析】本题考查了根据评率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于0.410， 故选：B ． 【变式8-2】忻州市忻府区地处山西省北部，昼夜温差较大，四季分明，全年降水集中，这种气候条件非常适合玉露香梨的生长．某研究院跟踪调查了某批玉露香梨树苗的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批玉露香梨树苗移栽成活的概率约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】本题考查了利用频率估计概率，深刻理解频率与概率的内在联系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率． 由图可知，这批玉露香梨树苗成活的频率在0.9上下波动，由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，据此即可得出答案． 【详解】解：∵这批玉露香梨树苗成活的频率稳定在0.9， 其成活的概率估计值约为0.9， 故答案为：0.9． 【变式8-3】一个盒子中装有10颗黄色幸运星，若干颗红色幸运星和16颗蓝色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 颗． 【答案】26 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”，据此列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设袋中红色幸运星有x颗， 根据题意，得：，解得：， 经检验：是原分式方程的解． 故答案为：26． 一、单选题 1．某校七、八年级分别从四部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片不相同的概率为（  　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列表法或树状图是解题的关键． 先列出表格，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设四部影片依次为A、B、C、D，根据题意，列表如下： A B C D A A、A A、B A、C A、D B B、A B、B B、C B、D C C、A C、B C、C C、D D D、A D、B D、C D、D 表中共有种等可能得结果，其中两个年级选择不相同的影片有种， ∴这两个年级选择的影片不相同的概率为． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适 B．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式 C．一组数据的中位数可能有两个 D．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 【答案】B 【分析】必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系． 【详解】解：．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不符合题意； ．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项符合题意； ．一组数据的中位数只有1个，故该选项不符合题意； ．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查，掌握相关定义以及统计图知识是解题的关键． 3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．根据题意，画出树状图展示所有等可能的结果，再利用概率的计算公式即可． 【详解】解：根据题意，画出树状图为： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号的积小于4有4种， 两次摸出的小球标号的积小于4的概率． 故选：C． 4．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，再根据概率进行计算即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中黑球约有（个）， 故选：C． 5．小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为； C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为； D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率． 故选：C． 6．在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限，然后列举所有的情况，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限， 由题意知，有，，，，，，，，共9种等可能的结果， 其中使一次函数的图象经过第二象限和第三象限，有，，，，共5种等可能的结果， ∴一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为， 故选：D． 二、填空题 7．如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；用列举法求概率的基本步骤如下：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：现任意闭合其中一个开关，则一次试验的所有可能结果共有种，即： 闭合，闭合，闭合， 满足要求的结果数共有种，即： 闭合， （灯泡发光的概率）， 故答案为：． 8．在一个不透明的袋中装有个红、紫两种颜色的球，除颜色外其他都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到紫球的频率稳定在左右，则袋中紫球大约有 个． 【答案】 【分析】本题考查了用大量试验得到的频率估计事件的概率．关键是利用紫球的概率公式列方程求解得到紫球的个数．设袋中紫球大约有x个，根据摸到紫球的频率稳定在左右列方程求解即可． 【详解】设袋中紫球大约有x个， 则由题意可知，， 解得． 袋中紫球大约有个． 故答案为：． 9．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何概率．先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值， ∴小球最终停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 10．已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“一”的概率是0.5，则在一定时间段内、由该元件组成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ． 【答案】0.75 【分析】本题考查了等可能事件的概率，根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内A，B之间电流能够正常通过的概率． 【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5， 即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5， 则两个元件同时不正常工作的概率为0.25（正常或正常，不正常或不正常，正常或不正常，不正常或正常）； 故在一定时间段内A，B之间电流能够正常通过的概率为0.75， 故答案为：0.75． 11．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有 棵． 【答案】960 【分析】本题考查利用样本的频率估计总体的数量，根据图形可以发现，在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据概率总体数量即可． 【详解】解：由图形可得，可估计这种树苗移植成活的概率约是0.8， ∴这种树苗移植1200棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：960． 三、解答题 12．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)40，30，36 (2) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 13．李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2) 【分析】本题考查了画树状图求概率，概率公式，一元二次方程根的判别式． （1）画出树状图，然后写出所有的可能取值即可得解； （2）利用根的判别式求出、的关系式，然后进行验证找出适合的，再根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有可能情况为：，，，，，，，，，，，． （2）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理可得：， ∴适合的有，，共个， 所以，． 14．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，； (2)估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； (3)需要往盒子里再放入个白球． 【分析】（）根据统计图容易得出结果； （）由摸到白球的概率将会接近，则白球，故黑球； （）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得出方程，解方程即可； 本题考查了利用频率估计概率、概率公式，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； （2）解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）解：设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$