专题10 将军饮马模型（含勾股）（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题10 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 例2（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（    ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是 ． 例4（24-25八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 例5（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的值最大； (3)请判断的形状并求出边上的高线的长度． 例2（24-25八年级下·山东德州·期中）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 例3（24-25八年级上·全国·期中）【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A，B两村的距离的差最大． ①请写出点P的坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值． 【深入思考】 （3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到B村的距离为13，请你求出Q村的坐标．    例4（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，，，点在直线的左侧且． (1)求证：是直角三角形； (2)若在边上，求的长； (3)若直线的右侧存在一点，且平分，，当最大时，求的长． 例5（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 例2（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 例3（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在五边形中，，在上分别找一点M，N，使的周长最小，则的最小周长为 ． 例4（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A是内部一点，且cm，分别是边两个动点，则最小周长为 cm． 例5（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2024九年级上·浙江台州·竞赛）如图，在中，，点，，点在轴正半轴上，点为内部一点，使得之和最小，则这个和的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ． 6．（2024·陕西西安·一模）如图，线段 ，点 在 上，且 ． 以 为顶点作等边三角形 ，连接 、． 当 最小时，的边长最小是 ． 7．（2024八年级·全国·竞赛）如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，且，点分别是边、上的动点，在运动过程中，的周长最小是 ． 8．（2024·湖北武汉·一模）如图，矩形中，，，点在矩形的内部，且，在的内部，存在一个点，使得值最小，则的最小值为 ．    9．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．    （1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ； （2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ． 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，，为的中点，平分，点为线段上一动点，当周长最小为时， ．    12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 13．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； (2)求的面积； (3)在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 14．（25-26八年级上·浙江金华·月考） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 16．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 17．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小； (2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________． (3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 19．（24-25八年级上·浙江台州·期末）综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值． 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）问题解决策略 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以 ， ，所以 ． 在中，因为，所以 ，即最小． （1）请完善小亮的说明过程． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“ ”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 （3）如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 21．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               23．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 24．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴， ∴在中，，故答案为：5 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小。 又∵，，∴。 ∴周长最小为 故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 例2（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P， 则此时最小，过点B作交延长线于点E， ∵，，． ∴，， ∴，， 在中， ， 则的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 例3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，线段最值问题，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．可证是的垂直平分线，则，若使最小，即最小，当三点共线时最短，即线段的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，点D是的中点， ， 即是的垂直平分线， 则， 若使最小，即最小，当三点共线时最短，即线段的长； 中，，点E是的中点， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 例4（24-25八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键. （1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    因为点E是的中点，由对称性可得 ∴ 的最小值的值为： 故答案为：． （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，    ∴ ∴ ∴为等边三角形， ，， 垂直平分， 同理， ， ， ，即， ，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 例5（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的值最大； (3)请判断的形状并求出边上的高线的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形， 【分析】本题考查作图--轴对称变换，勾股定理及其逆定理，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格中画出关于直线对称的； （2）延长交直线于点，根据两点之间线段最短可使得的值最大； （3）根据网格利用勾股定理逆定理即可判断的形状并求出边上的高线的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下∶ ∵ ，，， ， ， 边上的高线． 例2（24-25八年级下·山东德州·期中）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 【答案】解决问题：①5；② 延伸应用：①；②是等腰直角三角形，理由见解析 迁移拓展： 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形三边的关系，勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题． 解决问题：①利用两点之间的距离公式求解即可；②点关于轴的对称点为，连接，的长即为的最小值，再利用两点之间的距离公式求解即可； 延伸应用：①求得点关于轴的对称点为，再利用两点之间的距离公式求解即可；②利用两点之间的距离公式求得各边的长即可判断； 迁移拓展：当点和点在同一直线上时，的值最大，最大值为的长，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：解决问题 ①已知，，则线段； ②点关于轴的对称点为，连接，此时的值最小，最小值为的长， ∴； 延伸应用 ①表示到点的距离， 表示到点的距离， 点关于轴的对称点为， ∴的最小值； ②是等腰直角三角形，理由如下； ∵，，， ∴， ， ， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 迁移拓展 根据题意当点和点在同一直线上时，的值最大， 最大值为的长， ． 例3（24-25八年级上·全国·期中）【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A，B两村的距离的差最大． ①请写出点P的坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值． 【深入思考】 （3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到B村的距离为13，请你求出Q村的坐标．    【答案】（1） （2），图见解析； （3）或 【分析】（1）由题意及垂线段最短即可直接得出答案； （2）①由三角形三边之间的关系可知，当点P在的延长线上时，的值最大，据此写出点P的坐标，并在图中标出点P；②利用勾股定理求出的最大值即可； （3）设点Q的坐标为，点N的坐标为，则为直角三角形，利用勾股定理可建立关于的关系式并求出的值，于是可得Q村的坐标． 【详解】解：（1）由题意及垂线段最短可知，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是； （2）①如图，点P即为所求：   点P的坐标为； ②， 当点P在的延长线上时，的值最大，其最大值； （3）设点Q的坐标为，点N的坐标为，则为直角三角形， 在中，，，， ， ， 即：， ， 或， 点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标系中的动点问题，垂线段最短，写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点，三角形三边关系的应用，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 例4（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，，，点在直线的左侧且． (1)求证：是直角三角形； (2)若在边上，求的长； (3)若直线的右侧存在一点，且平分，，当最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形， （2）根据三角形的面积，求出的长即可． （3）画出图像，证明，当A，B，三点共线时，最大，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：如图，过点作交于点， 在中，∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当A，B，三点共线时，最大， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴． 例5（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，5 (3)5 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点，依次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，延长交直线于点，利用对称的性质和两点之间线段最短可得到点满足条件，再利用勾股定理计算即可； （3）根据等腰三角形的定义找到符合条件的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，点为所作； 其中的最大值为；    （3）如图，存在5个格点，使得该格点与、两点构成以为腰的等腰三角形． 故答案为：5．    【点睛】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了等腰三角形的定义． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R， 所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2， 由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小， 连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP， 所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°， 所以△P1OP2为等腰直角三角形， 所以P1P2＝OP1＝8， 即△PQR最小周长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段． 例2（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得，，，，，从而可得当、、、在同一直线上时，的周长最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， 由轴对称的性质可得：，，，，， ∴的周长， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，为， ∵， ∴， ∴， ∴最小周长为， 故答案为：． 例3（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在五边形中，，在上分别找一点M，N，使的周长最小，则的最小周长为 ． 【答案】 【分析】利用点的对称，让的三边在同一直线上，即作出A关于和的对称点，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值，过作延长线的垂线，垂足为H， ∵， ∴， 则中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路径问题，作出A关于和的对称点，将的三边转化在同一直线上是解题的关键． 例4（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A是内部一点，且cm，分别是边两个动点，则最小周长为 cm． 【答案】 【分析】分别作点关于的对称点，连接，分别交于于点，连接，利用轴对称的性质和等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于于点，连接， 由轴对称的性质得，，，，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小周长为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 例5（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵，∴， ∴， ∴，即的最小值为10，故选：D． 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则，，的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ，∵，为等边三角形， ，即的值最小为3；故答案为：3． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【详解】解：如图所示：作点关于直线的对称点，再连接，交直线于点 则此时最小，过点作延长线于点， ，，， ，则， 在中，， 则的最小值为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得，可看作两直角边分别为和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，然后根据两点之间线段最短得到当与共线时，为最小，即的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 可看作两直角边分别为和1的的斜边长， 可看作两直角边分别是和2的的斜边长． ∴求的最小值即求的最小值， 当与共线时，为最小，即的长． 连接， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是5． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 4．（2024九年级上·浙江台州·竞赛）如图，在中，，点，，点在轴正半轴上，点为内部一点，使得之和最小，则这个和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短距离问题，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，正确作出图形是解题的关键． 任取内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转得到，于是得到当，，这三条线段在同一直线时最短，即的最小值，过作轴于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，任取内一点，连接、、， 将绕点顺时针旋转得到’， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当，，这三条线段在同一直线时最短，即的最小值， ， ，, ， 过作轴于， ， ，， ， ， 、、之和的最小值是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ． 【答案】 【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值．本题考查了等腰直角三角形的性质,垂直平分线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用． 【详解】解：如图，连接，， ∵中，， ∴是等腰直角三角形 ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴， 即是的垂直平分线， 则， ， 当、、三点共线时，的值最小， 中，， 是的中点， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 6．（2024·陕西西安·一模）如图，线段 ，点 在 上，且 ． 以 为顶点作等边三角形 ，连接 、． 当 最小时，的边长最小是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，含角的三角形的性质，勾股定理等知识，将绕点C顺时针旋转得到可知，，当点、Q、B三点共线时，取最小，且最小值即为线段的长度．再由垂线段最短可知：当时，的边长最小，过作，利用含角的三角形的性质求解和等面积法求解即可．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， 将绕点C顺时针旋转得到，则有，， ∴，， ∴， ∴当点、Q、B三点共线时，取最小，且最小值即为线段的长度． 此时，由垂线段最短可知：当时，的边长最小， 过作，如下图所示，此时， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵ 即的边长最小是， 故答案为：． 7．（2024八年级·全国·竞赛）如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，且，点分别是边、上的动点，在运动过程中，的周长最小是 ． 【答案】 【分析】分别作关于对称线段，关于对称线段，连接、，由对称的性质得：，，，当、、、四点共线时，的值最小，此时的值最小，的周长最小为，即可求解． 【详解】解：如图，分别作关于对称线段，关于对称线段，连接、， 由对称得：， ， ， 当、、、四点共线时， 的值最小， 此时的值最小， 的周长最小为， 如图， 由对称得：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了对称的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握性质，能用对称的性质作图，找出四点共线时取得最小值是解题的关键． 8．（2024·湖北武汉·一模）如图，矩形中，，，点在矩形的内部，且，在的内部，存在一个点，使得值最小，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】过P作，绕C逆时针旋转得到，连接，作交于点M，交于N，根据性质得，，，，即可判定是等边三角形，有，则当P，Q，，四点共线时最小．结合题意得，进一步到，求得，则，当P和点M重合时所求值最小． 【详解】解：过P作，绕C逆时针旋转得到，连接，作交于点M，交于N，如图，    则，，，， ∴是等边三角形， ∴． 则 当P，Q，，四点共线时最小． ∵点在矩形的内部，且， ∴P在平行于的直线上，并且到与到的距离之比为， ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 则， 当P和点M重合时，的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定和性质、勾股定理和两点之间线段最短，垂线段最短，解题的关键是添加辅助线找出相等的线段，把所求三条线段的和转化为同一直线上的线段的和． 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．    （1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ； （2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题，涉及动点最值问题-两点之间线段最短模型、动点最值问题-点线模型，熟练掌握动点最值问题的两个模型是解决问题的关键． （1）本题考查动点最值问题-两点之间线段最短模型，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案； （2）本题考查动点最值问题-点线模型，先由等腰三角形性质得到关于对称，由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：（1）由两点之间线段最短可得，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：    是等边三角形，点为边中点， 由等腰三角形“三线合一”可得， 在中，，，，则， 若点为边中点，在上存在点，使最小；最小值是； 故答案为：； （2）是等边三角形，平分交与点， 由等腰三角形“三线合一”可得关于对称， 由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：    由等腰三角形“三线合一”可得点为边中点， 在中，，，，则， 若点为边任意一点，在上存在点，使最小；最小值是； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键． 作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,则即为周长的最小值，求出的长即可． 【详解】解：如图：作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G, ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴． 故答案为． 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，，为的中点，平分，点为线段上一动点，当周长最小为时， ．    【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②5； (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可； ②过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时， 连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可； （3）根据，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接， 点P即为所求作； ②解：过点作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． （2）解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接， 则取得最小值，此时， 连接， 根据轴对称性质，得，， 故， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 故的最小值为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； (2)求的面积； (3)在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 【答案】(1)见解析 (2)3.5 (3)见解析， 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数 ），找到、、三点关于轴的对称点，再顺次连接得到对称图形． （2）利用割补法，用矩形面积减去周围三个三角形的面积，从而计算出的面积． （3）依据轴对称的性质，作点关于轴的对称点（或利用（1）中关于轴对称点相关思路 ），连接与轴交点即为点，此时最小值为的长度，通过两点间距离公式计算． 本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积的割补法计算以及利用轴对称求最短路径，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律、割补法求面积和轴对称性质求最短路径是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：； （3）解：如图，点即为所求； 最小值为． 14．（25-26八年级上·浙江金华·月考） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】(1)①图见解析；②5 (2) (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求作； ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析，②100000元 (3)17 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）①根据轴对称的最短路径问题，作图即可； ②把求最少费用转化为求最短长度，根据作对称的方法，结合勾股定理求解即可． (3)的几何意义分别是以x，3为直角边和以，5为直角边的直角三角形的斜边长，进而通过构造图形，再利用几何图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． 故答案为：； （2）①如图所示，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置； ②如解图①，过点B作交的延长线于点E，连接 ， 四边形是矩形， 千米，千米． 千米， （千米）． 在中，由勾股定理得 （千米）． 点A与点关于对称， ， ∴千米， ∴铺设水管的最省总费用是（元）； （3）如解图②，作出点C关于的对称点，连接交于点P，使作交延长线于点E， ∴ ∴， ∴代数式的最小值为17． 16．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 17．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 【答案】(1)5 (2)①10，②2 【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题． （1）为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，利用题中模型得到，最短，此时，利用对称的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，利用对称的性质得到周长为的长，根据两点之间线段最短可判断此时周长最小，最小值为的长，再证明为等边三角形，得到，从而获解； ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，同样方法判断此时的值最小，最小值为，再证明为等边三角形，得到，从而得到的值最小值． 【详解】（1）解：如答图①，为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，如答图①，则最短，此时． 平分， ． 在中，， 即的最小值为5． （2）解：①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图②， 则， 周长， 此时周长最小，最小值为的长． ， ， ， 为等边三角形， ， 即周长的最小值为10， 故答案为：10． ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图③， 则， ， 此时的值最小，最小值为． ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 即的值最小为2， 故答案为：2． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小； (2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________． (3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了轴对称的性质、勾股定理、含角的直角三角形等知识． （1）找到关于直线对称的对称点，顺次连接即可得到，连接交直线于点Q即可； （2）作于点H，交于点，过点作于点，则的最小值为，由角平分线的性质可得，则，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得长即可； （3）作点C关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接分别交于点，连接，则的最小值为的长，由对称的性质可得长，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求， （2）作于点H，交于点，过点作于点，则的最小值为， 平分，， 在中， 由勾股定理得 ， 所以的最小值为， 故答案为： （3）作点C关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接分别交于点，连接，则的最小值为的长． 由对称可得垂直平分，垂直平分， 在中，由勾股定理得 所以的最小值为13， 故答案为： 19．（24-25八年级上·浙江台州·期末）综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）作，交于，可证得，从而， （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，得出，在中，，进而得出，当重合时，取得最小值，即可得出结论； （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，连接，可得，当取得最小值时，取得最小值，由（2）可得时，取得最小值，是等边三角形，进而求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即是的中点； （2）证明：如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴，即 当重合时，取得最小值， 即当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． （3）解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 作关于的对称点，连接， ∴， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值， 由（2）可得时，取得最小值， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 解得： ∴ 的最小值为：． 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）问题解决策略 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以 ， ，所以 ． 在中，因为，所以 ，即最小． （1）请完善小亮的说明过程． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“ ”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 （3）如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】（1），，，；（2）两点之间，线段最短；（3）作图见解析；（4） 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． （3）通过作两点关于两直线的对称点，将折线路径转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，依据周堆成性质保证路径长度相等． （4）利用等腰三角形三线合一性质确定对称点位置，将转化为垂线段长度，结合勾股定理计算最小值，依据垂线段最短原理． 【详解】解：（1）∵直线是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 在中，，（三角形两边之和大于第三边） ∴， 故答案为：，，，； （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，B'两点的线中，线段最短）． 故答案为：两点之间，线段最短； （3）如图，即为最短路径； （4）如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当B，P，Q共线时，的值最小， ∴当时，的值最小， 令，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 【答案】（1）见详解；（2）6；（3）见详解 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求； （2）作点E关于直线BC的对称点，连接，交于P，点P即为所求；． （3）分别作Q关于的对称点，连接，交于，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点．    （2）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    在中，， ， ，， 因为点E是的中点，由对称性可得， ， 的最小值E′A的值为：． （3）作法：（Ⅰ）作Q关于的对称点C， （Ⅱ）作点Q关于的对称点D， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小．    【点睛】本题考查了轴对称的应用-最短距离问题，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了全等三角形综合、勾股定理以及三角形的三边关系，直角三角形的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键． 23．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解，的最小值为 【分析】（1）作的角平分线，再过点作的垂线，根据角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，，则，所以，所以的最小值即为的值，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴先作的角平分线，交于点，再过点作的垂线，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴这三家农户所得土地的形状、大小相同； （2）如图所示， 根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小 值即为的值， 在中，，，， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，作垂线，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握尺规作图的方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为17；②15； 【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）①若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； ②由①的结果利用勾股定理求得的值． （3）仿照例题构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； ②根据①中规律可以构造出如图所示，       同理可得： 故答案为15； （3）由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．   ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $