专题06 赵爽弦图模型与勾股树模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题06 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 9 13 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24，， 小正方形的面积是4，，， 图2中最大的正方形的面积；故选：D． （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形，故答案为：31． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理、二元一次方程组的应用，运用方程思想．解题关键是通过设直角三角形的直角边为未知数，结合“”和“小正方形边长”建立方程组，求出直角边后用勾股定理求大正方形面积；易错点是混淆小正方形边长与直角边的关系，导致方程列错． 首先设直角三角形的直角边，．再根据“”得；根据“小正方形边长”得．然后解方程组，求出，．最后由勾股定理求大正方形边长的平方，即大正方形的面积为34． 【详解】设直角三角形的直角边，． 已知，即； 小正方形的边长，由图形可知，小正方形的边长等于，即． 联立方程组： ， 解得，． 在中，根据勾股定理： ， 因此，大正方形的面积为． 故答案为：34． 例2（25-26八年级上·河北邯郸·期中）在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，注意隐含的已知条件来解答此类题．根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：风车的外围周长（虚线部分）为76， ． ， ，． 在中，． 故答案为：5． 例3（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理和旋转的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）大正方形的边长为c，其面积为，大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，其面积为，据此可证明勾股定理； （2）设，则，根据周长计算公式可建立方程求出，则可利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； （3）根据正方形面积计算公式可得，再由可得的值，进而可得答案． 【详解】（1）证明：图①中大正方形的边长为c，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积， ∴大正方形的面积为， ∴； （2）解：由题意得，， ， 设，则， ∵该八边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可得， ∴正方形的边长为； ∵正方形、正方形、正方形的面积分别为、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：(元)， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 例5（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 模型2.勾股树模型 例1（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 例2（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是 ． 【答案】28 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 中间左边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，中间右边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，正方形的面积等于中间两个正方形的面积之和，由此即可得出结论． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为28． 故答案为：28． 例3（25-26八年级上·广东深圳·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c， 根据勾股定理可得：， ∵, ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积为2027． 故答案为：2027． 例4（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 【答案】(1) (2) (3)这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？答案：每次生长增加的正方形面积之和是 【分析】此题主要考查了三角形、正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． （1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； 【详解】（1）解：正方形和是通过在正方形的边上构建直角三角形后形成的，根据勾股定理，直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和， 因此，正方形的面积等于正方形和的面积之和，即：． （2）解：正方形、、、是通过在正方形和 的边上构建直角三角形后形成的．根据勾股定理，正方形和的面积之和等于正方形的面积，而正方形、、、的面积之和等于正方形和的面积之和． 因此，正方形、、、的面积之和等于正方形的面积，即：． （3）解：这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？ 答案：每次生长增加的正方形面积之和是． 例5（25-26八年级上·河南焦作·月考）如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理，结合正方形的面积公式可得，，，，则，进而可求解． 【详解】解：如图，设A、B、C、D、E、F、P、Q为对应正方形的面积，则， 由勾股定理，得，，， ∴， 则第3个图形中所有正方形面积的和是， 故答案为：3． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， A、可知，又，（负值已舍），故选项A正确，符合题目要求， B、可知，故选项B错误，不符合题目要求， C、可知，故选项C错误，不符合题目要求， D、可知，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即， ∵， ∴， 得， ∴大正方形的面积为：， 故选：B． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理；“数学风车”的周长为，利用勾股定理将、求出即可. 【详解】解：∵“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”的周长为. 故选：D. 5．（25-26八年级上·广东茂名·阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景的勾股定理的运用，正方形面积的计算，设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，小正方形的边长为，，由此可求出，图形结合，及正方形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 6．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，外延的4部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是． 故选：D． 7．（25-26八年级上·四川成都·月考）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是探究出规律． 根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图①可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图②可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ∴“生长”2025次后，所有正方形的面积和为：． 故答案为：2026． 8．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为 ． 【答案】127 【分析】本题考查图形的规律．根据前三代的正方形的个数分别为3、7、15可得第n代有个正方形，据此即可解答． 【详解】解：第一代有3个正方形， 第二代有7个正方形， 第三代有15个正方形， 第n代有个正方形， 故第六代有（个）正方形， 故答案为：127． 9．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和整体代入是解题的关键，设，由题可得，，，，再利用勾股定理得，则，解出的值，即可得到长方形的面积． 【详解】解：如图所示： 设，则， ∴，，， ∵， ∴由勾股定理得：，则， 解得：， ∴， ∴长方形的面积为：， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的面积为10，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与弦图，一元二次方程的解法，理解题意，求得小正方形的边长是解决本题的关键．如图，标记点G，H．设，则，根据列关于a的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：如图，标记点G，H． 由题意知，， 设，则， 大正方形的面积为10， ， ， 整理得， 解得，（负值舍去）， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）学习完勾股定理后，小明制作了“赵爽弦图”．他先将长为，宽为的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①所示，然后用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，经测量得长方形的面积为182，正方形的边长为6，则 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，，，进而根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵长方形的面积为182，正方形的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ，， ， 的值是：． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的知识是解答本题的关键； 本题需要先分别求得，，，然后找到规律，即可求解； 【详解】解：由勾股定理可得：，，，， ∴， 故答案为：； 14．（25-26八年级上·山西太原·月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，完全平方公式，设正方形，，的面积分别为，由全等三角形性质可得，，然后分别求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正方形，，的面积分别为， ∵八个直角三角形全等，正方形，，是正方形， ∴，， ∴ ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 16．（25-26八年级上·河南焦作·月考）综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； (3)拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．利用三角形的面积公式来进行表示即可； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：，也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证； 故答案为：；；； （2）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则， 又， ， （3）如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 17．（25-26八年级上·河南郑州·月考）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 【答案】(1) (2)；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积正方形的面积；； (3)3 【分析】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得，， 故答案为：； （2）解： （用含的式子表示） 又正方形的面积四个全等直角三角形的面积正方形的面积， ， （3）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 19．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 20．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）当时， 的面积为定值． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和面积公式的面积解题． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】解：（1）大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以， 整理得； （3）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积； （4）∵，，周长为n， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵长方形的面积为定值， ∴与x、y无关， ∴， ∴， ∴当时， 的面积为定值． 21．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可； （4）延长交于点，延长交于点，则四边形是正方形，设，根据勾股定理得到，求得，，根据矩形的面积公式列方程得到，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：． （3）如图3，由题意知，外延的部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是， 故答案为：； （4）如图，延长交于点，延长交于点， 则四边形是正方形， 设， ，， ， ， ，， 矩形的面积为 ， 解得：或， 或， 当时，， 当时，， ． 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 9 13 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 例2（25-26八年级上·河北邯郸·期中）在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为 例3（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 例4（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 例5（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 模型2.勾股树模型 例1（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 例2（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是 ． 例3（25-26八年级上·广东深圳·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积为 ． 例4（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 例5（25-26八年级上·河南焦作·月考）如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 4．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 5．（25-26八年级上·广东茂名·阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 6．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 7．（25-26八年级上·四川成都·月考）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 8．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为 ． 9．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为 ． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的面积为10，，则的长为 ． 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）学习完勾股定理后，小明制作了“赵爽弦图”．他先将长为，宽为的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①所示，然后用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，经测量得长方形的面积为182，正方形的边长为6，则 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 14．（25-26八年级上·山西太原·月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为 ． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 16．（25-26八年级上·河南焦作·月考）综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； (3)拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 17．（25-26八年级上·河南郑州·月考）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 19．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 20．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 21．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $