4.2.2 指数函数的图象和性质课件（第1课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图象与性质，通过回顾幂函数学习经验，以描点法作y=2^x和y=(1/2)^x图象为支架，引导学生从具体函数到一般y=a^x的性质归纳，构建知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过动手作图培养数学眼光，对比分析两函数对称性发展几何直观，用表格系统总结性质体现数学语言表达。例题分三类比较幂的大小培养逻辑推理，帮助学生构建体系，教师可直接用于教学提升效率。

第 4章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质 第1课时 教学目标 学习目标：理解与掌握指数函数的图象与性质，并能灵活运用其来求解相关的实际问题（主观想象、逻辑推理）. 教学重点：指数函数的图象与性质； 教学难点：指数函数图象与性质的相关运用. 一.指数函数y=2x和y=x的图象 问题1：根据学习幂函数的经验，我们研究了函数的什么内容？ 如何研究的呢？ （1）主要研究函数的性质： 定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等 （2）通过函数意义结合函数图像研究。 问题2：由函数解析式如何画函数图象？ 画图步骤： 列表、描点、连线 （一）探究：请各位同学分别用描点法作指数函数 与 的图象. 解：（1）求作指数函数的图象（底数） ①列表; ②描点；③连线； -2 -1 0 1 2 3 一.指数函数y=2x和y=x的图象 0 1 1 探究：请各位同学分别用描点法作指数函数 与 的图象. 解：（2）求作指数函数 的图象（底数） ①列表; ②描点；③连线； -2 -1 0 1 2 一.指数函数y=2x和y=x的图象 0 1 1 思考：各位同学，当我们把指数函数 与 的图象放到同一平面直角坐标系中来求作，你们能发现什么规律？ 一.指数函数y=2x和y=x的图象 x y 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 因为 , 则图像上任意一点的对称点都在图象上,反之亦然. 所以可利用的图象，画出的图象. 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于对称 二.指数函数y=ax（a≠1且a>0)的图象与性质 问题1：图象分别在哪几个象限？ 问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？ 当底数＿＿时图象上升； 当底数______时图象下降． 0<a<1 问题3：图象有哪些特殊的点？ 问题4：图象定义域和值域范围？ a>1 图象都经过点（0，1）． 图象都在第一，二象限 答：定义域为R．值域为． 利用信息技术画图，并回答下列问题： y=2x y=3x y=4x 问题5：在第一象限内，底数a大小与图象的关系？ 答：图象越接近y轴，底数越大；x>0，底大图高   a>1 0<a<1 图象     性 质 定义域 R 值域 __________ 最值 __________ 过定点 过定点 ，即x= 时，y=__ 指数函数的图象和性质 (0，+∞) 无最值 (0，1) 0 1 二.指数函数y=ax（a≠1且a>0)的图象与性质   a>1 0<a<1 图象 性 质 函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时，______ 当x>0时， ； 当x<0时，______ 单调性 在R上是________ 在R上是________ 奇偶性 ________________ 对称性 y=ax与y=的图象关于 对称 0<y<1 y>1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 非奇非偶函数 y轴 二.指数函数y=ax（a≠1且a>0)的图象与性质 【变式1】如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是  A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 作直线x=1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 解析 B 二.指数函数y=ax（a≠1且a>0)的图象与性质 10 【变式2】函数y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 由题意知a>0且a≠1，且函数y=x+a为增函数. 当0<a<1时，y=ax为减函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1； 当a>1时，y=ax为增函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有选项D符合. 解析 D 二.指数函数y=ax（a≠1且a>0)的图象与性质 11 三.利用指数函数单调性解比较幂的大小 【例1】比较下列各题中两个值的大小. 课本-117页例3 例1：说出下列各题中两个值的大小： ∵函数y=1.7x 在R上是增函数， ∴1.72.5 < 1.73 又∵ 2.5 < 3 ， 解： 解 ∵函数y=0.8x 在R上是减函数， ∴ < 又∵ - > - ， ①底数相同 ②构建指数函数 ③根据指数函数 单调性判断大小 三.利用指数函数单调性解比较幂的大小 课本-117页例3 例1：说出下列各题中两个值的大小： 解 ：∵函数y=x0.3 在R上是增函数， ∴ > 又∵ 1.7 > 0.9 ， 三.利用指数函数单调性解比较幂的大小 课本-117页例3 ①指数相同 ②构建幂函数 ③根据幂函数 单调性判断大小 例1：说出下列各题中两个值的大小： 解 法一：∵函数y=x0.3 在R上是增函数， ∴ > 又∵ 1.7 > 0.9 ， ∴1.70.5 > 0.82.5 解法二：∵ 1.7 0.5 > 1.70 = 1 0.8 2.5 < 0.80 =1， ∵函数y=0.9x 在R上是减函数， ∴0.90.3 > 0.93.1 又∵ 0.3 < 3.1 ， ∴ > >0.93.1 指数与底数不相同 方法一：取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较 方法二：两数与“1”作对比 三.利用指数函数单调性解比较幂的大小 课本-117页例3 三.利用指数函数单调性解比较幂的大小 课本-118页练习2 例2　如图，某城市人口呈指数增长． （１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期． （2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系． 四.指数函数图象的应用 课本-118页例4 解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年． （２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人． 例2　如图，某城市人口呈指数增长． （１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 四.指数函数图象的应用 课本-118页例4 课堂小结 1. 指数函数的图象和性质： 图象 定义域 值域 性质 减函数 增函数 非奇非偶函数 当时，； 当时， 当时，； 当时， 过定点，即时， 如何利用指数函数单调性解比较幂的大小 底数相同 构建指数函数 根据指数函数 单调性判断大小 指数相同 构建幂函数 根据幂函数 单调性判断大小 课堂小结 指数与底数不相同 方法一：取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较 方法二：两数与“1”作对比 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 作业 1. 整理本节课的题型并填写下列表格 函数 指数函数 一次函数 反比例函数 二次函数 幂函数 解析式           定义域           值域           图像           性质           2.课本118页习题4.2  第2-6题 $