4.1数列的概念 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第一单元　数列的概念 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025江西师大附中、吉安一中等校高二联考]已知数列{an}的前4项依次为,,,3,则{an}的一个通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 2.[2025龙岩一中高二期中]已知数列1,-1,2,-2,3,-3,…,根据该数列的规律,100是该数列的第(　　) A.100项 B.101项 C.199项 D.200项 3.[2025四川省仁寿一中高二月考]下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1,,,,… B.sin ,sin ,sin ,… C.1,,,…, D.-1,-,-,-,… 4.[2024本溪高中模拟]某企业今年年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达50%,每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元,设该企业从今年起每年年初拥有的资金数(单位:万元)依次为a1,a2,a3,…,则表示an+1与an之间关系的递推公式为(　　) A.an+1=an-50 B.an+1-an=450 C.an+1=(an-50) D.an+1=an-25 5.[2025合肥一中、六安一中等校高二联考]在数列{an}中,a1=1,an+1-an=cos ,记Sn为数列{an}的前n项和,则S10=(　　) A.5 B.6 C.9 D.10 6.[2025重庆育才中学开学考试]如图是用◆摆放而成的图案,其中图①中有2个◆,图②中有5个◆,图③中有10个◆,图④中有17个◆……按此规律排列下去,则图⑦中◆的个数为(　　) A.35 B.48 C.50 D.64 7.[2025西安高新一中高二开学考试]某个软件公司对软件进行升级,将序列A=(a1,a2,a3,…)升级为新序列A*=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,…),A*中的第n项为an+1-an,若(A*)*的所有项都是3,且a4=11,a5=18,则a1=(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 8.[2024广东省梅州市模拟]已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(n∈N*),Tn为其前n项积,则Tn的最小值为(　　) A.-2 B.- C.- D.- 多项选择题 9.[2025雅礼中学自主测试]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,an+1=,则(　　) A.a3= B.a5>0 C.a2 026=3 D.S37=40 10.[2025青岛二中高二阶段练习]数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+8n,则下列说法正确的是(　　) A.{an}是递减数列 B.a10=-11 C.数列{(-1)nan}的前2 026项和为-2 018 D.设函数f(x)=,则f(an-9)≤-3 11.【情境创新】[2025南京外国语学校高二月考]唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云:“不论平地与山尖,无限风光尽被占.采得百花成蜜后,为谁辛苦为谁甜?”蜜蜂是令人敬佩的建筑专家,蜂巢的结构十分精密,其中的蜂房均为正六棱柱状.如图是蜂房的一部分,若一只蜜蜂从蜂房A出发,想爬到第1,2,3,…,n(n∈N*)号蜂房,只允许自左向右走(不允许往回走),记该蜜蜂爬到第n号蜂房的路线数为数列{an},则(　　) A.a10=89 B.2a2 025=a2 026+a2 024 C.ai=a2k+1 D.ai=an+2-2 填空题 12.[2025长郡中学、长沙一中等校高二期末联考]已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a4=8,则m的所有可能取值之和为　　　　.  13.[2025河南省九师联盟高二月考]若数列{an}满足an=n2-9n+18,且Sn为其前n项和,则Sn的最小值为　　　　.  14.[2025金陵中学模拟]数列{an}满足a1=8,an+1=(n∈N*),bn=(+λ)·()n,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是　　　　.  解答题 15.(13分)【教材变式】[2025山西大学附中高二月考改编]已知数列{an}的通项公式为an=.　 (1)求这个数列的第10项; (2)是不是该数列中的项?为什么? (3)在区间(,)内是否有数列中的项?若有,求出有几项;若没有,请说明理由. 16.(15分)[2025莲塘一中高二质量检测改编]已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an=An2+Bn,a1=2,且S4-S2=32. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=()nan,求使bn取得最大值时的n的值. 17.(15分)[2024镇海中学期末]已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积,且a1=3,T2n=,数列{bn}满足bn=kan-n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}为递增数列,求实数k的取值范围. 18.(17分)[2025长春外国语学校高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=(n+1)an,且a1=1. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足bn=, (i)写出数列{bn}的前5项; (ii)求数列{}的前n项和Tn. 19.(17分)【探索新定义】[2025上海市甘泉外国语中学高二期中]当p1,p2,…,pn均为正数时,称为p1,p2,…,pn的“均倒数”.若数列{an}的各项均为正数,且其前n项的“均倒数”为. (1)试求数列{an}的通项公式; (2)设cn=,试判断并说明cn+1-cn的符号(n为正整数); (3)设f(x)=-x2+4x-,是否存在实数λ,使得当x≤λ时,对于一切正整数n,f(x)≤0恒成立?若存在,求出λ的最大值;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.B　因为{an}的前4项依次为,,,,所以{an}的一个通项公式为an=. 2.C　根据该数列的规律可将数列进行分组,每一组含有两个互为相反数的项,因此100即为第100组的第一个数,其前面有99组,每一组有两项,2×99+1=199,因此100是该数列的第199项. 3.D　A(✕)1>>>>…,则数列1,,,,…是递减数列. B(✕)sin =sin ,则数列sin ,sin ,sin ,…不是递增数列. C(✕)数列1,,,…,是有穷数列. D(√)-1<-<-<-<…,则数列-1,-,-,-,…是递增数列,且是无穷数列. 4.A　依题意,a1=1 000,an+1=(1+50%)an-50=an-50. 5.A　根据题中递推公式逐项计算出a2,a3,…,a10的值,即可求得S10的值.在数列{an}中,a1=1,an+1-an=cos ,则a2-a1=cos π=-1,可得a2=0;a3-a2=cos =0,可得a3=0;a4-a3=cos 2π=1,可得a4=1;a5-a4=cos =0,可得a5=1;a6-a5=cos 3π=-1,可得a6=0;a7-a6=cos =0,可得a7=0;a8-a7=cos 4π=1,可得a8=1;a9-a8=cos =0,可得a9=1;a10-a9=cos 5π=-1,可得a10=0.因此,S10=1+0+0+1+1+0+0+1+1+0=5. 6.C　流程化思维解题　设第n个图中有an个◆ a1=2,a2=5=a1+3,a3=10=a2+5,a4=17=a3+7 an=an-1+2n-1(n≥2,n∈N*) a5=a4+9=26,a6=a5+11=37,a7=a6+13=50. 7.B　求数列的首项 思路导引　利用A*中的第n项为an+1-an表示出(A*)*,利用(A*)*的所有项都是3逐步计算出a3,a2,a1. 由题意得,A=(a1,a2,a3,a4,a5,…),A*=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,…),(A*)*=(a3-2a2+a1,a4-2a3+a2,a5-2a4+a3,…),∵(A*)*的所有项都是3,∴a3-2a2+a1=3,a4-2a3+a2=3,a5-2a4+a3=3,由a5-2a4+a3=3,得18-22+a3=3,解得a3=7.由a4-2a3+a2=3,得11-14+a2=3,解得a2=6.由a3-2a2+a1=3,得7-12+a1=3,解得a1=8. 8.B　当n为奇数时,an=-,当n为偶数时,an=,要求Tn的最小值,只需要考虑出现奇数个奇数项时即可,又||==<1⇒|an+1|<|an|(作商法),且当n=4时,a4=<1,因此n≥4时,|an|≤a4<1,当n=2时,T2=a1a2=-2×=-,当n=5时,T5=a1a2a3a4a5=-2××(-)××(-)=->-,综上,Tn的最小值为-. 9.AC　A(√)B(✕)由a1=3,an+1=,可得a2==-,a3==,a4==3,a5==-. C(√)由A,B选项的分析可知,数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2 026=a3×675+1=a1=3. D(✕)S37=(a1+a2+a3)×12+a1=(3-+)×12+3=41. 10.ABD　A(√)Sn=-n2+8n,当n=1时,a1=S1=7,当n≥2时,Sn-1=-(n-1)2+8(n-1),所以an=Sn-Sn-1=-n2+8n-[-(n-1)2+8(n-1)]=9-2n,经检验当n=1时an=9-2n也成立,所以an=9-2n( 一定要检验a1是否满足an(n≥2)的表达式,满足才能合并,不满足需要分段写).因为an+1-an=9-2(n+1)-(9-2n)=-2,所以an+1<an,所以{an}是递减数列(也可利用一次函数的单调性直观判断). B(√)因为an=9-2n,所以a10=9-2×10=-11. C(✕)(-1)nan=(-1)n(9-2n)=(-1)n+1(2n-9),记{(-1)nan}的前n项和为Hn,则H2 026=-7+5-3+1+1-3+5-7+…+4 041-4 043=(-7+5)+(-3+1)+(1-3)+(5-7)+…+(4 041-4 043)=(-2)×1 013=-2 026. D(√)因为an=9-2n,f(x)=,所以f(an-9)=f(-2n)=1-=1-4n,因为4n≥4,所以1-4n≤-3(此处不要忽略数列的特征,n为正整数,最小值为1). 11.ACD　A(√)依题意可知,该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1,爬到第2号蜂房的路线数为2,爬到第3号蜂房的路线数为3,爬到第4号蜂房的路线数为5,爬到第5号蜂房的路线数为8,……,爬到第n号蜂房的路线数为an-2+an-1(n≥3,n∈N*),即an=an-2+an-1(n≥3,n∈N*)(关键步骤),所以a6=a4+a5=13,a7=a5+a6=21,a8=a6+a7=34,a9=a7+a8=55,a10=a8+a9=89. B(✕)由an=an-2+an-1(n≥3,n∈N*),得an-1=an-3+an-2(n≥4,n∈N*),两式相减可得2an-1=an-3+an(n≥4,n∈N*),所以2a2 025=a2 026+a2 023. C(√)ai=a1+a2+a3+a4+…+a2 026=a3+a5+a7+…+a2 027=a2k+1. D(√)ai=a1+a2+a3+a4+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-2. 12.74　当a4=8时,a3=16,可知a2=32或5.若a2=32,则a1=64;若a2=5,则a1=10.综上所述,m=10或64,即m的所有可能取值之和为74. 13.10　先由{an}的通项公式分析负数项,从而判断Sn可能的最小值,再利用{an}的通项公式求出Sn可能的最小值,比较即可得解.令an=n2-9n+18<0,解得3<n<6,所以数列{an}中只有a4,a5为负数,所以Sn的最小值为S1或S5(此处要分析全面,S1易遗漏).又S1=a1=12-9×1+18=10,a2=22-9×2+18=4,a3=32-9×3+18=0,a4=42-9×4+18=-2,a5=52-9×5+18=-2,则S5=10,所以Sn的最小值为10. 14.(,+∞)　累加法+根据数列的单调性求参 思路导引　将an+1=两边取倒数结合累加法求得=,再利用数列单调递减列不等式并分离参数,求出代数式的最大值即可求得实数λ的取值范围. 由题意,an+1=,两边取倒数可化为==+n,所以-=1,-=2,…,-=n-1,当n≥2时,由累加法可得,-=1+2+…+(n-1)=,因为a1=8,所以=+=,=满足上式,所以=(n∈N*),所以bn=(+λ)()n=[+λ]()n.因为数列{bn}是递减数列,故当n≥2时,bn<bn-1,即[+λ]()n<[+λ]()n-1,整理可得λ>=,因为n≥2,n∈N*,所以[]max==,故λ∈(,+∞). 15.【解析】an===.(3分) (1)令n=10,得第10项a10=.(6分) (2)令=,得9n=300. 此方程无正整数解,∴不是该数列中的项.(9分) (3)令<<,则 解得<n<.(11分) 又n∈N*,∴n=2. ∴区间(,)内有数列中的项,且只有一项.(13分) 16.【解析】(1)a1=A+B=2,S4-S2=a4+a3=16A+4B+9A+3B=25A+7B=32,即解得故an=n2+n.(6分) (2)方法一(作商比较法)　bn=()n(n2+n),则bn>0. 当n≥2时,令==>1,解得n<5,即b1<b2<b3<b4; 令==1,解得n=5,即b4=b5; 令=<1,解得n>5,即b5>b6>b7>….(14分) 综上,得b1<b2<b3<b4=b5,b5>b6>b7>…, 即当n=4或n=5时,bn取得最大值.(15分) 方法二(作差比较法)　bn=()n(n2+n), 令bn+1-bn=()n+1[(n+1)2+n+1]-()n(n2+n)=()n+1(n2+3n+2)-()n(n2+n)=()n(-n2+n+)>0,解得n<4,即b1<b2<b3<b4; 令bn+1-bn=()n(-n2+n+)=0,解得n=4,即b5=b4; 令bn+1-bn=()n(-n2+n+)<0,解得n>4,即b5>b6>b7>….(14分) 综上,得b1<b2<b3<b4=b5,b5>b6>b7>…, 即当n=4或n=5时,bn取得最大值.(15分) 17.构造法求数列通项+根据数列的单调性求参数 思路导引　(1)根据T2n=,可得T=,两式相除并结合=an+1可得=,两边取对数并构造常数列{},即可求得答案. (2)由(1)的结论,求出bn,再根据单调数列的意义列式求解即可. 【解析】(1)由Tn为正项数列{an}的前n项的乘积,得=an+1, 由T2n=,得T2n+1=, 于是==,即=,两边取对数得lg =lg , 即nlg an+1=(n+1)lg an,整理得=,(4分) 因此数列{}是常数列( 构造辅助数列),即==lg 3,于是lg an=nlg 3=lg 3n, 所以an=3n.(7分) (2)由(1)知,bn=k·3n-n, 由数列{bn}为递增数列,得∀n∈N*,bn+1>bn⇔k·3n+1-(n+1)-k·3n+n>0, 即∀n∈N*,2k·3n-1>0⇔k>( 分离参数).(11分) 而数列{}是递减数列,所以≤,当且仅当n=1时取等号, 所以实数k的取值范围是(,+∞).(15分) 18.【解析】(1)因为2Sn=(n+1)an,所以当n≥2时,2Sn-1=nan-1, 则2an=2Sn-2Sn-1=(n+1)an-nan-1,整理得(n-1)an-nan-1=0, 即=.(2分) 则当n≥2时,an=a1···…·=1×××…×=n,(5分) 经检验a1=1满足此式,所以an=n.(6分) (2)(i)由(1)得,2Sn=n(n+1),所以Sn=, bn==,(7分) 故b1==,b2==,b3==,b4==,b5==, 即数列{bn}的前5项分别为,,,,.(11分) (ii)由(i)得==2(-), 所以Tn=2(-+-+…+-)=2(-)=.(17分) 19.数列的新定义+数列单调性+不等式恒成立 思路导引　(1)由条件求得a1+a2+…+an=n(2n+1),由此求出数列{an}的通项公式. (2)由(1)的结论求出cn,作差即可判断cn+1-cn的符号. (3)由(2)可得数列{cn}是递增数列,c1=1是其最小项,将f(x)≤0恒成立转化为-x2+4x≤c1,解不等式即可求解. 【解析】(1)依题意,a1+a2+…+an=n(2n+1),当n≥2时,a1+a2+…+an-1=(n-1)(2n-1), 两式相减得an=4n-1(n≥2),(2分) 而当n=1时,==,解得a1=3,满足上式, 所以数列{an}的通项公式是an=4n-1.(4分) (2)由(1)知,an=4n-1,则cn==,cn+1==, 因此cn+1-cn=-=>0, 所以cn+1-cn的符号为正.(10分) (3)由(2)知数列{cn}是递增数列,c1=1是其最小项,即cn≥c1=1, 假设存在实数λ,使得当x≤λ时,对于一切正整数n,f(x)≤0恒成立, 则-x2+4x≤=cn恒成立,则-x2+4x≤1,即x2-4x+1≥0,(12分) 解得x≤2-或x≥2+,所以若λ≤2-,当x≤λ时,对于一切正整数n,f(x)≤0恒成立, 所以存在实数λ,使得当x≤λ时,对于一切正整数n,f(x)≤0恒成立,λ的最大值为2-.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $