期末专题03 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）11大考点（期末真题汇编，湖北专用）高二数学上学期人教A版

期末专题03 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 11大高频考点概览 考点01 椭圆综合 考点02 椭圆离心率 考点03 双曲线综合 考点04 双曲线离心率 考点05 抛物线 考点06 曲线与方程（含轨迹方程） 考点07 斜率问题 考点08 向量共线问题 考点09 面积问题 考点10 新定义问题 考点11 多选题多考点综合 地 城 考点01 椭圆综合 1．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 2．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期末)若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 3．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)椭圆上的点到直线的最短距离为 . 【答案】 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，再求出平移直线间的距离，即可得解. 【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去得 整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为. 所以点到直线的最短距离为. 故答案为： 4．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 5．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】由题设易得，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的，故， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，， 则的周长等于， 其中， 则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，得， 又，故， 设，则， 故， 解得，故， 则的周长为． 6．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知点是椭圆上的一点，设是直线上任意两个不同的点，若时，则使得是等腰直角三角形的点有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】设点，求出点到直线的距离的取值范围，对点是否为直角顶点进行分类讨论，即可求解. 【详解】椭圆方程为，椭圆与直线均关于原点对称， 设点，， 设点到直线的距离为， 则， ①若为直角顶点，如下图： 则由，得顶点到边的高为， 即，此时满足为等腰直角三角形的点有四个； ②若不是直角顶点，如下图： 则由，得顶点到边的高为， 即，此时满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个， 综上，使得是等腰直角三角形的点有6个. 故选：C. 7．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意以及椭圆的几何性质得，，以及抛物线的标准方程以及其在点处的切线方程，进而即可求解. 【详解】解：由题可知，直线AB的斜率k为， 设，则椭圆的离心率， 所以，，即焦点坐标为， 所以抛物线方程为， 故在点处的切线方程为， 令，， 因为， 所以是首项2，公比的等比数列， 即 故选：A. 8．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 【答案】 【分析】根据条件依次求得P点坐标、与，进而得，由，令，则，即可求得t的取值范围. 【详解】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用向量数量积判断为直角，利用勾股定理和椭圆的定义表示出离心率，然后根据离心率范围求解. 地 城 考点02 椭圆离心率 9．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解． 【详解】由椭圆的对称性可得， 因为为直角三角形 则， 则不妨设， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率． 故选：B. 10．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知圆的直径为是圆内一个定点，且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，若点在圆上运动时，则点的轨迹的离心率等于 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，焦距为长轴长等于的椭圆，即可求得其离心率. 【详解】 由已知，圆的直径为，则， 又线段的垂直平分线和半径相交于点， ， 因为， 所以与两个定点的距离的和等于常数（大于）， 由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，焦距为，长轴长等于的椭圆， 所以点的轨迹的离心率为. 故答案为：. 11．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设圆与二面角的棱切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，，设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，，由平面几何知识可求得，进而可求得离心率. 【详解】不妨设圆与二面角的棱切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，（如图）. 设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，， 则，，，由平面几何知识易得，， 故椭圆的离心率. 故选： 12．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 13．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内切圆性质可得，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】连接并延长，交x轴于点Q， 则，则， 所以， 所以， 由得，所以. 故选:C. 地 城 考点03 双曲线综合 14．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)双曲线的渐近线方程为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程得出双曲线的渐近线再计算求参. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以渐近线方程为，即得，所以. 故选：D. 15．(24-25高二上·湖北随州部分高中·期末)已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义即可得到结果. 【详解】因为该方程表示双曲线，所以，即或，即m的取值范围为. 故答案为：. 16．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知，是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据双曲线方程及其定义有，结合等差中项的性质有，可求，进而可证，即可求. 【详解】由双曲线，得，， 因为是和的等差中项， 所以，即 ①， 由双曲线的定义得 ②， 由①②得，，， 所以，即， 故 故选：B 17．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程有一正一负根求解. 【详解】设该直线为， 联立，化简整理得， 由直线与双曲线的左，右两支均相交， 所以，解得， 所以该直线斜率的取值范围为. 故选：B. 18．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期末)双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 19．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则 . 【答案】 【分析】求得双曲线的渐近线方程，以线段为直径的圆的方程，联立方程组，求得点，由两点间的距离公式结合，可得，求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，两焦点为， 以线段为直径的圆的方程为， 联立，消去，得，整理得， 因为在第一象限，所以取，代入，得， 所以点，由，得， 所以，整理得， 所以，所以，两边平方得，所以， 解得. 故答案为：. 20．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的定义结合勾股定理整理可得，结合解得，进而可求渐近线方程. 【详解】设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，焦距均为， ，，，则，， 由题意可得：， 因为，则， 可得，即， 又因为，即，可得，解得， 可得，且双曲线的焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 21．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知双曲线的两个焦点分别为，（在上方），A，B都在双曲线C的下支上，是正三角形，点到直线的距离为，则双曲线C的实轴长的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由双曲线及正三角形的对称性可得关于轴对称，从而推出直线的斜率，再与渐近线斜率进行比较建立关于的不等式关系，再由点到直线的距离可求出的值，再结合进行转换即可求出的取值范围，进而求出实轴长取值范围. 【详解】假设点A在y轴左侧，由双曲线及正三角形的对称性可得关于y轴对称， 所以直线的倾斜角为，斜率为，直线与双曲线C的下支有交点， 所以，得. 因为，所以点到直线的距离为， 所以， 所以，所以，即C的实轴长的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求实轴长取值范围关键是找到关于的方程和建立关于的不等式关系，进而求得范围. 地 城 考点04 双曲线离心率 22．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出弦的中点坐标，再利用点差法列式求出离心率. 【详解】设，中点，则，， ，两式相减得，经检验成立. 所以该双曲线的离心率为. 故选：B 23．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 24．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理与椭圆与双曲线的定义可得，可求的值. 【详解】设，则，故. 由题意，椭圆、双曲线半焦距为c，故， 在中，令，，则，故， 由余弦定理得：， 即， 两边同除以并整理得：， 把，代入求得， 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用椭圆与双曲线定义结合余弦定理可求得的关系式可求解. 地 城 考点05 抛物线 25．(24-25高二上·湖北部分重点中学·期末)抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转换成标准方程即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以焦点坐标为：， 故选：C 26．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段的中点的横坐标，得到答案. 【详解】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以. 故选：B. 27．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】由抛物线方程和其上两点坐标，可推出，利用焦半径公式即可求得答案. 【详解】由抛物线，，是上两点， 得，结合，得， 又，则， 故， 故答案为： 28．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【答案】B 【分析】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，将代入, 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 地 城 考点06 曲线与方程（含轨迹方程） 29．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可. 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 30．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 31．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)（多选）已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 B．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 C．当时，曲线是椭圆的一部分 D．当时，曲线是双曲线的一部分 【答案】ABD 【分析】先联立两直线方程消去参数，得到曲线C的方程为，再根据椭圆和双曲线的标准方程的条件逐一分析选项即可. 【详解】当时， 联立直线与的方程，此时无解， 当时，联立直线与的方程， 可得，所以，两式平方相加可得, 选项A：当时 曲线C的方程，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在x轴上， 所以该选项A正确； 选项B：当时，曲线C的方程为，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在y轴上，所以该选项B正确； 选项C：当时，假设, 曲线C的方程为， 表示圆去掉时的点，不表示椭圆的一部分，所以C选项错误； 选项D：当时， 曲线C的方程是焦点在x轴的双曲线的一部分，D选项正确； 故选：ABD. 32．(24-25高二上·湖北部分州·期末)（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误；    对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点 D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及新定义的理解和运用问题，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别. 33．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 【答案】BCD 【分析】设，根据，即可求出曲线方程，即可判断A；将点代入曲线的方程即可判断B；求出的范围即可判断CD. 【详解】设，由题意，， 即，化简得， 即曲线的方程为，故A错误； 对于B，将点代入曲线的方程得： ，即， 所以曲线关于轴对称，故B正确； 对于C，由， 得，解得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以曲线围成的图形面积不超过，故C正确； 对于D，由C选项知，面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 地 城 考点07 斜率问题 34．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若O是坐标原点，且，求直线l的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据顶点和离心率列方程求解可得； （2）设出直线方程，联立双曲线方程消去y，韦达定理结合列方程求解可得. 【详解】（1）由题得，解得， 双曲线C的标准方程为 （2）由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立双曲线的方程，得， 设，，则，， 直线l交双曲线左支于A，B两点， ，解得， ， ，即， 解得或， ，时， 35．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【答案】(1)； (2)存在，； (3)证明见解析. 【分析】（1）通过已知条件求出椭圆的参数和，进而可求出椭圆的方程； （2）设定点，通过几何关系和代数计算判断是否存在定点，并求出其坐标； （3）设，直线，，的斜率成等差数列，只需证，通过直线与椭圆的联立，经过代数运算之后，可得结论. 【详解】（1）∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. （2）假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. （3）证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证. 36．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点为，焦点在轴上且焦距为2，过右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于，两点，当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线，的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设椭圆C的标准方程为，根据，，即可求解； （2）设，设点，，联立和消元求出韦达定理，求出. 【详解】（1）设椭圆C的标准方程为， ,由，解得，， 因此椭圆C的方程为； （2）证明：因为直线不与轴重合， 设，设点，， 联立，消元得， 得（*），且恒成立， 所以， 将（*）代入化简得， 所以直线，的斜率之积为. 37．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组求解； （2）设出过点R的切线方程，与椭圆方程联立可得关于x的一元二次方程，由相切知从而得到关于切线斜率的方程，利用韦达定理求解即可； （3）设，可得，联立过点R的切线方程和椭圆方程，由相切知从而得到关于切线斜率的方程，利用韦达定理写出，，将证明转化为证明即可. 【详解】（1）由题意：． 所以椭圆的标准方程为：. （2）设过点的切线方程为：，即， 由，消去，得：， 整理得：， 由， 整理得， 整理得：，所以. （3）设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则． 设过点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立，即成立. 地 城 考点08 向量共线问题 38．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围； （2）根据成立，得出，结合韦达定理计算求参. 【详解】（1）由，得， 由，得成立. 设，则， 因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点， 所以，即， 所以，综上得， 解得. （2）令得，依题意， 因为，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，计算得，又因为， 所以. 地 城 考点09 面积问题 39．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 40．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知直线与抛物线交于两点. (1)若，直线的斜率为1，且过抛物线的焦点，求线段的长； (2)如图，若（为坐标原点），点为线段的中点，点为直线与轴的交点，设线段的中垂线与轴，轴分别交于两点.记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）由题可得直线的方程为，与抛物线联立得，利用抛物线定义求出答案； （2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合求得，求得点的坐标，直线的方程，得点坐标，由得，利用基本不等式求解. 【详解】（1）若，则，焦点为， 所以直线的方程为， 设，联立，整理得， ，， 所以， 所以线段的长为16. （2）由题意，，设直线的方程为，， 当时，不能构成三角形，不合题意； 当时，联立，整理得， ，， 因为，所以，即， ，即， ，解得，满足上面方程， 则，，即点的坐标为， 因为，所以直线的方程为：， 令，得，令，得， 由，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解决的关键是求出直线的方程，得到点坐标，根据可得，计算求解. 41．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知平面内一个动点Q到点的距离比它到直线的距离少 (1)求点Q的轨迹方程; (2)已知是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC，BD交于点P，且，设的中点分别为点 ①证明：三点共线; ②若点P为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设点，由题意得，化简可得； （2）①由已知可得，则，利用斜率公式可得，则轴，由C，D分别为PA，PB的中点，可得轴，则M，N，P三点共线； ②点，，，由已知与①可得，则由时，取得最大值，即可求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）设点，由题得， 将上式两边同时平方，得， 化简得：， 当时，， 当时，，此时轨迹不存在， 综上：点Q的轨迹方程为 （2） ①由，， 可知C，D分别为的中点，即得， 则直线AB和直线CD的斜率相等，即， 设，，，， 则点M的横坐标，点N的横坐标， 由，得， 即，则， 所以， 所以轴. 设，由点是的中点，可得，， 因点在抛物线上，故， 整理得， 同理得， ，是方程的两个根， ， 且，， 有，得轴，故三点共线. ②因为点为半椭圆上的动点， 则，且， 又， 则， 因为， 因，且相似比为， 故 ，其中， 当时，取得最大值， 此时四边形面积取得最大值为 【点睛】关键点点睛：（2）①得到后，利用斜率公式得，则轴，再证得轴，即得M，N，P三点共线； ②结合图象，将四边形的面积用表示为：，再利用二次函数的性质求最大值. 42．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出即可得解； （2）①①设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，将用替换，可得点的坐标，再根据斜率公式化简即可得证； ②联立直线与圆的方程，求出点的坐标，即可求出，将用替换，可得，再根据四边形的面积化简整理即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 所以抛物线的方程为； （2）①设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得，解得或， 所以， 将用替换，可得， ， 则，， 所以， 所以为定值； ②联立，消得， 解得或， 所以， 所以， 将用替换，可得， 故四边形的面积 ， 令， 则， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为， 所以四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 地 城 考点10 新定义问题 43．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； (2)对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)成立，理由见解析 【分析】（1）圆心到直线的距离为，所以.，根据设，，其中为参数，则得到答案. （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 【详解】（1）有已知得圆心到直线的距离为，所以. 设，，其中为参数，则 （2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论m取何值时，无解. 即. 若该方程无解，则，即. 所以对于给定的实数，的取值范围为， 直线族的包络曲线为. 证明如下：在上任取一点， 设在A点处的切线方程为， 与联立得， 由相切得，即，则，（此处已经学过导数的可以直接用导数） 故在A处的切线方程为， 即.在直线族中， 令，则，即与完全等价， 所以直线族中的每一条直线都是抛物线的切线，抛物线的每一条切线都是该直线族中的某条直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是直线族的直线.直线族的包络曲线为. （3）已知，设，， 则，，，. 由（2）知在点处的切线方程为. 同理在点处的切线方程为， 联立可得，所以. 因此 ，同理. 所以， ，即，可得， 所以成立. 【点睛】关键点点睛：利用向量夹角的坐标表示是探究第3问的关键. 44．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到. (1)已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程； (2)已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点在曲线上，在变换下点也在曲线上；直线与相切，在变换下直线与曲线也相切.已知点是上一动点，直线是在处的切线.用上述结论求的方程； (3)已知直线与曲线在第四象限的交点为，在处的切线被所截得的弦长记为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义求解即可. （2）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义可得的方程为，进而求出圆的切线方程，然后再根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换即可得出椭圆的切线； （3）根据题意求出，结合（2）求出切线方程与椭圆方程联立，然后利用曲线的弦长公式即可求出，然后求和即可 【详解】（1）设上任意一点，上任意一点， 由题意得，所以，得， 所以的方程为， （2）椭圆上任意一点在变换下的上对应点， 所以代入可得， 所以的方程为， 点在变换下的的坐标为， 所以直线与圆在处相切， 设直线在处与圆相切， 在上任取不同于的点， 所以，所以， 即， 所以圆在点处的切线为， 所以圆在的切线为， 设上任取一点，则对应于直线上一点， 则有代入， 得，所以的方程为 （3）由，解得，即， 由（2）得在处的切线方程为， 设在处的切线与交于两点分别为，， 由，消元得， 整理得，所以，， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 地 城 考点11 多选题多考点综合 45．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期末)已知曲线，，则（   ） A．的长轴长为8 B．的渐近线方程为 C．与的离心率互为倒数 D．与的焦点坐标相同 【答案】ABC 【分析】根据曲线的方程特点，确定曲线的焦点位置，求出相应的基本量，即可逐一判断选项正误. 【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在轴上， 且长轴长为8，故A正确； 由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：， 即，故B正确； 对于C，由可得， 由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确； 对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误. 故选：ABC. 46．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次为，，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（    ） A． B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点，在上，且，则 【答案】ABD 【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求解判断A；联立直线与抛物线，求出交点坐标，结合焦半径公式利用向量共线的概念判断B；根据焦半径公式列式求解判断C；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式求解判断D. 【详解】对于A：由题意得抛物线的焦点，准线方程为， 因为长的最小值为4，所以，解得，故A正确 对于B：所以抛物线的方程为， 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以，， 由抛物线的定义可得，， ，若的倾斜角为，则， 所以，，所以，，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以直线的斜率为1或，故C错误； 对于D：设，，由，得为的重心， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 47．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D.. 【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即， ， 直线AB的斜率不可能为0，设其方程为， 联立，消去x，得，， 故，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 则，C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， 又， ，即选项D正确. 故选:BCD 48．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知双曲线的右顶点为，过点A作的一条切线与双曲线交于点B，若AB中点为P，且，过点A作的另一条切线与双曲线交于点D，设直线AB，AD的斜率分别为，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线方程为 B．双曲线的离心率 C． D．过定点 【答案】ABD 【分析】根据题意设点代入方程化简得出即求出离心率判断B，得出轨迹方程可判断A，结合点到直线距离及韦达定理即可判断C，应用斜率公式计算求解得出定点判断D. 【详解】设，，将，代入双曲线方程得：①，②， ①-②得：，即， 由题可知，，，所以， 又因为是AB中点，所以，，即，所以，则，故B正确; 由题得，，所以双曲线方程为，故A正确； 圆M的圆心为，半径为r，设切线方程为， 则，即，则，是上述方程的两根，根据韦达定理可得，故C错误; 由，则，， 设AD的中点为Q，由①可得：，即：，，因为，， 所以③，④，因为， 将③④分别代入，则：，即⑤， ，即⑥， ⑤-⑥得：，所以直线BD过定点，故D正确. 故选：ABD. 49．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将条件转化成坐标代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图， 对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为， 所以，，抛物线，焦点，故A正确； 对于B，根据抛物线的定义，，所以， 当三点共线时等号成立，取得最小值，故B正确； 对于C，记准线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，，所以，故C错误； 对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即. 代入抛物线得，整理得. 设则， 由，点在第一象限，得.解得，故D正确. 故选：ABD. 50．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（    ） A．的取值范围为 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．当时，的面积为 D．若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BD 【分析】选项A，的取值范围为进而可得； 选项B，直线轴时，取得最小值，即求椭圆的通径即可； 选项C，根据求焦点三角形的面积方法可得； 选项D，由中点弦的求法可得. 【详解】选项A：由椭圆的方程可得椭圆的长半轴，短半轴， 设半焦距为，则， 因在椭圆上，则的取值范围为，即，故A错误； 选项B：设， 由题意，则的最小值时，直线轴， 当时，由可得，故，故B正确； 选项C：    由椭圆的定义可得， 故，即 在中由余弦定理可得， 得，即， 故，故C错误； 选项D：因在椭圆上，故，， 两式相减可得，可得， 故直线的斜率为，又直线过点， 故直线的方程为，即，故D正确， 故选：BD 51．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（    ） A．若到渐近线的距离为1，则 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C．若，则点的纵坐标为 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ABC 【分析】选项A，根据题意，进而可得； 选项B，由双曲线的定义和内切圆的性质，可得，即得，进而可得； 选项C，设， 由，联立 可得； 选项D，当点坐标为时，由得，进而可判断错误. 【详解】选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确； 选项B： 如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点, 则, 由双曲线的定义可得，故， 故，即， 又，故，故, 故的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确； 选项C： 设，则，， 因，故，故， 代入可得得，得，故C正确； 选项D： 当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， 故，得，此时渐近线方程为，故D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题选项B考虑到内切圆的性质，由双曲线的定义可得，进而可判断；选项D，先考虑特殊点，点位于顶点时得到，可判断选项D错误. 52．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)已知正方体的棱长为4，点在面（包含边界）内运动，且；点在面（包含边界）内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等.若平面，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线不可能与平面垂直 C．的轨迹为抛物线的一部分 D．线段长度的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据正方体性质和线面平行性质判定A；以的中点为原点建立空间直角坐标系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分，得到在坐标平面内的方程；进而得到的轨迹为抛物线的一部分，得到在坐标平面内的方程判定C；设，求出判定D； 当即，时直线与平面垂直判定B. 【详解】由于平面，根据正方体性质，知道，A选项显然正确； 以的中点为原点建立空间直角坐标系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分， 其在坐标平面内的方程为； 到直线的距离即为的长，到平面的距离即为到直线的距离， 由此的轨迹为抛物线的一部分，其在坐标平面内的方程为，故C选项正确； 由平面知，，横坐标相等，设为， 设，，，， ，故D选项正确； 当即，时直线与平面垂直.故B选项错误. 【点睛】关键点点睛：立体几何中，计算和证明比较难时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量法，结合圆锥曲线，函数等知识解决即可. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题03圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） ☆1大高频考点概览 考点01椭圆综合 考点02椭圆离心率 考点03双曲线综合 考点04双曲线离心率 考点05抛物线 考点06曲线与方程（含轨迹方程） 考点07斜率问题 考点08向量共线问题 考点09面积问题 考点10新定义问题 考点11多选题多考点综合 目目 考点01 椭圆综合 1.(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体期末)阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家， 他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称 辅为坐标辅，焦点在)轴上，且梢圆C的离心率为；，面积为15x,则椭圆C的标准方程为() B.+1 2516 259 C. D.+- 2591 2516 2.2425高二上湖北部分级示范高中期末)若斜率为1的直线与椭圆父+上=1交于4B两点，则弦4B的 43 中点坐标可能是() B.( C.（-3,4) D.（-4,3 3.24-25高二上湖北楚天协作体期末)椭圆号+上=1上的点P到直线x+2y-5=0的最短距离为 43 4.(2425高二上湖北鄂南高级中学期末村设F是椭圆号+二-1的右焦点，P是椭圆上的动点，4是直线 4+3 x+V3y-12=0上的动点，则PA-PF的最小值为() 1/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 A. 13 B.3 D. 2 5425资三上衡北武汉重点中学5G联合体期末记知辆圆C:若+若-a>6>0,C的上顶点为， 3x 两个焦点为R,5,短轴长是长轴长的5倍.过R且垂直于A,的直线与椭圆C交于D,E两点，1DE=6, 2 则ADE的周长是 6.2425高二上湖北部分州期末)已知点C是椭圆兰+上=1上的一点，设4，B是直线y=x上任意两个不 248 同的点，若AB=4时，则使得ABC是等腰直角三角形的点C有() A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 7.Q425高二上湖北武汉部分重点中学期末)已知椭圆二+上=1m>0)的上，下焦点分别为，5，抛 m 9 物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆的上焦点重合，过F的倾斜角为严的直线交椭圆于A,B两点，且 A5=FB,点(x,y)(n∈N)是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为x,0), 若x1=2,则x2o2s的值为() A.(分2 B. 白2023 D.(白 ⑧2425高上潮北武汉部分事点中学期末已知隋圆℃：名+ 京=1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F(-6,0,R,c,0),点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为公，若椭圆的离心率e的范围是 25 PF 2’3 则PF2 的范围是 考点02 椭圆离心率 g(2425高三上潮北武汉华中师范大学第一附属中学期末已知椭圆℃：仁+ F=1(a>b>0),0为坐标 原点，直线x=5b与椭圆C交于A、B两点，若△O1B为直角三角形，则椭圆C的离心率为O A.6 B. v6 2 C. D.5 2 3 10.(2425高二上湖北部分州期末)已知圆C的直径为20，A是圆C内一个定点，且CA=6,P是圆C上任意 一点，线段AP的垂直平分线1和半径CP相交于点Q,若点P在圆上运动时，则点Q的轨迹的离心率等于」 11.(24-25高二上湖北仙桃·期末)圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆己知二面 角a-1-B的大小为30，半平面内的圆C在半平面B上的投影是椭圆C,C在半平面上的投影是椭圆 C,,则椭圆C,的离心率为() A.3 B. C.v5 D.V分 4 4 4 12.(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时 发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日 圆”己知椭圆C: )+方=1（公<，若直线1：4x-3y+20=0上存在点卫，过P可作C的两条互相垂直 x2,y2 的切线，则椭圆离心率的取值范围是 1B.2425商二上潮北武汉部分重点中学期利已知椭圆C:若+卡-a>6>0的左，右焦点分别为F。 乃，点P是确圆上的一点，且点P在x轴上方，。PFR,的内切图圆心为，若Sm S5=2(2<元≤3)则椭圆的 离心率e的取值范围是() 3’2 03 c.2 D. 目目 考点03 双曲线综合 14.(2425高二上澜北楚天协作体期末)双曲线C: -x2=1的渐近线方程为y=mx,则m=（) A司 B.2 C.2 2 D.√5 15.(2425高二上湖北随州部分高中期末)已知方程。-户 =1表示双曲线，则m的取值范围是」 m+2m+5 16.2425商三上湖北武汉部分重点中学期已知，B是双曲线-兰1的左，右焦点，P是双曲线 右支上一点，且FF是PF和PF的等差中项，则SpF,的值为() A.4 B.6 C.8 D.10 17.(24-25高二上·湖北部分州期末)已知过点(0,1)的直线与双曲线x2-y2=1的左，右两支均相交，则该直 线斜率的取值范围为() A.（-0,-1)U(1,+0 B.（-1,1 3/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.(-2,-U1,2) D.(（1,2 18.(24-25高二上湖北部分级示范高中期末)双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过 双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：F,,为双曲线 C:,-长=1@>0，b>0的左，右焦点，从右焦点E发出的光线在双曲线C上的点A、B处反射后射出 (A,B,F,共线)，若∠CAB=∠ABD=120,则=() Q A.√2 B.5 C.2 D.√5 92425商二上潮北创桃期表双曲线C:号芳-a>0>0的左右长点分别为，尽，以线段5行 为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A,若4=2斗4，则2= 20.(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)已知椭圆C与双曲线C,有相同的左、右焦点 E,F,P为椭圆C与双曲线C,在第一象限内的一个公共点，设椭圆G与双曲线C,的离心率分别为e,e, 8者F所 2,则双曲线C,的海近线方程为(） A.y=±x B.y=±V2x C.y=±3x D.y=±2x 2LQ425高上潮北云学名校联盟，期末已知双曲线C:名。1a>0,6>0的两个焦点分别为R,B (F在F上方)，A,B都在双曲线C的下支上，△ABF是正三角形，点F到直线AF的距离为2√5，则 双曲线C的实轴长的取值范围是 目目 考点04 双曲线离心率 2.2425商二上湖北楚天协作体期未已知双曲线若片-1与直线？=41相交于4,8两点，英中B 4/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中点的横坐标为 ny 则该双曲线的离心率为() A.7 B.14 C.35 D.1s 2 2 3 23.(24-25高二上湖北武汉重点中学5G联合体期末)双曲线C的两个焦点为E、F,以C的实轴为直径 的圆记为D,过K作图D的切线与C的两支分别交于M、N两点，且c0s∠FNR-}, 则双曲线C的离心 率为() A.3 B.V47 C.5 D. 2V13 2 3 13 2425高三上测北云学名校联盟期术利如图，椭圆G:+6尔=a>6>0,双曲线 G: :G店1(a>0,6>0),G与C有共同的焦点R,F,它们在第一象限的交点为P,且 m∠RP所=手，若G的离心率6=5 ,则C,的离心率e2=() 3 F2 A.2W2 B.2 C.2W3 D.3 目目 考点05 抛物线 25.(24-25高二上湖北部分重点中学期末)抛物线y= 】x的焦点坐标为() A. 08 B. 26.(2425高二上湖北云学名校联盟期末)已知AB是过抛物线y2=4x的焦点的弦，若AB=8,则AB中 点的横坐标为() A.2 B.3 C.4 D.5 27.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x,y), 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF B(x2,)是C上两点，若片-2=4，则 BF 2 28.(24-25高二上湖北鄂南高级中学期末)已知F为抛物线y2=4x的焦点，斜率为三的直线与抛物线交于 ,B两点，且位于x维的西仙4在x的上》，0080中0为坐标原D,功 A.4:1 B.5:1 C.5:2 D.7:2 目目 考点06 曲线与方程（含轨迹方程） 29.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学期末)在平面直角坐标系x0y中，已知点A(-2,0),B(2,0),点P 是平面内一个动点，则下列说法正确的是() A.若PA+PB=4,则点P的轨迹为椭圆 B.若PA-2PB=0,则点P的轨迹为椭圆 C.若PA-PB=4,则点P的轨迹为直线 D.若PA-PB=2,则点P的轨迹为双曲线的一支 30.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)已知圆A:(x+3)+y2=4,B(3,0),点P在 圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() A-51B-若1c-若 D.y-=1 6 31.(24-25高二上湖北仙桃期末)（多选）己知m≠n,设两条直线l:x-my+2=0,12:x-y-2=0交点 的轨迹为曲线C,则下列说法正确的有() A.当mn=-4时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在x轴上 B.当mn=)A 二时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在y轴上 C.当mn<0时，曲线C是椭圆的一部分 D.当mn>0时，曲线C是双曲线的一部分 32.(24-25高二上湖北部分州期末)（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点A(x,),B(x2,y2)“新距 离”为：d(A,B)=x-x2+|-y2,在此距离定义下，点P(x,y)到直线I的“新距离”就是点P与直线1上所 有点的“新距离”的最小值，记作符号d(P,).已知点C1,0),D(2,4),直线l。:2x+y+2=0.() 6/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.d(C,D)=5 B.到点C“新距离等于1的点P(x,y)所围成的图形的面积为4 C.d(D,l)=5 D.d(A,B)<d(A,C)+d(B,C) 33.(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）平面内到两定点的距离之积为定值 的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.己知曲线C 上的点M到F(-1,0)与F,(1,0)的距离之积为2，则下列结论正确的是() A.曲线C的方程为(x2+y2+1=9x2+9B.曲线C关于x轴对称 C.曲线C围成的图形面积不超过4√D.△MFE,面积的最大值为1 考点07 斜率问题 3424235窝二上湖北武汉富分重点中学期末已知双曲线C:若茶=a>0b>0的左顶点为-10， 离心率e为√2，过点P(0,-1)的直线1交双曲线左支于A,B两点 (1)求双曲线C的标准方程， (2)若O是坐标原点，且Sa4o=V2,求直线1的斜率， 35.(24-25高二上潮北鄂南高级中学期末)已知椭圆C号 +=1a>b>0),点B,B分别是椭圆C短轴 的端点，椭圆C的焦点F也是抛物线y2=4x的焦点，且FB,⊥FB.过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于 A,B两点 (1)求椭圆C的方程； (②)x轴上是否存在定点P,使得∠APF=∠BPF?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点M是定直线I:x=2上任意一点，求证：三条直线AM,FM,BM的斜率成等差数列 36.(2425高二上·湖北仙桃·期末)己知椭圆C的中心在坐标原点，左项点为A,焦点在x轴上且焦距为2， 过右焦点F的直线1（不与x轴重合）交椭圆于M,N两点，当直线1与x轴垂直时，MN=3 (1)求椭圆C的方程： (2)证明：直线MA,NA的斜率之积为定值 7/12 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 37.2425商二上簿武汉重点中学好联合体期钓已知熊西C:号+芳-1o>6>0的商心率为，且 椭圆上一点到焦点的最近距离为1，A,B是椭圆左右顶点，过A,B做椭圆的切线，取椭圆上x轴上方任意两 点P,Q(P在Q的左侧)，并过P,Q两点分别作椭圆的切线交于R点，直线RP交点A的切线于M,直线 RQ交点B的切线于N,过R作AB的垂线交MN于K (1)求椭圆的标准方程； (2)若R(L,3),直线RP与RQ的斜率分别为k与k,求kk,的值； MKMA (3)求证： NK NB 目目 考点08 向量共线问题 38.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)已知直线：y=-x+1与双曲线 C:y2=1m>0)的右支交于不同的两点M,N (1)求实数m的取值范围； (2)直线1与y轴交于点P,是否存在实数m使得PM=】PN成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请 说明理由。 目目 考点09 面积问题 9,Q425高=上北云学名校联盟期已知椭国C:仁+a>6>0的短轴长为2，且过B 9 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点F作倾斜角为45°的直线1，直线1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求 8/12 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 AOB的面积 40.(24-25高二上湖北部分州期末)己知直线1与抛物线C:y2=2pxp>0)交于A,B两点. (1)若p=4,直线1的斜率为1，且过抛物线C的焦点，求线段AB的长； (2②如图，若P=,OA⊥OB(0为坐标原点)，点M为线段4B的中点，点N为直线AB与x轴的交点，设 4 与X轴，y轴分别交于G,H两点，记AOGH的面积为S.△MNG的面积为 范围。 41.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学期末)已知平面内一个动点Q到点T0,， 4 的距离比它到直线 少=2的距离少 4 (1)求点Q的轨迹方程： (2)已知A,B,C,D是点O的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC,BD交于点P,且PC=PA, PD=,PB.设AB,CD的中点分别为点M,N ①证明：M,N,P三点共线： ②若点P为半椭圆二+x2=10<0)上的动点，求四边形A8DC面积的最大值 2 42.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)已知F是抛物线Γ：y2=2pxp>0)的焦点， E是抛物线T的准线与x轴的交点，EF=2 (1)求抛物线Γ的方程； (2)设0为坐标原点，AB为圆O:(x+4)+y2=16的一条不垂直于y轴的直径，分别延长A0,B0交抛物 线T于C、D两点 1+1为定值： O直线OC,O,D,CD的斜率分别为k,,店，证明：店+kk ②求四边形ABCD面积的最小值. 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点10 新定义问题 43.(24-25高二上湖北云学名校联盟·期末)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 A(x-1)+B(y-2)=0表示过点(1,2)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线 上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， (1)若圆O:x2+y2=9是直线族ax+by=3(a,b∈R)的包络曲线，求a+2b的取值范围； (2)对于给定的实数x,若点P(xy)不在直线族2：(2m-4)x+4y+(2-m)=0(m∈R)的任意一条直线上， 求%的取值范围（用x表示）和直线族2的包络曲线Γ； (3)在(2)的条件下，过曲线Γ上任意两点A,B分别作曲线Γ的切线I,马，其交点为P.已知点F(0,), 探究∠PFA=∠PFB是否总成立？请说明理由 44.(24-25高二上湖北楚天协作体期末)已知点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x'=入x(入>0) 的作用下，点P(x,y)对应到点P'(x,y）,称p为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换如： y'=4y(μ>0) y=cosx在变换p: X=3的作用下得到y=3c0s3 y'=3y (1)已知曲线M:x2+y2=1在p: 父=2x的作用下得到曲线M,求M”的方程： (y'=y 1 （②已知椭圆r号+若-o>b>0在变换： a 下保持位置关系不变性，即点H在曲线「上，在变换P 1 y=+y b 下点H'也在曲线D'上；直线1与「相切，在变换P下直线1与曲线D也相切.己知点H(x,yo是 京+京=1(a>6>0)上一动点，直线是r在H处的切线用上述结论求1的方程， x2y2 (⊙)已知直线y=-与曲线E:子+r=(=123,,n+)在第四象限的交点为乃，E在P处的切线被E,所 截得的弦长记为a,求∑a, 目目 考点11 多选题多考点综合 10/12