期末专题05 期末压轴题精选（3大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高二数学上学期人教A版

期末专题06 期末压轴题精选 3大高频考点概览 考点01 空间向量与立体几何 考点02 解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线、曲线与方程） 考点03 数列及数列求和 地 城 考点01 空间向量与立体几何 1．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知正三棱锥，底面是边长为2的正三角形，若，且，则正三棱锥外接球的半径为 ． 2．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)（多选）已知正方体的棱长为4，点在面（包含边界）内运动，且；点在面（包含边界）内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等.若平面，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线不可能与平面垂直 C．的轨迹为抛物线的一部分 D．线段长度的取值范围为 3．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（    ） A．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B．沿正方体的表面从点到点的最短距离为 C．若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则 D．三棱锥外接球的半径为 4．(23-24高二上·湖北武汉外国语学校·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，M是棱的中点．P是正方体表面上的动点(如图)，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则动点P的轨迹长度为 B．若，则动点P的轨迹长度为 C．若，则动点P的轨迹为双曲线的一部分 D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为 5．(23-24高二上·湖北恩施州高中教学联盟·期末)如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 6．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)（多选）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是 7．(23-24高二上·湖北襄阳、黄石、宜昌、黄冈部分学校·期末)如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 地 城 考点02 解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线、曲线与方程） 8．(23-24高二上·湖北十堰·期末)是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ． 9．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高二上·湖北武汉常青联合体·期末)双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左右两支分别交于两点M，N，若，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 12．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)（多选）伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程可以为 B．若，则 C．有且仅有一个点，使得 D．的最小值为 14．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（    ） A．若到渐近线的距离为1，则 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C．若，则点的纵坐标为 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 15．(23-24高二上·湖北部分县区级示范高中温德克英协作体·期末)已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 16．(23-24高二上·湖北新高考联考协作体·期末)（多选）已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则的内切圆半径为 D．以为直径的圆与圆相切 17．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 . 18．(23-24高二上·湖北荆门·期末)（多选）已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．内切圆圆心的横坐标为定值 C．若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为 D．的最小值为 19．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．    (1)求证：直线的斜率为定值； (2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 20．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知平面内一个动点Q到点的距离比它到直线的距离少 (1)求点Q的轨迹方程; (2)已知是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC，BD交于点P，且，设的中点分别为点 ①证明：三点共线; ②若点P为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值. 21．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知直线与抛物线交于两点. (1)若，直线的斜率为1，且过抛物线的焦点，求线段的长； (2)如图，若（为坐标原点），点为线段的中点，点为直线与轴的交点，设线段的中垂线与轴，轴分别交于两点.记的面积为的面积为，求的取值范围. 22．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； (2)对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 23．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到. (1)已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程； (2)已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点在曲线上，在变换下点也在曲线上；直线与相切，在变换下直线与曲线也相切.已知点是上一动点，直线是在处的切线.用上述结论求的方程； (3)已知直线与曲线在第四象限的交点为，在处的切线被所截得的弦长记为，求. 24．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值； (3)求证：． 25．(23-24高二上·湖北新高考联考协作体·期末)动点G到点的距离比到直线的距离小2. (1)求G的轨迹的方程； (2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 26．(23-24高二上·湖北荆州八县区·期末)已知椭圆经过点，焦距为，斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 27．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知抛物线，其焦点为． (1)两点为抛物线上的动点且满足，直线不垂直于轴，求证：线段的垂直平分线过定点，并求出点的坐标； (2)已知椭圆，圆，过（1）中点作斜率分别为的直线，且满足，直线交椭圆于两点，直线交圆于两点，点为中点，求面积的取值范围． 28．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知椭圆E：（）的左右顶点分别为A，B，焦距为2，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，若直线PA，PB斜率之积为． (1)求椭圆E的方程； (2)设点在椭圆E的内部，直线AT，BT分别交椭圆E于另外的点C和D，若△CDT的面积为，求t的值． 29．(23-24高二上·湖北黄石部分学校·期末)已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4. (1)求的方程； (2)设轴上的一定点，过点作直线交椭圆于，两点，若在上存在一点A，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 30．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)已知抛物线，点为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，已知点，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点.使直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由. 31．(23-24高二上·湖北十堰·期末)已知是椭圆上一点． (1)求的离心率； (2)过点作两条互相垂直且斜率均存在的直线与交于两点，与交于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 32．(23-24高二上·湖北武汉常青联合体·期末)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，面积最大值为． (1)求椭圆C的方程； (2)过x轴上一点的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足为M，N两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 33．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 34．(23-24高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期末)已知双曲线方程为，，为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线与双曲线右支交于两点；则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值及此时面积的最小值，若不存在，请说明理由． 地 城 考点03 数列及数列求和 35．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设个圆的交点总数为，记，则 . 36．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D． 37．(23-24高二上·湖北荆州八县区·期末)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智玩具，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一．假设环的数量为，解开连环所需总步数为，解下每个环的步数为，则数列满足：则 ， 38．(23-24高二上·湖北荆门·期末)已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 39．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得数列第1项，第2项，第项成等差数列？若存在，求满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由； (3)类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列的前项和. 40．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)已知数列满足，且数列的前项和为，证明：. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题06 期末压轴题精选 3大高频考点概览 考点01 空间向量与立体几何 考点02 解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线、曲线与方程） 考点03 数列及数列求和 地 城 考点01 空间向量与立体几何 1．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知正三棱锥，底面是边长为2的正三角形，若，且，则正三棱锥外接球的半径为 ． 【答案】/ 【分析】据题意，根据线面垂直的判定定理，可证得面，进而证明面，由此可得到两两垂直，将三棱锥补形成正方体，即可求出外接圆半径. 【详解】设正三棱锥的底面中心为点，连接，则面， 连接并延长，交于点，连接，如图所示， 因为底面是正三角形， 则为的中点，，， 又，面，面， 所以面，又因为面， 所以，又因为，， 因为，所以，故面，又因为面， 所以面， 因为面，面，所以， 因为三棱锥是正三棱锥，且底面是边长为2的正三角形， 所以两两垂直，且， 将其补形成棱长为正方体，如图： 所以正三棱锥外接球的半径为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求几何体外接球半径或体积（表面积），常用方法有：补形法，利用射影定理，建立空间直角坐标系. 2．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)（多选）已知正方体的棱长为4，点在面（包含边界）内运动，且；点在面（包含边界）内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等.若平面，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线不可能与平面垂直 C．的轨迹为抛物线的一部分 D．线段长度的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据正方体性质和线面平行性质判定A；以的中点为原点建立空间直角坐标系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分，得到在坐标平面内的方程；进而得到的轨迹为抛物线的一部分，得到在坐标平面内的方程判定C；设，求出判定D； 当即，时直线与平面垂直判定B. 【详解】由于平面，根据正方体性质，知道，A选项显然正确； 以的中点为原点建立空间直角坐标系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分， 其在坐标平面内的方程为； 到直线的距离即为的长，到平面的距离即为到直线的距离， 由此的轨迹为抛物线的一部分，其在坐标平面内的方程为，故C选项正确； 由平面知，，横坐标相等，设为， 设，，，， ，故D选项正确； 当即，时直线与平面垂直.故B选项错误. 【点睛】关键点点睛：立体几何中，计算和证明比较难时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量法，结合圆锥曲线，函数等知识解决即可. 3．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（    ） A．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B．沿正方体的表面从点到点的最短距离为 C．若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则 D．三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定定理可证明平面，点到平面的距离为定值，可判断A正确，将正方体展开再利用勾股定理计算可得B正确，根据平面与平面间夹角的定义可分别计算出各夹角的正弦值，可知C错误，找出三棱锥外接球的球心位置，再根据线面垂直关系以及勾股定理即可计算出外接球的半径，可知D正确. 【详解】对于A，连接交于点，连接，如图所示：    因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，直接展开如下图：    此时，其余展开方式均大于，故B正确． 对于C，取的中点，连接，如下图：    则，，所以，所以平面就是平面， 因为平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为平面，平面，所以， 所以为二角面的平面角，为二面角的平面角， ，， 所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为， 与前后两个平面所成二面角的正弦值为， 与左右两个平面所成二面角的正弦值为， 所以，故C错误； 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可证， 由选项A可知，所以，， 因为，平面，所以平面， 设为等边三角形的外心，如下图所示：    则， 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上， 设球心为，连接，过作于， 则，， 设三棱锥外接球的半径为，则， 设，则， 因为， 所以， 解得，，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于确定出三棱锥外接球的球心位置，再根据线面垂直关系以及勾股定理得到等量关系解方程，即可计算出外接球的半径. 4．(23-24高二上·湖北武汉外国语学校·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，M是棱的中点．P是正方体表面上的动点(如图)，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则动点P的轨迹长度为 B．若，则动点P的轨迹长度为 C．若，则动点P的轨迹为双曲线的一部分 D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为 【答案】ACD 【分析】A选项，由线面平行判断出轨迹为线段，求长度即可；B选项，由到定点距离等于定长判断轨迹为圆弧，求长度即可；C选项，由圆锥的截面位置，判断截面形状；D选项，由动点轨迹，计算动点到平面距离的范围，得棱锥体积的取值范围. 【详解】是棱的中点，连接， 又M是棱的中点，则有，，    所以四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 若平面，则动点P的轨迹为线段， ，，，A选项正确； 正方体中，平面，则有平面， P是正方体表面上的动点，若，，则， 动点P的轨迹为以为圆心，2为半径的位于正方形内的一段弧， 圆心角为，弧长为，B选项错误； 为定值，若，则点P在以B为顶点，BM为轴的圆锥的侧面上， 又P在平面上，且平面，则动点P的轨迹为双曲线的一部分，故C选项正确；      以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周， 设的中点分别为，连接， 则点的运动轨迹是平面内以为圆心为半径的圆，    正方体中平面，平面，则， 正方形中，， 平面，，平面， 平面，所以平面平面， 平面平面， 中，，，则，， 设直线与圆的交点分别为(点位于点之间)， 可知当点分别位于点时， 点到平面的距离分别取到最小值和最大值， 距离的最小值为， 距离的最小值为， 是等边三角形，， ， ， 所以在旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：空间中动点轨迹问题，对动点运动过程中元素性质的分析，是非常重要的，抓住变化过程中的不变关系，是最关键的，将涉及到的空间元素，尽可能迁移到同一平面内，这种空间的轨迹问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线. . 5．(23-24高二上·湖北恩施州高中教学联盟·期末)如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如图1），设点，由，得，求出坐标，由得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论． 【详解】中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得，由知，则， 如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式， 可得，整理为．                   图1                                图2 如图2，在翻折过程中，作于点，则， 并且平面， 所以平面平面， 所以，即，其中． 又动点在线段上，设，所以，且． 由，得， 又因为，对应的的取值为，即， 由已知斜线与平面所成角是， 所以． 故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为． 故答案为：． 6．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)（多选）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A：三角形的面积不变，点到平面的距离为，即可判断；对B：将所求角度转化为所成角，连接，取交点为，求得角度的最大值；考虑三角形中角度最小时的状态为点与重合，再求对应最小值即可；对C：分析点在不同平面下的轨迹，即可求得轨迹长度；对D：求得点的运动轨迹，再根据几何关系求的长度即可. 【详解】对A：当在平面上运动时， 三棱锥的底面为三角形，其面积为定值， 又点到面的距离即平面到平面的距离，也为定值， 故三棱锥的体积不变，A正确； 对B：连接，设其交点为，连接，作图如下所示：    因为面，故面， 又面，故； 当点在上运动，因为//，则与所成的角即为与所成的角； 当点与点重合时，因为，故可得所成角为； 当点异于点时，设所成的角为，则， 故当与重合时，取得最大值，此时取得最小值，最小， 此时，三角形为等边三角形，故可得； 综上所述，当点在上运动时，直线所成角范围为，故B错误； 对C：当点与重合时，，也即与底面的夹角为； 当点在平面上时（异于点），过作，连接，显然即为所求线面角；    又，又，故，， 故当点在平面上时（异于点），与平面的夹角小于，不满足题意； 同理可得，当点在平面上（异于点）时，与平面的夹角也小于，不满足题意； 当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为， ； 当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为， ； 当点在平面上时，因为面//面， 故与面所成角与与面所成角相等， 因为面，连接，故；    在三角形中，易知， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 故其轨迹长度为：； 当点在面上，不满足题意； 综上所述：点轨迹的长度为：，故C正确； 对D：取的中点分别为， 连接，如下所示：    因为//面面，故//面； //面面，故//面； 又面，故平面//面； 又//////，故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段； 在三角形中， ；；； 则，故三角形是以为直角的直角三角形； 故， 故长度的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题综合考察立体几何中线面位置关系，以及角度，轨迹长度的求解；特别的对选项C，分别考虑点在不同平面下轨迹的情况，是解决问题的核心，属综合困难题. 7．(23-24高二上·湖北襄阳、黄石、宜昌、黄冈部分学校·期末)如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面和平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又， 平面平面，平面，则平面， 又平面，即得， 四边形为矩形，≌，则,即， 平面，于是平面，平面， 所以平面平面； （2）过E作平面，由（1）知平面，平面，故， 以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ∵，，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 则， 设平面的法向量为，则，即， 则， 由图可知二面角为锐二面角， 从而有， 而，则，, 所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是建立合适的空间直角坐标系，从而得到，再根据即可得到其范围. 地 城 考点02 解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线、曲线与方程） 8．(23-24高二上·湖北十堰·期末)是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意由双曲线定义知，然后由题意可知，再求出到的距离，从而可得，从而可求解. 【详解】过作的垂线，垂足为，如图， 因为与的夹角为，所以， 设的右焦点为，则， 到的距离， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由题意作出图形，可得，求出与的距离，并结合双曲线定义可知，从而可求解. 9．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组求出交点，再利用中点坐标公式求出中点坐标，依据等腰三角形三线合一推出垂直，建立齐次方程求解即可. 【详解】因为双曲线的渐近线为，    联立方程组，，解得，，故， 联立方程组，，解得，，故， 设为的中点，由中点坐标公式得， 由题意得，故， 则，可得， 化简得，即， 故渐近线方程为. 故选：A 【点睛】易错点睛：双曲线的渐近线方程为 ，而双曲线的渐近线方程为 （即 ），应注意其区别与联系. 10．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得，设，可得，由已知向量关系可得，从而得到，即，由离心率公式可得答案． 【详解】已知双曲线的渐近线方程为， 双曲线右焦点到渐近线的距离为， 在中，，，所以， 设，则，， 因为，所以， 所以，所以， 在中，， 所以，即，即， 所以． 故选：D 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 11．(23-24高二上·湖北武汉常青联合体·期末)双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左右两支分别交于两点M，N，若，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设,由双曲线定义得，，计算出，结合余弦定理得离心率. 【详解】根据双曲线的定义：，， 设，则，，， 因为，所以，得，. 在△中，由余弦定理得， 整理得，. 故选：D. 【点睛】关键点睛：充分利用双曲线定义表示各线段长度是解决问题关键. 12．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率. 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值. 13．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)（多选）伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程可以为 B．若，则 C．有且仅有一个点，使得 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为钝角，从而判断C；由基本不等式判断D． 【详解】对于：由，解得， 则椭圆的标准方程为，故A正确； 对于B：由定义可知， 由余弦定理可得， ， 解得， 则，故B错误； 对于C：当点为短轴的一个端点时，最大， 此时为钝角， 则椭圆上存在四个不同的点，使得，故C错误； 对于D ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：AD． 14．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（    ） A．若到渐近线的距离为1，则 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C．若，则点的纵坐标为 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ABC 【分析】选项A，根据题意，进而可得； 选项B，由双曲线的定义和内切圆的性质，可得，即得，进而可得； 选项C，设， 由，联立 可得； 选项D，当点坐标为时，由得，进而可判断错误. 【详解】选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确； 选项B： 如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点, 则, 由双曲线的定义可得，故， 故，即， 又，故，故, 故的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确； 选项C： 设，则，， 因，故，故， 代入可得得，得，故C正确； 选项D： 当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， 故，得，此时渐近线方程为，故D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题选项B考虑到内切圆的性质，由双曲线的定义可得，进而可判断；选项D，先考虑特殊点，点位于顶点时得到，可判断选项D错误. 15．(23-24高二上·湖北部分县区级示范高中温德克英协作体·期末)已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先得，，取点关于直线的对称点为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是取点关于直线的对称点为，由此即可顺利得解. 16．(23-24高二上·湖北新高考联考协作体·期末)（多选）已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则的内切圆半径为 D．以为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【分析】A选项，设，，，，利用点差法得到，结合得到，从而由双曲线定义得到A正确；B选项，利用双曲线定义和余弦定理得到，从而求出三角形的面积；C选项，由双曲线定义和勾股定理求出，得到的面积，从而求出内切圆半径；D选项，设，，，先得到的中点为的坐标，从而得到，得到D正确. 【详解】A选项，设，，，， 则，，两式相减得，故， ， 所以，解得， 点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确； B选项，因为，， 若，由余弦定理得 ， 故，解得， 故的面积为，B错误； C选项，因为，， 若，由勾股定理得， 解得， 故的面积为， 设的内切圆半径为， 故，即， 解得，C正确； D选项，设，，，其中， 设的中点为，则，， 又 ， 故，故以为直径的圆与圆相切，D正确. 故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：椭圆与过原点的直线相交于两点，则从椭圆上任选一点（除外），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：双曲线与过原点的直线相交于两点，则从双曲线上任选一点（除外），满足； 17．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 . 【答案】 ； 【分析】根据抛物线焦半径公式，由即可求得，从而得到抛物线方程；设出方程，根据直线过的定点，从而求得的关系，以及的关系，对分类讨论，即可求得的最大值. 【详解】当垂直于轴时，，此时，可得， 故的方程为：； 对抛物线上的任意两点， 若直线斜率存在，则， 故直线方程为：，即 也即，又， 故方程为：； 若直线斜率不存在，，， 显然此时，直线方程亦可表示为：； 综上所述，方程可表示为：； 又直线过点，则； 设两点坐标为， 同理可得直线方程为：， 直线方程为：， 又直线过点，则； 又直线过点，则； 综上可得：， 若直线斜率存在，设斜率为， 则， 显然， 当时，不满足题意； 当时，由，， 则， 当且仅当，也即时取得等号； 当时，易知，故此时， ； 当时，， 则. 综上所述：的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解决第二空的关键是能够准确寻求到的关系，以及的关系，特别的，抛物线上任意两点构成直线的方程亦可表示为：，可大大提高计算效率. 18．(23-24高二上·湖北荆门·期末)（多选）已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．内切圆圆心的横坐标为定值 C．若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意可得以及双曲线方程.对于A：根据数量积的运算律以及双曲线的性质运算求解；对于B：根据切线的性质以及双曲线的定义分析求解；对于C：根据点差法分析求解；对于D：利用双曲线的定义进行转化，结合图形的性质分析求解. 【详解】由题意可知：，，，双曲线方程为， 对于选项A：因为，且， 所以，故A正确； 对于选项B：设内切圆的圆心为，内切圆与边分别切于点， 可知：， 因为， 设点的横坐标为， 由可知：点的横坐标为， 则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为定值4，故B正确； 对于选项C：设，， 若Q为中点，则， 可得，， 因为A，B在双曲线上，则， 两式相减得， 整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 联立方程，消去y得， 计算，故C错误， 对于选项D：因为，则， 可得， 当且仅当P在线段上时，等号成立，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 19．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．    (1)求证：直线的斜率为定值； (2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明结果； （2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求出结果. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线, 设，， 由，消得， 由韦达定理得，又，得到， 又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：， 因此，又， 所以为定值． （2）由（1）可知，，，， 因此，整理得， 所以到直线的距离， 因为，得，所以， 故． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 20．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知平面内一个动点Q到点的距离比它到直线的距离少 (1)求点Q的轨迹方程; (2)已知是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC，BD交于点P，且，设的中点分别为点 ①证明：三点共线; ②若点P为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设点，由题意得，化简可得； （2）①由已知可得，则，利用斜率公式可得，则轴，由C，D分别为PA，PB的中点，可得轴，则M，N，P三点共线； ②点，，，由已知与①可得，则由时，取得最大值，即可求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）设点，由题得， 将上式两边同时平方，得， 化简得：， 当时，， 当时，，此时轨迹不存在， 综上：点Q的轨迹方程为 （2） ①由，， 可知C，D分别为的中点，即得， 则直线AB和直线CD的斜率相等，即， 设，，，， 则点M的横坐标，点N的横坐标， 由，得， 即，则， 所以， 所以轴. 设，由点是的中点，可得，， 因点在抛物线上，故， 整理得， 同理得， ，是方程的两个根， ， 且，， 有，得轴，故三点共线. ②因为点为半椭圆上的动点， 则，且， 又， 则， 因为， 因，且相似比为， 故 ，其中， 当时，取得最大值， 此时四边形面积取得最大值为 【点睛】关键点点睛：（2）①得到后，利用斜率公式得，则轴，再证得轴，即得M，N，P三点共线； ②结合图象，将四边形的面积用表示为：，再利用二次函数的性质求最大值. 21．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知直线与抛物线交于两点. (1)若，直线的斜率为1，且过抛物线的焦点，求线段的长； (2)如图，若（为坐标原点），点为线段的中点，点为直线与轴的交点，设线段的中垂线与轴，轴分别交于两点.记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）由题可得直线的方程为，与抛物线联立得，利用抛物线定义求出答案； （2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合求得，求得点的坐标，直线的方程，得点坐标，由得，利用基本不等式求解. 【详解】（1）若，则，焦点为， 所以直线的方程为， 设，联立，整理得， ，， 所以， 所以线段的长为16. （2）由题意，，设直线的方程为，， 当时，不能构成三角形，不合题意； 当时，联立，整理得， ，， 因为，所以，即， ，即， ，解得，满足上面方程， 则，，即点的坐标为， 因为，所以直线的方程为：， 令，得，令，得， 由，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解决的关键是求出直线的方程，得到点坐标，根据可得，计算求解. 22．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； (2)对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)成立，理由见解析 【分析】（1）圆心到直线的距离为，所以.，根据设，，其中为参数，则得到答案. （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 【详解】（1）有已知得圆心到直线的距离为，所以. 设，，其中为参数，则 （2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论m取何值时，无解. 即. 若该方程无解，则，即. 所以对于给定的实数，的取值范围为， 直线族的包络曲线为. 证明如下：在上任取一点， 设在A点处的切线方程为， 与联立得， 由相切得，即，则，（此处已经学过导数的可以直接用导数） 故在A处的切线方程为， 即.在直线族中， 令，则，即与完全等价， 所以直线族中的每一条直线都是抛物线的切线，抛物线的每一条切线都是该直线族中的某条直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是直线族的直线.直线族的包络曲线为. （3）已知，设，， 则，，，. 由（2）知在点处的切线方程为. 同理在点处的切线方程为， 联立可得，所以. 因此 ，同理. 所以， ，即，可得， 所以成立. 【点睛】关键点点睛：利用向量夹角的坐标表示是探究第3问的关键. 23．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到. (1)已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程； (2)已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点在曲线上，在变换下点也在曲线上；直线与相切，在变换下直线与曲线也相切.已知点是上一动点，直线是在处的切线.用上述结论求的方程； (3)已知直线与曲线在第四象限的交点为，在处的切线被所截得的弦长记为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义求解即可. （2）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义可得的方程为，进而求出圆的切线方程，然后再根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换即可得出椭圆的切线； （3）根据题意求出，结合（2）求出切线方程与椭圆方程联立，然后利用曲线的弦长公式即可求出，然后求和即可 【详解】（1）设上任意一点，上任意一点， 由题意得，所以，得， 所以的方程为， （2）椭圆上任意一点在变换下的上对应点， 所以代入可得， 所以的方程为， 点在变换下的的坐标为， 所以直线与圆在处相切， 设直线在处与圆相切， 在上任取不同于的点， 所以，所以， 即， 所以圆在点处的切线为， 所以圆在的切线为， 设上任取一点，则对应于直线上一点， 则有代入， 得，所以的方程为 （3）由，解得，即， 由（2）得在处的切线方程为， 设在处的切线与交于两点分别为，， 由，消元得， 整理得，所以，， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 24．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组求解； （2）设出过点R的切线方程，与椭圆方程联立可得关于x的一元二次方程，由相切知从而得到关于切线斜率的方程，利用韦达定理求解即可； （3）设，可得，联立过点R的切线方程和椭圆方程，由相切知从而得到关于切线斜率的方程，利用韦达定理写出，，将证明转化为证明即可. 【详解】（1）由题意：． 所以椭圆的标准方程为：. （2）设过点的切线方程为：，即， 由，消去，得：， 整理得：， 由， 整理得， 整理得：，所以. （3）设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则． 设过点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立，即成立. 25．(23-24高二上·湖北新高考联考协作体·期末)动点G到点的距离比到直线的距离小2. (1)求G的轨迹的方程； (2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，，长度恒为2. 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程. （2）联立直线与G的轨迹方程，求出点的坐标，同理可得点的坐标，再求出直线，并求出直线所过定点即可得解. 【详解】（1）因为动点G到点的距离比到直线的距离小2， 则点G到点的距离和它到直线的距离相等， 因此点G的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为（），由，得， 所以G的轨迹的方程为. （2）显然直线的方程为，直线的方程为，其中，且， 由消去y并整理得， 该方程的判别式，设，， 则，， 点，同理，的斜率， 直线的方程为，即，， 所以，因此直线：过定点， 又，则点D在以为直径的圆上， 所以存在定点，使得线段的长度为定值2. 【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，先求出这两个动点坐标，进而求出直线方程，即可推理计算解决问题. 26．(23-24高二上·湖北荆州八县区·期末)已知椭圆经过点，焦距为，斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用椭圆上的点和椭圆的焦距，列方程求出，得椭圆C的标准方程； （2）设直线方程为，代入椭圆方程，由直线PA，PB的斜率之和为0结合韦达定理，求出斜率k，若是以P为顶点的等腰三角形，设的中点为，由，解出的值，检验即可判断. 【详解】（1）根据题意得，，解得， 椭圆的标准方程为． （2）设直线方程为，联立， 得， 应满足．① 设，由韦达定理可得． 由，得， 即． 整理得，． ， 整理得，． 直线不过点，故． 直线，． 假设存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，设的中点， 则，， 即，由，得，得， 把和代入①式，不成立． 所以不存在直线使得是以为顶点的等腰三角形． 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 27．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知抛物线，其焦点为． (1)两点为抛物线上的动点且满足，直线不垂直于轴，求证：线段的垂直平分线过定点，并求出点的坐标； (2)已知椭圆，圆，过（1）中点作斜率分别为的直线，且满足，直线交椭圆于两点，直线交圆于两点，点为中点，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）依题设出直线的方程，根据焦半径公式将条件转化为，将直线与抛物线方程联立消元求得，求出线段中垂线方程，易得过定点； （2）设直线与椭圆方程联立消元后运用韦达定理求出弦长，证明，将点到直线的距离即为点到直线的距离，计算出面积的表达式，，换元法即可计算出面积的范围. 【详解】（1）   如图，设， 则有 联立，消元得，则． 线段中点的坐标为．线段中垂线方程为， 即．线段中垂线必过定点． （2）   设 联立，消元得． 则恒成立，且有． ． 又，则点到的距离为 由于，则点到即的距离即为点到的距离为． ． 令，则．上式 又，则函数在上递减，则，故． 【点睛】方法点睛：本题主要考查与圆锥曲线有关的几何图形面积的范围问题，属于较难题. 求解与圆锥曲线有关的图形面积范围问题，一般有以下三种方法： （1）直接法：根据面积公式，依次求得弦长（底边长），和弦上的高，即能得到函数表达式，利用函数方法求其范围即可； （2）分割法：根据穿过图形的特殊直线作为底边计算两个图形的面积的和； （3）拼接法：对于不易计算边长或者高的长度时，有时可考虑将其拼成一个规则图形间接法求面积. 28．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知椭圆E：（）的左右顶点分别为A，B，焦距为2，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，若直线PA，PB斜率之积为． (1)求椭圆E的方程； (2)设点在椭圆E的内部，直线AT，BT分别交椭圆E于另外的点C和D，若△CDT的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设设点,计算,得到，利用焦距，即得椭圆方程； （2）由直线AT，BT的方程与椭圆方程联立求得两点的纵坐标，计算，借助于相似比，将转化成，通过解方程即得值. 【详解】（1）设，则，即，因，，则， 故，又，则，∴，，故椭圆方程为. （2） 设，. 直线AT方程为：，即与椭圆方程联立,消去整理得： ∴ 直线BT方程为:, 即与椭圆方程联立，消去整理得： ∴ ∵，又， 因 又由图知，则,同理，代入上式， ，即 ， 化简得：，解得：或,即或. 因当时，点在椭圆外，故舍去．∴． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是直线与圆锥曲线相交产生的面积问题,属于较难题. 解题的关键是通过直线AT，BT的方程与椭圆方程联立求得两点的纵坐标之后，要计算，并把结果利用相似比转化成. 29．(23-24高二上·湖北黄石部分学校·期末)已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4. (1)求的方程； (2)设轴上的一定点，过点作直线交椭圆于，两点，若在上存在一点A，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率可得，，设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解； （2）分类讨论直线的斜率是否为0，设直线的方程为，联立方程结合韦达定理整理得，进而分析求解. 【详解】（1）由题意可知，则， 所以，即． 设是椭圆上任意一点，则，可得， 所以， 注意到，则有： 若，则，不符合题意； 若，当时，， 解得，所以， 故椭圆的方程为． （2）设， 若直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去x得， 则， 可得， ， ， 由题意可得： ， 若上式为常数，则，即， 而此时， 可得， 又因为，即，解得或； 若直线的斜率为0，不妨设， 则，符合题意； 综上所述：或，存在点A（满足），使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值. 【点睛】关键点睛：对任意恒为定值，因为分子分母中同时含有，这种情况下分子分母的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要且，即项、常数项对应成比例. 30．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期末)已知抛物线，点为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，已知点，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点.使直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线恒过此定点. 【分析】（1）设出直线方程为，与抛物线方程联立，再利用根与系数关系及抛物线中焦半径公式从而得，从而可求解. （2）设出的方程及，然后与抛物线联立，利用根与系数关系求得，由以线段为直径的圆过点，可得，且设出，由几何关系可求出，从而求出直线方程为，从而可求解. 【详解】（1）焦点，则直线为， 联立，消去消可得， 恒成立， 设，则， ，解得 所以抛物线的方程为. （2）设直线为， 联立方程，消可得， 显然： 设，则， 不妨设点， 以线段为直径的圆与直线的另一个交点为， 则，又轴，所以平行轴，则. 设，所以，即 所以，即， 所以直线为：， 令，解得， 所以直线恒过此定点.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 31．(23-24高二上·湖北十堰·期末)已知是椭圆上一点． (1)求的离心率； (2)过点作两条互相垂直且斜率均存在的直线与交于两点，与交于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且该定值是 【分析】（1）已知点坐标代入椭圆方程得的齐次式，化简后可得离心率； （2）设的方程为，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出点坐标，同理得点坐标，由三点共线，用坐标表示出，化简可得． 【详解】（1）由题可知，则，解得， 则， 故的离心率． （2）为定值，且该定值是． 求解过程如下： 设的方程为， 联立方程组整理得， 则， 则同理可得 因为三点共线，所以， 则， 则，即为定值，且该定值是． 【点睛】本题考查椭圆中定值问题，解题关键是设出直线与椭圆交点坐标及直线方程，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，本题中利用韦达定理求得中点坐标，再利用中点坐标求得与定值有关的点坐标即可得，对学生的运算求解能力要求较高． 32．(23-24高二上·湖北武汉常青联合体·期末)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，面积最大值为． (1)求椭圆C的方程； (2)过x轴上一点的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足为M，N两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大，结合三角形面积公式计算即可得椭圆方程； （2）当的斜率不存在时，可得直线与的交点坐标，当的斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得与交点有关的韦达定理，可得直线与的方程，联立两直线方程，结合韦达定理可得，将代入，可得，即可得证. 【详解】（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴． 由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大． ∴，∴． 又，解得，，． ∴椭圆的方程为：； （2）证明：设与轴交于点，则， 当的斜率为0时，显然不适合题意； 当的斜率不存在时，直线为， ∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点． 当直线的斜率存在且不为0时，设，， 直线为：，联立， 得， ， ∴，， 设，，则，， 联立，得， 将，代入整理得， 将代入，得 ． 综上，直线、交于定点． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 33．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出即可得解； （2）①①设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，将用替换，可得点的坐标，再根据斜率公式化简即可得证； ②联立直线与圆的方程，求出点的坐标，即可求出，将用替换，可得，再根据四边形的面积化简整理即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 所以抛物线的方程为； （2）①设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得，解得或， 所以， 将用替换，可得， ， 则，， 所以， 所以为定值； ②联立，消得， 解得或， 所以， 所以， 将用替换，可得， 故四边形的面积 ， 令， 则， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为， 所以四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 34．(23-24高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期末)已知双曲线方程为，，为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线与双曲线右支交于两点；则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值及此时面积的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，； 【分析】（1）由可得，利用勾股定理结合双曲线性质和离心率求解即可； （2）设，，，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到和面积的表达式，解出的值，利用换元和单调性求出面积的最小值即可. 【详解】（1）由题意可得，所以， 又由可得， 因为，．所以， 由双曲线的定义，可得， 而，所以，解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可得，因为直线的斜率不为0，设，，， 联立，整理可得， 则由题意得，，，， 因为 ， 要使为定值，则，解得，， 所以在轴上存在定点使得为定值，且定值为0， 因为双曲线渐近线方程为， 此时， 又，，则，令，则， 所以，又在上单调递减， 所以当，即，方程为时，面积取到最小值，且． 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点03 数列及数列求和 35．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设个圆的交点总数为，记，则 . 【答案】 【分析】根据题意，可得，迭代求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】由题意，，，，，， ， 当时，上式成立，则，， ，， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题意得到，求出通项. 36．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D． 【答案】ABC 【分析】对于A：直接代入数据计算即可；对于B：化简，得到常数数列计算即可；对于C：通过计算可判断；对于D：计算可判断. 【详解】因为，，， 所以，，， ，，， 所以，A正确； 又因为， ， 所以， 所以， 所以数列为常数数列， 所以， 又明显有， 所以， 所以，B正确； 又因为， 所以为递增数列，C正确； 因为，D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过递推公式求出通项公式，构造常数数列求解. 37．(23-24高二上·湖北荆州八县区·期末)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智玩具，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一．假设环的数量为，解开连环所需总步数为，解下每个环的步数为，则数列满足：则 ， 【答案】 21； . 【分析】根据递推公式，结合已知数据，即可求得；根据的关系，转化递推公式，构造数列，即可求得. 【详解】． 当，即． 设，则，即， 是以为首项，为公比的等比数列， ，即． 设， 即． ，， 即，又， 是以为首项，为公比的等比数列， ． ． 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是把转化为，构造等比数列求得；再次构造数列. 38．(23-24高二上·湖北荆门·期末)已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先利用递推式求得，再利用已知条件结合化简得，从而根据等比数列定义判断数列为等比数列，然后写出通项公式即可； （2）推出，假设存在3项，，成等比数列，则，即，结合解得，与已知矛盾，即可判断. 【详解】（1）由题意知，当时，，因为，所以，① 因为，所以，所以，② 两式相减得，所以. 由①②，数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列的通项公式； （2）由（1）知，，所以， 所以. 假设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，互不相等， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列，所以，所以. 化简得，所以，又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关求得关于的表达式，从而分析得解. 39．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得数列第1项，第2项，第项成等差数列？若存在，求满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由； (3)类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)存在满足要求得，或 (3)， 【分析】（1）根据的关系求的通项公式，由等比数列的定义写出的通项公式； （2）假设存在，使得成等差数列，根据等差中项的关系列式结合讨论求解； （3）由题可得，令表示的前项和，表示的前项和，仿照错位相加法求出，得解. 【详解】（1），令，得， 当时，， 满足上式，故，. 又，且满足，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， ，. （2）假设存在，使得成等差数列， 则，即， 化简得， 又，，即， 当时，与矛盾，不符合舍去； 当时，，， 当时，，， 所以存在满足要求的，或. （3）， 令， 令①， ②， ①②得：③， ④， ④③得： ， ， 所以数列的前项和为： . 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的难点和关键是类比等比数列求和的错位相减法求出数列的前项和. 40．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)已知数列满足，且数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量法即可求解等差数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求数列的前项和； （3）首先利用进行放缩得，再利用裂项相消法求和即可求证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，. ，， ，解得. ∴数列的通项公式为. （2）由（1）知，又， . ∴数列的前项和①， ②， ①-②得 ， . ∴数列的前项和. （3）由（1）知，. ， . 设数列的前项和，数列的前项和， 则 ， ， . 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式与数列求和. 数列求和的常用方法有：公式法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、错位相减法和、倒序相加法. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $