2024--2025学年苏科版数学九年级下册 专题讲义——四种方法解二次函数动点问题

该初中数学讲义聚焦二次函数动点问题，通过“方法概述-实例分析-专项练习”的递进框架构建知识体系，以数形结合法、分类讨论法等四种核心方法为主线，用实例解析图呈现动点轨迹与几何关系，清晰标注对称轴、交点坐标等关键重难点，揭示函数性质与几何图形的内在联系。 讲义以中考高频题型为载体，设计“方法概述-分层实例-变式练习”三阶训练，如通过例1数形结合求动点坐标培养几何直观，例2分类讨论等腰三角形腰长情况强化推理意识，例3建立面积函数模型发展模型观念。专项练习涵盖基础巩固与综合拔高题，助力不同层次学生掌握解题策略，教师可依托实例解析实施精准教学，提升复习效率。

四种方法解二次函数动点问题 （原卷版） 在初中数学知识体系中，二次函数占据关键地位，而二次函数动点问题更是中考的重点与难点。 1.数形结合法 1.1方法概述 数形结合法是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。在二次函数动点问题中，利用函数图象的直观性，能够清晰地展现动点的运动轨迹和相关几何图形的变化情况，从而帮助学生找到解题思路。 1.2实例分析 例1已知二次函数，点P是该函数图象上的动点，点A的坐标为，点B的坐标为。求：当的面积是6时，求点P的坐标。 解析 首先画出函数的图象： 其对称轴为，令，即，可求得该函数与x轴的交点是和。图象如图1所示。 然后确定底边长度和P点坐标：设P点坐标为，以AB为底边，，三角形面积公式（a为底，h为高），因为三角形面积为6，所以，解得，故，或。 解方程求P点坐标，需要分情况讨论： 当时，解方程，可求得，得到P点坐标和。 当时，解方程，可求得，得到P点坐标和。 所以P点的坐标有4个：，，，。 检验解的合理性：依据P点的4个坐标分别求三角形的高，再代入三角形面积公式检验，4个解均符合要求，因此P点可能有4个坐标点。 通过数形结合，将函数问题与几何图形面积问题相结合，使问题解决方法更加直观、清晰。 2.分类讨论法 2.1方法概述 分类讨论法是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类，再分别求解的一种数学思想方法。 2.2实例分析 例2在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交点。点是抛物线对称轴上的一个动点，当的是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标。 解析 首先，求，，三点坐标：令，可求得或，所以点的坐标为，点为，令，得，所以点的坐标为，可求出函数的对称轴为。即点横坐标为。 假设点坐标是。因为是等腰三角形，所以需要分两种情况讨论： 情况1当时，过点作轴于点，则。在中，，，根据勾股定理可得。在中，，。由勾股定理可知，因为，所以，，所以。 情况2当时，过点作轴于点，则。，，，。在中，由勾股定理可知，因为，所以，，所以或。 所以点的坐标为：，，，。经检验四个解均符合要求。 在本题求解中，通过分类讨论，全面考虑了等腰三角形不同腰的情况，避免了漏解。 3.建立函数模型法 3.1方法概述 建立函数模型法就是将问题中的数量关系用函数表达式表示出来，建立函数模型，通过对函数性质的研究来解决问题。 3.2实例分析 例3在矩形中，，，点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动。设运动时间为秒，的面积为。如图3所示。 （1） 求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2） 当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 解析 在两点的运动过程中，，，。 （1） 根据三角形面积公式，，因为点从点运动到点需要的时间为（秒），所以的取值范围是。 （2） 对于二次函数，其二次项系数为负数，函数图象开口向下，其对称轴为，所以当时，有最大值，其最大值为。 本题通过建立函数模型，将几何图形中的面积 问题转化为二次函数问题，利用二次函数的性质求出最值. 4.利用相似三角形法 4.1方法概述 相似三角形在解决二次函数动点问题中具有重要作用.当动点运动过程中出现可判定的相似三角形时，可利用相似三角形对应边成比例的性质，建立等式关系，从而求解. 4.2实例分析 例4如图4所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交C点.点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，过点P作轴于D点， 交直线BC于点E. 当与相似时，求点P的坐标. 解析 首先容易求出A、B、C三点的坐标，A点坐标是（-1，0），B点坐标是（4，0），C点坐标是（0，-2）. 设直线BC的解析式为，将B、C两点坐标值代入其中，可求出直线BC的解析式为，设点P的坐标为，则点E点坐标是. 因为，所以当与相似时，需要分两种情况： 情况1 当时，，，，. 则，即，解得（舍去），或，当时，，所以P点坐标为（5，3）. 情况2 当时，则，即，，解得（舍去）或，当时，，所以P点坐标为（8，18）. 综上，点P的坐标为（5，3）或（8，18）. 总之，初中数学二次函数动点问题对学生数学素养提出了较高要求.教师在教学中应当强化基础知识、注重思路引导、开展针对性练习以及培养数学思维能力，有助于学生更好地掌握这些解题方法，提升解决二次函数动点问题的能力. 专项练习 1．（2024·顺德模拟）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B(﹣2，0)，点C(8，0)，直线y＝经过点A，与x轴交于D点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点E为线段AC上方抛物线上一动点，若△ADE的面积为10，求点E的坐标； （3）点P为抛物线上一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转到AP'，并使∠P'AP＝∠DAO，是否存在点P使点P'恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P的横坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（2024·东莞模拟）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． （1）求该二次函数的解析式； （2）过点作轴，分别交线段、抛物线于点，，连接若，求的面积； （3）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段当点在抛物线上时，求点的坐标． 3．（2024·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； （3）连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 4．（2024·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； （3）连接PO，PC，并把沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 5．（2024·东莞模拟）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，连接，，点是线段上一动点，过点作直线，交轴于点，交线段于点，交轴上方二次函数的图象于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当点为线段的三等分点时，求点的坐标； （3）在线段上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·东莞模拟）如图，二次函数的图象与x轴相交于点、点B，其顶点是C． （1）_______； （2）D是第三象限抛物线上的一点，连接，，求D的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线．已知在的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围． 7．（2024九上·广东期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求，两点的坐标． （2）求该二次函数的解析式． （3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（2025八下·南宁月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当__________时，四边形是矩形． （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 9．（2024九上·海珠期末）已知二次函数（），顶点为P，且二次函数的图象恒过两定点A、B（点A在点B的左侧）． （1）当时，求该二次函数的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，二次函数的图像上是否存在一点D，使得，若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）将点P先沿水平方向平移个单位，再向下移动个单位得到，若二次函数经过点，在二次函数的图像上存在点Q，使得的最小值为4，求m的取值范围． 10．（2025·潮阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． （1）求，的值； （2）点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． （3）如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 11．（2024·潮阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象交 x 轴于A、B 两点，交 y 轴于 C 点，P 为 y 轴上的一个动点，已知 A（-2，0）、C（0，-2 ），且抛物线的对称轴是直线 x＝1． （1）求此二次函数的解析式； （2）连接 PB，则 PC+PB 的最小值是　 　； （3）连接 PA、PB，P 点运动到何处时，使得∠APB＝60°，请求出 P 点坐标． 12．（2024·惠城模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）求二次函数的解析式； （2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标． 13．（2024九下·茂名月考）如图，已知二次函数的图象交轴分别于，两点，交轴于点，顶点为． （1）求抛物线的对称轴； （2）求； （3）在轴上是否存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．（2025·叙永模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 15．（2024·澄海模拟）如下图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点的坐标为，点的坐标为，直线l经过B、C两点． （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）如图1，点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的坐标； （3）如图2，点C关于x轴的对称点为点D，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． . 16．（2024·濠江模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，且顶点D的坐标为，对称轴与直线交于点E，与x轴交于点F，连接，． （1）求二次函数的解析式； （2）点P在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点P的坐标； （3）在二次函数图象上是否存在一点M，使得？若存在，求出直线与x轴的交点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024·梅州模拟）如图所示，已知二次函数的图像经过点. （1）求二次函数的解析式； （2）直线交二次函数的图像于点，交直线AC于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由. 18．（2025·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点. （1）求抛物线的表达式； （2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （3）连接，交于点F，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四种方法解二次函数动点问题 （解析版） 在初中数学知识体系中，二次函数占据关键地位，而二次函数动点问题更是中考的重点与难点。 1.数形结合法 1.1方法概述 数形结合法是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。在二次函数动点问题中，利用函数图象的直观性，能够清晰地展现动点的运动轨迹和相关几何图形的变化情况，从而帮助学生找到解题思路。 1.2实例分析 例1已知二次函数，点P是该函数图象上的动点，点A的坐标为，点B的坐标为。求：当的面积是6时，求点P的坐标。 解析 首先画出函数的图象： 其对称轴为，令，即，可求得该函数与x轴的交点是和。图象如图1所示。 然后确定底边长度和P点坐标：设P点坐标为，以AB为底边，，三角形面积公式（a为底，h为高），因为三角形面积为6，所以，解得，故，或。 解方程求P点坐标，需要分情况讨论： 当时，解方程，可求得，得到P点坐标和。 当时，解方程，可求得，得到P点坐标和。 所以P点的坐标有4个：，，，。 检验解的合理性：依据P点的4个坐标分别求三角形的高，再代入三角形面积公式检验，4个解均符合要求，因此P点可能有4个坐标点。 通过数形结合，将函数问题与几何图形面积问题相结合，使问题解决方法更加直观、清晰。 2.分类讨论法 2.1方法概述 分类讨论法是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类，再分别求解的一种数学思想方法。 2.2实例分析 例2在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交点。点是抛物线对称轴上的一个动点，当的是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标。 解析 首先，求，，三点坐标：令，可求得或，所以点的坐标为，点为，令，得，所以点的坐标为，可求出函数的对称轴为。即点横坐标为。 假设点坐标是。因为是等腰三角形，所以需要分两种情况讨论： 情况1当时，过点作轴于点，则。在中，，，根据勾股定理可得。在中，，。由勾股定理可知，因为，所以，，所以。 情况2当时，过点作轴于点，则。，，，。在中，由勾股定理可知，因为，所以，，所以或。 所以点的坐标为：，，，。经检验四个解均符合要求。 在本题求解中，通过分类讨论，全面考虑了等腰三角形不同腰的情况，避免了漏解。 3.建立函数模型法 3.1方法概述 建立函数模型法就是将问题中的数量关系用函数表达式表示出来，建立函数模型，通过对函数性质的研究来解决问题。 3.2实例分析 例3在矩形中，，，点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动。设运动时间为秒，的面积为。如图3所示。 （1） 求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2） 当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 解析 在两点的运动过程中，，，。 （1） 根据三角形面积公式，，因为点从点运动到点需要的时间为（秒），所以的取值范围是。 （2） 对于二次函数，其二次项系数为负数，函数图象开口向下，其对称轴为，所以当时，有最大值，其最大值为。 本题通过建立函数模型，将几何图形中的面积 问题转化为二次函数问题，利用二次函数的性质求出最值. 4.利用相似三角形法 4.1方法概述 相似三角形在解决二次函数动点问题中具有重要作用.当动点运动过程中出现可判定的相似三角形时，可利用相似三角形对应边成比例的性质，建立等式关系，从而求解. 4.2实例分析 例4如图4所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交C点.点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，过点P作轴于D点， 交直线BC于点E. 当与相似时，求点P的坐标. 解析 首先容易求出A、B、C三点的坐标，A点坐标是（-1，0），B点坐标是（4，0），C点坐标是（0，-2）. 设直线BC的解析式为，将B、C两点坐标值代入其中，可求出直线BC的解析式为，设点P的坐标为，则点E点坐标是. 因为，所以当与相似时，需要分两种情况： 情况1 当时，，，，. 则，即，解得（舍去），或，当时，，所以P点坐标为（5，3）. 情况2 当时，则，即，，解得（舍去）或，当时，，所以P点坐标为（8，18）. 综上，点P的坐标为（5，3）或（8，18）. 总之，初中数学二次函数动点问题对学生数学素养提出了较高要求.教师在教学中应当强化基础知识、注重思路引导、开展针对性练习以及培养数学思维能力，有助于学生更好地掌握这些解题方法，提升解决二次函数动点问题的能力. 专项练习 1．（2024·顺德模拟）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B(﹣2，0)，点C(8，0)，直线y＝经过点A，与x轴交于D点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点E为线段AC上方抛物线上一动点，若△ADE的面积为10，求点E的坐标； （3）点P为抛物线上一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转到AP'，并使∠P'AP＝∠DAO，是否存在点P使点P'恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P的横坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）把点B、C的坐标代入抛物线的解析式得， 解得，， ∴二次函数的解析式为：； （2）如图，设E(m，)（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q， ∴EQ＝，OQ=m， ∵直线y＝经过点A与x轴交于D点， ∴y=0时，x=3，x=0时，y=4， ∴D(3，0)，A（0，4）， ∴DQ＝m﹣3，OA=4，OD=3， ∴S△ADE＝S梯形AOQE﹣S△AOD﹣S△DEQ ＝ ＝， 解得：m＝8（舍），或m＝， ∴E点的坐标为(，)； （3）①当P点在第一象限内，P'点在y轴上时，如图2， 过P作PE⊥x轴于点E，过A作AM⊥PE于M， 设P(m，＋4)，则AM＝m，PM＝PE-ME=PE-OA=， ∵PE∥AO， ∴∠APM＝∠P'AP， ∵∠PAP'＝∠DAO， ∴∠APM＝∠DAO， ∵∠AMP＝∠AOD＝90°， ∴△APM∽△DAO， ∴， 即， 解得，m＝0（舍），或m＝， ∴此时P点的横坐标为； ②当P点在y轴左边，P'在x轴上时，如图3，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于M'， 则∠AMP＝∠AM'P'=90°， 设P（m，＋4），则AM＝，PM＝﹣m， ∵∠PAP'＝∠DAO， ∴∠PAM＝∠P'AM'， ∵AP＝AP'， ∴△APM≌△AP'M'（AAS）， ∴PM＝P'M'＝﹣m，AM＝AM'═， ∵∠DM'P'＝∠DOA＝90°，∠P'DM'＝∠ADO， ∴△DP'M'∽△DAO， ∴， 即， ∴， ∵OD=3，OA=4， ∴AD==5， ∴DM'＋AM'＝AD＝5， ∴， 解得，m＝，或m＝（舍）， ∴此时P点的横坐标为； ③当P点在第四象限内，P'点在x轴上时，如图4，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于点M'， 则∠AMP＝∠AM'P'， 设P(m，＋4)，则AM＝，PM＝m， ∵∠PAP'＝∠DAO， ∴∠PAM＝∠P'AM'， ∵AP＝AP'， ∴△APM≌△AP'M'（AAS）， ∴PM＝P'M'＝m，AM＝AM'═， ∵∠DM'P'＝∠DOA＝90°，∠P'DM'＝∠ADO， ∴△DP'M'∽△DAO， ∴， 即， ∴， ∵AM'﹣DM'＝AD＝5， ∴， 解得，m＝（舍），或m＝． ∴此时P点的横坐标为． 综上，存在，其中P点的横坐标为或或． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案. （2）设E(m，)（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q，根据两点间距离可得EQ＝，OQ=m，根据x轴上点的坐标特征可得D(3，0)，A（0，4），则DQ＝m﹣3，OA=4，OD=3，再根据S△ADE＝S梯形AOQE﹣S△AOD﹣S△DEQ，结合二次函数性质即可求出答案. （3）分情况讨论：①当P点在第一象限内，P'点在y轴上时，过P作PE⊥x轴于点E，过A作AM⊥PE于M，设P(m，＋4)，则AM＝m，PM＝PE-ME=PE-OA=，根据直线平行性质可得∠APM＝∠P'AP，再根据相似三角形判定定理可得△APM∽△DAO，则，代值计算即可求出答案；②当P点在y轴左边，P'在x轴上时，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于M'，设P（m，＋4），则AM＝，PM＝﹣m，根据全等三角形判定定理可得△APM≌△AP'M'（AAS），则PM＝P'M'＝﹣m，AM＝AM'═，根据相似三角形判定定理可得△DP'M'∽△DAO，则，代值计算可得，再根据勾股定理可得AD=5，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；③当P点在第四象限内，P'点在x轴上时，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于点M'，设P(m，＋4)，则AM＝，PM＝m，根据全等三角形判定定理可得△APM≌△AP'M'（AAS），则 PM＝P'M'＝m，AM＝AM'═，根据相似三角形判定定理可得 △DP'M'∽△DAO， 则，代值计算可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案. 2．（2024·东莞模拟）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． （1）求该二次函数的解析式； （2）过点作轴，分别交线段、抛物线于点，，连接若，求的面积； （3）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段当点在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1）解：将代入， 解得， ． （2）解：令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ，且与线段有交点， ， 轴， ，， ，， （3）解：设，如图：过点作轴的垂线，交轴于， ， 由题知，， ， ， ， ≌， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得或， 点的坐标为或． 【解析】【分析】（1）将代入，求解即可得到答案； （2）根据题意求出直线的解析式为，即可知道点，，进而根据即可求出的面积； （3）设，过点作轴的垂线，交轴于，根据已知条件证明，即可知，将点D代入解析式求得t的值，即可求得点D的坐标。 3．（2024·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； （3）连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴ 当时，的面积最大， ， 此时，点的坐标为，的面积最大值为． （3）解：存在．如图，设点，交于点E， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得， ∴或 【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入函数解析式即可求出答案. （2）设，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式可得直线的解析式为，设，根据，结合二次函数性质即可求出答案. （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，建立方程，解方程即可求出答案. 4．（2024·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； （3）连接PO，PC，并把沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：将，代入，得，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵，， ∴直线BC的解析式为， 设，则， ∴ 当时，的面积最大，此时，点的坐标为，的面积最大． （3）解：存在．如图，设点，交CO于点E， 若四边形是菱形，连接，则， ∵C（0，3） ∴， ∴， 解得， ∴或 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出直线BC的解析式为，设，则，从而求出，利用二次函数性质即可求解； （3）设点，由菱形的性质可得，则，解之即可. 5．（2024·东莞模拟）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，连接，，点是线段上一动点，过点作直线，交轴于点，交线段于点，交轴上方二次函数的图象于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当点为线段的三等分点时，求点的坐标； （3）在线段上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：二次函数的图象交轴于点，， 设二次函数的表达式为． 将点代入，得， 解得：． 二次函数的表达式为； （2）解：，，， ，，． ，． ，， ． ． ． ， ，． ． 设，则． ，． ， ， ． 点为线段的三等分点， 或， 即或． 或． 点的坐标为或； （3）解：不存在，理由： 理由：假设在线段上存在点，使得四边形为平行四边形，则． 连接，，，如解图所示． 则． ． 设， 则． 整理，得． ， 该方程无实数解． 假设不成立． 在线段上不存在点，使得四边形为平行四边形． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据点的坐标得到OA，OC，OB的值，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC，BC的值，根据锐角三角函数的定义推得∠ACO=∠CBO，推得∠ACB=90°，根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补求得；设OP=m，则OD=2m，根据勾股定理求得，，根据根据锐角三角函数的定义推得，根据点P为线段DE的三等分点，则PE=2PD或PD=2PE，即可列方程，求解即可得出答案； （3）假设在线段OB上存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形，根据三角形的面积公式推得四边形OBFC的面积，设，根据点F的坐标求得四边形OBFC的面积，即可得到关于d的一元二次方程，通过一元二次方程根的判别式可得关于d的一元二次方程无实数解，即可判断假设不成立，即可求解． 6．（2025·东莞模拟）如图，二次函数的图象与x轴相交于点、点B，其顶点是C． （1）_______； （2）D是第三象限抛物线上的一点，连接，，求D的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线．已知在的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）解：由（1）知：，当时，， 解得：，， ∴， ∴， 设直线交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴BD函数表达式为， 联立得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：∵，∴新抛物线设为：， 由（2）知，且平移后的抛物线经过点D， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降， ∴． 【解析】【解答】（1）解：将A坐标代入二次函数表达式， ∴， 故答案为：； 【分析】 （1）将代入即可求得b； （2）设交y轴于点E，根据，求出E点坐标，进而求出直线的解析式，联立解析式，即可求出D点坐标； （3）新抛物线设为：，将D点坐标代入求出平移后的解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可． （1）解：由题意得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）知：， 当时，， 解得：，， ∴， ∴， 设直线交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，将，代入解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴； （3）解：∵， ∴新抛物线设为：， 由（2）知，且平移后的抛物线经过点D， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降， ∴． 7．（2024九上·广东期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求，两点的坐标． （2）求该二次函数的解析式． （3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：对直线，当时，，时，， ，． （2）解：设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， ． （3）解：存在，，， 【解析】【解答】解：（3）二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， 如图，当时， ， ，， 如图，当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点结合题意即可求解； （2）设交点式，进而代入点C的坐标即可求出二次函数关系式； （3）根据“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，进而根据勾股定理结合等腰三角形的性质即可求解。 （1）解：对直线，当时，，时，， ，． （2）解：设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， ． （3）解：二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， 如图，当时， ， ，， 如图，当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形． 8．（2025八下·南宁月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当__________时，四边形是矩形． （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）6.5 （2）解：在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形. （3）解：不能，理由如下： 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（2）得：， ， 过点作于， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形不可能是菱形． 【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； 故答案为：6.5. 【分析】（1）利用矩形的性质可得，列出方程，再求出t的值即可； （2）利用平行四边形的性质可得，再求出t的值即可； （3）先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再利用线段的和差求出，再结合，即可得到四边形不可能是菱形． 9．（2024九上·海珠期末）已知二次函数（），顶点为P，且二次函数的图象恒过两定点A、B（点A在点B的左侧）． （1）当时，求该二次函数的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，二次函数的图像上是否存在一点D，使得，若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）将点P先沿水平方向平移个单位，再向下移动个单位得到，若二次函数经过点，在二次函数的图像上存在点Q，使得的最小值为4，求m的取值范围． 【答案】（1）解：由题意可知，的顶点坐标为P(3，3-4m)， ∵m=-1， ∴该二次函数的顶点坐标为(3，7)， （2）解：由， 令，解得， ∴无论m取何值，二次函数横过定点A(1，3)和B(5，3)， 由（1）可知，， 设点， ∵∠ADB=90°， ∴，即， 整理得， 又∵点D与点A，B均不重合，即， ∴，解得， ∴点D的横坐标为. （3）解：由（1）可知，P(3，3-4m)，其中m<0， ∴平移后， ∴二次函数， ∵点Q为抛物线上动点，且由（2）可知，AB=4， 故当且仅当二次函数与线段AB有交点时，此时存在A，Q，B三点共线，即存在最小值4， 当二次函数经过点A时，即经过点A(1，3)， ∴，解得； 同理，当二次函数经过点B时，即经过点B(5，3)， ∴，解得； ∴m的取值范围是. 【解析】【分析】（1）根据已知函数信息即为二次函数顶点式，代入m值即可得出其顶点坐标； （2）由二次函数过定点A，B整理关于m的代数表达，即可求出顶点A，B，进一步结合已知直角信息直接设元列出勾股关系解出目标点D横坐标即可； （3）由（1）顶点分析平移后二次函数解析式，由（2）定点AB分析最值转换为二次函数与线段AB有交点，进而通过临界值求解方程即可得出满足题意的m取值范围. 10．（2025·潮阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． （1）求，的值； （2）点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． （3）如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】（1）解：，， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）①； ②解：过点作直线， ， 点是直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立方程， 解得，或， 或 （3）解：如图，取，连接，， 则，，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是 【解析】【解答】（2）解：①如图，，连接，作交于点，作轴于点， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 时，， ，， ，，， ， 设直线为， 代入，得，， 解得， ， 联立，， 得， 解得或（舍去）， ； 【分析】（1）根据两点间距离可得B点坐标为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案. （2）①，连接，作交于点，作轴于点，根据等角对等边可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据y轴上点的坐标特征可得，则，设直线为，根据待定系数法将点A，P坐标代入解析式可得，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案. ②过点作直线，根据三角形面积之间的关系可得点是直线与抛物线的交点，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，D坐标代入解析式可得直线的解析式为，即直线的解析式为，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案. （3）取，连接，，则，，，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即， 再根据边之间的关系可得，根据勾股定理可得CH，即可求出答案. （1）解：，， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得，； （2）解：①如图，，连接，作交于点，作轴于点， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 时，， ，， ，，， ， 设直线为， 代入，得，， 解得， ， 联立，， 得， 解得或（舍去）， ； ②过点作直线， ， 点是直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立方程， 解得，或， 或； （3）解：如图，取，连接，， 则，，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 11．（2024·潮阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象交 x 轴于A、B 两点，交 y 轴于 C 点，P 为 y 轴上的一个动点，已知 A（-2，0）、C（0，-2 ），且抛物线的对称轴是直线 x＝1． （1）求此二次函数的解析式； （2）连接 PB，则 PC+PB 的最小值是　 　； （3）连接 PA、PB，P 点运动到何处时，使得∠APB＝60°，请求出 P 点坐标． 【答案】（1）解：将 A，C 点坐标代入函数解析式，及对称轴，得 解得 抛物线的解析式为 y＝x2-x-2， （2） （3）解：如图 2，作 BC⊥PA 于 C，设 P（0，n），由勾股定理，得 PB＝ ，PA＝ ， 由 sin∠APB＝sin60°=，得∠CPB＝ ， ∴BC＝， 由 S△PAB＝AB•|n|＝ AP•BC，得 6|n|＝ ， 化简，得 n4-28n2+64＝0， 解得 n²＝14+2，n²＝14-2 （不符合题意，舍） ＝ ＝+，＝-＝-- ∴P（0，+），（0，--）． 【解析】【解答】解：(2)连接 AC，作 BH⊥AC 于 H，交 OC 于 P，如图 1，此时PC+PB 最小． 理由：当 y＝0 时，x2-x-2＝0，解得 x＝-2（舍）x＝4，即 B（4，0）， AB＝4-（-2）＝6． ∵OA＝2，OC＝2 ， ∴tan∠ACO＝ ， ∴∠ACO＝30°， ∴PH＝PC， ∴PC+PB＝PH+PB＝BH， ∴此时PB+PD 最短（垂线段最短）． 在 Rt△ABH 中，∵∠AHB＝90°，AB＝4-（-2）＝6，∠HAB＝60°， ∴sin60°＝＝， ∴BH＝6×＝3， ∴PC+PB 的最小值为 3， 故答案为：3． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）连接 AC，作 BH⊥AC 于 H，交 OC 于 P，如图 1，此时PC+PB 最小，此时PC+PB=PH+PB=BH，求出此时BH的长即可； （3）作 BC⊥PA 于 C，设 P（0，n），由勾股定理，得 PB＝ ，PA＝ ， 由sin∠CPB= ， 可得BC ＝ ，由S△PAB＝AB•|n|＝ AP•BC建立关于n方程并解之即可. 12．（2024·惠城模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）求二次函数的解析式； （2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标． 【答案】（1）解：∵二次函数y＝- x2+bx+c过点A（-3，0），B（4，0）， ∴抛物线的解析式为y＝-（x+3）（x-4）＝-x2+x+4； （2）解：在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形， 理由：由（1）知，抛物线的解析式为y＝-x2+x+4， ∴C（0，4）， ∵A（-3，0），B（4，0）， ∴AC＝5，OA＝3，OC＝4， 由运动知，AP＝t，OQ＝t， ∴AQ＝3+t，（0＜t＜4） ∵∠OAP是Rt△AOC的一个锐角， ∵△APQ是直角三角形， ①当∠AQP＝90°时， ∵∠AOC＝90°＝∠AQP， ∴PQ∥y轴， ∵点Q在OB上， ∴点P不可能在第二象限内，此种情况不存在， ②当∠APQ＝90°时， ∵∠AOC＝90°＝∠APQ， ∵∠PAQ＝∠OAC， ∴△AOC∽△APQ， ∴， ∴ ， ∴t＝ ， ∵0＜t＜4， ∴此种情况不符合题意， 即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形； （3）解：由（2）知，OA＝3，OC＝4， ∴S△AOC＝OA•OC＝6， ∵△AOM的面积与△AOC的面积相等， ∴S△AOM＝6， 设点M（m，-m2+m+4）， ∴S△AOM＝OA•|-m2+m+4|＝|-m2+m+4|＝6， ∴m＝0（舍）或m＝1或 ， ∴M（1，4）或（，-4）或（，-4）． 【解析】【分析】（1）利用交点式二次函数解析式进行求解即可； （2）分两种情况： ①当∠AQP＝90°时， 判断出点P不可能在第二象限内，此种情况不存在， 当∠APQ＝90°时，证明 △AOC∽△APQ， 根据相似三角形的性质可得，则 ， 解之t＝ ，由于0＜t＜4，故此种情况不符合题意，即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形； （3）先求出△AOC的面积，进而求出△AOM的面积 ，设点M（m，-m2+m+4）， 建立方程求解即可。 13．（2024九下·茂名月考）如图，已知二次函数的图象交轴分别于，两点，交轴于点，顶点为． （1）求抛物线的对称轴； （2）求； （3）在轴上是否存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：二次函数， 抛物线的对称轴， 抛物线的对称轴； （2）解：二次函数， ，， 把代入， 解得：，， ，， 过点作轴，垂足为点， 则，， ，， 又， ，， ， 又，， ； （3）解：存在，，， 当点在原点时，，， ， 则∽； 在中，，， ， 在中，，， ， 当时，设点的坐标为， 若，则，即， 解得， 点的坐标为， 当的坐标为或时，以、、三点为顶点的三角形与相似． 【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式计算即可． （2）先求出A，B，C的坐标，计算出AB，BC的长度，再证明∠ABC=90°，然后根据正切的定义计算即可． （3）分∽和∽两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质求解即可． 14．（2025·叙永模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 【答案】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点 ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当时，∴ 设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点E，如图，设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为 则 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点P的坐标为， （3）解：如图，设，则∴，， ∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴 ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 当时，解得：（舍去），， 此时点 当时，解得：（舍去），， 此时点， 综上，点M的坐标为或． ​​​​​​​ 【解析】【分析】 （1）直接利用待定系数法求出函数解析式； （2）先利用二次函数图象上点的坐标特征求出A、C两点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再过点P作轴交直线于点E，设，则点的坐标可表示，再证明，由相似比得，即求出PE的最大值即可，此时可把PE转化为关于t的二次函数，再利用二次函数的性质求出最大值即可； （3）设，则，由折叠的性质和平行线的性质可得，再列式进行求解即可． （1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点 ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）当时， ∴ 设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点E，如图，设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为 则 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点P的坐标为， （3）如图，设，则 ∴，， ∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴 ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 当时，解得：（舍去），， 此时点 当时，解得：（舍去），， 此时点， 综上，点M的坐标为或． 15．（2024·澄海模拟）如下图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点的坐标为，点的坐标为，直线l经过B、C两点． （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）如图1，点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的坐标； （3）如图2，点C关于x轴的对称点为点D，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】（1）解：将点，代入， ， 解得， ， ， 顶点坐标； （2）设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则，， ∴，， ， ∴， 解得或或或， 点坐标为： 或或或 （3） 【解析】【解答】解：（3）过点作交x轴于点Q， ，点与点关于轴对称， ， 令，则， 解得或， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作点关于的对称点，连接与交于点， ， ， ， ∵ ，， ， ， ， ， ， 当时，， 此时点也在抛物线上， 设直线的解析式为， ， 解得， ，当时，， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ， ． 【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入二次函数解析式即可求出答案. （2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得y=-x+3，设，则，，则，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （3）过点作交x轴于点Q，根据对称可得D(0，-3)，根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得A(-1，0)，则AB=4，再根据边之间的关系可得A=3，则G(2，0)，作点关于的对称点，连接与交于点， 则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，，再求. 16．（2024·濠江模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，且顶点D的坐标为，对称轴与直线交于点E，与x轴交于点F，连接，． （1）求二次函数的解析式； （2）点P在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点P的坐标； （3）在二次函数图象上是否存在一点M，使得？若存在，求出直线与x轴的交点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k 把顶点D（﹣2，8）代入，得 y= a（x +2）2+8.把点（﹣6，0）代入得： 0= a（﹣6+2）2+8. ∴ a =﹣ ∴二次函数的解析式为y=﹣（x +2）2+8； （2）解：∵y=﹣（x +2）2+8=﹣x2﹣2x+6 ∴C（0，6）， 设直线AC的解析式为y=kx+b，把A，C的坐标代入，得 解得： 直线AC的解析式为y=x+6， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴E点的横坐标是-2 ∴ ∴ ∴ ∴DE=4， ∴ ∴h=3， ∴P点的横坐标为-5， ∴ ∴ （3）解：存在 ∵A(﹣6，0) ，C（0，6） ∴ OA=OC=6 ∴△ AOC为等腰直角三角形， ∴∠ ACO= 45° 令y=0 0=﹣x2﹣2x+6 解得：x1=2，x2=﹣6 ∴点B（2，0） ①当CM在∠ ACO内部时，如图 ∵∠ACM + ∠OCB=45°，∠ACM+∠MCO=∠ ACO= 45° ∴∠OCB=∠MCO ∴OQ=OB=2 ∴点Q（﹣2，0） ②当CM在∠ ACO外部时，如图： ∵∠ACM + ∠OCB=45°，∠ ACO= 45° ∴∠BCQ=90° 设点Q（t，0） 则BQ=2- t CQ2=OC2+OQ2= t 2+62 BC2=OB2+OC2=22+62 ∵BQ2= CQ2+ BC2 ∴（2﹣ t）2= t 2+62+22+62 t =﹣18 综上所述，直线CM与x轴的交点Q的坐标为（﹣2，0）或（﹣18，0）. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）易求点（0，6），再求直线AC的解析式为y=x+6，再求出点D、E的坐标，从而得出DE的长，根据求出h值，即得P点的横坐标为-5，再代入二次函数解析式求出x值即得结论； （3）分两种情况①当CM在∠ ACO内部时，②当CM在∠ ACO外部时，据此分别画出图形，根据等腰直角三角形及勾股定理分别解答即可. 17．（2024·梅州模拟）如图所示，已知二次函数的图像经过点. （1）求二次函数的解析式； （2）直线交二次函数的图像于点，交直线AC于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：将代入， 得 解得：，所以. （2）解：因为，所以直线， 根据题意有，，，过点作，垂足为点， 易得：，； ；； ；； 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①当时，有，解得：或5或0，而又，因此. ②当时，有，即，解得：或0，而又，因此. ③当时，有，解得：或0，而又，因此. 综上所述，当或或4时，为等腰三角形. 【解析】【分析】（1）将代入，根据待定系数法，求解函数解析式； （2）根据题意有，，，过点作，垂足为点，根据两点间的距离公式得；；，，若为等腰三角形，分类讨论：①当时，有，②当时，有，③当时，有，分别求解即可． 18．（2025·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点. （1）求抛物线的表达式； （2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （3）连接，交于点F，求的最大值． 【答案】（1）解：将代入，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）解：∵二次函数与y轴交于点C ， ∴令，有， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t， ∴，， ∴， ∵点D在直线下方的抛物线上， ∴； （3）解：①如图1，当时，过点A作交于G， ∴， ∴， 由（2）得直线的解析式为：，， ∴把代入，得， ， ∴， ∴当时，有最大值， ∵， ∴有最大值； ②如图2，当时，此时， ∴， ∵时，随着t的增大而增大， ∴没有最大值， ∴没有最大值， ∴没有最大值； ③如图3，当时，此时， 当时，随着t的增大而减小， ∴没有最大值， ∴没有最大值； ④如图4， 同理可得当时，没有最大值； 综上所述：当时，有最大值为． 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，利用待定系数法求出直线的解析式，设点D的横坐标为t，则有，，从而写出l关于t的函数表达式 ，进而再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：①当时，过点A作交于G，根据相似三角形的判定可得出，于是得，然后求出，，可得，进而利用二次函数的最值知识得到的最大值，最后由即可求解；②当时，求出，从而得，进而利用二次函数的增减性可知没有最大值；③当时，求出，利用二次函数的增减性可知没有最大值；④同理可得没有最大值. （1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为：． （2）解：二次函数中，令，则， ∴， 设直线的解析式为：． 将，代入得到：， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t， ∴，， ∴， ∵点D在直线下方的抛物线上， ∴． （3）解：如图1： 当时，作交于G， ∴， ∴， 把代入得：， ， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， ∴有最大值； 如图2，当时，此时， ∴， ∵时，随着t的增大而增大， ∴没有最大值， ∴没有最大值； 如图3， 当时，， 当时，随着t的增大而减小， ∴没有最大值； ∴没有最大值； 如图4， 同理：当时，没有最大值． 综上所述：当时，有最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $