2025年江苏省无锡市中考数学二轮重难点 二次函数的综合 专题复习讲义

2024-2025学年度江苏省无锡市中考数学二轮重难点《二次函数的综合》专题复习 一、考点概述： 1、二次函数的图象与性质：涵盖顶点坐标、对称轴、开口方向、最值等。常结合参数变化，考查对性质的理解与运用，如根据图象确定参数取值范围。 2、函数解析式的确定：给定一些点的坐标、顶点坐标或函数的其他特征，通过待定系数法求二次函数的一般式、顶点式或交点式 3、与几何图形的结合：与三角形、四边形等结合，涉及图形的面积、周长、相似、全等、动点问题等。比如求抛物线与坐标轴围成的三角形面积，或在抛物线上找动点使构成的三角形与已知三角形相似。 4、函数的实际应用：如利润最大化、抛物线形建筑问题等，将实际问题转化为二次函数问题，利用函数性质求解。 二、解题策略： 1、掌握基础性质：牢记二次函数图象性质，理解参数对函数的影响，能快速根据解析式判断图象特征。 2、合理设解析式：根据已知条件灵活选择函数解析式形式。若已知顶点坐标，选顶点式；已知与x轴交点，选交点式；已知一般三点，选一般式。 3、数形结合：将二次函数图象与几何问题结合时，画出准确图形，标注已知条件，通过图形直观分析数量关系，如利用相似三角形对应边成比例建立方程。 4、分类讨论：动点问题或图形不确定情况要分类讨论。如在求三角形面积时，因动点位置不同，高的情况不同，需分情况计算。 5、实际问题转化：解决实际问题，先分析问题背景，找出变量关系，建立二次函数模型，再根据函数性质和实际意义确定取值范围和最优解。 总之，掌握二次函数的综合应用，需要理解概念、熟悉方法，多做练习，积累解题经验，提高分析和解决问题的能力。 考点1：二次函数的图像与性质 例1：（2024·江苏无锡·模拟预测）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随增大而增大 C．当时，的取值范围是 D．方程的根为和 考点2：二次函数的参数取值范围 例2：（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 考点3：二次函数与销售问题 例3：（2024·江苏无锡·模拟预测）三农公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)三农公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)三农公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，三农公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 考点4：二次函数与新定义 例4：定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3） 在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 一、选择题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）若将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度（米）与时间（秒）之间的关系由二次函数描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（   ） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 4．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D．10 6．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 8．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 9．（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ． 10．（2024·江苏无锡·二模）直线经过点且平行于轴，二次函数的图象与直线没有公共点，那么应满足条件： ． 11．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 12．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．      13．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ． 14．（2025·江苏无锡·一模）已知点和点都在二次函数的图像上，且．若点，，也都在这个函数的图像上，则，，的大小关系为： ．（用“”连接） 15．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 16．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 三、解答题 17．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)请直接写出，的值； (2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值； ②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 19．（2023·江苏无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 20．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值； (3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2025·江苏无锡·一模）已知，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是拋物线上的任意一点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于第二象限时，过点作直线、分别交轴于、两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 22．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 23．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，． (1)请求出的值； (2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 24．（2024·江苏无锡·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 (1)求P与x之间满足的函数关系式； (2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 25．（2024·江苏无锡·三模）如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．    (1)求二次函数的表达式； (2)在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________． 26．（2024·江苏无锡·三模）已知抛物线的顶点，交轴于点，过点且平行于轴的直线与抛物线交于、两点点在点的左侧，动点在直线下方的抛物线上运动． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)设直线、分别与抛物线对称轴相交于点和，若，探索是否随着点的运动而发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请说明理由； (3)将抛物线沿直线方向平移，顶点的对应点记作，若平移后的抛物线上有且仅有两个点到直线的距离为请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度江苏省无锡市中考数学二轮重难点《二次函数的综合》专题复习 一、考点概述： 1、二次函数的图象与性质：涵盖顶点坐标、对称轴、开口方向、最值等。常结合参数变化，考查对性质的理解与运用，如根据图象确定参数取值范围。 2、函数解析式的确定：给定一些点的坐标、顶点坐标或函数的其他特征，通过待定系数法求二次函数的一般式、顶点式或交点式 3、与几何图形的结合：与三角形、四边形等结合，涉及图形的面积、周长、相似、全等、动点问题等。比如求抛物线与坐标轴围成的三角形面积，或在抛物线上找动点使构成的三角形与已知三角形相似。 4、函数的实际应用：如利润最大化、抛物线形建筑问题等，将实际问题转化为二次函数问题，利用函数性质求解。 二、解题策略： 1、掌握基础性质：牢记二次函数图象性质，理解参数对函数的影响，能快速根据解析式判断图象特征。 2、合理设解析式：根据已知条件灵活选择函数解析式形式。若已知顶点坐标，选顶点式；已知与x轴交点，选交点式；已知一般三点，选一般式。 3、数形结合：将二次函数图象与几何问题结合时，画出准确图形，标注已知条件，通过图形直观分析数量关系，如利用相似三角形对应边成比例建立方程。 4、分类讨论：动点问题或图形不确定情况要分类讨论。如在求三角形面积时，因动点位置不同，高的情况不同，需分情况计算。 5、实际问题转化：解决实际问题，先分析问题背景，找出变量关系，建立二次函数模型，再根据函数性质和实际意义确定取值范围和最优解。 总之，掌握二次函数的综合应用，需要理解概念、熟悉方法，多做练习，积累解题经验，提高分析和解决问题的能力。 考点1：二次函数的图像与性质 例1：（2024·江苏无锡·模拟预测）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随增大而增大 C．当时，的取值范围是 D．方程的根为和 :答案：D 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和的函数值相等，即：， 根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：    由图可知： 抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大， 当时，x的取值范围是或， 抛物线与轴交于，， ∴方程的根为和； 综上：，，选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选：． 考点2：二次函数的参数取值范围 例2：（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 答案：B 【详解】解：∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为， ∵和的函数值相等， ∴和关于抛物线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入， 有，变形得， 当时，m最大，， 当时，m最小，， ∴m的取值范围为， 故选：B． 考点3：二次函数与销售问题 例3：（2024·江苏无锡·模拟预测）三农公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)三农公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)三农公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，三农公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） (1) (2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大 (3)2 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少， ∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值． ∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； （3）解：设日获利为元，由题意得： ， 对称轴为， 当时，，则当时，有最大值，将代入，得： ， 当时， ， 解得（舍去）； 当，，则当时，有最大值，将代入，得： 当时， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为． 考点4：二次函数与新定义 例4：定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3） 在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 答案：（1）和；（2）；（3）或； 【详解】解：（1）∵抛物线的极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 又∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴点D的纵坐标为， ∵ ， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①由（2）知：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P坐标为，点， 设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴ ∴ ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 解得：或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 一、选择题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）若将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度（米）与时间（秒）之间的关系由二次函数描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（   ） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 4．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D．10 6．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 8．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 9．（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ． 10．（2024·江苏无锡·二模）直线经过点且平行于轴，二次函数的图象与直线没有公共点，那么应满足条件： ． 11．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 12．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．      13．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ． 14．（2025·江苏无锡·一模）已知点和点都在二次函数的图像上，且．若点，，也都在这个函数的图像上，则，，的大小关系为： ．（用“”连接） 15．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 16．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 三、解答题 17．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)请直接写出，的值； (2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值； ②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 19．（2023·江苏无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 20．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值； (3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2025·江苏无锡·一模）已知，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是拋物线上的任意一点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于第二象限时，过点作直线、分别交轴于、两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 22．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 23．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，． (1)请求出的值； (2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 24．（2024·江苏无锡·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 (1)求P与x之间满足的函数关系式； (2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 25．（2024·江苏无锡·三模）如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．    (1)求二次函数的表达式； (2)在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________． 26．（2024·江苏无锡·三模）已知抛物线的顶点，交轴于点，过点且平行于轴的直线与抛物线交于、两点点在点的左侧，动点在直线下方的抛物线上运动． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)设直线、分别与抛物线对称轴相交于点和，若，探索是否随着点的运动而发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请说明理由； (3)将抛物线沿直线方向平移，顶点的对应点记作，若平移后的抛物线上有且仅有两个点到直线的距离为请直接写出的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A B B A C 1．B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的表达式为， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用分类讨论的方法，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、，设，当时，恒成立， ∴且， 解得； 当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而减小，无法保证，当时，恒成立， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质．将化为顶点式，得到当时，有最大值20，再令求解，即可解题． 【详解】解：， ， 当时，有最大值20， 当时， 解得或， 物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【详解】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 5．B 【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：过点C作，    ∵，， ∴， 过点B作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 需使最小，显然要使得和越小越好， ∴显然点F在线段的之间， 设，则， ∴， ∴当时取得最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键． 6．B 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； ∵二次函数， 依题意，则， ∴， ， 解得， ∴与有一个“和谐点”； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则与有两个“和谐点”； 故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则； 当， 解得， 把代入， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 此时有2个“和谐点”， 则， ∴， ， 此时有2个“和谐点”， 但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”， 综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． 故④说法是正确的； 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 8．C 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④． 【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在中， ∵，∴随值的增大而增大， 当时，有最大值， 即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵随值的增大而减小， 当时，， ∵“巅峰”值是， ， ∵函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为：，故③正确； ∵的对称轴是直线， 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：（舍去）或； 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：，符合题意． 综上所述：的值为或 0，故④错误． ∴正确的是②③， 故选：C． 9．m>3 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解． 【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4， 此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4）， 函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3）， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， ∴m-3>0， 解得：m>3， 故答案为：m>3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 10． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质和解不等式，由，再根据题意可得，再解不等式即可，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由， ∵二次函数的图象与直线没有公共点， ∴，解得：， 故答案为：． 11．或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵， 当点在对称轴的左侧时，； 当点在对称轴的右侧时，，且， 解得：； 综上所述，k的取值范围为或． 故答案为：或． 12．或 【分析】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 分两种情形：如图，当直线过点B时和当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 解得， 则抛物线与x轴的交点为，， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方， ∴开口方向相反，开口大小一样 ∴二次项系数互为相反数，顶点坐标关于x轴对称 ∴翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标， 如图，当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得； 当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得， 所以b的值为或． 故答案为：或． 13．或或 【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线，⑥如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：由，令，解得：，令，解得：， ∴，，， 设直线解析式为， ∴ 解得： ∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于， ∵， ∴， ∴点必在内部． 1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线 设直线的解析式为 ∴ 解得： 则直线的解析式为 ①如图1，直线过中点，， 中点坐标为，代入直线求得，不成立；    ②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得； ③如图3，直线过中点，中点坐标为， 直线与轴平行，必不成立； 2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为． ④如图4，直线， ∴ ∴， ∴， 解得；    ⑤如图5，直线，，则 ∴，又， ∴， ∵， ∴不成立； ⑥如图6，直线，同理可得， ∴，，， ∴，解得； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键． 14． 【分析】根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小解答即可． 本题考查了函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和点都在二次函数的图像上， ∴，， ∵， ∴， 故或， 解得， 当时，， 当时，， 当时，， 故即； ， 根据， 故， ∴即； ， 根据， 故， ∴； 故． 故答案为：． 15． /0.125 或 【分析】（1）依据题意，令，整理得，又因抛物线与直线有且只有一个交点，从而可得，解方程即可求出的值； （2）由“顶点在第二象限”可得，然后分两种情况讨论：①当点在轴的正半轴上时；②当点在轴的负半轴上时；分别画出图形，然后过点作于点，由可得，进而可得，然后依据该比例式列出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）依题意，令， 整理，得：， 又抛物线与直线有且只有一个交点， ， 解得：， 故答案为：； （2）顶点在第二象限， ， 然后分两种情况讨论： ①当点在轴的正半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； ②当点在轴的负半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，锐角三角函数的定义，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，根据锐角三角函数的定义列出关于的方程是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，； 故答案为：，． 17．(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 18．(1)， (2)①；②2或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解． ②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点 ∴ 解得： ∴，，； （2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、． ∵， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ 设直线的解析式为 ∴ 解得： 直线解析式为． 设， ， ， 当时，取得最大值为， 的最大值为． ②如图2，已知，令，则， 在上取点，使得， ∴， 设，则， 则， 解得， ∴，即． 如图3构造，且轴，相似比为， 又∵， 设，则． 分类讨论：ⅰ当时，则， ∴与的相似比为， ∴，， ∴， 代入抛物线求得，（舍）． ∴点横坐标为． ⅱ当时，则， ∴相似比为， ∴，， ∴， 代入抛物线求得，（舍）． ∴点横坐标为． 综上所示，点的横坐标为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．(1) (2)销售价格为元时，利润最大为 【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解； （2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，， 进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， ∴ 解得： ∴， 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， 解得： ∴， （2）设利润为 当时， ∵在范围内，随着的增大而增大， 当时，取得最大值为； 当时， ∴当时，w取得最大值为 ， 当销售价格为元时，利润最大为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 20．(1) (2)1 (3)，， 【分析】（1）二次函数与y轴交于点，判断，根据，即二次函数对称轴为，求出b的值，即可得到二次函数的表达式； （2）证明，得到，即，设，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用求出t的值，即可，的值，进一步得出tan∠CDA的值； （3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴，即， ∵，即二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， 设：，点D在第一象限， ∴，，， ∴， 解得：（舍），（舍）， 当时，， ∴，， ∴， ∵在中， ∴ （3）解：存在， 如图，（2）图中关于对称轴对称时，， ∵点D的坐标为， ∴此时，点C的坐标为， 如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即， 当点C在x轴上方时， 过点C作CE垂直于x轴，垂足为E， ∵，点C、D关于对称轴对称， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点C的坐标为， ∴，， ∴ 解得：，（舍）， 此时，点C的坐标为， 当点C在x轴下方时， 过点C作CF垂直于x轴，垂足为F， ∵，点C、D关于对称轴对称， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点C的坐标为， ∴，， ∴ 解得：（舍），， 此时，点C的坐标为， 综上：点C的坐标为，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 21．(1) (2)的值为定值，是． (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的增减性，利用交点式求二次函数表达式，待定系数法求一次函数的表达式，三角形的面积，矩形的性质，根据题意画出图形，数形结合分析是解题关键． （1）通过设交点式，化简整理后即可求得函数表达式； （2）设，进而表示出直线的表达式为∶，直线的表达式为∶，则．，最后根据面积公式代入化简即可∶ （3）①当时，则，点G在的上方，如图1所示，此时令，可解得或 (不合题设，故舍去)；当点G在的下方，如图2所示，不符合题意；②当时，则，点P在上方时，如图3所示符合题意，令，解得或0(舍去)，故；当点P在下方时，如图4所示，令，解得或 (不合题设，故舍去)；综上可得 或或． 【详解】（1）解∶ 拋物线与轴交于，两点， 解得 故抛物线解析式为． （2）解：的值为定值，理由如下∶ 设， ，， 则根据待定系数法可得直线的表达式为∶， 同理可得直线的表达式为∶， 则， ， ． （3）解：当时，则，点G在的上方，如下图 令，解得或（不符题意，舍去）． 点G在的下方，如下图，不符题意； 当时，则，点P在的上方，如下图 令，解得或（舍去）． 故； 点P在的下方，如下图 令，解得或（不符题意，舍去）． 综上，或或 22．(1) (2)点P的横坐标为1或 (3)若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值，过点P作y轴的平行线，交直线于点H，进而根据铅垂法可求解； （3）设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （2）解：连接，如图所示：    要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值， 过点P作y轴的平行线，交直线于点H，如图所示， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则有， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点P的横坐标为1； 当点P在直线的下方时，即点，如图， ∵， ∴同理可得：， 解得：； 综上所述：点P的横坐标为1或； （3）解：设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，过点N作一直线，分别过点A、M作，垂足分别为E、F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，    同理可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键． 23．(1) (2)存在， 【分析】（1）把代入函数表达式求出坐标，再根据得到等腰直角三角形求出点坐标，再代入函数解析式即可求解； （2）设，设的外接圆心为，由垂径定理得，连接，由得到，结合二次函数解析式化简得到，可求，即，则在过且平行于轴的直线上运动．过点作直线的对称点，则，由，当点三点共线时，最小值为，再由两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：把代入函数表达式得： 解得：，， ，． ， ， ∵ ． 把，代入函数表达式得， 解得； （2）解：如图，设， ∵由题意得的外接圆心在的垂直平分线上， 而， ∴抛物线对称轴为直线， ∴设的外接圆心为， 过点作于点，则， ∴ ， 连接， ， ．① ， ．即．② 把②式代入①式，得：． 整理得：， ， ， ，即． 坐标为， 在过且平行于轴的直线上运动． 过点作直线的对称点，则， ∴， ∴当点三点共线时，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，外接圆，垂径定理，两点之间距离公式，动点的轨迹问题，难度大，解题的关键在于确定点轨迹． 24．(1)当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；当且x为正整数时， (2)在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【分析】（1）设基本价为b，第1场—第20场，且x为正整数，设P与x的函数关系式为，依题意得：，计算求解进而可得一次函数解析式；第21场—第40场，即且x为正整数时，设P与x的函数关系式为，即，依题意得：，计算求解进而可得反比例函数解析式； （2）设每场获得的利润为w万元．当，且x为正整数时，，由二次函数的图象与性质求最值即可；当，且x为正整数时，由反比例函数的图象与性质求最值即可，然后进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：设基本价为b，第1场一第20场，且x为正整数， 设P与x的函数关系式为， 依题意得：， 解得：， ∴． 第21～第40场，即且x为正整数时， 设P与x的函数关系式为， 即． 依题意得：， 解得， ∴， ∴当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为； 当且x为正整数时，． （2）解：设每场获得的利润为w万元． 当，且x为正整数时， ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）． 当，且x为正整数时，， ∵w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）， ∵， ∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 25．(1)； (2)存在，； (3)或． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）证明，得，由，得到，则的最小值就是的最小值，当时，求得最小，则最小，即的值最小，再求出，代入即可求解； （3）根据相似三角形的性质求得，则，如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，证明，得到，则，设，则，，由勾股定理，得：，解得：，（舍去），则，，从而求得，然后用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线与抛物线的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：把，分别代入，得 ，解得：， ∴； （2）解：∵二次函数与x轴交于两点，顶点为C， 根据抛物线的对称性，∴，， 由翻折可得：， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值就是的最小值， ∵ ∴ ∴ ∴当时，最小，则最小，即的值最小， ∴的最小值 ∴的最小值为． （3）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，    ∵， ∴，， ∴， 由翻折可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，（舍去）， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把 ，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得，则 解得：， ∴直线与二次函数的交点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，求二次函数与一次函数交点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，本题属二次函数综合题目，难度较大． 用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 26．(1)，， (2)不变化， (3) 【分析】（1）根据顶点式，分别令，即可求解； （2）分别求得直线的解析式，令，求得的坐标，进而即可求解； （3）先求得直线的解析式，的长，进而作出与平行且距离为的两条直线，令平移后的抛物线与这两条直线相切，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， ∴ 当时，，则 当时， 解得： ∴， （2）解：由则对称轴为直线， 如图所示， 设，， 设直线的解析式为，将点，代入得， ∴ ∴ 当时， ∵ ∴ 即 设直线的解析式为，将点，代入得 解得： ∴ 当时， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ （3）解： ∵，当时，，则， 设直线的解析式为，， ∴ ∴直线的解析式为 ∴设的解析式为，将代入， 解得： ∴的解析式为 ∵ ∴， ∴平移后的抛物线解析式为 如图所示，设于轴交于点， ∴ ∴ 以为半径的中点为圆心作圆，作交于点， ∴， 设交轴于点， ∴, ∵， ∴，， ∴即 ∵， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设， ∵，又 ∴， 解得： ∴， 同理可得, 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设平行于过点的直线为，代入 ∴ 解得： ∴平行于过点的直线为 同理可得平行于过点的直线为 当平移后的抛物线与和有一个交点时，即为临界值， 联立，消去整理得 ∵ 解得： 联立，消去整理得 ∵ 解得： 综上所述， 学科网（北京）股份有限公司 $$