1.1 探索勾股定理 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.1 探索勾股定理同步练习 一、单选题 1．下列各组数：①3、4、5，②4、5、6，③5、12、13，④6、8、10满足勾股数的有（   ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 2．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（　　） A．48 B．72 C．90 D．96 3．如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 4．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 5．如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为．已知，则的大小是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直角中，，将沿折叠得，点的对应点为点，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 10．在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点．若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为 m． 12．如图，在中，，D是上的一点，且知，，则 ． 13．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接．若，，，则的面积为 ． 14．如图，中，，点D，E分别是的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是 ． 15．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 三、解答题 16．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为5千米，城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． 现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 17．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求角平分线的长． 18．小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 19．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，，（正方形四边相等，四个角都是直角），连接． (1)过点C作的垂线，分别交，于点D，G；求证：G为的中点； (2)连接，，若，，则六边形的面积为__________． 20．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1 探索勾股定理同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C D C D C C 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理，通过计算每组数中较小两数的平方和是否等于最大数的平方，判断是否为勾股数． 【详解】解：对于①，因为，，所以，所以3、4、5是勾股数； 对于②，因为，，所以，所以4、5、6不是勾股数； 对于③ ，因为，，所以，所以5、12、13是勾股数； 对于④ ，因为，，所以，所以6、8、10是勾股数； 所以满足勾股数的是①③④，共3组． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形面积的计算等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质与判定，将阴影面积转化为是解题的关键． 先由勾股定理推出，再证，得出，则，得出，然后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将，，，分别用含，，，的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果． 【详解】解：，， 根据勾股定理，得． ， 同理可得，，， ， 又，，， ． 故选：C 6．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和三角形面积公式，连接交于E，过D作于点H，利用勾股定理和等面积法得到、和，再次利用勾股定理求得和． 【详解】解：连接交于E，过D作于点H，如图， ∵将沿折叠得， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则，解得 ． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得：， ∵将折叠，使点与重合，得折痕， ∴， ∴的周长． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，，在上截取，由垂直平分，则，，证明，所以，从而证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，即的长，设，则，由勾股定理求出，则，最后通过等面积法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，在上截取， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，即的长，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故选：． 11． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解． 根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可． 【详解】解：设折断处与地面的距离的长为米， ∴米， ∵大树高米，米， 由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中， 由勾股定理公式可得：， 即，解得． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了勾股定理，掌握定理内容并熟练运用是关键；由勾股定理求得，进而求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键作辅助线构造直角三角形．过点作，根据角平分线的性质可知，利用三角形的面积关系可以求出，根据勾股定理求出，利用的面积列方程求出，根据勾股定理求出，根据与的比值求出，用的面积减去即可得到结果． 【详解】解：如下图所示，过点作于F， ，平分， ， ， ， 设， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，线段最值问题，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．可证是的垂直平分线，则，若使最小，即最小，当三点共线时最短，即线段的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，点D是的中点， ， 即是的垂直平分线， 则， 若使最小，即最小，当三点共线时最短，即线段的长； 中，，点E是的中点， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．根据勾股定理求出，延长交于点O，求出，，求出，，利用即可求出答案． 【详解】解：在中，，根据勾股定理得， ∴． 如图，延长交于点O， ∵四边形均为正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 16．中转站应修建在离点相距千米处 【分析】本题考查勾股定理的应用，设千米，则千米，根据勾股定理列方程求解即可 【详解】解：设千米，则千米， 因为 所以， 所以，解得， 所以中转站应修建在离点相距千米处． 17．(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）由等腰三角形的性质可得，，进而利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴． 18．米 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理求线段的长或利用勾股定理列方程是解决问题的关键． 根据题意得米，米，，根据勾股定理得到，先利用加减消元法求出AM，然后利用勾股定理计算MN的长． 【详解】解：根据题意得米，米，， 在中，， 在中，， ， 解得， 米 答：树的高度MN为米． 19．(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）分别过点作，垂足分别为，由题意易得，则有，然后可得，则有，同理可得，进而通过证明可得答案； （2）分别过点作，垂足分别为，由题意易得，，则有，同理可得：，然后根据割补法可求解面积． 【详解】（1）证明：分别过点作，垂足分别为，如图所示： 在正方形，中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴G为的中点； （2）解：分别过点作，垂足分别为，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为． 20．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $