专题09 概率初步（期末真题汇编60题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题09 概率初步 5大高频考点概览 考点01随机事件 考点02 概率 考点03 列表法或树状图法求概率 考点04游戏的公平性 考点05 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)下列事件中是必然事件的是（   ） A．瓮中捉鳖 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．经过交通信号灯的路口，遇到红灯 D．小明投篮一次，命中 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类． 逐一判断即可． 【详解】解：A． 瓮中捉鳖是必然事件； B． 任意画一个三角形，内角和应为，其内角和为是不可能事件； C． 经过交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件； D． 小明投篮一次，命中是随机事件； 故选：A． 2．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)“小伟掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为”，这个事件为（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．确定事件 D．随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“小伟掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为”，这个事件是随机事件， 故选：． 3．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)下列事件是必然事件的是（   ） A．期末考试数学得满分 B．回家的路口遇到的都是绿灯 C．今天的太阳要落山 D．明天要下大雨 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，掌握并理解必然事件的定义是解题的关键．根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，即可求解． 【详解】解：A、期末考试数学得满分，是随机事件，不符合题意； B、回家的路口遇到的都是绿灯，是随机事件，不符合题意； C、今天的太阳要落山，是必然事件，符合题意； D、明天要下大雨，是随机事件，不符合题意． 故选：C． 4．(24-25九上·广东广州花都区·期末)下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．三角形的内角和是 B．负数大于正数 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D．明天太阳从西方升起 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、三角形的内角和是，是必然事件，不符合题意； B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 5．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)下列语句所描述的事件是必然事件的是（   ） A．任画一个三角形，它一定有内心 B．奥运射箭冠军射击一次，命中靶心 C．抛一枚均匀的硬币2次，反面向上的次数为1次 D．掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面分别有1到6个点），点数为7 【答案】A 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握其概念是解题的关键． 根据必然事件、随机事件等概念进行判断即可． 【详解】解：A．任画一个三角形，它一定有内心，是必然事件，故本选项符合题意； B．奥运射箭冠军射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； C．抛一枚均匀的硬币2次，反面向上的次数为1次，是随机事件，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面分别有1到6个点），点数为7，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．(24-25九上·广东中山·期末)“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（       ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是随机事件， 故选：A． 7．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)下列关于概率的说法中，正确的是（　　） A．“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是 B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上 C．连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数一定是奇数 D．某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 【答案】A 【分析】根据概率是反映事件的可能性大小的量．不可能事件和必然事件都属于确定事件，即可判断求解． 本题考查了事件的分类，正确理解概率的定义是解决本题的关键． 【详解】A、“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是，故A符合题意； B、“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就可能有一次正面朝上，故B不符合题意； C、连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数可能是奇数，故C不符合题意； D、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 8．(24-25九上·广东肇庆某校·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 【答案】D 【分析】此题主要考查事件的分类，解题的关键是熟知事件的分类，根据事件发生的可能性大小即可判断． 【详解】解：A、从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，是不确定事件，故本选项不符合题意； C、抛掷一枚一元硬币，正面朝上，是不确定事件，故本选项不符合题意； D、抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7，是必然事件，故本选项符合题意； 故选：D． 9．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)下列事件是必然事件的是（   ）． A．某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天 B．圆内接四边形的对角互余 C．直径是圆中最长的弦 D．打开电视，正在播放《新闻联播》 【答案】C 【分析】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件的概念是解题的关键．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念分析，即可求解． 【详解】A．某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天，是随机事件，故本选项不符合题意； B．圆内接四边形的对角互余，是不可能事件，故本选项不符合题意； C．直径是圆中最长的弦，是必然事件，故本选项符合题意； D．打开电视，正在播放《新闻联播》，是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)从数学的观点看，成语“水中捞月”所描述的事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件． 故选：B 11．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店公办八校·期末)下列事件属于必然事件的是（   ） A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 C．抛1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，不符合题意； C、抛1枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，不符合题意； D、抛1枚硬币，硬币落地时正面朝上是必然事件，符合题意． 故选：D． 12．(24-25九上·广东龙涛教育集团·期末)下列说法中，正确的是（    ） A．随机事件发生的概率为 B．概率很小的事件不可能发生 C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 D．不可能事件发生的概率为0 【答案】D 【分析】本题考查随机事件与不可能事件的概率，掌握随机事件发生的概率在0到1之间，不可能事件发生的概率为0是关键． 根据事件发生可能性的大小进行判断即可． 【详解】A、随机事件发生的概率为0到1之间，故A错误； B、概率很小的事件可能发生，故B错误； C、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能是50次，故C错误； D、不可能事件发生的概率为0，故D正确； 故选：D． 13．(24-25九上·广东江门·)下列事件是必然事件的是（   ） A．声音会在空气中传播 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，背面向上 C．过马路遇到红灯 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类．必然事件是一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件；随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是必然事件，符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是随机事件，不符合题意； 故选A． 14．(24-25九上·广东广州花都区·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．13个人中至少有两个人出生月份相同 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．冬天的某一天一定会下雪 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件，掌握相关结论即可． 【详解】解：任意买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意； 因为一年有十二个月，所以13个人中至少有两个人出生月份相同，符合题意； 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 冬天的某一天一定会下雪是随机事件，不符合题意； 故选：B ． 地 城 考点02 概率 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，概率公式．根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是， 故选：A． 2．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用字母“a”出现的个数除以字母总数即可得到答案． 【详解】解：∵单词中，一共有11个字母，其中字母“a”有2个， ∴在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为， 故选：B． 3．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 C．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半时间在下雨 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解题的关键． 【详解】解：A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次不一定掷出5点，原说法错误； B. 某种彩票中奖的概率是，买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误； C. 天气预报说明天下雨的概率是，所以明天下雨的几率是，原说法错误； D. 任意画一个三角形，其内角和一定是，说法正确； 故选：D． 4．(24-25九上·广东清远英德·期末)盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求解随机事件的概率，用出现偶数的情况除以总情况数即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出偶数的情况有2种， 故摸出偶数的概率是． 故选：B． 5．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)在一副完好的扑克牌中随机抽取一张牌，恰好抽中的是“方片3”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 ． 根据一副完整扑克牌的特点，得出扑克牌是“方片3”的张数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵一副有 54 张的完整扑克牌中，扑克牌是 “方片3”的有1张， ∴从中随机抽取一张，抽得的扑克牌是“方片3”的概率是； 故选：D． 6．(24-25九上·广东惠州五中教育集团·期末)从、1、0、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率公式以及有理数的分类，熟记概率公式是解题的关键． 首先找出是负数的个数，根据概率负数个数与个数之比，求解即可． 【详解】解：∵负数有，，共2个， ∴从这4个数中任取一个数，取到负数的的概率是， 故选：A． 7．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)年月日早上，广州马拉松在天河体育中心鸣枪开跑！名跑者展开公里全程马拉松赛事的争夺．参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．数学老师郑老师报名了本次志愿活动，现有“赛道指引”“物资发放”“集结检录”“人群疏散”四项志愿工作，那么郑老师被随机安排参加“赛道指引”这项志愿工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率公式的计算概率，根据概率公式计算即可解答． 【详解】解：∵共有四项志愿工作，每一项被安排到的可能性相同，其中被安排参加“赛道指引”这项志愿工作的可能性只有一种， ∴郑老师被随机安排参加“赛道指引”这项志愿工作的概率为． 故选：C 8．(24-25九上·广东广州花都区·期末)2020年11月24日中国探月工程嫦娥五号在我国文昌航天发射场发射成功，目前已完成两次轨道修正，两次近月制动，11月30日完成轨返组合体与着上组合体受控分离，12月1日择机实施动力下降，软着陆于月球正面预选区域．关于嫦娥奔月，中国古代有很多流传至今的美丽神话，相传很久很久以前，嫦娥在月宫养了5只兔子，她们分别叫大白，二白，三白，小白和小黑，由于一次疫情影响，其中一只兔子生病了，嫦娥让她的好友章离子带去看医生，章离子去领兔子时恰好嫦娥不在月宫，章离子就随机带了一只兔子去看医生，请问章离子所带的兔子恰好是生病的兔子的概率是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握等可能事件概率的性质，从而完成求解．根据等可能事件概率的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵嫦娥在月宫养了5只兔子，她们分别叫大白，二白，三白，小白和小黑， 又∵其中一只兔子生病了， ∴随机带了一只兔子，恰好是生病的兔子的概率是， 故选：A． 二、填空题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是 ． 【答案】5 【分析】-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 2．(24-25九上·广东中山·期末)如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ． 【答案】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有5种等可能性，其中从东面出口出来的可能性有3种， 故从东面出口出来的概率为． 故答案为：． 3．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球、个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比，黑球个数除以总个数即可算得黑球的概率． 【详解】解：根据题意，布袋中装有个球，其中个黑球， 则摸出的球是黑球的概率是． 故答案为： 4．(24-25九上·广东江门·期末)掷一枚质地均匀的硬币，前8次都是正面朝上，则掷第9次正面朝上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率； 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，在大量重复进行的情况下，正面朝上的频率会稳定在左右， ∴前8次都是正面朝上，则掷第9次时正面朝上的概率是； 5．(24-25九上·广东韶关仁化县·期末)袋里有红、绿、黄三种颜色的球共个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是，则袋子里绿球有 个． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，根据个球中摸到绿球的概率是，可知个球中绿球占总数的，从而可知袋子里绿球有个． 【详解】解：任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是， 袋子里绿球有（个）． 故答案为：． 6．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：这个图形的总面积为9，阴影部分的面积为3，因此阴影部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故答案为：． 7．(23-24九上·广东深圳·期末)惠州市博罗县某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”、“香港回归”、“改革开放”．小明同学从中随机抽取一件事件进行比赛，则他所抽取的历史事件发生于新中国成立以后的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，依题意，总共有3个事件，其中新中国成立以后的事件有两个，代入概率公式，即可作答． 【详解】解：∵选题有“鸦片战争”、“香港回归”、“改革开放” ∴他所抽取的历史事件发生于新中国成立以后的有“香港回归”、“改革开放”，这两个事件 ∴他所抽取的历史事件发生于新中国成立以后的概率为 故答案为： 三、解答题 1．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 (1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ (2)请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 【答案】(1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； (2)投放方案是教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把 【分析】本题主要考查了统计与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由表格直接代入公式求解即可； （2）先计算4个放置区使用共享雨伞的平均人数，从而得到雨天使用的平均人数，进而根据比例求解即可． 【详解】（1）解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人， ∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是． 答：经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； （2）解：4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：   图书馆： 饭堂：   宿舍楼： ∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：， ∴教学楼：   图书馆：   饭堂：   宿舍楼： ∴投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 答：投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 地 城 考点03 列表法或树状图法求概率 一、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，简单的概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）利用简单的概率公式求解即可； （2）画出树状图，得到共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种，即可求解． 【详解】（1）解：四张卡片中两张属于化学变化， ∴从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：将4张卡片分别记为A，B，C，D，则属于化学变化的有A和D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 2．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 【答案】(1)摸出的球上面标的数字为正数的概率是 (2)点M落在四边形内部（含边界）的概率为 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握用列表法或树状图法是解题的关键． （）直接利用概率公式计算可得； （）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； 【详解】（1），0，1中，正数有1个， ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 （2）如图， 列表如下： 0 1 0 1 由表知，共有9种等可能结果，其中点M落在四边形所围成的部分内（含边界）的有：，，，，，这6个， ∴点M落在四边形内部（含边界）的概率为 3．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 【答案】(1) (2)不公平，规则见解析 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； 修改使双方获胜的概率相等即可． 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 一共有6种等可能结果，其中两个数的积为2的倍数有4种结果， 所以，积为2的倍数， 因此小王获胜的概率是 （2）解：不公平， 游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加， 如果和为2的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜答案不唯一 4．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为． 5．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解． (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”的结果有种，利用概率公式可得答案. （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”的结果有种， ∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“.发红包”的概率是； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人都未抽到“吃饺子”的结果有： ， 共种， ∴甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的概率为． 6．(24-25九上·广东珠海香洲区·)甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域的数字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 【答案】这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．列表展示所有9种等可能的结果，再找出两次数字不相同得结果数为6，所以甲赢的概率为，则乙赢的概率为，然后比较两个概率的大小可判断游戏规则说法公平． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 共有9种机会均等的结果，其中数字相同的有3种，数字不相同的有6种， 所以，， ∴， ∴这个游戏不公平． 7．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)2024年珠海“中国国际航空航天博览会”某展览馆展厅东面有A，B两个入口，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． (1)求小华从入口B进入展厅的概率： (2)画树状图或列表格分析小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1））直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小华从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）根据题意得：小华从入口B进入展厅的概率是； （2）画树状图如下： 从树状图可以看出：小华从进入展厅到离开展厅共有6种等可能的结果； 小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的结果有1种， 所以小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率为： 8．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)年月日，阳江核电·阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑，来自国内外的名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑三个项目，请解答下列问题： (1)若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“．欢乐跑”的概率为______； (2)甲、乙两人从．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“．欢乐跑”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有种， ∴甲、乙两人恰好选择同一项目的概率为． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． (1)若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； (2)若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲，乙同时被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同， ∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是； （2）解：树状图如下∶ ， 共有12种等可能的结果，其中符合条件的有2种， 所以甲、乙两人恰好同时选中的概率． 10．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． (1)若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； (2)小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，简单的概率公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）先用画树状图或列表的方法画出表格，得到共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种，即可求解． 【详解】（1）解：小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： A B C A B C 共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种， ∴小王和小李选到相同景区的概率为． 11．(24-25九上·广东清远清新区·期末)“探索科技乐趣，体验智慧生活”．在清远研学活动中，某研学基地提供了四类适合学生选择的兴趣场馆：A国防军事馆，B航空航天馆，C模拟法庭馆，D生命科学实验室．为了解学生选择的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 兴趣类别 A国防军事馆 B航空航天馆 C模拟法庭馆 D生命科学实验室 学生人数/名 240 m 140 100 (1)本次抽查的学生人数是________人，统计表中的________． (2)在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是________． (3)若该校共有2600名学生，请你估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数． (4)在“A国防军事馆”“B航空航天馆”“C模拟法庭馆”“D生命科学实验室”四个场馆中，若小文、小明随机选取四个场馆中的一个去参观，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一场馆参观的概率． 【答案】(1)800，320 (2) (3)455人 (4) 【分析】本题考查了扇形统计图、由样本估计总体、列表法或画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用A类别人数及其所占百分比即可得出本次抽查的学生人数，总人数乘以B类别人数所占比例即可得出的值； （2）用乘以D类别人数所占比例即可得解； （3）总人数乘以样本C类别人数所占比例即可得解； （4）列表得出所有等可能出现的结果，找出其中符合题意的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽查的学生人数是人，统计表中的； （2）解：在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是； （3）解：若该校共有2600名学生，估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数为（人）； （4）解：列表得： 共有16种等可能出现的结果，其中他们选择同一场馆参观的情况有种， ∴． 12．(24-25九上·广东清远连州·期末)希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：最喜欢的数学类校本课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生 调查内容 你最喜欢的数学类校本课程是（必选且只选一门）（   ） A．趣味数学   B．数学文化   C．数学家的故事   D．数学电影赏析 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： (1)请补全统计图． (2)若某校七年级学生有1000人，估算七年级学生中选择趣味数学的有多少人． (3)小明和小华热爱数学，他们分别从以上四门校本课程中选择了一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)见解析 (2)350人 (3) 【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图、用样本估计总体、概率的计算，读懂统计图获取信息，学会用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）由统计图计算出问卷调查的学生人数，进而得到选择数学电影解析的学生人数，即可补全统计图； （2）由统计图可知选择趣味数学的学生占比为，再乘以1000人即可求解； （3）设四门校本课程为，列表得出所有等可能的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，问卷调查的七年级学生人数为（人）， 选择数学电影解析的学生人数为（人）， 补全统计图如下： （2）解：（人）， 答：估算七年级学生中选择趣味数学的有350人． （3）解：设四门校本课程为， 列表如下： 由列表可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程有4种情况， 两人恰好选到同一门课程的概率． 答：两人恰好选到同一门课程的概率为． 13．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 °； 【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 2.9 a 3 第2组 b 0 1 第3组 2.25 2 c （2）由上表填空： ， ， ； （3）第2组“能够综合运用”的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加班级的知识问答活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）图见解析，36；（2）4，，2；（3） 【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解众数，中位数，平均数，利用树状图求解随机事件的概率； （1）先求解得3分的人数，再补全图形即可；由乘以得分为3分的占比即可得到圆心角； （2）分别根据众数，平均数，中位数的计算方法列式计算即可； （3）先画树状图如下：可得一共有12种等可能出现的结果，其中抽到一男一女的情况有8种，再利用概率公式计算即可. 【详解】解：（1）∵（人）， 第1小组得分条形统计图补全如图所示： 第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为； （2）由第1小组得4分的人数最多， ∴众数； 第2小组的平均数为 ； ∵第3小组的第10，11个数据分别为2，2， ∴中位数； （3）画树状图如下： ∵一共有12种等可能出现的结果，其中抽到一男一女的情况有8种， ∴P（恰好抽到一男一女）． 答：恰好是一名男生和一名女生的概率为． 地 城 考点04 游戏的公平性 一、填空题 1．(24-25九上·广东江门鹤山·期末)甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 二、解答题- 1．(24-25九上·广东清远英德·期末)“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： （2）解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 2．(24-25九上·广东东莞石龙第二中学·期末)小明、小红和小亮玩“摸牌”游戏．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明胜出的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)树状图见解析，小明胜出的概率是 (3)公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于和小于以及等于的结果，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：共有3三张纸牌，小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是； 故答案为：． （2）解：画树状图如图， 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，和等于4，有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，小亮获胜的概率为， （3）∵小明和小红、小亮获胜的概率都为， ∴该游戏公平． 3．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． (1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； (2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是； 故答案为：； （2）解：公平，理由如下： 将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用表示，列表如下： 小辉小宇 A B C D A B C D 由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种． （抽取的两张卡片正面图案均为化学变化）， （抽取的两张卡片上都是物理变化）， 故这个规则对他们双方公平是公平的． 4．(23-24九上·广东揭阳榕城区·)小王和小刘两人在玩转盘游戏时，游戏规则：同时转动A，B两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小王获胜；若指针所指两个区域的数字之积为2的倍数，则小刘获胜，如果指针落在分割线上，则视为无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表或画树状图求概率．根据列表法求得所有可能结果，再分别求得小王和小刘获胜的概率进而可得结论． 【详解】解：不公平，理由如下， 列表如下 1 2 3 1 和为2，积为1 和为3，积为2 和为4，积为3 2 和为3，积为2 和为4，积为4 和为5，积为6 根据列表可知，共有6种等可能情形，其中和为2的倍数有3种情形，小王获胜的概率为； 积为2的倍数有4种情形，小刘获胜的概率为； 两者概率不一致，故不公平． 地 城 考点05 用频率估计概率 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远连州·期末)在一个不透明的袋一里有白球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小华通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子中白球的个数可能是（   ） A．12 B．16 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．根据白球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案． 【详解】解：∵通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴袋子中白球的个数可能为（个）． 故选：B． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（    ） A．10 B．15 C．16 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数，求出即可，解题的关键是能够根据大量重复试验中频率稳定于概率得出概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为， ∴， 解得：， ∴约为， 故选：B． 3．(2025·广东省深圳市·)地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键，根据频率估计概率即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在左右， 可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为 故选：B 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算数量，掌握频率的计算方法是解题的关键． 根据题意，共试验200次，其中有120次摸到白球，得到摸出白球的频率，由此即可求解． 【详解】解：共试验200次，其中有120次摸到白球 ∴摸出白球的频率为， ∵不透明的盒子中装有红球和白球共20个， ∴白球的数量为, 故选：C ． 5．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 6．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.75左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 2．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)一只不透明的袋子中装有红球和白球共40个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有 个红球． 【答案】4 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有个红球， 由题意可得：， 解得：， ∴袋中有红球个数是4个， 故答案为：4． 三、解答题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图． (1)估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______． (2)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)； (2)15个 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的频率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为； （2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）． 设需要往盒子里再放入个白球． 根据题意，得，解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 答：需要往盒子里再放入15个白球． 2．(24-25九上·广东汕尾·)学习小组做摸球试验，在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球，搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到黑球的次数m 26 51 74 127 199 250 753 摸到黑球的频率 0.260 0.255 0.247 0.254 0.249 0.250 0.251 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到黑球的概率约______．（结果精确到） (2)若盒子里装有4个球，则根据统计数据可知黑球有______个；若从盒子里一次性随机摸出两个球，请用列表法或画树状图法求摸出的两个球同色的概率． 【答案】(1)摸到黑球的概率约为 (2)1；摸出的两个球同色的概率为 【分析】本题考查利用频率估计概率及用树状图求概率． （1）根据利用频率估计概率求即可； （2）根据部分的具体数目=总体数目×相应频率计算即可；根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格知，摸到黑球的频率约为， ∴当n很大时，摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率约为； （2）解：（个）， 则估计黑球有1个； 树状图如图； 共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色相同的情况有6种， ∴随机摸出的2个球的颜色相同的概率为． 3．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）由表格的数据可得， “摸到红球”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）(个)， 答：除红球外，还有大约个其它颜色的小球． 4．(24-25九下·广东肇庆·期末)“2024年11月 24日，肇庆市举行了马拉松比赛”，赛事共有三项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“欢乐跑”，小明和小 东参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“欢乐跑”人数 21 45 79 200 401 参加“欢乐跑”频率 0.360 0.450 ______ 0.400 0.401 (1)请填出表中所缺的数据． (2)请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率_____．（精确到0.1） (3)若本次参赛选手大约有20000人，请你估计参加“欢乐跑”的人数是多少？ (4)利用画树状图或列表的方法，求小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率． 【答案】(1)； (2)； (3)8000人； (4)． 【分析】本题主要考查了求频率、用频率估计概率、用样本估计整体、运用列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据频数和频率的关系列式计算即可； （2）结合表格信息，根据用频率估计概率的知识可求解； （3）用参数选手数乘以参加“欢乐跑”人数的概率即可解答； （4）先画出树状图确定所有等可能结果数和小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的情况数，再运用概率公式即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格中数据可得：本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率． （3）解：人． 答：参加“欢乐跑”的人数是8000． （4）解：由题意列表如下： 小明小东 A B C A A、A B、A C、A B A、B B、B C、B C A、C B、C C、C 则所有等可能结果数为9，小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的情况数为1，则小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率为． 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 概率初步 5大高频考点概览 考点01随机事件 考点02 概率 考点03 列表法或树状图法求概率 考点04游戏的公平性 考点05 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)下列事件中是必然事件的是（   ） A．瓮中捉鳖 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．经过交通信号灯的路口，遇到红灯 D．小明投篮一次，命中 2．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)“小伟掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为”，这个事件为（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．确定事件 D．随机事件 3．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)下列事件是必然事件的是（   ） A．期末考试数学得满分 B．回家的路口遇到的都是绿灯 C．今天的太阳要落山 D．明天要下大雨 4．(24-25九上·广东广州花都区·期末)下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．三角形的内角和是 B．负数大于正数 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D．明天太阳从西方升起 5．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)下列语句所描述的事件是必然事件的是（   ） A．任画一个三角形，它一定有内心 B．奥运射箭冠军射击一次，命中靶心 C．抛一枚均匀的硬币2次，反面向上的次数为1次 D．掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面分别有1到6个点），点数为7 6．(24-25九上·广东中山·期末)“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（       ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定 7．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)下列关于概率的说法中，正确的是（　　） A．“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是 B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上 C．连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数一定是奇数 D．某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 8．(24-25九上·广东肇庆某校·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 9．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)下列事件是必然事件的是（   ）． A．某校300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天 B．圆内接四边形的对角互余 C．直径是圆中最长的弦 D．打开电视，正在播放《新闻联播》 10．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)从数学的观点看，成语“水中捞月”所描述的事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 11．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店公办八校·期末)下列事件属于必然事件的是（   ） A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 C．抛1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是180度 12．(24-25九上·广东龙涛教育集团·期末)下列说法中，正确的是（    ） A．随机事件发生的概率为 B．概率很小的事件不可能发生 C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 D．不可能事件发生的概率为0 13．(24-25九上·广东江门·)下列事件是必然事件的是（   ） A．声音会在空气中传播 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，背面向上 C．过马路遇到红灯 D．如果，那么 14．(24-25九上·广东广州花都区·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．13个人中至少有两个人出生月份相同 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．冬天的某一天一定会下雪 地 城 考点02 概率 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．1 2．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 C．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半时间在下雨 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 4．(24-25九上·广东清远英德·期末)盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)在一副完好的扑克牌中随机抽取一张牌，恰好抽中的是“方片3”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东惠州五中教育集团·期末)从、1、0、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（　　） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)年月日早上，广州马拉松在天河体育中心鸣枪开跑！名跑者展开公里全程马拉松赛事的争夺．参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．数学老师郑老师报名了本次志愿活动，现有“赛道指引”“物资发放”“集结检录”“人群疏散”四项志愿工作，那么郑老师被随机安排参加“赛道指引”这项志愿工作的概率为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·广东广州花都区·期末)2020年11月24日中国探月工程嫦娥五号在我国文昌航天发射场发射成功，目前已完成两次轨道修正，两次近月制动，11月30日完成轨返组合体与着上组合体受控分离，12月1日择机实施动力下降，软着陆于月球正面预选区域．关于嫦娥奔月，中国古代有很多流传至今的美丽神话，相传很久很久以前，嫦娥在月宫养了5只兔子，她们分别叫大白，二白，三白，小白和小黑，由于一次疫情影响，其中一只兔子生病了，嫦娥让她的好友章离子带去看医生，章离子去领兔子时恰好嫦娥不在月宫，章离子就随机带了一只兔子去看医生，请问章离子所带的兔子恰好是生病的兔子的概率是（） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是 ． 2．(24-25九上·广东中山·期末)如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ． 3．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球、个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为 ． 4．(24-25九上·广东江门·期末)掷一枚质地均匀的硬币，前8次都是正面朝上，则掷第9次正面朝上的概率是 ． 5．(24-25九上·广东韶关仁化县·期末)袋里有红、绿、黄三种颜色的球共个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是，则袋子里绿球有 个． 6．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ．    7．(23-24九上·广东深圳·期末)惠州市博罗县某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”、“香港回归”、“改革开放”．小明同学从中随机抽取一件事件进行比赛，则他所抽取的历史事件发生于新中国成立以后的概率为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 (1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ (2)请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 地 城 考点03 列表法或树状图法求概率 一、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 2．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 0 1 0 1 3．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 4．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 5．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解． (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率． 6．(24-25九上·广东珠海香洲区·)甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域的数字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 1 2 3 1 2 3 7．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)2024年珠海“中国国际航空航天博览会”某展览馆展厅东面有A，B两个入口，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． (1)求小华从入口B进入展厅的概率： (2)画树状图或列表格分析小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率？ 8．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)年月日，阳江核电·阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑，来自国内外的名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑三个项目，请解答下列问题： (1)若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“．欢乐跑”的概率为______； (2)甲、乙两人从．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． (1)若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； (2)若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲，乙同时被选中的概率． 10．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． (1)若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； (2)小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． A B C A B C 11．(24-25九上·广东清远清新区·期末)“探索科技乐趣，体验智慧生活”．在清远研学活动中，某研学基地提供了四类适合学生选择的兴趣场馆：A国防军事馆，B航空航天馆，C模拟法庭馆，D生命科学实验室．为了解学生选择的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 兴趣类别 A国防军事馆 B航空航天馆 C模拟法庭馆 D生命科学实验室 学生人数/名 240 m 140 100 (1)本次抽查的学生人数是________人，统计表中的________． (2)在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是________． (3)若该校共有2600名学生，请你估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数． (4)在“A国防军事馆”“B航空航天馆”“C模拟法庭馆”“D生命科学实验室”四个场馆中，若小文、小明随机选取四个场馆中的一个去参观，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一场馆参观的概率． 12．(24-25九上·广东清远连州·期末)希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：最喜欢的数学类校本课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生 调查内容 你最喜欢的数学类校本课程是（必选且只选一门）（   ） A．趣味数学   B．数学文化   C．数学家的故事   D．数学电影赏析 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： (1)请补全统计图． (2)若某校七年级学生有1000人，估算七年级学生中选择趣味数学的有多少人． (3)小明和小华热爱数学，他们分别从以上四门校本课程中选择了一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 13．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 °； 【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 2.9 a 3 第2组 b 0 1 第3组 2.25 2 c （2）由上表填空： ， ， ； （3）第2组“能够综合运用”的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加班级的知识问答活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 地 城 考点04 游戏的公平性 一、填空题 1．(24-25九上·广东江门鹤山·期末)甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 二、解答题- 1．(24-25九上·广东清远英德·期末)“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 2．(24-25九上·广东东莞石龙第二中学·期末)小明、小红和小亮玩“摸牌”游戏．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明胜出的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 3．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． (1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； (2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 小辉小宇 A B C D A B C D 4．(23-24九上·广东揭阳榕城区·)小王和小刘两人在玩转盘游戏时，游戏规则：同时转动A，B两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小王获胜；若指针所指两个区域的数字之积为2的倍数，则小刘获胜，如果指针落在分割线上，则视为无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 1 2 3 1 和为2，积为1 和为3，积为2 和为4，积为3 2 和为3，积为2 和为4，积为4 和为5，积为6 地 城 考点05 用频率估计概率 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远连州·期末)在一个不透明的袋一里有白球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小华通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子中白球的个数可能是（   ） A．12 B．16 C．17 D．20 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（    ） A．10 B．15 C．16 D．21 3．(2025·广东省深圳市·)地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 5．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为 ． 2．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)一只不透明的袋子中装有红球和白球共40个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有 个红球． 三、解答题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图． (1)估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______． (2)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 2．(24-25九上·广东汕尾·)学习小组做摸球试验，在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球，搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到黑球的次数m 26 51 74 127 199 250 753 摸到黑球的频率 0.260 0.255 0.247 0.254 0.249 0.250 0.251 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到黑球的概率约______．（结果精确到） (2)若盒子里装有4个球，则根据统计数据可知黑球有______个；若从盒子里一次性随机摸出两个球，请用列表法或画树状图法求摸出的两个球同色的概率． 3．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 4．(24-25九下·广东肇庆·期末)“2024年11月 24日，肇庆市举行了马拉松比赛”，赛事共有三项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“欢乐跑”，小明和小 东参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“欢乐跑”人数 21 45 79 200 401 参加“欢乐跑”频率 0.360 0.450 ______ 0.400 0.401 (1)请填出表中所缺的数据． (2)请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率_____．（精确到0.1） (3)若本次参赛选手大约有20000人，请你估计参加“欢乐跑”的人数是多少？ (4)利用画树状图或列表的方法，求小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率． 小明小东 A B C A A、A B、A C、A B A、B B、B C、B C A、C B、C C、C 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $