专题12 角的相关计算（期末真题汇编60题，广东专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题12 角的相关计算 5大高频考点概览 考点01 角的概念 考点02 三角板中角度计算问题 考点03 几何图形中角度计算问题 考点04 角平分线的有关计算 考点05 余角和补角 地 城 考点01 角的概念 一、单选题 1．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)中俄两国海军在广东湛江附近某海域联合开展了军事演习活动，演练中，联合舰艇编队的舰艇O测得灯塔A在它的北偏东方向上，舰艇B在它的东南方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·广东茂名高州·期末)钟表9时30分时，时针与分针所成的较小角的度数为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25七上·广东梅州五华县·期末)下列说法中正确的数量为（   ）个． ①相反数等于本身的数只有0；②倒数等于本身的数只有1；③绝对值等于本身的数只有0；④符号不同的两个数互为相反数；⑤时钟上，3点30分时，时针与分针的夹角是． A．0 B．1 C．2 D．3 4．(24-25七上·广东佛山南海区·期末)若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 5．(24-25七上·广东河源·期末)如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（   ） A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 二、填空题 6．(24-25七上·广东广州越秀区·期末)如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东方向，则的度数是 ． 7．(24-25七上·广东广州白云区·期末)计算： ． 8．(24-25七上·广东韶关仁化县·期末)如图所示，在灯塔观测小岛位于正西方向，同时小岛在灯塔的北偏东的方向，那么 度． 9．(24-25七上·广东惠州惠东县·期末)将化为度是 ． 10．(24-25七上·广东韶关·期末)如图所示，在灯塔观测小岛位于正西方向，同时小岛在灯塔的北偏东的方向，那么 度． 地 城 考点02 三角板中角度计算问题 一、填空题 1．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起，若，则的度数为 ． 2．(24-25七上·广东湛江霞山区·期末)如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，若，则 ． 二、解答题 3．(24-25七上·广东江门蓬江区·期末)【操作拼图】已知一副直角三角板按图中的方式拼接在一起，边OB，OD与直线MN重合，其中，． 【构建联系】 （1）求图1中的度数； （2）如图2，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，当直角三角板的斜边平分时，求旋转角的度数； 【拓展探究】 （3）如图3，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕点O按逆时针方向每秒旋转，当边第一次落在射线上时停止旋转，是否存在一个时间t（秒）使？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 4．(24-25七上·广东佛山南海区·期末)如图，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部，且，． (1)若，求和的度数． (2)若．请问和有什么数量关系？并说明理由． 5．(24-25七上·广东广州花都区·期末)如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角度数分别是，三角尺的三个角度数分别是． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 6．(24-25七上·广东深圳龙岗区·期末)将一副三角尺如图所示在同一平面摆放，其中含的三角尺的边在直线上，另一个三角尺的直角顶点与点O重合． (1)如图1，当三角尺的边在直线上时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向旋转，恰好平分时，则射线是的平分线吗？请说明理由． 7．(24-25七上·广东珠海·期末)【背景知识】直角三角板是学生常用的作图工具，图1是一副直角三角板的图片，其中一块三角板包含角的度数是和，另一块三角板包含角的度数是和，现在将两块直角三角板的两个顶点重合，如下图摆放，，三角板COD绕着点O进行旋转． 【解决问题】 (1)当三角板转动到图2的位置时，我们说在的内部，已知是的角平分线，若，则_________， ________； (2)当三角板转动到图3的位置时，我们说与部分重叠，已知平分，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当三角板转动到图3以外的其他位置时，的度数是否发生改变？请说明理由． 地 城 考点03 几何图形中角度计算问题 一、填空题 1．(24-25七上·广东肇庆端州区·期末)如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 2．(24-25七上·广东湛江湛江第一中学·期末)如图，已知，平分，平分．若，则的度数是 °． 二、解答题 3．(24-25七上·广东佛山禅城区·期末)如图，，平分，平分，求 的度数． 4．(24-25七·广东东莞·期末)如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 5．(24-25七·广东深圳·期末)已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 6．(24-25七上·广东江门新会区正雅学校·期末)以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处． (1)如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则 ___________； (2)如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 7．(24-25七上·广东东莞翰林实验学校·期末)已知内部有三条射线，，，其中平分，平分． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，求的度数；(用含的式子表示) (3)如图，若将其中的“平分”的条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ． 8．(24-25七上·广东深圳坪山区·期末)如图，和共顶点，为直角，是的角平分线，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 9．(24-25七上·广东揭阳揭西县·期末)已知点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则_____． (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数． (3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 10．(24-25七上·广东惠州惠城区·期末)如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和， (1)若，，求． (2)设，，在的转动过程中，试猜想的度数是否发生变化，如变化，请说明理由，如不变，请用、表示的度数． 地 城 考点04 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25七上·广东深圳宝安区·期末)如图，，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·广东广州白云区·期末)如图，已知为直线上一点， 过点向直线上方引三条射线，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25七上·广东深圳外国语学校·期末)如图，旗语操可以抽象为一个几何模型．若A，O，B三点共线，平分，，则为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25七上·广东茂名高州·期末)如图，和都是直角．若平分，则的度数为 ． 5．(24-25七上·广东广州增城区·期末)如图，，平分，则 度． 6．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)如图，射线表示北偏东方向，平分，则 ． 7．(24-25七上·广东深圳罗湖区·期末)如图，，直线过点，且射线在的内部，是的平分线，若，，则 度． 三、解答题 8．(24-25七上·广东云浮新兴县·期末)（1）如图1，B是线段的中点，C是上的一点．若，，求的长． （2）如图2，O是直线上的一点，，是的平分线，，求的度数． 9．(24-25七上·广东茂名高州·期末)【知识技能】 （1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_______； 【数学理解】 （2）如2图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； 【深入探究】 （3）如3图，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 10．(24-25七上·广东梅州五华县·期末)如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将三角板绕O点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕O点以每秒逆时针方向旋转到与重合，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若秒时，______； (2)当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求t的值． 11．(24-25七上·广东佛山顺德区·期末)已知，射线在内部，平分，且． (1)请画出符合条件的图形； (2)求的度数． 12．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)如图1，点在直线上，点在直线下方，点在射线上，，点在直线上方，连接，，为钝角． (1)当，绕点以每秒的速度顺时针进行旋转，旋转时间为秒． ①如图，当时， ． ②若且，是否存在时间，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线组成的夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． (2)将图的绕点顺时针旋转，旋转角度小于，在旋转过程中，设，，试探究、、三者之间的数量关系． 13．(24-25七上·广东清远英德·期末)【探索新知】 （1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果） 【深入研究】 （2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转． ①当t为何值时，射线是的“等分线”． ②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值． 14．(24-25七上·广东东莞东莞外国语学校·期末)在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点重合，平分． 【问题发现】 （）若，求的度数； （）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 15．(24-25七上·广东潮州湘桥区初中·期末)如图，是的角平分线，，求的度数． 地 城 考点05 余角和补角 一、单选题 1．(24-25七上·广东佛山禅城区·期末)若，则的余角为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·广东广州越秀区·期末)如图，，平分，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)一副三角板按如图的方式摆放，则的补角的度数是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②图中互补的角有5对；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25七上·广东汕头澄海区·期末)已知一个角的2倍与这个角的余角相等，则这个角是（       ） A． B． C． D． 6．(24-25七上·广东珠海金湾区·期末)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中，与相等（   ） A．（1）、（2） B．（1）、（4） C．（2）、（3） D．（3）、（4） 二、填空题 7．(24-25七上·广东广州荔湾区第四中学（初中部）·期末)如图所示，与都是直角，如果，则 ． 8．(24-25七上·广东汕头潮南区司马浦镇·期末)如图，某海域有三座小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 三、解答题 9．(24-25七上·广东阳江阳东区·期末)如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 10．(24-25七上·广东云浮新兴县·期末)已知四个点A，B，C，D，根据下列要求画图． (1)画射线． (2)画．若，则的补角为________（用含的代数式表示）． (3)找一点P，使点P既在直线上，又在直线上． 11．(24-25七上·广东江门新会区·期末)把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)如图1，若，求出的度数； (3)若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，写出和之间的数量关系，并说明理由． 12．(24-25七上·广东惠州惠东县·期末)请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以 °． 因为，所以 °， 因为，所以______，所以 °， 因为 °，所以 ° °． 13．(24-25七上·广东湛江雷州·期末)如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (1)若，则______，______，______； (2)比较与的大小关系，并说明理由； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 14．(24-25七上·广东东莞翰林实验学校·期末)【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则_______________；若，则_______________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作（都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． ②在内部，如图： ③在内部，如图：； ④在下方，如图： 15．(24-25七上·广东中山·期末)如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图并回答问题： (1)连接； (2)画直线与射线相交于点E； (3)请写出图中以E为顶点的的补角． 16．(24-25七上·广东东莞东城区·期末)若和互补，且的一半比还多，求和． 59．(24-25七上·广东汕头澄海区·期末)如图1，在平面内，已知点在直线上，射线、均在直线的上方，，，平分．    (1)若，则 ． (2)若与互余，且在的内部，请在图2中补全图形． ①若，求的度数； ②判断是否平分，并说明理由． 17．(24-25七上·广东汕头潮南区陈店公办八校·期末)如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使，现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2．    (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． (4)将直角三角板绕点O转动，始终在的外部，且，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 角的相关计算 5大高频考点概览 考点01 角的概念 考点02 三角板中角度计算问题 考点03 几何图形中角度计算问题 考点04 角平分线的有关计算 考点05 余角和补角 地 城 考点01 角的概念 一、单选题 1．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)中俄两国海军在广东湛江附近某海域联合开展了军事演习活动，演练中，联合舰艇编队的舰艇O测得灯塔A在它的北偏东方向上，舰艇B在它的东南方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义，由定义得，即可求解；理解方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 2．(24-25七上·广东茂名高州·期末)钟表9时30分时，时针与分针所成的较小角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是30度进行计算，即可解答．熟练掌握时钟上一大格是30度是解题的关键． 【详解】解：钟表9时30分时，时针与分针在表盘上相差三个半大格， 由题意得：， 钟表9时30分时，时针与分针所成的较小角的度数为， 故选：B． 3．(24-25七上·广东梅州五华县·期末)下列说法中正确的数量为（   ）个． ①相反数等于本身的数只有0；②倒数等于本身的数只有1；③绝对值等于本身的数只有0；④符号不同的两个数互为相反数；⑤时钟上，3点30分时，时针与分针的夹角是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值、钟面角，根据相反数、倒数、绝对值、钟面角的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①相反数等于本身的数只有0，故①正确； ②倒数等于本身的数只有1和，故②错误； ③绝对值等于本身的数只有0和正数，故③错误； ④只有符号不同的两个数互为相反数，故④错误； ⑤时钟上，3点30分时，时针与分针的夹角是，故⑤错误； 综上所述，正确的有①，共个， 故选：B． 4．(24-25七上·广东佛山南海区·期末)若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， 互不相等， 故选：． 5．(24-25七上·广东河源·期末)如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（   ） A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的表示以及方向角的计算，用的度数减去，再结合图形即可解答． 【详解】解：∵点B在点O的北偏东方向上，， ∴． 点C在点O的北偏西方向上． 故选：B． 二、填空题 6．(24-25七上·广东广州越秀区·期末)如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东方向，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角和度分秒的换算，结合图形，正确认识方向角是解决此类问题的关键．根据方位角的概念和度分秒的换算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 故答案为：． 7．(24-25七上·广东广州白云区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率为60，是解题的关键． 利用度分秒之间的进率计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．(24-25七上·广东韶关仁化县·期末)如图所示，在灯塔观测小岛位于正西方向，同时小岛在灯塔的北偏东的方向，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，方向角，正确计算是解题的关键．根据图形得出，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 9．(24-25七上·广东惠州惠东县·期末)将化为度是 ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，根据“，，”进行换算即可．解题的关键是掌握：度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【详解】解： ， ∴将化为度是． 故答案为：． 10．(24-25七上·广东韶关·期末)如图所示，在灯塔观测小岛位于正西方向，同时小岛在灯塔的北偏东的方向，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，方向角，正确计算是解题的关键．根据图形得出，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 地 城 考点02 三角板中角度计算问题 一、填空题 1．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角板中的角计算问题，由图得，即可求解；能根据三角板的摆放用角的和差表示所求的角是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案为：． 2．(24-25七上·广东湛江霞山区·期末)如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，若，则 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查三角板中角的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．根据，求出，再用即可求出的度数． 【详解】解：由图知：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25七上·广东江门蓬江区·期末)【操作拼图】已知一副直角三角板按图中的方式拼接在一起，边OB，OD与直线MN重合，其中，． 【构建联系】 （1）求图1中的度数； （2）如图2，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，当直角三角板的斜边平分时，求旋转角的度数； 【拓展探究】 （3）如图3，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕点O按逆时针方向每秒旋转，当边第一次落在射线上时停止旋转，是否存在一个时间t（秒）使？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差计算即可； （2）由题意得，再根据角平分线定义即可解决问题； （3）分两种情况讨论：①当在内时，②当在外部时，根据旋转角度旋转速度乘以旋转时间以及角的和差列出方程即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意，得：， ∴； （2）由题意得：， ∴， 当直角三角板的斜边平分时， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是； （3）存在时间t，使，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴， ①当在内时，如图3.1所示， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； ②当在外部时，如图3.2， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； ∴当或时，． 4．(24-25七上·广东佛山南海区·期末)如图，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部，且，． (1)若，求和的度数． (2)若．请问和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解此题的关键． （1）根据角的和差关系求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ，； （2）解：，理由如下： ， ． 5．(24-25七上·广东广州花都区·期末)如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角度数分别是，三角尺的三个角度数分别是． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】本题考查几何图形中角的计算，一元一次方程的应用． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，则，根据建立关于的方程，解方程求出的值后即可得到的度数． 【详解】（1）解：依题意得：， 则； （2）解： 设的度数为，则， ， ， 解得：， 的度数为． 6．(24-25七上·广东深圳龙岗区·期末)将一副三角尺如图所示在同一平面摆放，其中含的三角尺的边在直线上，另一个三角尺的直角顶点与点O重合． (1)如图1，当三角尺的边在直线上时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向旋转，恰好平分时，则射线是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线；理由见详解 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角板的性质以及角的和差运算关系列式计算，即可作答． （2）分情况讨论且作图，说明恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线，理由如下： 如图： ∵恰好平分，， ∴， ∴， 则； 此时射线是的平分线； 当的延长线平分，如图： 此时射线不在的内部，不是的平分线， 综上：恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线， 7．(24-25七上·广东珠海·期末)【背景知识】直角三角板是学生常用的作图工具，图1是一副直角三角板的图片，其中一块三角板包含角的度数是和，另一块三角板包含角的度数是和，现在将两块直角三角板的两个顶点重合，如下图摆放，，三角板COD绕着点O进行旋转． 【解决问题】 (1)当三角板转动到图2的位置时，我们说在的内部，已知是的角平分线，若，则_________， ________； (2)当三角板转动到图3的位置时，我们说与部分重叠，已知平分，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当三角板转动到图3以外的其他位置时，的度数是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的度数会发生改变，的度数为或 【分析】本题主要考查了角的和差、角平分线等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键． （1）直接由角的和差可得，再根据角的和差求得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得、，又、，即、，最后根据即可解答； （3）分当在内部时和与没有重叠两种情况；当与没有重叠时，又有三种情况：当均在直线上方时；当在直线上方直线左侧，在直线下方直线右侧时；当在直线上方直线右侧，在直线下方直线右侧时，分别根据角平分线以及角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，     ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴． （3）解：的度数会发生改变，理由如下： ①如图：当在内部时， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴； ②当与没有重叠时； 当均在直线上方时，如图， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 当在直线上方直线左侧，在直线下方直线右侧时，如图， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 当在直线上方直线右侧，在直线下方直线右侧时，如图， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 综上，的度数会发生改变，的度数为或． 地 城 考点03 几何图形中角度计算问题 一、填空题 1．(24-25七上·广东肇庆端州区·期末)如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 【答案】 【分析】本题考查角平分线以及角的计算，理解角平分线的定义是解题关键，根据角平分线的定义得出的度数，再求出的度数，利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：由题意得， 又， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：． 2．(24-25七上·广东湛江湛江第一中学·期末)如图，已知，平分，平分．若，则的度数是 °． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确识图是解答本题的关键．根据角平分线的定义可得，由，可得，整理可得的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴= ∴． 故答案为. 二、解答题 3．(24-25七上·广东佛山禅城区·期末)如图，，平分，平分，求 的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是角平分线的定义，角的和差，根据角平分线的定义求出和的度数，然后利用角的和差解答即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 4．(24-25七·广东东莞·期末)如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到是解决本题的关键． （1）根据平分，平分，得出，，再根据代入求值即可． （2）根据（1）中思路求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． 5．(24-25七·广东深圳·期末)已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论结成立．证明见解析 (3)存在，画图见解析，数量关系为． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算； （1）先证明，，可得，进一步可得结论； （2）先证明，，可得，进一步可得结论； （3）先构建图形，证明，，可得，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，． ． ， ． （2）证明：（1）中的结论结成立． ，分别平分和， ，． ． ， ． （3）解：存在，如图所示，； 理由如下：，分别平分和， ，． ， ∵， ∴． 6．(24-25七上·广东江门新会区正雅学校·期末)以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处． (1)如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则 ___________； (2)如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据即可作答； （2）由，得，根据恰好平分，有，即可得，即可得，问题得解； （3）由，设，则，分两种情况：第一种在内，第二种在内，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： ∵直线上一点， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴设，则， 分两种情况： ①如图，在内， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，在内， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上或． 7．(24-25七上·广东东莞翰林实验学校·期末)已知内部有三条射线，，，其中平分，平分． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，求的度数；(用含的式子表示) (3)如图，若将其中的“平分”的条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ； （2）解：，平分，平分， ； （3）解：，，， ． 8．(24-25七上·广东深圳坪山区·期末)如图，和共顶点，为直角，是的角平分线，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由角平分线得到，再由即可求解； （2）先求出，再由或，即可求解． 【详解】（1）解：∵为直角，是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴或， ∴的度数为或． 9．(24-25七上·广东揭阳揭西县·期末)已知点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则_____． (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数． (3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角板的知识，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据，代入数据即可解答； （2）根据是的角平分线，得根据即可解答； （3）根据平角的定义求出，再根据角的和差即可得解 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， 旋转角． （3），， ， ， ， ， ． 10．(24-25七上·广东惠州惠城区·期末)如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和， (1)若，，求． (2)设，，在的转动过程中，试猜想的度数是否发生变化，如变化，请说明理由，如不变，请用、表示的度数． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，角平分线的计算． （1）由角的和差关系可得出，由角平分线的定义得出，再根据角的和差关系即可得出答案． （2）求解方法同（1）． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ （2）解：的度数不会发生变化，理由如下： ∵，， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ 地 城 考点04 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25七上·广东深圳宝安区·期末)如图，，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角平分线的定义和角的计算，利用角平分线的定义是解答此题的关键． 根据角平分线的定义得，根据，得，再根据角的加法计算即可． 【详解】解：，平分， ， ， ， ， ， 故选：． 2．(24-25七上·广东广州白云区·期末)如图，已知为直线上一点， 过点向直线上方引三条射线，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义．设，则，根据角平分线的定义得到，再由，可建立方程，求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设，则． ∵平分， ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 故选：D． 3．(24-25七上·广东深圳外国语学校·期末)如图，旗语操可以抽象为一个几何模型．若A，O，B三点共线，平分，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义求出，再根据平角为，由计算即可解答． 【详解】解：∵，平分，A，O，B三点共线， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．(24-25七上·广东茂名高州·期末)如图，和都是直角．若平分，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，先根据角平分线的定义求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵和都是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25七上·广东广州增城区·期末)如图，，平分，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义计算即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴， 故答案为：． 6．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)如图，射线表示北偏东方向，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是方位角、角的计算、角平分线的定义，解题关键是正确理解方位角． 根据方位角，得到，求得的度数，结合角平分线的定义即可得解． 【详解】解：如图，射线表示北偏东方向， ， ， 平分， ． 故答案为：． 7．(24-25七上·广东深圳罗湖区·期末)如图，，直线过点，且射线在的内部，是的平分线，若，，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查角度的运算，特别是角平分线的定义及其应用，根据已知，可得，再根据平分，由角平分线定义可得，再根据邻补角性质可得，即可得出，整理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴。 故答案为：45． 三、解答题 8．(24-25七上·广东云浮新兴县·期末)（1）如图1，B是线段的中点，C是上的一点．若，，求的长． （2）如图2，O是直线上的一点，，是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了线段的和差，角平分线的定义，角的计算； （1）由设的长为，则，得到，再由中点得到，解方程即可； （2）由得到，，再由角平分线得到，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）设的长为，则， 所以． 因为B是线段的中点， 所以， 解得， 所以． （2）因为，， 所以， 所以． 因为是的平分线， 所以， 所以． 9．(24-25七上·广东茂名高州·期末)【知识技能】 （1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_______； 【数学理解】 （2）如2图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； 【深入探究】 （3）如3图，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在；t的值为21或25 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ∵， ∴， 解得：； 当在右侧时， ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 10．(24-25七上·广东梅州五华县·期末)如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将三角板绕O点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕O点以每秒逆时针方向旋转到与重合，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若秒时，______； (2)当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意，当秒时，由代值求解即可得到答案； （2）根据题意，分别表示出当在的左侧且平分，则，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意，分三种情况：当是的角平分线时；当是的角平分线时；当是的角平分线时；作出图形，数形结合由角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当秒时， ， ， ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∵当在的左侧且平分， ∴ ∴ 解得： （3）解：根据题意，分三种情况： 当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， 此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：12或30或48． 【点睛】本题考查角平分线定义、平角定义、角的和差倍分关系及一元一次方程的应用等知识，根据题意列出方程求解是解决问题的关键． 11．(24-25七上·广东佛山顺德区·期末)已知，射线在内部，平分，且． (1)请画出符合条件的图形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，注意分类讨论思想在解题的应用． （1）分在内部或外部，画图即可； （2）先根据角平分线得到，再由 或即可求解． 【详解】（1）解： 在内部或外部，如图： （2）解：∵，平分， ∴， ∴； 或， ∴的度数为或． 12．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)如图1，点在直线上，点在直线下方，点在射线上，，点在直线上方，连接，，为钝角． (1)当，绕点以每秒的速度顺时针进行旋转，旋转时间为秒． ①如图，当时， ． ②若且，是否存在时间，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线组成的夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． (2)将图的绕点顺时针旋转，旋转角度小于，在旋转过程中，设，，试探究、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)①；②存在，值为或 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键； （1）①旋转了，利用余角性质、平角定义求出，，进而可求出； ②根据题意分三种情况讨论，用含的代数式表示出各个角，再利用角平分线的定义列方程求解； （2）分别用、、的代数式表示，再列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，①时，， ， ， 故答案为：； ②存在， 分三种情况： Ⅰ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； Ⅱ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； Ⅲ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； 旋转角度小于 ， 故舍去， 答：满足条件的值为或； （2）由题意得，， ， ， ， ， 答：、、三者之间的数量关系为． 13．(24-25七上·广东清远英德·期末)【探索新知】 （1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果） 【深入研究】 （2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转． ①当t为何值时，射线是的“等分线”． ②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值． 【答案】①是；②或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，新定义问题，掌握“等分线”的定义是解题的关键． （1）①按照“等分线”的定义即可解答； ②若，且射线是的“等分线”，则由“等分线”的定义可分三种情况，即可解答； （2）①分三种情况，由“等分线”的定义，列方程求解即可； ②分三种情况，由“等分线”的定义，列方程求解即可． 【详解】解：（1）①按照“等分线”的定义可知：一个角的平分线是这个角的“等分线”； 故答案为：是； ②若，且射线是的“等分线”，则由“等分线”的定义可知有三种情况符合题意： ，此时； ，此时； ，此时； 故答案为：或或； （2）①根据题意得：；；， 解得；；； ∴t为秒或6秒或9秒时，射线是的“等分线”； ②根据题意得：；；， 解得；；； ∴t的值为秒或2秒或3秒时，射线是的“等分线”． 14．(24-25七上·广东东莞东莞外国语学校·期末)在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点重合，平分． 【问题发现】 （）若，求的度数； （）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（）；（），理由见解析；变式探究：，理由见解析 【分析】（）先根据是直角，，可求出，再根据角平分线定义得，然后根据平角的定义可得的度数； （）根据是直角得，再根据角平分线定义得，然后根据平角的定义可得出和的度数之间的关系； （）设，根据角平分线定义得，，则，，据此可得和的度数之间的关系； 本题考查了角平分线的定义，平角的定义，角的和差，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴； （）猜想：，理由如下： ∵是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴； 变式探究：，理由如下： 设， ∵平分， ∴，， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴． 15．(24-25七上·广东潮州湘桥区初中·期末)如图，是的角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图中角度计算问题，先根据已知条件可得出，进而可求出，再根据角平分线的定义即可得出，再根据角度的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 地 城 考点05 余角和补角 一、单选题 1．(24-25七上·广东佛山禅城区·期末)若，则的余角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的定义，根据互为余角的两个角的和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为， 故选∶A． 2．(24-25七上·广东广州越秀区·期末)如图，，平分，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题属于基础题，主要考查角的计算，角平分线的定义及互为余角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据的度数和角平分线的性质，求出，再根据与互余，求出即可． 【详解】解：，平分， ， 与互余， ， ， 故选：B． 3．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)一副三角板按如图的方式摆放，则的补角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形板中的角度计算、补角，熟练掌握补角的计算是解题关键．先利用角的和差可得，然后利用补角的定义求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：D． 4．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②图中互补的角有5对；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的知识，根据角平分线的性质，可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互余，故①正确； ∴与互补， 又，所以，与互补， ，所以，与互补， ，所以，与互补， ∵，所以，与互补， 所以，图中互补的角有5对，故②正确； ∴．故③正确； ∴，故④正确． 故选：D． 5．(24-25七上·广东汕头澄海区·期末)已知一个角的2倍与这个角的余角相等，则这个角是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，解一元一次方程．设这个角的度数为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意得： ， 解得：， ∴这个角是， 故选：B． 6．(24-25七上·广东珠海金湾区·期末)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中，与相等（   ） A．（1）、（2） B．（1）、（4） C．（2）、（3） D．（3）、（4） 【答案】C 【分析】本题考查了互余、互补的概念及计算，理解图示，掌握余角、补角的性质是解题的关键． 根据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等即可求解． 【详解】解：据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等可得， 图（1）中，，不符合题意； 图（2）中，同角或等角的余角相等，则，符合题意； 图（3）中，同角或等角的补角相等，则，符合题意； 图（4）中，，，不符合题意； ∴与相等（2），（3）， 故选：C ． 二、填空题 7．(24-25七上·广东广州荔湾区第四中学（初中部）·期末)如图所示，与都是直角，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，解题的关键是确定的余角，再计算即可． 【详解】解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．(24-25七上·广东汕头潮南区司马浦镇·期末)如图，某海域有三座小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角、方向角及其计算．根据已知条件可直接确定的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， ∴， ∴的补角的度数是． 故答案是：． 三、解答题 9．(24-25七上·广东阳江阳东区·期末)如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，见解析 (2)，见解析 (3)，当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小 (4)或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，等角的余角相等，熟练掌握图形中角的运算是解题的关键． （1）由，平分得，进而得，据此可得出结论； （2）由得，，然后根据同角的余角相等可得出结论； （3）由得，据此可得，进而可得当的值逐渐增大时，的度数的变化情况； （4）①当在的内部时，由得，据此可得与的关系； ②当在的外部时，由可得出与的关系． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 依题意得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：，理由如下： 依题意得：， ∴，， ∴． （3）解：依题意得：， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小． （4）解：或，理由如下： 依题意得：， ①当在的内部时，如图： ， ∴； ②当在的外部时，如图： ． 10．(24-25七上·广东云浮新兴县·期末)已知四个点A，B，C，D，根据下列要求画图． (1)画射线． (2)画．若，则的补角为________（用含的代数式表示）． (3)找一点P，使点P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了直线、射线和角的定义基本作图、以及补角的定义，根据要求作图是解题的关键． （1）根据射线定义画出射线即可解题； （2）画出射线，以及射线，即可画出，再结合补角的定义求解，即可解题； （3）由题意可知点P为直线与直线的交点，延长直线与直线相交，即可解题． 【详解】（1）解：所画射线如图所示： （2）解：所画如图所示： 因为， 所以的补角为， 故答案为：． （3）解：所画点P如图所示： 11．(24-25七上·广东江门新会区·期末)把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)如图1，若，求出的度数； (3)若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据图形直观得出各个角之间的关系是解决问题的关键，等量代换起到非常重要的作用． （1）根据角平分线和互为余角的意义，可求出； （2）由（1）可求，再根据互为补角求出即可； （3）根据角平分线和互为余角的意义可得，再根据互为补角的意义得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：由（1）得：， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．(24-25七上·广东惠州惠东县·期末)请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以 °． 因为，所以 °， 因为，所以______，所以 °， 因为 °，所以 ° °． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据互余的定义得，因为，所以，再结合，即可作答． 【详解】解：因为与互余，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以． 故答案为：． 13．(24-25七上·广东湛江雷州·期末)如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (1)若，则______，______，______； (2)比较与的大小关系，并说明理由； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查角的计算，熟练运用角的和差是解题的关键． （1）根据角的和差即可得出答案； （2）根据同角的余角相等，即可得出答案； （3）根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ，理由如下： ∵，， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 14．(24-25七上·广东东莞翰林实验学校·期末)【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则_______________；若，则_______________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作（都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）①根据互余关系得出，根据得出，继而得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴ ∵， ∴． 故答案为：；； ②∵ ∴； 即 （2）．理由如下： ∵； ∴； （3）①在上方时，如图： 同理可得： ②在内部，如图： 同理可得：； ③在内部，如图：； ④在下方，如图： ． 综上所述，或或． 15．(24-25七上·广东中山·期末)如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图并回答问题： (1)连接； (2)画直线与射线相交于点E； (3)请写出图中以E为顶点的的补角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，是的补角． 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，余角和补角，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据直线，射线的定义画出图形； （3）根据补角的定义判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，直线，射线，点E即为所求； （3）解：，是的补角． 16．(24-25七上·广东东莞东城区·期末)若和互补，且的一半比还多，求和． 【答案】， 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补，同时还考查了解一元一次方程，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先设，则，列出一元一次方程，解出，然后即可求解 【详解】解：设，则， 列方程有：， 解得：， 则： 答：是，是 59．(24-25七上·广东汕头澄海区·期末)如图1，在平面内，已知点在直线上，射线、均在直线的上方，，，平分．    (1)若，则 ． (2)若与互余，且在的内部，请在图2中补全图形． ①若，求的度数； ②判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，①；②平分，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角之间的和差关系，余角和补角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平角的定义，结合已知条件列式计算即可得到答案； （2）①根据题意求出，即可求出； ②根据题意得出，继而得到，即可得出平分． 【详解】（1）解：直线， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，    ①与互余，， ， ，平分， ， ； ②，， ， ， 平分． 17．(24-25七上·广东汕头潮南区陈店公办八校·期末)如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使，现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2．    (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． (4)将直角三角板绕点O转动，始终在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)有，或 (4)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据角平分线定义求出，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得； （4）将直角三角板绕点转动，如果在的外部，画出三角板的两个位置，分类讨论，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，，    ∴， ∴． 故的度数为：或． （4）如图，      ∵，， ∴， ∴； 如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，熟练掌握余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $