专题09 实际问题与一元一次方程（期末真题汇编55题，广东专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题09 实际问题与一元一次方程 9大高频考点概览 考点01 工程问题 考点02 销售盈亏 考点03 比赛积分 考点04 方案选择 考点05 数字问题 考点06 几何问题 考点07 动点问题 考点08 电费和水费问题 考点09 行程问题 地 城 考点01 工程问题 1．(24-25七上·广东珠海·期末)甲队的8名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的5倍少30件，乙队的10名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的2倍多36件，若两队工人此月完成的总工作量相等． (1)此月人均定额工作量是多少件？ (2)甲乙两队人均实际工作量各为多少件？ 2．(24-25七上·广东深圳福田区·期末)综合实践 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中米为空中的士的机身长度）． 任务一  计算材料成本 （1）如图2所示，请用含代数表达式表示起降位的边长______米． （2）若，请计算下列问题 ①操作区的面积是______平方米，起降位的面积是______平方米，安全区（阴影部分）的面积是______平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是______元． 任务二  预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用=甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 3．(24-25七上·广东清远阳山县白莲中学·期末)思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 4．(23-24七上·广东湛江经济技术开发区·期末)列方程解应用题：某校为了举办科技文化艺术节活动，需制作一批模型，请来师徒两人。已知师傅单独完成需10天，徒弟单独完成需15天． (1)师徒两人合作需要几天完成； (2)现由师傅先做1天，再师徒两人合作，问：还需几天可以完成这项工作？ 5．(23-24七上·广东广州·期末)整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)具体应先安排多少人工作？ (2)若一开始就以增加后的人数工作，则需要多少小时完成？ 地 城 考点02 销售盈亏 1．(24-25七上·广东深圳宝安区·期末)在2024年的“双11”促销活动期间，一家知名电商平台发布了关于某款智能电视的销售信息． 素材一： 素材二： 素材三：电商平台提供两种分期付款方式 A．分期 4333元期 免手续费 B．分期 2264元期 手续费y元/期 注：“2264元”已包含当期手续费 解决问题： (1)列方程解答；求出x的值； (2)列方程解答：求出y的值； (3)你倾向于选择哪种付款方式？请阐述理由． 2．(24-25七上·广东广州增城区·期末)某商场打出促销广告如下表： 一次性购物不超过元 一次性购物超过元，但不超过元 一次性购物超过元 没有优惠 全部按九折优惠 其中元按九折优惠，超过元部分按八折优惠 (1)若顾客在该超市购买原价为元的物品，实际付款多少元？ (2)若顾客在该超市购买原价为元的物品，实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)若某顾客分两次购物，第一次花费元，第二次花费元，若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？ 3．(24-25七上·广东深圳盐田区·期末)一家服装店购进了甲、乙两种服装，两种服装的信息如表： 信息一 甲服装按成本价提高后标价，又以八折优惠卖出，此时售价为元． 信息二 乙服装每件成本价为元，售价为元． 根据以上信息回答下面问题： (1)甲服装每件的成本价为 元； (2)服装店一共购进甲乙两种服装件，若按售价全部卖出后，一共可获利元，求乙服装的数量． 4．(24-25七上·广东清远英德·期末)七年级创新班的同学们在运动会之后，发现班级还剩下许多没有开封过的零食，秉持不浪费的原则，且尽量为班费开源创新，同学们进行了实践探究： 【提出问题】把运动会剩余的零食尽量出售． 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”“素材3”设计“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动，请你帮他们解决相关问题． 素材1 创新班同学在运动会之后，清点剩余的零食，发现各式零食受欢迎程度差异性较大，为尽量减少库存，同学们对不同种类的零食进行分类组合，包装了A款大礼包和B款大礼包． 素材2 经过大家的通力合作，共整理出A款大礼包和B款大礼包共40个，已知A款大礼包比B款大礼包总成本少150元，其中A款大礼包每个成本价20元，B款大礼包成本价30元． 素材3 在销售过程中，A款大礼包每个售价是25元，很快全部售出；B款大礼包每个按照成本价加价销售．售出一部分后，出现滞销，同学们打九折出售剩余的B款大礼包，两款大礼包售出后共获利221.4元． 【尝试解决问题】 任务1 请问A款大礼包和B款大礼包各有多少个？ 任务2 打九折后的B款大礼包价格是多少？ 任务3 有多少个B款大礼包是打折出售的？ 5．(24-25七上·广东深圳实验学校初中部·期末)某超市新购草莓进价每千克20元．为合理定价，本周前五天试行调价，以28元/千克为基准，超出与不足分别正负表示．售价与销量记录如下表： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 每天与标准售价的差值/元 每天售出的数量/千克 10 40 20 30 65 (1)本周前五天，该超市星期___________售出的草莓单价最高，是___________元． (2)该超市这一周前五天售出此种草莓获利是多少？ (3)为了避免草莓腐烂，超市推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3千克草莓，每千克售价30元；超出3千克的部分，每千克八折优惠． 方式二：每千克售价30元，都按九折销售． 当购买多少千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样？ 6．(24-25七上·广东东莞东华初级中学·期末)平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 7．(24-25七上·广东东莞南城中学·期末)某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔20支、签字笔30支作为补充奖品、其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，问小明购买补充奖品共花费多少元？ 地 城 考点03 比赛积分 1．(24-25七上·广东东莞松山湖莞美学校·期末)某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 2．(24-25七上·广东广州海珠区海珠外国语实验学校·期末)某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 3．(24-25七上·广东广州海珠区南武实验学校·期末)如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 4．(24-25七上·广东韶关仁化县·期末)为提高学生的数学学习兴趣，某校组织了一次数学知识竞赛，共有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛同学的得分情况．根据以上信息，请你解答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：答对一题得_____分，答错一题扣______分； (2)参赛同学得76分，他答对了几题？ (3)参赛同学说他得了36分，你认为可能吗？为什么？ 5．(24-25七上·广东广州荔湾区·期末)某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．下表记录了5名同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 D 14 6 58 E 10 10 30 (1)答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)参赛者F得分72分，他答对了几道题？ (3)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 地 城 考点04 方案选择 1．(24-25七上·广东湛江雷州·期末)学校准备印刷宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收取元印刷费，不收制版费． (1)设印制宣传材料数量x份，请用含x的式子表示：甲印刷厂的收费______元；乙印刷厂的收费______元． (2)若学校准备印制2000份宣传材料，试通过计算说明选择哪家印刷厂比较合算？ (3)求印制宣传材料数量x为何值时，甲乙两个印刷厂的费用相同． 2．(24-25七上·广东佛山顺德区·期末) 主题 学校购买比赛用品策略探讨 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）． 素材1 商品标价 羽毛球拍：150元/副 羽毛球：10元/个 素材2 购买方案 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务1 现已知方案一和方案二只能单独使用，若学校需要购买羽毛球拍和100个羽毛球，请为学校推荐购买方案． 任务2 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务3 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校此次需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 3．(24-25七上·广东肇庆·期末)七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人 20 元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与 售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过 40 人， 请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过 40 人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打 8 折； 方案二：若每张门票都打 9 折，有 7 人可免票． (1)已知1班学生人数为 44 ，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若 2 班选择了方案二，购票费用为 702 元，求 2 班有多少人？ (3)当参加社会实践的总人数为 90 人，采用哪个方案更优惠？ 4．(24-25七上·广东珠海金湾区·期末)购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表1是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元/()， 请回答下列问题． 表两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/() 级 级 (1)使用多少年时，级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等．(综合费用=空调的售价+电费) (2)某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． 5．(24-25七上·广东河源源城区·期末)太原今年冬天天气寒冷，小刚家为爷爷奶奶准备了两种过冬方案．方案一：在太原过冬，需缴纳每平方米16元的取暖费；方案二：去海南过冬，需租一套每月500元的住房，租房3个月，太原的住房暖气报停，但是要缴纳每平方米6元的基础热费．设小刚家住房面积是x平方米． (1)则方案一需要费用 元；方案二需要费用 元（用含x 的代数式表示）； (2)若小刚家的住房面积是，请你帮他算算选择哪种方案费用较少?请说明理由； (3)小刚家住房面积是多少平方米时，两种方案所需费用相同? 6．(24-25七上·广东深圳外国语学校·期末)项目式学习 【项目主题】帆布包和小熊外衣的制作与营销 【项目背景】文创社准备筹集资金为学校对西藏林芝市察隅县的“温暖传递，共筑梦想”的帮扶活动捐款，现购入一批长方形帆布，准备制作出帆布包和小熊进行义卖同学们针对制作和营销推广，开展了以下研究： 环节一：制作 素材1 共有900张帆布，一张长方形帆布（规格：长100厘米，宽80厘米）有两种剪裁方式．方式1：如图1，四角剪去四个相同的小正方形，则可缝制成底面周长为104厘米的长方体无盖帆布包；方式2：如图2，沿虚线剪成8个相同的长方形，每个小长方形可配给图1的帆布包做盖子． 图1 图2 素材2 1．所有帆布都要剪裁，且每张帆布只能选择一种剪裁方式；2．接缝处所需布料忽略不计；由于设计问题，图2中每个小长方形宽度需要比图1底面长方形的宽度更宽一些；3．图1和图2中的阴影部分为余料，图1中的余料用来为小熊制作外衣． 问题解决 问题1 研究帆布包形状按方式1剪下的正方形边长为__________厘米． 问题2 若全部做成有盖帆布包．设其中按方式1剪裁的帆布如何配套有张，请你求出的值． 问题3 若同时制作有盖和无盖帆布包，设有盖帆布包有个，则按方式2剪裁的帆布有__________张，按方式1剪裁的帆布有__________张，无盖包的数量有__________个（均用含的代数式表示）． 环节二：营销推广 素材11500元的部分总价超过1500元的部分 销售价格 物品 单价元/个 有盖包 50 无盖包 40 小熊 20 素材2 团购优惠方案 文创活动场面火爆，为减少排队时间、增加销量，现推出两个团购优惠方案： 物品 团购优惠1 团购优惠2 有盖包 买4个送1个小熊 总价不超过 500元 不优惠 无盖包 买5个送1个小熊 总价超过 500元但不超过 1500 元的部分 九折优惠 小熊 买10个送1个小熊 总价超过1500元的部分 八折优惠 素材3 团购优惠如何使用 （1）两个团购优惠方案只能选择一种． （2）为了节省排队时间，一个班级只能使用一次优惠． （3）“团购优惠1”示例：A班：共需要4个有盖包，5个无盖包，13个小熊． 费用为元； B班：共需要30个小熊，通过享受两次“买10送1”， 费用为元． 问题解决 任务1 小深班同学共买了10个有盖包，10个无盖包，15个小熊，若不使用团购优惠，则共应付__________元． 任务2 在任务1的条件下，若小深班选择团购优惠，请你帮忙为小深班同学们选择一个最优惠的购买方案（需通过计算说明）． 任务3 另有小圳班也参加团购，已知他们购买了12个有盖包和10个无盖包，且实际共获得的小熊的数量介于30和40个之间（包括30和40）．他们经过计算发现，两种团购优惠方案的价格相等．则小圳班实际共获得了__________个小熊． 7．(24-25七上·广东揭阳揭西县·期末)红领巾球馆计划购买某品牌的排球和跳绳．已知该品牌的排球每个定价120元，跳绳每根定价20元．“双11”期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一个排球送一根跳绳； 方案二：排球和跳绳都按定价的付款． 假设该球馆计划购买50个排球，跳绳根（，为整数）． (1)若按方案一购买，需付款_____元；若按方案二购买，需付款_____元．（均用含的代数式表示） (2)购买多少根跳绳时，两种方案付款相同？ 8．(24-25七上·广东深圳第二实验学校·期末)元旦期间，七年级全体人员准备前往某地参加社会实践活动，研究性学习小组在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜，在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 租车 价格 信息 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 A型车（辆） B型车（辆） 租金总费用（元） 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 车型 座位 信息 已知A型客车每辆24个座位，B型客车每辆54个座位．经过调查研究，确定两种租车方案，方案一：全部租用A型客车，则全体人员刚好坐满；方案二：全部租用B型客车，则可以（比全部租用A型车）少租13辆，且剩余48个座位． 根据以上信息，完成下列3个任务： 任务1 根据“租车价格信息”，计算A，B两种型号客车每辆租金分别是多少元． 任务2 请根据“车型座位信息”，填写以下表格中的空格内容． 解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型客车 24 0 全部租用B型客车 x 54 48 依上表列方程：______________________________ 解得_________． 则七年级总人数为______人． 任务3 根据以上信息，在上面两个方案中，确定费用最低的租车方案． 解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型客车 24 0 全部租用B型客车 54 48 依上表列方程： 解得． 则七年级总人数为人． 地 城 考点05 数字问题 1．(24-25七上·广东惠州惠阳区·期末)【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 2．(24-25七上·广东汕头潮阳区·期末)如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 3．(24-25七上·广东东莞部分学校·期末)有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们也是分数． (1)请把下列有限小数写成分数的形式：________，________． (2)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．应该怎样写呢？ 我们以无限循环小数为例进行说明： 解：设，则 等式两边同时乘以10得，即： 解得，则 请模仿该例，将写成分数的形式．（要求写出解答过程） 4．(23-24七上·广东佛山顺德区·期末)综合与实践 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”． 把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方． (1)观察三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为 ；若将正中间的数记为a，则9个数的和可表示为 （用含a的代数式表示）； (2)将，0，10，2，8，，6，，4分别填入图1中，构成一个三阶幻方； (3)根据图2的幻方，求出x的值． 5．(23-24七上·广东茂名信宜·期末)综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 地 城 考点06 几何问题 1．(24-25七上·广东阳江阳东区·期末)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 2．(24-25七上·广东深圳宝安区·期末)如图1，点A、B在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为 (1)点C为数轴上一点，若，则点C表示的数是______或______； (2)若数轴上两点表示的数字分别为a和b，则它们的中点表示的数为，例如：数轴上两点分别表示、9，则它们的中点表示的数为 ①点E从点A出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时点F从点B出发，以3个单位/秒的速度向右运动．设运动时间为t，当的中点恰好为原点时，求出t的值． ②点M在数轴上，且在点B右侧，点N在数轴上，，点P为中点，点Q为中点，求线段的长度． 3．(24-25七上·广东梅州五华县·期末)如图，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足． (1)求值：______，______； (2)若数轴上点C对应的数为8，求应将点C如何移动，可以使点C到点A、点B的距离相等？ (3)动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．(24-25七上·广东佛山顺德区·期末)我们规定，其中是不小于的最小整数，如，． (1)填空： _________，_________； (2)计算：； (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动．设点的运动时间为秒，在运动过程中，当时，求的值． 5．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)如图，数轴上A，B，C三点分别表示数a，数b，数3，且a、b满足． (1) ， ； (2)数轴上有一动点P，表示的数为x，则当x取何值时，； (3)数轴上点M沿的方向以2个单位/秒的速度运动，同时点N沿的方向以3个单位/秒的速度运动，当点N到达点B时，M，N都停止运动．设运动的时间为t秒，当时，求t的值． 6．(24-25七上·广东惠州惠东县·期末)如图，小哲设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，遥控小汽车（看成点）从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿数轴正方向运动，当遥控小汽车到达点时，遥控小汽车（看成点）同时从点出发，以1.5个单位长度／秒的速度沿数轴正方向运动．设遥控小汽车的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，的值为______； (2)当时，求点表示的数； (3)当遥控小汽车，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，求出的值． 7．(24-25七上·广东深圳盐田区·期末)如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ； ②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动． ①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 8．(24-25七上·广东深圳龙岗区·期末)综合与探究 【定义】已知点为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即，则称P是的“k倍点”，记作：． 【示例】如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，点P表示的数为0，点Q表示的数为．因为，则，所以P是的“2倍点”，记作：；因为，则，所以Q是的“倍点”，记作：． 【问题解决】 （1）如图2，三点在数轴上表示的数分别是，回答下面问题： ①_______，_______，______； ②若点C是数轴上一点，，求点C表示的数； ③若点D是数轴上一点，，求点D表示的数． 【拓展提升】 （2）如图3，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为25．点M从点A出发以3个单位/秒的速度向右运动，点N从点B出发以2个单位/秒的速度向左运动，点两点同时出发．当点M和点N相遇时点M立即掉头按原速沿数轴向左运动，点N运动速度与方向不变，记运动时间为t秒．在运动过程中，当时，直接写出t的值． 9．(24-25七上·广东广州荔湾区·期末)在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为，0，12，28． (1)点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段上的一个动点，求的值． (2)如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为________． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 10．(24-25七上·广东中山·期末)【提出问题】 如图，在数轴上，点A 表示的数为，点B 表示的数为2，若在数轴上存在一点P，使得点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B 的距离之差的绝对值等于 n，则称点 P为点A， B的“n差点”． 【问题初探】 （1） 若点 P 表示的数为0， 求n的值； 【类比探究】 （2） 若点 P到点B 的距离为2，求点 P 表示的数及n的值； 【拓展延伸】 （3）若点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点 P 运动到点B时，立即以每秒2个单位长度的速度返回点A，到达点A停止运动． 设点 P运动时间为t，求当t为何值时． 地 城 考点07 动点问题 1．(24-25七上·广东云浮新兴县·期末)如图，数轴上的点A，B，C表示的数分别为，x，5，点B在点A，C之间，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t（）秒． (1)________． (2)求x的值． (3)当时，求t的值． 2．(24-25七上·广东梅州平远县·期末)随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”；若点到点、的距离之和为6，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）如图，若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______； 【深入理解】 （2）若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过秒电子蚂蚁是点、的“幸福中心”，求出的值； 【综合应用】 （3）在（2）的条件下，在数轴上是否存在点（点与点不重合），使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 3．(24-25七上·广东珠海金湾区·期末)【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点之间的距离．例如：点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点间的距离可表示为． 【问题解决】A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，点P对应的数为x． (1)_______；_______ (用含x的代数式表示) (2)代数式的最小值为_______． (3)若点P从原点出发，与点B同时向左运动，点B的速度为3个单位长度/秒，点P的速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，是否存在某个时间t，使得A，B，P三点中，其中一点是另外两点所连成线段的中点．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．(24-25七上·广东汕头潮阳区德兴育才学校·期末)如图，在数轴上点表示数，点表示数，并且满足． (1)______，______． (2)点在点的右侧，点在点的左侧，，，求点之间的距离； (3)动点以3个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴正方向运动，同时点以2个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 5．(24-25七上·广东广州番禺区·期末)如图，已知数轴上有A、两点，点在原点的右侧，到原点的距离为3，点A在点的左侧，．动点、分别从A、两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为2个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为秒． (1)点A、表示的数分别是多少？ (2)若动点、均向右运动． ①当时，、两点间的距离为多少个单位长度？ ②当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数； (3)若动点从点向左运动，到原点后返回到点停止，动点从A点向右运动，当点停止时，点也停止运动．请直接写出当为何值时，在、、三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍． 1．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下：地 城 考点08 电费和水费问题 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） (1)第二档电价比第一档多 元； (2)已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． (3)已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 2．(24-25七上·广东珠海斗门区·期末)某市对居民生活用电实行阶梯计价，具体收费标准如下表： 档数 夏季标准（月） 非夏季标准（月、月） 电价（元） 第一档 第二档 第三档 及以上 及以上 (1)小勇家3月末和4月末电表表盘示数如图所示，其中3月末电表表盘示数为，小勇家4月份应缴纳电费多少元？ (2)小勇家7月份的电费为380元，请问小勇家七月份的用电量是多少？ (3)小勇家10月份和11月份共用电，其中10月份的用电量低于11月份的用电量，共缴电费245元，则小勇家10月份和11月份的用电量分别为多少？ 3．(24-25七上·广东广州海珠区·期末)广州市居民生活用电阶梯收费标准如表： 档级 月用电量 电价 第1档 不超过260度 a元/度 第2档 超过260度但不超过600度的部分 元/度 第3档 超过600度的部分 元/度 根据收费标准，解答下列问题： (1)小军家6月份用电量150度，支付电费元，则______； (2)小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费______元用含x的代数式表示； (3)8月出现了高温天气，小军家缴电费460元，求这个月的用电量． 4．(24-25七上·广东深圳坪山区·期末) 新能源汽车充电花费问题 素材一 坪坪汽车充电站充电实行高峰时段、平时时段以及低谷时段三阶电价，已知为低谷时段，低谷时段电价为元/度，充电站一天电价变化（与上一时段相比）如下表所示： 时段 低谷时段 平时时段 高峰时段 平时时段 电价变化 （元度） (起始电价) 坪坪汽车充电站为吸引更多顾客充电，推行如下优惠政策： 素材二 年累计充电量 优惠方案 度及以下 不优惠 超过度但不超过度 打九五折 超过度 打九折                 　　　　问题解决 任务一 坪坪汽车充电站高峰时段充电电价为_____元度． 任务二 已知小马月之前未在坪坪充电站充过电，月总共在坪坪充电站充电花费元，其中平时时股充电电量占月总充电量的，低谷时段充电电量占月总充电量的，请问小马月总共充了多少度电? 任务三 下午时，小坪和小山同时在坪坪汽车充电站充电，且都在晚上时前完成充电，小坪充了度电，小山充了度电，小坪的充电花费却超过了小山，请通过计算分析造成这种情况的原因． 5．(24-25七上·广东汕头潮南区司马公办学校·期末)小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同的冰箱：型常规冰箱每台售价2160元，日耗电量为1千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为0.5千瓦时，现在型冰箱可打9折出售．每年按360天计算，电价为每千瓦时0.6元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同（总费用买冰箱的费用总用电费用）？ 地 城 考点09 行程问题 1．(24-25七上·广东广州增城区·期末)环形跑道一圈长，小明同学在跑道上练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学在跑道上练习跑步，起初平均每分钟跑． (1)若两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？ (2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑1分钟后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？ 2．(24-25七上·广东佛山南海区·期末)一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将点餐送到目的地，若骑手每分钟骑行，则早到；若骑手每分钟骑行，则要迟到．试求出骑手将点餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程． 小明和小东在解答时先设出未知数，然后分别列出方程如下： 小明列出的方程：，小东列出的方程：； (1)小明所列方程中表示______；小东所列方程中表示______． (2)请选小明或小东的方法写出完整的解答过程． 3．(24-25七上·广东东莞东莞外国语学校·期末)今年11月东莞马拉松成功举办，甲乙丙三人想沿着市民服务中心到松山湖的这条马拉松路线跑步，用自己的脚步来丈量东莞这座城市．甲从路线一端（记为A）出发向距离30千米的另一端（记为B）跑步，甲出发40分钟时乙从路线B端出发，两人相向而行，已知甲的平均速度为4千米/时，乙的平均速度为6千米/时．设甲跑步的时间为x小时，请解决下列问题： (1)在甲从公路A端到B端跑步过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的距离为________千米，乙离开B端的距离为________千米； (2)当甲、乙二人相遇时，求x的值； (3)乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，丙的平均速度为8千米/时．甲到达B端后停止跑步，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间恰好相距2千米时，求x的值． 4．(24-25七上·广东东莞部分学校·期末)据国际田联《田径场地设施标准手册》，标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈（最内圈）的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算各圈的长：（取，结果用四舍五入法保留整数） 第一圈长：； 第二圈长：； 第三圈长：…… (1)小王计算的第八圈的长约是________米． (2)现学校要进行400米比赛，如果终点相同，第一跑道和第三跑道的起跑线应相差________米． (3)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车（以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇） 5．(24-25七上·广东深圳龙华区·期末)慢跑是提高心肺功能的一种锻炼方式．小明和爸爸从同一地点同时出发，在同一道路上沿同一方向慢跑，速度分别为90米/分钟和150米/分钟．爸爸跑了4800米后（小明仍按原速向前跑），然后掉头以原来的速度继续向前跑，直到与小明会合．会合时小明跑了多长时间？数学小组用两种不同的方法画出了线段图，直观地表示问题中各个量之间的关系 方法1 方法2 未知量 设爸爸掉头后跑了x分钟 设会合时小明跑了y分钟 线段图                (1)你会选择方法 （填“1”或“2”）解决问题，其线段图中的“”表示为 （用代数式表示）； (2)请你根据选择的方法继续完成解答． 试卷第1页，共3页 1 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 实际问题与一元一次方程 9大高频考点概览 考点01 工程问题 考点02 销售盈亏 考点03 比赛积分 考点04 方案选择 考点05 数字问题 考点06 几何问题 考点07 动点问题 考点08 电费和水费问题 考点09 行程问题 地 城 考点01 工程问题 1．(24-25七上·广东珠海·期末)甲队的8名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的5倍少30件，乙队的10名工人一月份完成的总工作量比此月人均定额工作量的2倍多36件，若两队工人此月完成的总工作量相等． (1)此月人均定额工作量是多少件？ (2)甲乙两队人均实际工作量各为多少件？ 【答案】(1)件 (2)此月人均定额工作量是22件，甲队人均实际工作量是10件，乙队人均实际工作量是8件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设此月人均定额工作量是x件，根据两队工人此月完成的总工作量相等列方程求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设此月人均定额工作量是x件        解得 答：此月人均定额工作量是22件 （2）解：总工作量为（件） 甲队人均实际工作量为（件） 乙队人均实际工作量为（件） 答：甲队人均实际工作量是10件，乙队人均实际工作量是8件 2．(24-25七上·广东深圳福田区·期末)综合实践 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中米为空中的士的机身长度）． 任务一  计算材料成本 （1）如图2所示，请用含代数表达式表示起降位的边长______米． （2）若，请计算下列问题 ①操作区的面积是______平方米，起降位的面积是______平方米，安全区（阴影部分）的面积是______平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是______元． 任务二  预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用=甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 【答案】（1）；（2）①576，900，324；②320400；（3）预算资金不够，需要追加10万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，求出起降位面积和在工程完工时的甲乙两队的工作时间是解题关键． （1）安全区宽3米，围绕操作区四周，因此总边长为操作区边长加两侧安全区宽度，由此列代数式即可． （2）①根据，可求操作区、安全区的边长，进而求出各部分面积， ②根据总成本=操作区成本+安全区成本计算即可， （3）先根据工程量总和等于平方米列方程求出在工程完工时的甲乙两队的工作时间，进而求出总费用，再与预算施工费用相比即可解答． 【详解】解：（1）起降位的边长米； （2）①当时，操作区是边长米，操作区的面积是（平方米）； 起降位的边长米，起降位的面积是（平方米）； 安全区（阴影部分）的面积是（平方米）． ②建设一个起降位的基础材料成本（元） （3）设乙队工作 天，则甲队工作天．总施工面积为 平方米，列方程：   ， 解得 天，甲队工作 天．   总费用：甲队费用：（万元）；   乙队费用：（万元） ；   总费用： 万元．   预算万元不足，需追加万元． 答：这笔预算施工费用不够，需要追加10万元． 3．(24-25七上·广东清远阳山县白莲中学·期末)思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【答案】(1)思行中学一共有个教室 (2)甲工程队共粉刷天 (3)选择方案一是最省钱的粉刷方案 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设乙工程队要刷天，根据题意房间数量列出方程，再解即可； （2）设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天，根据两队共粉刷间教室列出方程，再解即可； （3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设乙工程队要刷天，则思行中学一共有个教室， 由题意得：， 解得：， ， 答：思行中学一共有个教室； （2）解：设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队共粉刷天； （3）解：方案一：由甲工程队单独完成需（天）， 费用为（元）； 方案二：由乙工程队单独完成需要天， 费用为（元）； 方案三：按（2）方式完成， 费用为（元）， ， 方案一最合适， 答：选择方案一是最省钱的粉刷方案． 4．(23-24七上·广东湛江经济技术开发区·期末)列方程解应用题：某校为了举办科技文化艺术节活动，需制作一批模型，请来师徒两人。已知师傅单独完成需10天，徒弟单独完成需15天． (1)师徒两人合作需要几天完成； (2)现由师傅先做1天，再师徒两人合作，问：还需几天可以完成这项工作？ 【答案】(1)6 (2)还需天可以完成这项工作 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出算式或方程，准确计算． （1）将整个工程看作单位1，然后列式计算即可； （2）设还需x天可以完成这项工作，将整个工程看作单位1，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：（天）， 答：师徒两人合作需要6天完成； （2）解：设还需x天可以完成这项工作，根据题意，得： ， 解得：（天） 答：还需天可以完成这项工作． 5．(23-24七上·广东广州·期末)整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)具体应先安排多少人工作？ (2)若一开始就以增加后的人数工作，则需要多少小时完成？ 【答案】(1)应先安排3人工作小时 (2)需要8小时完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设应先安排人工作小时，依题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据工作时间工作总量工作效率进行计算即可． 【详解】（1）解：设应先安排人工作小时，依题意得， 解得： 答：应先安排3人工作小时． （2）（小时） 答：需要8小时完成． 地 城 考点02 销售盈亏 1．(24-25七上·广东深圳宝安区·期末)在2024年的“双11”促销活动期间，一家知名电商平台发布了关于某款智能电视的销售信息． 素材一： 素材二： 素材三：电商平台提供两种分期付款方式 A．分期 4333元期 免手续费 B．分期 2264元期 手续费y元/期 注：“2264元”已包含当期手续费 解决问题： (1)列方程解答；求出x的值； (2)列方程解答：求出y的值； (3)你倾向于选择哪种付款方式？请阐述理由． 【答案】(1)x的值为1200； (2)y的值为； (3)选择A种分期付款方式，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据该款智能电视优惠后的价格不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用（每期还款金额-每期手续费）该款智能电视优惠后的价格，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）选择A种分期付款方式，阐述出理由即可． 【详解】（1）根据题意得：， 解得： 答：x的值为1200； （2）根据题意得：， 解得： 答：y的值为； （3）选择A种分期付款方式，理由如下： A种分期付款方式相较于全款购买，每期的还款金额较少，付款压力较小； A种分期付款方式相较于B种分期付款方式，A种分期付款方式付款总额为元，B种分期付款方式付款总额为元， ， 选择A种分期付款方式． 2．(24-25七上·广东广州增城区·期末)某商场打出促销广告如下表： 一次性购物不超过元 一次性购物超过元，但不超过元 一次性购物超过元 没有优惠 全部按九折优惠 其中元按九折优惠，超过元部分按八折优惠 (1)若顾客在该超市购买原价为元的物品，实际付款多少元？ (2)若顾客在该超市购买原价为元的物品，实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)若某顾客分两次购物，第一次花费元，第二次花费元，若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？ 【答案】(1) (2)当时，实际付款元；当时，实际付款元；当时，实际付款元 (3) 【分析】（）根据题意列式计算即可； （）根据题意，分三种情况：，和，分别列出代数式即可； （）根据题意分别求出两次购物的原价，再相减即可求解； 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴实际付款元， 答：实际付款元； （2）解：根据题意得，当时，实际付款元； 当时，实际付款元； 当时，实际付款元； （3）解：∵元，， ∴第一次购买商品的原价为元， 设第二次购买商品的原价为元， ∵元，， ∴， 根据题意得，， 解得， ∴合并成一次购买实际付款元， ∵元， ∴合并成一次购买比分两次购买便宜元． 3．(24-25七上·广东深圳盐田区·期末)一家服装店购进了甲、乙两种服装，两种服装的信息如表： 信息一 甲服装按成本价提高后标价，又以八折优惠卖出，此时售价为元． 信息二 乙服装每件成本价为元，售价为元． 根据以上信息回答下面问题： (1)甲服装每件的成本价为 元； (2)服装店一共购进甲乙两种服装件，若按售价全部卖出后，一共可获利元，求乙服装的数量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲服装每件的成本价为元，根据打折后甲服装的售价为元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设服装店购进件乙服装，则购进件甲服装，利用总利润每件甲服装的销售利润购进甲服装的数量每件乙服装的销售利润购进乙服装的数量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲服装每件的成本价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴甲服装每件的成本价为元． 故答案为：； （2）解：设服装店购进件乙服装，则购进件甲服装， 根据题意得：， 解得： 答：服装店购进件乙服装． 4．(24-25七上·广东清远英德·期末)七年级创新班的同学们在运动会之后，发现班级还剩下许多没有开封过的零食，秉持不浪费的原则，且尽量为班费开源创新，同学们进行了实践探究： 【提出问题】把运动会剩余的零食尽量出售． 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”“素材3”设计“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动，请你帮他们解决相关问题． 素材1 创新班同学在运动会之后，清点剩余的零食，发现各式零食受欢迎程度差异性较大，为尽量减少库存，同学们对不同种类的零食进行分类组合，包装了A款大礼包和B款大礼包． 素材2 经过大家的通力合作，共整理出A款大礼包和B款大礼包共40个，已知A款大礼包比B款大礼包总成本少150元，其中A款大礼包每个成本价20元，B款大礼包成本价30元． 素材3 在销售过程中，A款大礼包每个售价是25元，很快全部售出；B款大礼包每个按照成本价加价销售．售出一部分后，出现滞销，同学们打九折出售剩余的B款大礼包，两款大礼包售出后共获利221.4元． 【尝试解决问题】 任务1 请问A款大礼包和B款大礼包各有多少个？ 任务2 打九折后的B款大礼包价格是多少？ 任务3 有多少个B款大礼包是打折出售的？ 【答案】任务1：A款大礼包有21个，则B款大礼包有11个；任务2：打九折后的B款大礼包价格是元；任务3：有14个B款大礼包是打折出售的． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 任务1：设A款大礼包有个，则B款大礼包有个，根据“A款大礼包比B款大礼包总成本少150元”列出一元一次方程，解方程即可求解； 任务2：根据题意列式计算即可求解； 任务3：设有个B款大礼包是打折出售的，由按39元出售的B款大礼包有个，根据“两款大礼包售出后共获利221.4元” 列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1： 设A款大礼包有个，则B款大礼包有个， 由题意得， 解得， 则， 答：A款大礼包有21个，则B款大礼包有11个； 任务2：∵，B款大礼包成本价30元， ∴B款大礼包加价销售价为元， ∴打九折后的B款大礼包价格是元， 答：打九折后的B款大礼包价格是元； 任务3：由题意销售A款大礼包的利润为元， 设有个B款大礼包是打折出售的，由按39元出售的B款大礼包有个， 由题意得， 解得， 答：有14个B款大礼包是打折出售的． 5．(24-25七上·广东深圳实验学校初中部·期末)某超市新购草莓进价每千克20元．为合理定价，本周前五天试行调价，以28元/千克为基准，超出与不足分别正负表示．售价与销量记录如下表： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 每天与标准售价的差值/元 每天售出的数量/千克 10 40 20 30 65 (1)本周前五天，该超市星期___________售出的草莓单价最高，是___________元． (2)该超市这一周前五天售出此种草莓获利是多少？ (3)为了避免草莓腐烂，超市推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3千克草莓，每千克售价30元；超出3千克的部分，每千克八折优惠． 方式二：每千克售价30元，都按九折销售． 当购买多少千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样？ 【答案】(1)一，31 (2)1250元 (3)6千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的计算，正负数意义，找好标准“0”、找出列方程的等量关系是解题的关键． （1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）分别计算出每天的利润，然后相加即可； （3）设当购买x千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样首先表示出两种方式售价，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 这一周超市售出的草莓单价最高的是星期一，最高单价是：（元）． 周一单价最高，最高价为31元； 故答案为：一，31； （2）解： （元）， 所以这一周超市出售此种草莓盈利1250元； （3）解：设当购买x千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样， 由题意知，， 方式一：（元）， 方式二：（元）， ， 解得 当购买6千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样． 6．(24-25七上·广东东莞东华初级中学·期末)平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【答案】(1) (2)购进甲种商品10件 (3)小明这天在该商场购买甲商品6件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据乙种商品每件的进价为40元，售价为60元，列出算式，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【详解】（1）解：乙种商品每件的利润率为： ； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得：， 解得 ， 答：购进甲种商品10件； （3）解：根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分为两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有， 解得 ， 检验：当时，购买甲商品的原售价为元，满足， 故符合题意； 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有， 解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，小明购买了甲种商品6件． 7．(24-25七上·广东东莞南城中学·期末)某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔20支、签字笔30支作为补充奖品、其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，问小明购买补充奖品共花费多少元？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋17个； (2)元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系设未知数列方程求解是解题关键． （1）设未知数后可以根据等量关系“实际购买文具袋(比原计划多1个)的花费原计划购买文具袋的花费”列方程求解； （2）根据题意列式，再计算即可． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了个， 由题意得：． 解得：； 答：小明原计划购买文具袋17个； （2）解：小明购买补充奖品共花费为： （元）． 地 城 考点03 比赛积分 1．(24-25七上·广东东莞松山湖莞美学校·期末)某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)该参赛者答对的题数为41． (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查读表能力和一元一次方程应用或假设法应用，掌握这些方法是解题关键． （1）通过读表格参赛者A即可得出答对一题得2分，通过参赛者B得知48×2=96，而实际只得94分，错了两个题扣了2分，所以答错一题扣1分； （2）通过设未知数或假设全对再求答错个数来求出实际答对个数； （3）通过（2）中的方法对答对题目个数进行求解，得到个数不是整数从而证明不可能得到90分． 【详解】（1）解：由表格知，答对一题得分，答错一题扣分； 故答案为：2；1； （2）设该参赛者答对的题数为x． 依题意，． 解得． 所以，该参赛者答对的题数为41． （3）若某参赛者的得分为90，设其答对题数为m． 则， 解得． 因为不是整数，参赛者的得分不可能是90． 2．(24-25七上·广东广州海珠区海珠外国语实验学校·期末)某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)道题 (4)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，得分为y分，则答错道题，根据得分答对题目数答错题目，即可得出y关于x的函数关系式； （3）根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）根据得分为80分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：由题意得：答对题得：（分）， 答错题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设答对道题，得分为分，则答错道题， 由题意得：； （3）解： 由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （4）解：不可能，理由如下： 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 3．(24-25七上·广东广州海珠区南武实验学校·期末)如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 【答案】(1) (2)， ，， (3)不能 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用； （1）由队可以看出，负一场积1分，队负了8场得8分，胜了14场得分，因此计算即可； （2）如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分=胜场得分+负场得分即可； （3）根据“胜场总积分能等于负场总积分的倍”列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵队可以看出，负一场积分， ∴根据队得分可得胜一场积分； 故答案为：2； （2）解：如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分为； 故答案为：；；. （3）解：根据题意可得：， 解得：， 不是整数， 不能， 答：胜场总积分不能等于负场总积分的倍． 4．(24-25七上·广东韶关仁化县·期末)为提高学生的数学学习兴趣，某校组织了一次数学知识竞赛，共有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛同学的得分情况．根据以上信息，请你解答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：答对一题得_____分，答错一题扣______分； (2)参赛同学得76分，他答对了几题？ (3)参赛同学说他得了36分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5 ，1； (2)参赛者F答对了16道题； (3)不可能，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分−−答错题所扣分=总得分”是关键． （1）先由选手A算出答对一题所得分数，再由选手B算出答错一题扣分即可； （2）设答对了x道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可； （3）设答对了y道题，答错了道题，根据“答对的得分+答错的得分分”列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （分）， 答错一题的得分是：（分）， 答对一题的得5分；答错一题扣1分； （2）设参赛者F答对了x道题，答错了道题，由题意得： 解得： ∴参赛者F答对了16道题； （3）不可能，理由如下： 假设参赛者G得36分，设答对了y道题，答错了道题， 由题意得：， 解得：， ∵y为整数， ∴参赛者G说他的得分为36分，是不可能的． 5．(24-25七上·广东广州荔湾区·期末)某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．下表记录了5名同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 D 14 6 58 E 10 10 30 (1)答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)参赛者F得分72分，他答对了几道题？ (3)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)16 (3)不可能，理由见详解 【分析】（1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，则答错道题，根据得分为72分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：（分）， （分）， 答：每答对一道题得5分，每答错一道题扣2分， 故答案为：5；； （2）解：设答对x道题，则答错道题， 依题意，得：， 解得：． 答：参赛者F答对了16道题； （3）解：不可能，理由如下： 设答对y道题，则答错道题， 依题意，得：， 解得：， ∵不为整数， ∴参赛者G不可能得80分． 地 城 考点04 方案选择 1．(24-25七上·广东湛江雷州·期末)学校准备印刷宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收取元印刷费，不收制版费． (1)设印制宣传材料数量x份，请用含x的式子表示：甲印刷厂的收费______元；乙印刷厂的收费______元． (2)若学校准备印制2000份宣传材料，试通过计算说明选择哪家印刷厂比较合算？ (3)求印制宣传材料数量x为何值时，甲乙两个印刷厂的费用相同． 【答案】(1)，； (2)选择乙印刷厂比较合算 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，理解两个印刷厂印刷费用的组成是解题的关键． （1）甲印刷厂收费制版费印刷费；乙印刷厂收费印刷费列式即可； （2）分别把代入进行计算即可判断出选择哪家印刷厂合算； （3）印制x份宣传材料时，两家印刷厂收费相同，根据甲厂的收费乙厂的收费，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 甲印刷厂的费用：，乙印刷厂的费用：； 故答案为：，； （2）解：当时， 甲：（元）， 乙：（元）， 因为900元元，所以选择乙印刷厂比较合算； （3）解：当时， 解得， 所以当份时，甲乙相同． 2．(24-25七上·广东佛山顺德区·期末) 主题 学校购买比赛用品策略探讨 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）． 素材1 商品标价 羽毛球拍：150元/副 羽毛球：10元/个 素材2 购买方案 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务1 现已知方案一和方案二只能单独使用，若学校需要购买羽毛球拍和100个羽毛球，请为学校推荐购买方案． 任务2 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务3 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校此次需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务1：推荐方案一；任务2：学校购买个羽毛球；任务3：先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：利用总价单价数量，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论； 任务2：设学校购进了x个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务3：利用总价单价数量，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解： 任务1：方案一：（元）； 方案二：（元）， ∵， ∴推荐方案一； 任务2：设购买了x个羽毛球， 方案一费用：； 方案二费用：， 由题意得：， 解得：， ∴学校购买个羽毛球； 任务3：选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）； 先用方案一购买20副羽毛球拍，获赠60个羽毛球，再用方案二购买（个）羽毛球所需费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方案为：先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球． 3．(24-25七上·广东肇庆·期末)七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人 20 元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与 售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过 40 人， 请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过 40 人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打 8 折； 方案二：若每张门票都打 9 折，有 7 人可免票． (1)已知1班学生人数为 44 ，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若 2 班选择了方案二，购票费用为 702 元，求 2 班有多少人？ (3)当参加社会实践的总人数为 90 人，采用哪个方案更优惠？ 【答案】(1)1 班购票需要 704 元 (2)2 班有 46 人 (3)应采用方案一更优惠 【分析】本题主要考查了有理数混合运算和一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设 2 班有x 人，根据每张门票都打 9 折，有 7 人可免票列出方程，解方程即可； （3）根据方案一和方案二列式进行计算，求出结果，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：（元) ， 答：1 班购票需要 704 元； （2）解：设 2 班有x 人， 由题意得， 解得：， 答：2 班有 46 人； （3）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 答：应采用方案一更优惠． 4．(24-25七上·广东珠海金湾区·期末)购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表1是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元/()， 请回答下列问题． 表两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/() 级 级 (1)使用多少年时，级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等．(综合费用=空调的售价+电费) (2)某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． 【答案】(1)年 (2)购买、使用 级能效空调更划算 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是列一元一次方程求出使用多少年时，两款空调的综合费用相等． 设使用 年时，两款空调的综合费用相等，列方程求解即可； 分别计算出两款空调使用年的综合费用，通过比较判断哪款空调更划算． 【详解】（1）解：设使用 年时，两款空调的综合费用相等， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：使用年时，两款空调的综合费用相等； （2）解：当时， 级能效空调的综合费用：（元）， 级能效空调的综合费用：（元）， 因为，所以购买、使用 级能效空调更划算． 5．(24-25七上·广东河源源城区·期末)太原今年冬天天气寒冷，小刚家为爷爷奶奶准备了两种过冬方案．方案一：在太原过冬，需缴纳每平方米16元的取暖费；方案二：去海南过冬，需租一套每月500元的住房，租房3个月，太原的住房暖气报停，但是要缴纳每平方米6元的基础热费．设小刚家住房面积是x平方米． (1)则方案一需要费用 元；方案二需要费用 元（用含x 的代数式表示）； (2)若小刚家的住房面积是，请你帮他算算选择哪种方案费用较少?请说明理由； (3)小刚家住房面积是多少平方米时，两种方案所需费用相同? 【答案】(1)，； (2)选择方案二费用较少，理由见解析 (3)小刚家住房面积是平方米时，两种方案所需费用相同． 【分析】（）根据题意列式即可求解； （）把代入（）中的结果进行计算，比较即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出代数式和方程是解题的关键． 【详解】（1）解： 由题意得，方案一需要费用为元， 方案二需要费用为元， 故答案为：，； （2）解：选择方案二费用较少，理由如下： 当时， ，元， ∵， ∴选择方案二费用较少； （3）解：当两种方案所需费用相同时，则， 解得， 答：小刚家住房面积是平方米时，两种方案所需费用相同． 6．(24-25七上·广东深圳外国语学校·期末)项目式学习 【项目主题】帆布包和小熊外衣的制作与营销 【项目背景】文创社准备筹集资金为学校对西藏林芝市察隅县的“温暖传递，共筑梦想”的帮扶活动捐款，现购入一批长方形帆布，准备制作出帆布包和小熊进行义卖同学们针对制作和营销推广，开展了以下研究： 环节一：制作 素材1 共有900张帆布，一张长方形帆布（规格：长100厘米，宽80厘米）有两种剪裁方式．方式1：如图1，四角剪去四个相同的小正方形，则可缝制成底面周长为104厘米的长方体无盖帆布包；方式2：如图2，沿虚线剪成8个相同的长方形，每个小长方形可配给图1的帆布包做盖子． 图1 图2 素材2 1．所有帆布都要剪裁，且每张帆布只能选择一种剪裁方式；2．接缝处所需布料忽略不计；由于设计问题，图2中每个小长方形宽度需要比图1底面长方形的宽度更宽一些；3．图1和图2中的阴影部分为余料，图1中的余料用来为小熊制作外衣． 问题解决 问题1 研究帆布包形状按方式1剪下的正方形边长为__________厘米． 问题2 若全部做成有盖帆布包．设其中按方式1剪裁的帆布如何配套有张，请你求出的值． 问题3 若同时制作有盖和无盖帆布包，设有盖帆布包有个，则按方式2剪裁的帆布有__________张，按方式1剪裁的帆布有__________张，无盖包的数量有__________个（均用含的代数式表示）． 环节二：营销推广 素材11500元的部分总价超过1500元的部分 销售价格 物品 单价元/个 有盖包 50 无盖包 40 小熊 20 素材2 团购优惠方案 文创活动场面火爆，为减少排队时间、增加销量，现推出两个团购优惠方案： 物品 团购优惠1 团购优惠2 有盖包 买4个送1个小熊 总价不超过 500元 不优惠 无盖包 买5个送1个小熊 总价超过 500元但不超过 1500 元的部分 九折优惠 小熊 买10个送1个小熊 总价超过1500元的部分 八折优惠 素材3 团购优惠如何使用 （1）两个团购优惠方案只能选择一种． （2）为了节省排队时间，一个班级只能使用一次优惠． （3）“团购优惠1”示例：A班：共需要4个有盖包，5个无盖包，13个小熊． 费用为元； B班：共需要30个小熊，通过享受两次“买10送1”， 费用为元． 问题解决 任务1 小深班同学共买了10个有盖包，10个无盖包，15个小熊，若不使用团购优惠，则共应付__________元． 任务2 在任务1的条件下，若小深班选择团购优惠，请你帮忙为小深班同学们选择一个最优惠的购买方案（需通过计算说明）． 任务3 另有小圳班也参加团购，已知他们购买了12个有盖包和10个无盖包，且实际共获得的小熊的数量介于30和40个之间（包括30和40）．他们经过计算发现，两种团购优惠方案的价格相等．则小圳班实际共获得了__________个小熊． 【答案】环节一： 问题1： 问题2 ： 问题3：，， 环节二： 任务1： 任务2：团购优惠（计算见解析） 任务3：或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（方案选择），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，熟练掌握长方体表面展开图、配套问题、购买优惠问题并根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 问题1：设小正方形边长为，根据题意列方程求解即可； 问题2：按方式1剪裁的帆布有张，按方式2剪裁的帆布有张，配套得，解方程即可求出的值； 问题3：有盖帆布包有个，按方式2剪裁的帆布有张，则按方式1剪裁的帆布有张，无盖包有个； 任务1：根据题意直接列式计算即可； 任务2：团购优惠1：（元），团购优惠2：（元），进行比较即可得出最优惠的购买方案； 任务3： 当时，团购优惠1：，团购优惠2：，于是可得，解得；当时，团购优惠1：，团购优惠2：，于是可得，解得；于是得解． 【详解】解：问题1： 设小正方形边长为， 则：， 解得：， 故答案为：； 问题2： ∵按方式1剪裁的帆布有张， ∴按方式2剪裁的帆布有张， ∴， 解得：； 问题3： ∵有盖帆布包有个， ∴按方式2剪裁的帆布有张，按方式1剪裁的帆布有张， ∴无盖包的数量为：个， 故答案为：，，； 任务1： 共应付款：（元）， 故答案为：1200； 任务2： 团购优惠1：（元）， 团购优惠2：（元）， （元）， ∵， ∴应选择团购优惠； 任务3： 设共获得m个小熊（）， 当时， 团购优惠1：， 团购优惠2：， ∴， 解得：，符合题意； 当时， 团购优惠1：， 团购优惠2：， ∴， 解得：，符合题意； 综上，小圳班实际共获得了或个小熊， 故答案为：或． 7．(24-25七上·广东揭阳揭西县·期末)红领巾球馆计划购买某品牌的排球和跳绳．已知该品牌的排球每个定价120元，跳绳每根定价20元．“双11”期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一个排球送一根跳绳； 方案二：排球和跳绳都按定价的付款． 假设该球馆计划购买50个排球，跳绳根（，为整数）． (1)若按方案一购买，需付款_____元；若按方案二购买，需付款_____元．（均用含的代数式表示） (2)购买多少根跳绳时，两种方案付款相同？ 【答案】(1)， (2)购买200根跳绳时，两种方案付款相同 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的运用，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）根据两种优惠方案，列出代数式即可； （2）根据两种方案付款相同建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可知：按方案一购买，需付款元； 若按方案二购买，需付款元； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，当两种方案付款相同时， 即， 解得． 答：购买200根跳绳时，两种方案付款相同． 8．(24-25七上·广东深圳第二实验学校·期末)元旦期间，七年级全体人员准备前往某地参加社会实践活动，研究性学习小组在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜，在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 租车 价格 信息 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 A型车（辆） B型车（辆） 租金总费用（元） 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 车型 座位 信息 已知A型客车每辆24个座位，B型客车每辆54个座位．经过调查研究，确定两种租车方案，方案一：全部租用A型客车，则全体人员刚好坐满；方案二：全部租用B型客车，则可以（比全部租用A型车）少租13辆，且剩余48个座位． 根据以上信息，完成下列3个任务： 任务1 根据“租车价格信息”，计算A，B两种型号客车每辆租金分别是多少元． 任务2 请根据“车型座位信息”，填写以下表格中的空格内容． 解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型客车 24 0 全部租用B型客车 x 54 48 依上表列方程：______________________________ 解得_________． 则七年级总人数为______人． 任务3 根据以上信息，在上面两个方案中，确定费用最低的租车方案． 【答案】任务：，型客车每辆租金分别是、元 任务：见解析 任务：方案二 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（方案选择），有理数乘法的应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 任务一：设A型车每辆租金x元，则B型车每辆租金元，依题意列方程求解即可； 任务二：根据表格中的数据列方程求解即可； 任务三：分别求出方案一、方案二的租金，然后进行比较即可． 【详解】解：任务一： 设A型车每辆租金x元，则B型车每辆租金元， 依材料得： ， 解得：， 则， ，型客车每辆租金分别是400、800元； 任务二： 解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型客车 24 0 全部租用B型客车 54 48 依上表列方程： 解得． 则七年级总人数为人． 任务三： 方案一（租用A型客车25量）租金：（元）， 方案二（租用B型客车12量）租金：（元）， ， 选用方案二． 地 城 考点05 数字问题 1．(24-25七上·广东惠州惠阳区·期末)【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 【答案】(1)60，20 (2)19，24 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由“幻和”的定义可得，幻和为，由图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数，继而； （2）根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等即可求解． （3）设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，可列出关于，，（可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含的代数式表示出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由“幻和”的定义可得，幻和为， 图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数， ∴， 故答案为：60，20； （2）解：由（1）可得，，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：19，24； （3）解：设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 化简得：， ∴． 2．(24-25七上·广东汕头潮阳区·期末)如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)22； (2)不会是90，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．观察日历，得到，中的各个数字的联系是解决本题的关键． （1）观察“U型”中最小的数和最大的数相差多少即可得到最大的数是多少； （2）设中正中心的数为a，表示出其余的数，进而根据和为90列出方程求得正中心的数，结合图形看是否在日历中即可； （3）分别表示出和，根据得到a和b关系，进而根据日历中a可取的最大值得到b的最小值，即可得到的最大值． 【详解】（1）“U型”中最小的数为13，“U型”中最小的数和最大的数相差9， 最大的数为22， 故答案为：22； （2）的值不会是90，理由： 设中正中心的数为a，则其余的数为，，，， ， ， 解得：， 观察日历可得：18不会在的正中心， 的值不会是90； （3）设中最小的数为，则其余的数为：中正中心的数为， 则 ， ， ， ， ， ， ， ∵求的最大值，最大可取 24， ∴ b取最小值 8， ∴的最大值． 3．(24-25七上·广东东莞部分学校·期末)有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们也是分数． (1)请把下列有限小数写成分数的形式：________，________． (2)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．应该怎样写呢？ 我们以无限循环小数为例进行说明： 解：设，则 等式两边同时乘以10得，即： 解得，则 请模仿该例，将写成分数的形式．（要求写出解答过程） 【答案】(1)；； (2)，过程解解析 【分析】本题主要考查了小数化分数，一元一次方程的应用： （1）根据小数化分数的方法求解即可； （2）设，则，据此仿照题干建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．(23-24七上·广东佛山顺德区·期末)综合与实践 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”． 把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方． (1)观察三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为 ；若将正中间的数记为a，则9个数的和可表示为 （用含a的代数式表示）； (2)将，0，10，2，8，，6，，4分别填入图1中，构成一个三阶幻方； (3)根据图2的幻方，求出x的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程和三阶幻方的规律， （1）将三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数相加即可找到关系；并依据相等关系即可求得与中间数字之间的关系； （2）利用第一问的结论先求得中间数，再结合每行每列之和为中间数的3倍，即可逐行填写； （3）利用三阶幻方每列、每条对角线上的三个数之和相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和为15，即三个数的数量关系为相等， 若将正中间的数记为a，则中间一行的三个数和为， ∵三阶幻方每行、每列数字之和相等， ∴每行数字之和为， 那么这9个数和为； （2）解：∵ ∴由（1）知中间的数为，且每行、每列、每条对角线上的三个数之和为6，则可以为 （3）解：∵三阶幻方每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴， 去分母，， 移项合并同类项得，， 系数化为1，． 5．(23-24七上·广东茂名信宜·期末)综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 地 城 考点06 几何问题 1．(24-25七上·广东阳江阳东区·期末)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①，；②， (2)当为2时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4 (3)点在运动过程中，线段的长度不变，线段的长为5 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式表示出点，表示的数； （2）根据，两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为，结合“点为的中点，点为的中点”，可得出点表示的数为，点表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 线段的中点表示的数为． 故答案为：，： ②秒后，点表示的数， 点表示的数为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴． 故当为2时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． 2．(24-25七上·广东深圳宝安区·期末)如图1，点A、B在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为 (1)点C为数轴上一点，若，则点C表示的数是______或______； (2)若数轴上两点表示的数字分别为a和b，则它们的中点表示的数为，例如：数轴上两点分别表示、9，则它们的中点表示的数为 ①点E从点A出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时点F从点B出发，以3个单位/秒的速度向右运动．设运动时间为t，当的中点恰好为原点时，求出t的值． ②点M在数轴上，且在点B右侧，点N在数轴上，，点P为中点，点Q为中点，求线段的长度． 【答案】(1)或； (2)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求解； （2）①根据互为相反数的两个数的和0，列方程求解；②根据两点之间的距离列代数式求解． 【详解】（1）解：， 所以，， 故答案为：或； （2）解：①由题意得：， 解得：； ②设点M表示的数为m，则点P表示的数为：， 当点N在M的右边时：点Q表示的数为：， ， 当点N在M的左边时：点Q表示的数为：， ． 3．(24-25七上·广东梅州五华县·期末)如图，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足． (1)求值：______，______； (2)若数轴上点C对应的数为8，求应将点C如何移动，可以使点C到点A、点B的距离相等？ (3)动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)应将向左平移个单位长度 (3)存在，或 【分析】本题考查了非负数的性质、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质计算即可得解； （2）设移动后点表示的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，； （2）解：设移动后点表示的数为， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴应将向左平移个单位长度； （3）解：存在， 当运动时间为秒时，点表示的数为， 由题意可得：， 解得：或； 故存在某个时刻，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，的值为或． 4．(24-25七上·广东佛山顺德区·期末)我们规定，其中是不小于的最小整数，如，． (1)填空： _________，_________； (2)计算：； (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动．设点的运动时间为秒，在运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义即可求解； （2）先根据新定义求出和，再利用有理数的混合运算法则计算即可； （3）先根据新定义得到，，则运动后，P表示的数为，点表示的数为，那么得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：； （2）解：由题意得： ； （3）解：由题意得：，， 则运动后，P表示的数为，点表示的数为， 则， 解得：或． 5．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)如图，数轴上A，B，C三点分别表示数a，数b，数3，且a、b满足． (1) ， ； (2)数轴上有一动点P，表示的数为x，则当x取何值时，； (3)数轴上点M沿的方向以2个单位/秒的速度运动，同时点N沿的方向以3个单位/秒的速度运动，当点N到达点B时，M，N都停止运动．设运动的时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)，12 (2)x为9或21 (3)t的值为2或 【分析】（1）利用绝对值的非负性，可求出a，b的值； （2）首先表示出，，根据，可列出关于x的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点N到达点C及点N到达点B所需时间，当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）解：由（1）得，点A表示的数为，点B表示的数为12， ∵数轴上有一动点P，表示的数为x， ∴，， ∵， ∴ 解得：或， 答：当x为9或21时，； （3）解：（秒），（秒）． 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或． 答：t的值为2或． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，掌握相关知识是解决本题的关键． 6．(24-25七上·广东惠州惠东县·期末)如图，小哲设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，遥控小汽车（看成点）从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿数轴正方向运动，当遥控小汽车到达点时，遥控小汽车（看成点）同时从点出发，以1.5个单位长度／秒的速度沿数轴正方向运动．设遥控小汽车的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，的值为______； (2)当时，求点表示的数； (3)当遥控小汽车，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，求出的值． 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)的值为或或或或． 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本题根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒，故M点的坐标，点N的坐标为 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 7．(24-25七上·广东深圳盐田区·期末)如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ； ②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动． ①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析； (2)①；②或； (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴、利用一元一次方程解决线段动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）①根据非负数的性质即可得解；②在数轴上找到、两个点即可； （2）①先求出和，再根据“分割值”的定义得解即可；②分类讨论，根据点从到及从到两种情况，建立方程求解即可； （3）根据题意设点速度为，点速度为，运动时间为，进而用含的式子表示出，即可得到的长，进而即可得解． 【详解】（1）①，， ，， ，， 故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为， ， ， ， 故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，， ， ，， ， 解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时， 此时，， ，， ， 解得； 综上，的值为或； （3）解：， ∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为， 则， ，即， ， （点的运动路程） ， ． 故答案为：． 8．(24-25七上·广东深圳龙岗区·期末)综合与探究 【定义】已知点为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即，则称P是的“k倍点”，记作：． 【示例】如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，点P表示的数为0，点Q表示的数为．因为，则，所以P是的“2倍点”，记作：；因为，则，所以Q是的“倍点”，记作：． 【问题解决】 （1）如图2，三点在数轴上表示的数分别是，回答下面问题： ①_______，_______，______； ②若点C是数轴上一点，，求点C表示的数； ③若点D是数轴上一点，，求点D表示的数． 【拓展提升】 （2）如图3，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为25．点M从点A出发以3个单位/秒的速度向右运动，点N从点B出发以2个单位/秒的速度向左运动，点两点同时出发．当点M和点N相遇时点M立即掉头按原速沿数轴向左运动，点N运动速度与方向不变，记运动时间为t秒．在运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）①；②2；③3或11；（2）或 【分析】此题考查数轴上的动点问题和一元一次方程的应用． （1）①根据定义进行解答即可；②根据定义进行解答即可；③根据定义分两种情况进行求解即可； （2）两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：（1）①由题意可得， ，， ∵， ∴，即； 故答案为： ②∵点C在数轴上且， ∴点C表示的数为：； ③， ， ∵点A表示，点B表示5， 或6， ∴点D所表示的数为3或11； （2）由题意可得，，则， 相遇前，如图， 由题意可知，， 此时， 由得到，， 解得， 相遇时，； 相遇点表示的数为， 相遇后，如图， 记相遇后运动时间为秒， 则，， 由得到，， 解得，即， 综上可知，运动时间为或 9．(24-25七上·广东广州荔湾区·期末)在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为，0，12，28． (1)点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段上的一个动点，求的值． (2)如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为________． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 【答案】(1)22 (2)①14.4；②7或7.8或或 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数轴动点问题等内容，根据临界值分类讨论是解题的关键． （1）根据绝对值的定义可知，，所以； （2）①由题易知第一次相遇应为甲穿过了，乙从反弹后相遇，进而得出，再分别用表示出和，再建立方程求解即可； ②由题意可知分当甲粒子未到达点处时，甲乙粒子相遇前后会有距离为4的情况，当甲粒子到达点开始反弹时，则此时甲粒子开始追乙粒子，追上前后会有距离为4的情况，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，， 在线段上， ， 即的值为22； （2）解：①第一次相遇应为甲穿过了，乙从反弹后相遇，假设相遇点为， 此时，， ，， ， 解得， 此时相遇点为：， 故答案为：14.4； ②当甲粒子未到达点处时， 当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 当甲粒子从处反弹开始追乙粒子， 甲粒子运动到点时，， 解得， 甲从到点的时间为， 此时乙粒子穿过了点，速度变成个单位秒， 所以甲乙粒子距离为4时，甲粒子再次反弹过程中穿过了， 此时， ， 未追上前，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 追上后，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 综上，的值为7或7.8或或． 10．(24-25七上·广东中山·期末)【提出问题】 如图，在数轴上，点A 表示的数为，点B 表示的数为2，若在数轴上存在一点P，使得点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B 的距离之差的绝对值等于 n，则称点 P为点A， B的“n差点”． 【问题初探】 （1） 若点 P 表示的数为0， 求n的值； 【类比探究】 （2） 若点 P到点B 的距离为2，求点 P 表示的数及n的值； 【拓展延伸】 （3）若点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点 P 运动到点B时，立即以每秒2个单位长度的速度返回点A，到达点A停止运动． 设点 P运动时间为t，求当t为何值时． 【答案】（1）1；（2）当点 P 表示的数为 0 时，；当点 P 表示的数为 4 时，；（3）当 或或 或时， 【分析】（1）根据“n差点”的定义代入数据计算即可； （2）点P到点B的距离为2，可得点P表示的数是0或，再根据“n差点”的定义代入数据计算即可； （3）分点P从点A运动到点B和点P从点B运动到点A两种情况讨论，根据“n差点”的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）根据题意：， ； （2）点P到点B的距离为2， 点P表示的数是0或， 当点P表示的数是0时，， ； 当点P表示的数是时，则， ； 综上，当点 P 表示的数为 0 时，；当点 P 表示的数为 4 时，； （3）当点P从点A运动到点B时，此时，， ， ， ， ，即， 解得：或； 当点P从点B运动到点A时，此时， ， ， ， ， ，即， 解得：或； 综上所述，当 或或或时，． 【点睛】本题主要考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．理解题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 地 城 考点07 动点问题 1．(24-25七上·广东云浮新兴县·期末)如图，数轴上的点A，B，C表示的数分别为，x，5，点B在点A，C之间，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t（）秒． (1)________． (2)求x的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）根据数轴上两点之间的距离得到，，再结合建立方程求解，即可解题； （3）根据题意分情况讨论当点P在A，C两点之间时，当点P在点C右侧时，结合建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为数轴上的点A， C表示的数分别为， 5， 所以， 故答案为：8． （2）解：由题意，可知，． 因为， 所以， 解得． （3）解：当点P在A，C两点之间时． ，． 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 当点P在点C右侧时， ， ， 解得． 综上所述，当时，t的值为． 2．(24-25七上·广东梅州平远县·期末)随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”；若点到点、的距离之和为6，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）如图，若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______； 【深入理解】 （2）若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过秒电子蚂蚁是点、的“幸福中心”，求出的值； 【综合应用】 （3）在（2）的条件下，在数轴上是否存在点（点与点不重合），使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或秒；（3）存在，或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴和两点间的距离，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键；注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离，两点所对应的数的差的绝对值． （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）根据题意可得：，得到点表 示 的 数 为 ，则，，根据题意得：，即可求解； （3）根据题意，结合数轴，在（2）的条件下，根据新定义得，分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）设点表示的数为， 根据题意得：， 解得：或， 点表示的数是或， 故答案为：或； （2）根据题意可得：， 点表示的数是， 点表 示 的 数 为 ， 点表示的数是，点表示的数是， ，， 当点是点、的“幸福中心”时，， 即， 解得：或， 为或秒时，电子蚂蚁是点、的“幸福中心”； （3）由（2）可得，当时，点表示的数为， ，之间的距离为， 点是、的“幸福中心”， ， 点与点不重合， 点在点的右侧， 点表示的数是； 当，点表示的数为， ，之间的距离为， 点是、的“幸福中心”， ， 点与点不重合， 点在点的左侧， 点表示的数是； 综上所述，点表示的数为或． 3．(24-25七上·广东珠海金湾区·期末)【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点之间的距离．例如：点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点间的距离可表示为． 【问题解决】A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，点P对应的数为x． (1)_______；_______ (用含x的代数式表示) (2)代数式的最小值为_______． (3)若点P从原点出发，与点B同时向左运动，点B的速度为3个单位长度/秒，点P的速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，是否存在某个时间t，使得A，B，P三点中，其中一点是另外两点所连成线段的中点．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2)5 (3)1 秒或秒或秒 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，中点的计算，一元一次方程与几何问题，掌握动点的数量关系，两点之间距离的计算，中点的计算方法正确列式求解是解题的关键． （1）根据材料提示的两点之间距离的计算即可求解； （2）根据材料提示的两点之间距离的计算即可求解； （3）根据两点之间距离，中点的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：5，； （2）解：代数式的最小值为5． （3）解：设第秒时，点B的位置为，点P的位置为， 当时，P、B 重合；当 时，A、B 重合；当时，P、A 重合， ①当 时，存在 P 为的中点，，则， 解得； ②当时，存在 B 为 的中点，，则， 解得； ③当时，存在 A 为 的中点，，则， 解得； ④当 时，存在 P 为 的中点，，则， 解得（不在取值范围内，舍去）． 故第 1 秒或秒或秒时，A、B、P 三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点． 4．(24-25七上·广东汕头潮阳区德兴育才学校·期末)如图，在数轴上点表示数，点表示数，并且满足． (1)______，______． (2)点在点的右侧，点在点的左侧，，，求点之间的距离； (3)动点以3个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴正方向运动，同时点以2个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)； 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据两点间的距离求解即可； （2）先根据两点间的距离求出点C和点D表示的数，进而可求出点，之间的距离； （3）设它们t秒钟相遇，先列方程求出相遇的时间t，再求点表示的数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵点在点A的右侧，， ∴点表示的数是：． ∵点在点B的左侧，， ∴点D表示的数是：， ∴点，之间的距离为：． （3）解：设它们t秒钟相遇，由题意得 ， 解得， ∴点表示的数是：． 5．(24-25七上·广东广州番禺区·期末)如图，已知数轴上有A、两点，点在原点的右侧，到原点的距离为3，点A在点的左侧，．动点、分别从A、两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为2个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为秒． (1)点A、表示的数分别是多少？ (2)若动点、均向右运动． ①当时，、两点间的距离为多少个单位长度？ ②当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数； (3)若动点从点向左运动，到原点后返回到点停止，动点从A点向右运动，当点停止时，点也停止运动．请直接写出当为何值时，在、、三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍． 【答案】(1)； (2)①②当时，点追上点，此时点对应的数为； (3)当秒，秒或秒时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍 【分析】（1）根据“点在原点的右侧，到原点的距离为3”可确定点表示的数；由“点在点的左侧，”可确定点表示的数； （2）①分别计算出两点的运动路程即可求解；②当点追上点时，点对应的数与点对应的数相同，据此可求解； （3）分情况讨论、 、、即可求解． 【详解】（1）解：∵点在原点的右侧，到原点的距离为3， ∴点表示的数为：， ∵点在点的左侧，， ∴点表示的数为：， 故答案为：；， （2）解：①当时， 点向右运动了个单位长度，点向右运动了个单位长度， ∴点对应的数为：，点对应的数为：， 两点间的距离为：个单位长度， 故答案为：； ②当点追上点时，可得点对应的数与点对应的数相同， 故， 解得：， ∴点对应的数为：， （3）解：当停止时，所用时间为， 当时：， 解得：， 当时：， 解得：（舍去）， 当时：， 解得：， 当时：， 解得：， 综上所述：当，或时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍 【点睛】本题考查数轴上两点的距离、数轴上及有理数在数轴上的表示、一元一次方程-行程问题的理解与实际运用能力，熟练掌握相关知识点， 1．(24-25七上·广东广州南沙区·期末)某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下：地 城 考点08 电费和水费问题 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） (1)第二档电价比第一档多 元； (2)已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． (3)已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 【答案】(1)0.05 (2)李乐家需要缴纳的电费为179元 (3)陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度 【分析】本题考查有理数运算的运用，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于理解阶梯电量电价夏季收费标准，根据标准列式计算． （1）直接利用第二档电价减去第一档电价，即可解题； （2）根据表格进行计算，即可解题； （3）先计算出第一档电费和第二档电费，确定档次，再设该月用电量为x度，列出方程计算． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：（元）， 答：李乐家需要缴纳的电费为179元； （3）解：（元）， （元）， ， 陈阳家该月份用电收费属于第二档， 设该月用电量为x度， ， ， 答：陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度． 2．(24-25七上·广东珠海斗门区·期末)某市对居民生活用电实行阶梯计价，具体收费标准如下表： 档数 夏季标准（月） 非夏季标准（月、月） 电价（元） 第一档 第二档 第三档 及以上 及以上 (1)小勇家3月末和4月末电表表盘示数如图所示，其中3月末电表表盘示数为，小勇家4月份应缴纳电费多少元？ (2)小勇家7月份的电费为380元，请问小勇家七月份的用电量是多少？ (3)小勇家10月份和11月份共用电，其中10月份的用电量低于11月份的用电量，共缴电费245元，则小勇家10月份和11月份的用电量分别为多少？ 【答案】(1)148元 (2)小勇家7月份用电量为 (3)小勇家10月份用电量，11月份用电量为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，理解题意，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）先求出小勇家4月份用电量，然后根据表格提供的信息，列出算式进行计算即可； （2）设小勇家7月份用电量为，根据表格中信息，结合小勇家7月份的电费为380元，列出方程，解方程即可； （3）设小勇家10月份用电量，则11月份用电量为，根据共缴电费245元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小勇家4月份用电量为： ， 小勇家4月份应缴纳电费： （元）； （2）解：（元）， （元）， ∵， ∴小勇家7月份用电量在第二档， 设小勇家7月份用电量为，根据题意得： ， 解得：， 答：小勇家7月份用电量为． （3）解：∵小勇家10月份和11月份共用电，其中10月份的用电量低于11月份的用电量， ∴小勇家10月份用电量少于，11月份用电量超过， 设小勇家10月份用电量，则11月份用电量为，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：小勇家10月份用电量，11月份用电量为． 3．(24-25七上·广东广州海珠区·期末)广州市居民生活用电阶梯收费标准如表： 档级 月用电量 电价 第1档 不超过260度 a元/度 第2档 超过260度但不超过600度的部分 元/度 第3档 超过600度的部分 元/度 根据收费标准，解答下列问题： (1)小军家6月份用电量150度，支付电费元，则______； (2)小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费______元用含x的代数式表示； (3)8月出现了高温天气，小军家缴电费460元，求这个月的用电量． 【答案】(1) (2) (3)700度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“小军家6月份用电量150度，支付电费元”，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值； 利用这个月应缴电费超过260度的部分，即可用含x的代数式表示出这个月应缴电费； 设这个月的用电量为y度，根据这个月小军家缴电费460元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： 故答案为：； （2）根据题意得：这个月应缴电费元． 故答案为：； （3）设这个月的用电量为y度， 元，， ， 根据题意得：， 解得： 答：这个月的用电量为700度． 4．(24-25七上·广东深圳坪山区·期末) 新能源汽车充电花费问题 素材一 坪坪汽车充电站充电实行高峰时段、平时时段以及低谷时段三阶电价，已知为低谷时段，低谷时段电价为元/度，充电站一天电价变化（与上一时段相比）如下表所示： 时段 低谷时段 平时时段 高峰时段 平时时段 电价变化 （元度） (起始电价) 坪坪汽车充电站为吸引更多顾客充电，推行如下优惠政策： 素材二 年累计充电量 优惠方案 度及以下 不优惠 超过度但不超过度 打九五折 超过度 打九折                 　　　　问题解决 任务一 坪坪汽车充电站高峰时段充电电价为_____元度． 任务二 已知小马月之前未在坪坪充电站充过电，月总共在坪坪充电站充电花费元，其中平时时股充电电量占月总充电量的，低谷时段充电电量占月总充电量的，请问小马月总共充了多少度电? 任务三 下午时，小坪和小山同时在坪坪汽车充电站充电，且都在晚上时前完成充电，小坪充了度电，小山充了度电，小坪的充电花费却超过了小山，请通过计算分析造成这种情况的原因． 【答案】[任务一] ；[任务二] 小马月总共充了度电；[任务三]理由见解析 【分析】[任务一]：根据题意列出算式即可求解； [任务二]：设小马月总共充了度电，根据题意得，然后解方程即可； [任务三]：分别求出小坪和小山年累计充电量充电花费，然后比较即可求解； 本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：[任务一]：低谷时段电价为元/度， ∴坪坪汽车充电站高峰时段充电电价为（元/度）， 故答案为：； [任务二] ：设小马月总共充了度电， 根据题意得：， 解得：， 答：小马月总共充了度电； [任务三]根据素材二：小坪若是年累计充电量度及以下用户：充电花费（元）； 若是超过度但不超过度用户：充电花费（元）； 若是超过度用户：充电花费（元）； 小山若是年累计充电量度及以下用户：充电花费（元）； 若是超过度但不超过度用户：充电花费（元）； 若是超过度用户：充电花费（元）； ∵， ∴小坪是年累计充电量度及以下用户，小山是超过度用户， 从而小坪的充电花费会超过小山． 5．(24-25七上·广东汕头潮南区司马公办学校·期末)小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同的冰箱：型常规冰箱每台售价2160元，日耗电量为1千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为0.5千瓦时，现在型冰箱可打9折出售．每年按360天计算，电价为每千瓦时0.6元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同（总费用买冰箱的费用总用电费用）？ 【答案】(1)型冰箱用电费用为元，型冰箱用电费用为元 (2)使用4年时，两种冰箱用去的总费用相同 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）用两种冰箱的日耗电量天电价，即可求解； （2）设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：型冰箱：元， 型冰箱：元； （2）解：设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：使用4年时，两种冰箱用去的总费用相同． 地 城 考点09 行程问题 1．(24-25七上·广东广州增城区·期末)环形跑道一圈长，小明同学在跑道上练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学在跑道上练习跑步，起初平均每分钟跑． (1)若两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？ (2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑1分钟后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？ 【答案】(1)经过分钟两人首次相遇； (2)经过分钟两人首次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设经过分钟两人首次相遇，利用路程速度时间，结合两人路程之和为，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设经过分钟两人首次相遇，利用路程速度时间，结合两人路程之差为，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设经过分钟两人首次相遇， 根据题意得：， 解得：． 答：经过分钟两人首次相遇； （2）解：设经过分钟两人首次相遇， 根据题意得：， 解得：． 答：经过分钟两人首次相遇． 2．(24-25七上·广东佛山南海区·期末)一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将点餐送到目的地，若骑手每分钟骑行，则早到；若骑手每分钟骑行，则要迟到．试求出骑手将点餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程． 小明和小东在解答时先设出未知数，然后分别列出方程如下： 小明列出的方程：，小东列出的方程：； (1)小明所列方程中表示______；小东所列方程中表示______． (2)请选小明或小东的方法写出完整的解答过程． 【答案】(1)骑手所行驶的总路程，骑手将点餐送到目的地的规定时间； (2)骑手将点餐送到目的地的规定时间为分钟，骑手所行驶的总路程为． 【分析】（）小明是根据规定时间相等列式，故所设表示骑手所行驶的总路程；小东根据骑手所行驶的总路程相同列式，故所设表示骑手将点餐送到目的地的规定时间， （）选取小明或小东的方法，解方程即可； 本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意并找到其等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：根据所列方程得，小明所列方程中表示骑手所行驶的总路程，小东所列方程中表示骑手将点餐送到目的地的规定时间; 故答案为：骑手所行驶的总路程，骑手将点餐送到目的地的规定时间； （2）解：选小明的方法：选设骑手所行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， ， 答：骑手将点餐送到目的地的规定时间为分钟，骑手所行驶的总路程为； 选小东的方法：设骑手将点餐送到目的地的规定时间为， 根据题意得：， 解得：， ， 答：骑手将点餐送到目的地的规定时间为分钟，骑手所行驶的总路程为． 3．(24-25七上·广东东莞东莞外国语学校·期末)今年11月东莞马拉松成功举办，甲乙丙三人想沿着市民服务中心到松山湖的这条马拉松路线跑步，用自己的脚步来丈量东莞这座城市．甲从路线一端（记为A）出发向距离30千米的另一端（记为B）跑步，甲出发40分钟时乙从路线B端出发，两人相向而行，已知甲的平均速度为4千米/时，乙的平均速度为6千米/时．设甲跑步的时间为x小时，请解决下列问题： (1)在甲从公路A端到B端跑步过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的距离为________千米，乙离开B端的距离为________千米； (2)当甲、乙二人相遇时，求x的值； (3)乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，丙的平均速度为8千米/时．甲到达B端后停止跑步，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间恰好相距2千米时，求x的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据甲的速度乘以时间得出甲与端之间的距离，用乙的速度乘以得出乙与端之间的距离； （2）根据题意，甲、乙的路程和为千米，据此建立方程即可求解； （3）先根据题意得到甲出发1小时后丙出发，则丙离开端的路程为千米，再分甲、丙相遇前和甲、丙相遇后，两种情况分别建立方程，解方程即可求解． 本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解： 依题意，甲与端之间的距离为千米， ∵甲出发40分钟时乙从赛道端出发， ∴乙与端之间的距离为千米． 故答案为：；； （2）解：根据题意得，， 解得：， 故答案为：． （3）解：∵甲出发40分钟后，乙从赛道B端出发，乙出发20分钟后，丙从B端出发向A端骑行， ∴甲出发（分钟），即甲出发1小时后丙出发， ∴丙离开端的路程为千米． 当甲、丙相遇前，两人相距2千米时，则， 解得； 当甲、丙相遇后，两人相距2千米时，， 解得． 综上所述，当甲与丙之间的距离恰好为2千米时，的值是或。 4．(24-25七上·广东东莞部分学校·期末)据国际田联《田径场地设施标准手册》，标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈（最内圈）的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算各圈的长：（取，结果用四舍五入法保留整数） 第一圈长：； 第二圈长：； 第三圈长：…… (1)小王计算的第八圈的长约是________米． (2)现学校要进行400米比赛，如果终点相同，第一跑道和第三跑道的起跑线应相差________米． (3)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车（以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇） 【答案】(1) (2) (3)小王的平均速度为，邓教练的平均速度为 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用和有理数的混合运算，理解题干给定的计算公式，正确的列出方程是解题的关键． （1）利用题干给定的计算公式，求出第八圈的长即可； （2）第三圈的圈长减去第一圈的圈长求出第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米； （3）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为，根据经过20秒两人在直道第一次相遇，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 第一圈长：； 第二圈长：； 第三圈长：； …… ∴第八圈的长是． （2）解：∵第一跑道圈长和第三跑道圈长， ∴第一跑道和第三跑道的起跑线应相差． （3）解：设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为， 则， 解得， ∴， ∴小王的平均速度为，邓教练的平均速度为． 5．(24-25七上·广东深圳龙华区·期末)慢跑是提高心肺功能的一种锻炼方式．小明和爸爸从同一地点同时出发，在同一道路上沿同一方向慢跑，速度分别为90米/分钟和150米/分钟．爸爸跑了4800米后（小明仍按原速向前跑），然后掉头以原来的速度继续向前跑，直到与小明会合．会合时小明跑了多长时间？数学小组用两种不同的方法画出了线段图，直观地表示问题中各个量之间的关系 方法1 方法2 未知量 设爸爸掉头后跑了x分钟 设会合时小明跑了y分钟 线段图                (1)你会选择方法 （填“1”或“2”）解决问题，其线段图中的“”表示为 （用代数式表示）； (2)请你根据选择的方法继续完成解答． 【答案】(1)2；（或1；） (2)见解析 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）选择方法1或方法2均可，根据路程速度时间可将“”表示表示出来； （2）根据线段图列方程并求解即可． 【详解】（1）解：我会选择方法1解决问题，其线段图中的“”表示为． 我会选择方法2解决问题，其线段图中的“”表示为． （2）解：按照方法1：根据题意得： ， 解得：， （分钟）， 答：会合时小明跑了40分钟． 按照方法2：根据题意，得： ， 解得． 答：会合时小明跑了40分钟． 试卷第1页，共3页 1 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $