专题06 等腰三角形压轴题（期末真题汇编，天津专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题06 等腰三角形压轴题 1．(24-25八上·天津和平区·期末)如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点，平分交于点，交于点，连接交于点，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中，正确的结论的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，等边三角形的判定，①延长交于点N，根据三角形的高，角平分线的定义及三角形的内角和定理可求出，由此可对结论①进行判断；②证明得，则是等腰三角形，然而根据已知条件无法判定或，因此不一定是等边三角形，由此可对结论②进行判断；③证明得，进而得，再证明得，进而得，由此可对结论③进行判断；④由得，证明得，进而得，则，然后证明，得到，由此判断结论⑤，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①延长交于点N，如图所示： ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵是的高，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 根据已知条件无法判定或， ∴不一定是等边三角形， 故结论②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴结论④不正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①③⑤，共3个． 故选：B． 2．(24-25八上·天津滨海新区·期末)已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H，利用等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质等知识解答即可． 【详解】解：过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H， ∵，，于点D， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴， ∵ ∴, ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故②正确； ∵ ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵,， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴, 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 二、填空题 3．(23-24八上·天津河西区·期末)如图，在中，，．点在边上，且，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点． （1）线段是否存在最小值？ ．（用“是”或“否”填空） （2）如果线段存在最小值，请直接写出的长，如果不存在，请说明理由 ． 【答案】 是 【分析】本题考查了对称的性质，含的直角三角形，垂线段最短．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）如图，作关于直线的对称点，过作于，交于，连接，由对称的性质，垂线段最短可知最小，即存在最小值； （2）由（1）可得时，存在最小值，，，，进而可求的值． 【详解】解：（1）如图，作关于直线的对称点，过作于，交于，连接 由对称的性质可知， ∵ ∴的长度最小 ∴最小，即存在最小值 故答案为：是． （2）由（1）可得时，存在最小值 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的长为． 故答案为： 4．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作,垂足分别为M、N，先证明，得到，，再证明，，设，得到，解得，即可得到，， ，即可得到的周长为30． 【详解】解：如图，作,垂足分别为M、N．    ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 5．(23-24八上·天津河东区·期末)已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为 ． 【答案】/73度 【分析】根据等边三角形的性质，先证明，得到，得到．结合，得到，，，继而得到，根据三角形外角性质计算即可． 【详解】∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ， ∵，的角平分线，交于点N． ∴， ∴， 过点N分别作，垂足分别为F，P，Q， ∵，的角平分线，交于点N． ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角是解题的关键． 6．(24-25八上·天津静海区·期末)如图，在中，，，是的角平分线，与交于点，则下面结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②； ③若是的中点，则是等边三角形； ④． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得出，即可判断①；在上截取，连接，证明和，得到边之间的关系，即可判断②；延长到，使，连接，证明得到，即可判断③；作于点，于点，于点，则，结合三角形的面积推出，作于点，于点，则，最后由即可判断④，从而得到答案． 【详解】解：， ， ，是的角平分线， ，， ， ，故①正确，符合题意； 如图1，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故②错误，不符合题意； 如图1，延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形，故③正确，符合题意； 如图2，作于点，于点，于点，则， ，， ，， ，， ， 如图3，作于点，于点，则， ，  ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，正确作出所需要的辅助线是解此题的关键． 7．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积= ； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了网格中求三角形的面积，全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定； （1）在网格中，用正方形的面积减去三个三角形的面积； （2）作的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示： 的面积； （2）如图所示：作的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； 根据网格可得的网格对角线相等，即， ∴， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴，即． 三、解答题 8．(24-25八上·天津经济技术开发区国际学校·期末)已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，由，再根据角的和差即可解答； （2）如图：过E作交于点G，由（1）可得，然后根据两直线平行内错角相等得到，再根据，利用三角形的内角和定理得到，由等边三角形的性质也得到，从而得到两角相等，再由，利用“”证得，根据全等三角形的对应边相等得到，再由为等边三角形得到，等量代换可得，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据“”证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图：过E作交于点G， 由（1）可得，即， ∴， 又∵， ∴， 又∵为等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．(24-25八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，，点，点，点A在x轴上．若x轴正半轴上有一点连接，以为一边在的右侧作，使，且，连接； (1)填空：点A的坐标为； (2)当时． ①证明：； ②如图2，点D在线段延长线上时，请直接用含有m的代数式表示的长，； (3)当时，直接写出四边形周长的最小值，及此时m的值． 【答案】(1)（6，0）； (2)①见解析；②m (3)四边形的周长的最小值14，m的值是3 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂线段最短等知识，证明是解本题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可解答； （2）①根据证明，即可解答；②如图3，同理可得，再证明即可解答； （3）如图4，同理得：，则四边形的周长，根据垂线段最短可得结论． 【详解】（1） 如图1，过点B作于E， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2） ①如图2，点 ， ， ， ， ， ， ②如图3，同理得： ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：m； （3） 如图4，同理得：， ∴， ∴， ∵四边形的周长， ∴当时，四边形的周长最小，此时， ∴四边形的周长的最小值， 此时的值是3． 10．(24-25八上·天津红桥区·期末)已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． (1)如图①，当D为边的中点时，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)F为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点G，求线段的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质和三线合一的性质即可得结论； （2）根据“”证明，得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论； （3）根据可知：点在过点与平行的射线上运动，如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，根据全等三角形的性质和判定即可解答． 【详解】（1）证明：是等边三角形，为边的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ； （2）证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：为边的中点，， ， 由（2）知：， 点在过点与平行的射线上运动， ， ， 如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 垂直平分， ，， ，， ，， ， ． 即线段的长为3． 11．(24-25八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得； （2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证； ②证明得，得到，，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵点与点关于轴对称，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）①证明：过点作于点， 又∵， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； ②解：由①知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 12．(23-24八上·天津滨海新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，为原点，点轴于点，点在线段上运动（点不与点重合）． （Ⅰ）如图①，当，且，点的坐标为时． ①求证：； ②求点的坐标； （Ⅱ）如图②，当是的中点时，过点作于点与交于点．求证：． 【答案】（Ⅰ）①见详解；②点的坐标为；（Ⅱ）见详解 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定，解决本题的关键是得到． （Ⅰ）①根据直角三角形两个锐角互余即可得； ②过点作轴于点，证明，得，进而根据线段的和差即可求点的坐标； （Ⅱ）如图②，延长交轴于点，证明，得，然后证明，得，再根据对顶角相等可得． 【详解】（Ⅰ）①证明：∵， ②解：如图①，过点作轴于点， ∴点的坐标为； （Ⅱ）证明：如图②，延长交轴于点， 是中点， 是等腰直角三角形， 13．(24-25八上·天津第九十中学·期末)如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，过点作，点与点在直线的两侧，，延长至点，使，连接． (1)在点，，，中，和点所连线段与相等的是点______； (2)求的度数； (3)连接并延长，交于点，则线段与之间的数量关系是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，即可得到垂直平分，即可得到答案； （2）连接，根据（1）可得，结合，可得，设，根据三角形内角和定理及等边对等角关系用x表示出，，根据即可得到答案； （3）利用证明，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：连接， 由（1）得， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接,并延长交于， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直平分线性质，等腰直角三角形性质及全等三角形判定与性质，设，运用代数方法解决几何问题是解题的关键． 14．(24-25八上·天津第二耀华中学·期末)在中，，在的外部作等边，E 为 的中点，连接 并延长交 于点 F，连接． (1)如图 1，若，则求和的度数； (2)如图 2，的平分线交于点 M，交于点 N，连接 ，若 ，． （Ⅰ）用 α 表示； （Ⅱ）求证：①；②求证： 【答案】(1)，； (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）①证明见解析；②证明见解析． 【分析】（1）由等边三角形的性质分别求出，，，根据计算即可； （2）（Ⅰ）求出，得出． （Ⅱ）①连接，证明，由全等三角形的性质得出，求出，则可得出答案； ②推出，，，在中，根据，构建方程求出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）解：在等边中， ，． ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 而， ∵， ∴， ∴； （2）（Ⅰ）∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴． （Ⅱ）①连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵E为等边中的中点， ∴，平分， ∴， ∴． ②证明：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵． ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．(2022·河北省保定市·三模)如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行线的性质，证明，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接，证明是线段的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，最后根据角平分线和平行证明是等腰三角形即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 16．(2022·山东省济南市·一模)在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系．理由如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形． 17．如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)在、运动的过程中，不变，； (2)当为或 时，为直角三角形； (3)在、运动的过程中，的大小不变，． 【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得； （2）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值； （3）同（1）可证得，再利用三角形外角的性质可求得． 【详解】（1）为等边三角形， ，， 点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， ， 在和中 ， ， ， 在、运动的过程中，不变，； （2）运动时间为，则， ， 当时， ， ， ，解得， 当时， ， ， ，解得， 当为或 时，为直角三角形； （3）在等边三角形中，，， ，且， 在和中 ， ， 又， ， 在、运动的过程中，的大小不变，． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在（1）、（3）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中用直角三角形的性质得到关于的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 18．(24-25八上·天津河北区·期末)如如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或或或 (3)3 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，最短路径问题． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案； （3）最短路径问题，作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； （2）解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或； （3）解：如图2， ， 作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小， 延长交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 19．(24-25八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，，，．动点，连接，过点作，垂足为点，过点作轴，直线与直线相交于点，， (1)如图1，若，求证：，且； (2)连接，直线与直线相交于点，点，直线与直线相交于点． ①如图2，若，求点的横坐标； ②若，请用含的式子表示的大小（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)①点的横坐标为；②． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质求解即可； （2）①作于点，求得，，利用等腰三角形的性质求得，据此求解即可到得点的横坐标为； ②先判断点在延长线上，证明，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，且； （2）解：①∵， ∴点，， 作于点， ， ∴点，， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为； ②当时， ∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴点在延长线上， ∴， ∴， 由①得， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了图形与坐标，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质． 20．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，在中，，． (1)平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） (2)点为的中点，交于点，求的度数； (3)点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长、交于点，利用证，得到，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点作，使，证明，求得，当点、、共线时，最短，即取最小值，证明是等腰三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长、交于点，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，使， ∵，，， ∴， ∴， 当点、、共线时，最短，即取最小值， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．(24-25八上·天津第一中学·期末)已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． (1)________，为________三角形； (2)如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； (3)如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 【答案】(1)；等边 (2)见解析 (3)，理由 【分析】（1）根据与x轴正半轴夹角为，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形； （2）在上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系可得，由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可证明； （3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用全等三角形的判定与性质及各角之间的等量关系可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． 【详解】（1）解：∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：；等边； （2）解：如图所示：在上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）解：，理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，角的直角三角形的性质等，综合运用各个性质定理是解题关键． 22．(23-24八上·天津建华中学·期末)①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    【答案】①见解析；②见解析 【分析】①由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以超市在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以超市在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案． ②在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】解：①分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建超市的位置． ②如图，在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 理由：如图，取的中点，连接，作格点，交、于、， ， 根据勾股定理求得， ∵， 的周长,； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（）， ∴， ∴的周长的一半，， ∴直线恰好将的周长和面积都平分 【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，尺规作垂线，尺规作角平分线，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握尺规作图以及依据直线恰好将的周长和面积都平分，构造全等三角形求解． 23．(23-24八上·天津南开区·期末)如图1，等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，．点在轴上，连接，以为腰作等腰直角，其中．若点的横坐标为，且．    (1)用含有的式子表示线段的长(直接写出结果)； (2)如图2，若，连接，求点的坐标以及的度数； (3)如图3，延长交轴于点，连接，过点作，，轴于点．猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)， (3)，证明见解析 【分析】（1）由点的坐标结合为等腰直角三角形得出，由点的横坐标为得出，即可得到答案； （2）由得出，作轴于，则，证明得到，，从而得出，即可得出点的坐标和为等腰直角三角形，即可得解； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，点，， ， 点的横坐标为， ， ； （2）解：， ， 为等腰直角三角形， ，， 如图，作轴于，则，   ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，在上截取，连接，   轴，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在和， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、列代数式、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键． 24．(23-24八上·天津滨海新区第五共同体·期末)如图，点P，点Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是．    (1)如图①，连接，交于点M． ①求证：； ②在点P，Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的大小． (2)设点P的运动时间为，当是直角三角形时，求t的值； (3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交于点M，请直接写出的大小，不需要说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不变，； (2)或； (3)． 【分析】（1）①利用“”可直接证明； （2）由得，利用外角的性质并进行等量代换可得； （3）分，两种情况，利用直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半列式求解； （4）先利用“”证明，得出，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】（1）①∵是等边三角形， ∴，， ∵点A、B同时出发，且它们的速度都为， ∴， ∴． ②不变，．理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． （2）设运动时间为t秒，则， ①当时， ∵， ∴． ∴，即， 解得； ②当时， ∵， ∴． ∴，即， 解得； ∴当为直角三角形时，或． （3）∵在等边中，，， ∴， ∵点A、B同时出发，且它们的速度都为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含角直角三角形的性质等知识点，第2问需要分类讨论，有一定难度，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 25．(24-25八上·天津南开区第九中学·期末)如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)不发生改变，等于4 【分析】此题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； （2）过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， （3）的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 58 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等腰三角形压轴题 1．(24-25八上·天津和平区·期末)如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点，平分交于点，交于点，连接交于点，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中，正确的结论的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．(24-25八上·天津滨海新区·期末)已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 3．(23-24八上·天津河西区·期末)如图，在中，，．点在边上，且，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点． （1）线段是否存在最小值？ ．（用“是”或“否”填空） （2）如果线段存在最小值，请直接写出的长，如果不存在，请说明理由 ． 4．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    5．(23-24八上·天津河东区·期末)已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为 ． 6．(24-25八上·天津静海区·期末)如图，在中，，，是的角平分线，与交于点，则下面结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②； ③若是的中点，则是等边三角形； ④． 7．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积= ； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题 8．(24-25八上·天津经济技术开发区国际学校·期末)已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 9．(24-25八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，，点，点，点A在x轴上．若x轴正半轴上有一点连接，以为一边在的右侧作，使，且，连接； (1)填空：点A的坐标为； (2)当时． ①证明：； ②如图2，点D在线段延长线上时，请直接用含有m的代数式表示的长，； (3)当时，直接写出四边形周长的最小值，及此时m的值． 10．(24-25八上·天津红桥区·期末)已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． (1)如图①，当D为边的中点时，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)F为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点G，求线段的长（直接写出结果即可）． 11．(24-25八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 12．(23-24八上·天津滨海新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，为原点，点轴于点，点在线段上运动（点不与点重合）． （Ⅰ）如图①，当，且，点的坐标为时． ①求证：； ②求点的坐标； （Ⅱ）如图②，当是的中点时，过点作于点与交于点．求证：． 13．(24-25八上·天津第九十中学·期末)如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，过点作，点与点在直线的两侧，，延长至点，使，连接． (1)在点，，，中，和点所连线段与相等的是点______； (2)求的度数； (3)连接并延长，交于点，则线段与之间的数量关系是______． 14．(24-25八上·天津第二耀华中学·期末)在中，，在的外部作等边，E 为 的中点，连接 并延长交 于点 F，连接． (1)如图 1，若，则求和的度数； (2)如图 2，的平分线交于点 M，交于点 N，连接 ，若 ，． （Ⅰ）用 α 表示； （Ⅱ）求证：①；②求证： 15．(2022·河北省保定市·三模)如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 16．(2022·山东省济南市·一模)在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 17．如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数． 18．(24-25八上·天津河北区·期末)如如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 19．(24-25八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，，，．动点，连接，过点作，垂足为点，过点作轴，直线与直线相交于点，， (1)如图1，若，求证：，且； (2)连接，直线与直线相交于点，点，直线与直线相交于点． ①如图2，若，求点的横坐标； ②若，请用含的式子表示的大小（直接写出结果即可）． 20．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，在中，，． (1)平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） (2)点为的中点，交于点，求的度数； (3)点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 21．(24-25八上·天津第一中学·期末)已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． (1)________，为________三角形； (2)如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； (3)如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 22．(23-24八上·天津建华中学·期末)①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    23．(23-24八上·天津南开区·期末)如图1，等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，．点在轴上，连接，以为腰作等腰直角，其中．若点的横坐标为，且．    (1)用含有的式子表示线段的长(直接写出结果)； (2)如图2，若，连接，求点的坐标以及的度数； (3)如图3，延长交轴于点，连接，过点作，，轴于点．猜想线段的数量关系，并证明． 24．(23-24八上·天津滨海新区第五共同体·期末)如图，点P，点Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是．    (1)如图①，连接，交于点M． ①求证：； ②在点P，Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的大小． (2)设点P的运动时间为，当是直角三角形时，求t的值； (3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交于点M，请直接写出的大小，不需要说明理由． 25．(24-25八上·天津南开区第九中学·期末)如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 2 / 58 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $