专题07 实际问题与一元一次方程（期末真题汇编55题，天津专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题07 实际问题与一元一次方程 7大高频考点概览 考点01方程 考点02 合并同类项和移项 考点03 去括号和去分母 考点04 销售盈亏 考点05 方案选择 考点06 几何问题 考点07 其他问题 地 城 考点01 方程 一、单选题 1．(24-25七上·天津育贤中学·期末)下列变形符合等式的性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是熟练掌握等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立．根据等式的性质对各选项进行进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，若，则，原变形正确，故此选项符合题意； B、根据等式的基本性质，必须规定，原变形错误，故此选项不符合题意； C、若，则，原变形错误，故此选项不符合题意； D、若，等号两边同时乘以，则，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．(24-25七上·天津滨海新区·期末)根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，故选项A中变形错误，不符合题意； B、如果，，那么，故选项B中变形错误，不符合题意； C、如果，那么，故选项C中变形正确，符合题意； D、如果，那么，故选项D中变形不正确，不符合题意， 故选：C． 3．(24-25七上·天津西青区·期末)下列各式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是熟练掌握等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立．根据等式的性质对各选项进行进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，若，则，原变形正确，故此选项符合题意； B、根据等式的基本性质，必须规定，原变形错误，故此选项不符合题意； C、若，等号两边同时加，则，原变形错误，故此选项不符合题意； D、若，等号两边同时乘以10，则，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．(24-25七上·天津南开区·期末)下列等式的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握等式的左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左右两边同时乘以一个数，等式仍然成立；等式的左右两边同时除以一个不为零的数，等式仍然成立．根据等式性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；     B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意； C. 如果，且，那么，故该选项不正确，不符合题意；     D. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．(23-24七上·天津滨海新区·期末)已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次程的定义，由一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，从而可得答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义得：，且， 解得：， 故答案为：B． 6．(23-24七上·天津滨海新区·期末)根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，关键是熟知等式的性质：基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式；基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数), 所得结果仍是等式．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，变形正确，符合题意； B、如果，那么，变形错误，不符合题意； C、如果，那么，变形错误，不符合题意； D、如果，那么，变形错误，不符合题意， 故选：A． 7．(23-24七上·天津西青区·期末)下列各式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若则． D．若，则． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A．若，则，故A错误； B．若，则或，故B错误； C．若则，故C错误； D．若，则，故D正确． 故选：D． 8．(23-24七上·天津河北区·期末)是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】把解代入方程，求得m值即可．本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】∵是关于的方程的解， ∴, 解得， 故选A． 二、填空题 1．(23-24七上·天津津南区·期末)若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且，解得， 故答案为：3． 地 城 考点02 合并同类项和移项 一、单选题 1．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)现定义对于一个数a， 我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如，．下列说法， 其中正确结论有（   ）个 ①若，则； ②当时，，则值为4 ③方程的解为或 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解答本题的关键．直接根据新定义可判断①；由新定义得出，然后代入所给代数式计算可判断②；分类讨论可判断③． 【详解】解：①当时，，故不正确； ②当时，， ∴， ∴， ∴，故正确； ③当，即时，， 解得； 当，即时，， ∴方程的解为或，故正确； 故选C． 2．(24-25七上·天津南开区·期末)下列方程变形正确的是（   ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得： D．方程，去分母，得 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握等式基本性质是解题的关键． 根据解方程的步骤和方法逐项判断即可． 【详解】解：A．系数化为1，得，原变形错误，故该选项不符合题意； B．，移项，得，原变形正确，故该选项符合题意； C．，去括号，得：，原变形错误，故该选项不符合题意； D．，去分母，得，原变形错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．(24-25七上·天津滨海新区·期末)已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．16 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于的方程是解此题的关键． 把代入方程得出，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：C． 4．(23-24七上·天津红桥区·期末)下列方程变形正确的是（  ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，根据等式的性质，逐一进行变形，判断即可． 【详解】解：A、方程，移项，得，选项错误； B、方程，去括号，得，选项错误； C、方程，未知数系数化为1，得，选项错误； D、方程化成，选项正确； 故选：D． 二、填空题 1．(24-25七上·天津津南区·期末)已知关于、的多项式是三次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项数或次数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握多项式的次数确定方法是解题的关键． 利用多项式的次数确定方法即可得出一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：是三次三项式， ， 解得：， 故答案为：． 2．(24-25七上·天津南开区·期末)若关于x的方程是一元一次方程，则n的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程，据此进一步求解即可． 【详解】解：由题意得，且， ∴解得：， 故答案为：． 3．(23-24七上·天津红桥区·期末)若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：0． 4．(23-24七上·天津南开区·期末)若关于的方程是一元一次方程，则此方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解一元一次方程，一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的概念，求出k的值，代入解一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且， 原方程为，即， ， 故答案为：． 5．(23-24七上·天津河东区·期末)方程 是关于的一元一次方程， 则 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程，进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 去括号和去分母 一、单选题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)关于的方程的解是，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 根据方程解的定义，把解代入方程后求出，然后代入求解即可． 【详解】∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 2．(23-24七上·天津部分区·期末)如果是关于x的方程的解，那么a的值为（    ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把代入，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故选B． 3．(24-25七上·天津南开中学·期末)方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 二、填空题 1．(24-25七上·天津武清区·期末)关于的方程解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先根据等式的性质求出方程的解是，根据方程的解为整数和k为整数求出k，再求出和即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵关于x的方程的解为整数，k为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴． 故答案为：． 2．(23-24七上·天津滨海新区·期末)将的分母化为整数 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程、分数的性质，根据分数的分子、分母同乘以不为零的数，分数值不变求解即可． 【详解】解：将的分母化为整数，为， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25七上·天津东丽区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算． 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 2．(22-23七上·天津红桥区·期末)解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可； （2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 把x的系数化为1得，； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算． 3．(22-23七上·天津东丽区·期末)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 解得： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 解得： 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，并注意移项要变号，去括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，里面各项都变号是解题的关键． 4．(22-23七上·天津部分区·期末)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用括号，移项，合并同类项，系数化1，进行计算即可； （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 5．(24-25七上·天津第七中学·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解： 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为1得： ； （2） 去分母得：， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为1得： ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 地 城 考点04 销售盈亏 一、单选题 1．(24-25七上·天津西青区·期末)某种家电的进价为1800元，为促销这种家电，某商场以销售价打8折进行优惠销售，为保证每台家电有200元的利润，销售价应定为多少元？设销售价应定为x元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．设定价为x元，根据等量关系：售价折扣利润进价，即进价利润售价折扣，依此列出方程即可． 【详解】解：设定价为元，根据题意得： ， 故选：A． 二、解答题 1．(23-24七上·天津红桥区·期末)某商场为新年大促销制定如下销售方案：一次性购物不超过100元不优惠；超过 100元，不超过300元九折优惠（300元按九折优惠）；超过300元八折优惠．某人两次购物分别用了75元和288元． (1)请列一元一次方程求解：若此人两次购物的物品不打折，共要付多少钱？ (2)此人两次购物共节省了多少钱？ (3)若将两次购物的钱合起来，一次性购买同样的物品，是否更省钱？说明理由． 【答案】(1)此人两次购物，若物品不打折，要付435元 (2)此人两次购物共节省了72元 (3)若将两次购物的钱合起来，一次购买相同的物品，可以节省15元；见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键。 （1）设第二次不打折的费用为元，根据题意，列出方程，求出的值，再加上75元即可； （2）用不打折的费用减去打折后的费用，即可； （3）按照折扣方案，求出打折后的费用，再进一步计算即可。 【详解】（1）解：根据题意可知，第一次购物75元，第二次购物超过300元． 设第二次购物不打折为（）元，由题意，得：， 解得． （元） 答：此人两次购物，若物品不打折，要付435元． （2）（元） 答：此人两次购物共节省了72元． （3）若一次购物435元，根据商场促销，按照8折优惠． 共支付费用：（元）． 分两次购物支付费用：（元）． 节省费用：（元）． 答：若将两次购物的钱合起来，一次购买相同的物品，可以节省15元． 2．(23-24七上·天津和平区耀华中学·期末)某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表； 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 (1)该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利售价进价）若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为件，请完成下面的表格并作答： 单件售价（元） 进货量（件） 交易额 甲 ① ② 乙 40 ③ ④ (2)经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？ 【答案】(1)填表见解析，该直播间本次获利4000元； (2)需购进乙商品件． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系，列出正确的方程． （1）设甲商品的进货量为件，则乙商品的进货量为件，然后根据交易额等于单件售价乘以进货量，然后列方程求解即可； （2）设购进乙商品m件，将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，据此列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设甲商品的进货量为件，则乙商品的进货量为件， ∵甲商品的单件售价为25，乙商品的单件售价为40， ∴甲商品的交易额为，乙商品的交易额为， ∴填表如下： 单件售价（元） 进货量（件） 交易额 甲 25 乙 40 ∴ 解得 ∴， ∴甲商品的进货量为600件，则乙商品的进货量为100件， ∴（元） ∴该直播间本次获利4000元； （2）设购进乙商品m件， ∴ 解得 ∴需购进乙商品件． 3．(23-24七上·天津部分区·期末)某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价25元，售价40元；B种商品每件售价70元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为__________，B种商品每件进价为__________元； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共100件，且全部售出，恰好总利润为2400元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款522元，求小华此次购物打折前的总金额．（直接写出结果） 【答案】(1)，； (2)该商场购进A种商品40件； (3)小华此次购物打折前的总金额为580元或660元． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润÷进价=利润率的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据甲乙两种商品的进价之和建立方程是关键． （1）先列式计算A的利润率即可；设B种商品的进价为x元，根据利润除以进价=利润率就可以直接求出结论； （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，由A、B两种商品的利润之和为2400建立方程求出其解即可． （3）设小华一次性购买A，B商品的实际总金额为a元，分两种情况：当小华此次购物打折前的总金额超出450元，但不超过600元时；当小华此次购物打折前的总金额超出600元时，分别列方程求解． 【详解】（1）解：A种商品的利润率为， 设B种商品的进价为x元，由题意，得 ， 解得， （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，由题意，得 ， 解得， ∴该商场购进A种商品40件； （3）设小华一次性购买A，B商品的实际总金额为a元， ∵，，， ∴当小华此次购物打折前的总金额超出450元， 当时， ，解得； 当小华此次购物打折前的总金额超出600元时， ，解得； ∴小华此次购物打折前的总金额为580元或660元． 4．(23-24七上·天津河东区·期末)甲、 乙两商场以同样价格出售同样的商品， 元旦期间甲、 乙两商场各自推出不同的优惠方案， 两商场张贴的优惠海报如下图所示：    (1)①当累计购物200 元的商品时：在甲商场实际付费 元，在乙商场实际付费 元； ②设累计购物x元，当x是多少元时，在甲、乙商场实际付费一样多？ (2)当累计购物500 元的商品时， 在甲、 乙哪个商场购物比较合适？说明理由． 【答案】(1)①元；190元；②元 (2)在乙商场购物合适，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）①根据优惠方式分别列式计算即可；②根据题意表示出两个商场的费用，列方程即可； （2）分别求出在两个商场的费用比较大小即可． 【详解】（1）解：①当累计购物200 元的商品时：在甲商场实际付费元， 在乙商场实际付费元； ②设小华累计购物x元（），到两个商场购物实际所付的费用相同． 根据题意，得 ． 整理，得， 解得 ． 答：小华累计购物240元商品时，到两个商场购物实际所付的费用相同． （2）当累计购物500元商品时， 在甲商场购物所付的费用为（元）， 在乙商场购物所付的费用为（元）． 因为 ， 所以小华选乙商场购物比较合适． 5．(23-24七上·天津和平区·期末)平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价90元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2800元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)60； (2)20件 (3)7件或8件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）甲种商品每件进价为a元，根据利润率为，求出x，即可求解； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据题意，列出方程，即可求解； （3）设小华打折前应付款为y元，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为a元，根据题意得： ， 解得：． 故甲种商品每件进价为60元． 每件乙种商品的利润率为． 故答案为：60； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得： ， 解得：． 乙种商品：（件）． 答：购进乙种商品20件． （3）解：设小华打折前应付款为y元， 折前购物金额超过400元，但不超过600元， 由题意，得： ， 解得， （件）； 打折前购物金额超过600元， 由题意，得： ， 解得， （件）． 答：小华在该商场购买乙种商品件7件或8件． 地 城 考点05 方案选择 一、解答题 1．(24-25七上·天津第十一中学·期末)某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费元． (1)若游泳次，按方式一付费，则总费用为________元； (2)什么情况下，两种方式费用相同？（列一元一次方程计算说明） 【答案】(1)； (2)游泳次数为次时，两种方式费用相同． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后求解即可； （）设游泳次数为次时，两种方式费用相同，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：总费用为：（元）， 故答案为：； （2）解：设游泳次数为次时，两种方式费用相同， 根据题意得，， 解得：， 答：游泳次数为次时，两种方式费用相同． 2．(24-25七上·天津外国语大学附属外国语学校·期末)影院筹备举办“跨年晚会”，成人票售价每张120元，学生票售价每张60元．影院制定了两种团体购票优惠方案，方案1：每购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按购票总价的付款．育才学校将组织10名老师与名（不少于10名）学生参加晚会． (1)当取何值时，两种优惠方案的付款金额相同？ (2)当时，选择哪种优惠方案更省钱？ 【答案】(1) (2)方案 【分析】（1）根据题意列出两种优惠方案的付款金额，然后根据“两种优惠方案的付款金额相同”列方程求解即可； （2）将代入（1）中所得代数式求值，然后进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 方案1的付款金额为：元， 方案2的付款金额为：元， ∵两种优惠方案的付款金额相同， ∴， 解得：， 答：当时，两种优惠方案的付款金额相同； （2）解：当时， 方案1的付款金额为：元， 方案2的付款金额为：元， ∵， ∴选择优惠方案2更省钱， 答：选择优惠方案2更省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（方案选择），列代数式，代数式求值，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出代数式或方程是解题的关键． 3．(24-25七上·天津滨海新区·期末)某校为奖励“跨学科项目学习活动中的优胜小组”，到文具店购买同一种笔作为奖品．询问得知这种笔的标价为每支2元，经协商，文具店提供两种优惠购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案． 方案一：每支笔优惠后的价格为元； 方案二：购买这种笔的数量不超过50支时按标价销售，超过50支时则超过的部分按标价的八折销售． 设某校购买这种笔的数量为支． (1)按方案一购买所需的费用为___________元，按方案二购买所需的费用为___________元（用含x的代数式表示）； (2)购买多少支这种笔时，按方案一和方案二购买所需费用一样？ (3)通过计算说明购买75支这种笔时，选择哪种购买方案更省钱？ 【答案】(1) (2)购买100支这种笔时，方案一和方案二所需费用一样 (3)购买75支这种笔时，方案一更省钱 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值； （1）根据题意分别列出代数式，即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）分别求得当时，两种方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：按方案一购买所需的费用为元， 按方案二购买所需的费用为元 故答案为：． （2）解：当按方案一购买和按方案二购买所需费用一样时． ． 解方程得：． 答：购买100支这种笔时，方案一和方案二所需费用一样． （3）购买75支这种笔时，方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为， 所以购买75支这种笔时，方案一更省钱． 4．(24-25七上·天津宁河区·期末)某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种： 甲商品 乙商品 售价（单位：元） 100 20 促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品 促销方案二 甲商品和乙商品都打九折 （备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一） (1)若某单位购买甲商品x件，购买乙商品的件数比甲商品多20件， 选用方案一需花费________元； 选用方案二需花费________元；（用含x的代数式填空） (2)在（1）问的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？ (3)请根据购买甲商品的件数x的不同范围，直接写出选择哪种促销方案更合适． 【答案】(1)， (2)5件 (3)购买甲商品小于5件时选择方案二，多大5件时选择方案一 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用； （1）设购买甲件商品件， 购买乙商品的件数件，求出方案一费用；方案二费用： ， （2）根据（1）的代数式列出方程，即可求解； （3）用方案一的费用减去方案二的费用，进而得出结论． 【详解】（1）设购买甲件商品x件， 购买乙商品的件数件， 选用方案一需花费元； 选用方案二需花费元； 故答案为：，． （2）解：依题意， 即 解得： 答：购买甲商品5件时，选择方案一与选择方案二的花费相同； （3）， 当时，，方案一花费比方案二大， 购买甲商品小于件时选择方案二促销方案才能获得最大优惠， 当时，，方案一花费比方案二小， 大于件时选择方案一促销方案才能获得最大优惠． 地 城 考点06 几何问题 一、解答题 1．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)（1）如图1， 点B， D在线段上． ①填空：． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【分析】此题考查解一元一次方程的应用、线段的中点、两点间的距离等知识与方法，解题的关键是理解和把握线段中点的定义． （1）①根据线段的和差解答即可； ② 设为，表示出长，再列出方程，计算即可； （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：，． ②设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即， 解得； 当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得． 综上，的值为1或4． 2．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，O，A，B三点在数轴上，点O对应的数为0，点A，B对应的数分别是a和b，且a，b满足．P，Q为数轴上的两动点． (1)请完成以下填空： ①_______，_______； ②若点P到A，B两点的距离之和最小，则此最小值为_______； ③若点Q到A，B两点的距离之和为14，此时点Q对应的数为_______； (2)若点P从A点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，与此同时，点Q从B点处出发，以每秒2个单位长度的速度也向左运动，设运动时间为． ①若，求t的值； ②若在P，Q两点出发时，动点M同时从O点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，当点M与点Q相遇后，点M立即以原速度与P，Q两点一起向左运动．在点M的整个运动过程中，当点M恰好是线段的中点时，请直接写出t的值． 【答案】(1)①，9；②12；③或10 (2)①和；② 【分析】（1）①根据绝对值的非负性，两个非负的数相加为0，则这两个数分别为0，从而求出答案；②利用数轴上两点之间线段最短的原理即可解答；③分情况讨论点Q在A左侧、A和B之间、B右侧三种情况； （1）①先确定点P和点Q在t时刻相对于A点的位置，再利用条件，和建立方程，求解即可；②点M是线段PQ中点的情况，根据中点的性质列出方程求解． 【详解】（1）①∵， ∴，， ， 解得，； 故答案为：，9； ②∵数轴上两点之间线段最短， 当点P在A、B之间时，最小， 最小值为的长度； 故答案为：12； ③当点Q在点的左侧时，即 此时，． ， 解得； 当点Q在点和点9之间时，即， 此时，， ， 不符， 因此，点Q不能在点和点9之间． 当点Q在点9的右侧时，即， 此时，， ， 解得， 综上所述点Q对应的数为或10； （2）①∵点P从A点出发，向左移动t秒，每秒1个单位长度，点Q从B点出发，向左移动t秒，每秒2个单位长度， ∴P的位置为，Q的位置为， ∴点P到A点的距离是， 点Q到A点的距离是， ∵，即， 当和时，即， ， 解得， 当和时，即∶ 解得； 因此，满足条件的t的值有两个∶和． ②点M从O点出发，速度为每秒4个单位长度，向右运动，点Q 从 B点出发，速度为每秒2个单位长度，向左运动； 设运动时间为m秒时，M 与 Q 相遇，则解得秒 ． M对应的数为 P从A点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，与此同时，点Q从B点处出发，以每秒2个单位长度的速度也向左运动，设运动时间为， 向左运动 t 秒后，P对应的数为； 点Q从B点出发，速度为每秒2个单位长度 ，向左运动t秒后，Q对应的数为， 当时 ，M对应的数为 点M恰好是线段的中点时， 解得：． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用，绝对值方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．(24-25七上·天津滨海新区·期末)如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 【答案】(1)16，2 (2)， (3) (4)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴． （1）设点表示的数为x，利用两点之间的距离公式列方程可得点表示的数，再利用线段中点公式可得的中点表示的数； （2）根据在数轴上点的移动规律列代数式； （3）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （4）根据，分两种情况：相遇前和相遇后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为x， ∵点表示的有理数为， ∴， 解得：， 即点表示的数为16， 线段的中点表示的数为， 故答案为：16，2； （2）解：∵点表示的有理数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， ∵点表示的数为16，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， 故答案为：，； （3）解：点与点相遇时，， 解得， 所以当时，点与点相遇； （4）解：，分以下两种情况： 点与点相遇前，，即， 解得， 此时点表示的数是：； 点与点相遇后，，即， 解得， 此时点表示的数是：． 4．(24-25七上·天津西青区·期末)如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，满足． (1)填空：_______，_______； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，在数轴上以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，在数轴上以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①运动t秒时，电子蚂蚁P表示的数是_______，Q表示的数是_______（用含t的式子表示）； ②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ③出发多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？ 【答案】(1)；15 (2)①；；②，③2秒或6秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （1）根据题意可得，根据可得b的值，本题得以解决； （2）①根据题意及点A和B表示的数即可求解；②根据题意可列方程，求解得到t的值，即可求得C点坐标；③分为相遇前和相遇后两种情况讨论列方程求解． 【详解】（1）解：， ， ，点A在点B的左边， ， ， ； （2）解：①根据题意：电子蚂蚁P表示的数是； Q表示的数是：． ②根据题意，可列方程为， 解得． 由可知，相遇点C对应的数是7． ③若P，Q相遇前相距10个单位长度，有， 解得； 若P，Q相遇后相距10个单位长度，有， 解得． 即出发2秒或6秒两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度． 5．(24-25七上·天津北辰区·期末)如图，已知数轴上有三点、、，用表示、两点的距离，表示、两点的距离，且，点、点对应的数是分别是、，且 (1)________，________，、两点间距离________； (2)若点、分别从、两点同时出发向左运动，速度分别为个单位长度每秒、个单位长度每秒，设运动时间为秒，当为多少时，到的距离与到的距离相等？ (3)若点、仍然以（）中的速度分别从、两点同时出发向左运动，、出发秒后，动点从点出发向右运动，点的速度为个单位长度每秒，运动的过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，问点运动了多少秒时，恰好能满足？ 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离， （1）由绝对值的非负性可求出，的值，进而可得出线段的长，结合可求出的长，由可求出线段的长； （2）由的长结合点对应的数可求出点对应的数，当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，由到的距离与到的距离相等，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，结合点为线段的中点及点为线段的中点可得出点，对应的数，进而可得出线段的长，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， ． ， ， 故答案为：，20，40 （2）解：，点对应的数为，且点在点的右边， 点对应的数为． 当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 到的距离与到的距离相等， ，即或， 解得：或． 答：运动了秒或20秒时，到的距离与到的距离相等． （3）解：当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 点为线段的中点，点为线段的中点， 点对应的数为，点对应的数为， ． ∵， ． 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴点运动了秒时恰好满足． 地 城 考点07 其他问题 一、单选题 1．(24-25七上·天津河西区·期末)将循环小数化为分数形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，无限循环小数．先设无限循环小数，则，进而得出，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：设无限循环小数，则， ∴， 解得：． 故选：A． 2．(24-25七上·天津滨海新区·期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载：＂今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数，物价各几何？＂题目大意是：有几个人一起购买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人？该物品的价格是多少？若设人数共有人，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程，审清题意找出等量关系是解题的关键． 根据题意找出数量关系和等量关系列方程即可． 【详解】解：设人数共有人， 则列方程为． 故选：B． 3．(24-25七上·天津第十一中学·期末)如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（    ） A．63 B．70 C．84 D．105 【答案】C 【分析】本题可先设出“H”型框中间的数，再根据月历中数的排列规律表示出其余6个数，进而求出这7个数的和的表达式，最后结合选项进行分析判断．本题主要考查了列代数式以及月历中数的规律，熟练掌握月历中数的排列规律是解题的关键． 【详解】解：设“H”型框中间的数为，则这个数分别为，，，，，， 若，则，符合月历中数的存在情况． 若，则，符合月历中数的存在情况． 若，则，但在此月月历中，以为中间数无法构成“H”型框，不符合月历中数的存在情况． 若，则，符合月历中数的存在情况． 故选：C． 二、填空题 1．(24-25七上·天津河北区·期末)在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“津”对应的值为 ． 12 我 爱 7 5 天 津 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，结合已知条件列得方程是解题的关键． 由题意可得，解得a的值，将其代入，中求得对应的值，再列式进行计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则，， 那么， 即这个幻方中“津”对应的值为14， 故答案为：14． 2．(24-25七上·天津西青区·期末)某市出租车的收费标准为：路程在以内（含）按起步价11元收取；路程超过，超过的部分按每千米2.2元收取，某人乘坐出租车后付款24.2元，则此人乘车的路程为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．根据起步价11元，3千米后每千米收取2.2元，乘坐该市出租车后付款24.2元，直接列出方程即可． 【详解】解：设此人乘车的路程为千米， 由题意可知：， 解得：千米， 故答案为：9． 三、解答题 1．(24-25七上·天津和平区·期末)某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦时；第二档，月用电量为千瓦时；第三档：月用电量超过400千瓦时）．设居民每月应交电费y（元），用电量为x（千瓦时）． 用电量（千瓦时） 收费（元） 不超过240千瓦时 每千瓦时0.55元 千瓦时 每千瓦时0.75元 超过400千瓦时 超过的部分每千瓦时1.5元 (1)①每月用电量不超过240千瓦时，____________； ②每月用电量超过400千瓦时，____________； (2)若某户居民某月用电量为312千瓦时，则应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦时？ 【答案】(1)；② (2)234元 (3)本月用电280度 【分析】本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． （1）①根据费用单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用单价乘以用电量，列式计算即可． （2）讨论的值，根据题意求解即可． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于300元；根据题意计算即可． 【详解】（1）解：①根据时，每千瓦时0.55元， ， 故答案为：． ②根据可得， ， 故答案为：． （2）解：∵， 根据题意可得，元， 答：应交电费234元． （3）解：根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于300元； ∵， ∴用电量满足， 设用电度，根据题意，得， 解得：， 答：本月用电280度． 2．(24-25七上·天津河西区·期末)购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．李亮打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元/（），请你分析他购买使用哪款空调综合费用（空调的售价电费）较低． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（） 1级 3000 640 3级 2600 800 (1)在使用空调的第一年，能效1级空调的全年综合费用为________元； 在使用空调的第一年，能效3级空调的全年综合费用为________元； (2)设使用空调的年数为t，t取何值时，两款空调的综合费用相等？说明理由； (3)若空调的安全使用年限是10年，购买哪款空调的综合费用较低？（直接写出答案即可） 【答案】(1)3320；3000 (2)使用5年时，两款空调的综合费用相等 (3)当空调安全使用10年时，购买1级能效等级的综合费用较低 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数的四则运算的实际应用等知识点，正确列出一元一次方程以及四则混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据两款空调的部分基本信息分别列出代数式，然后代入数据计算即可； （2）根据两款空调的部分基本信息列出一元一次方程求解即可； （3）先分别求出两款空调使用10年的综合费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：能效1级空调的全年综合费用为元； 能效3级空调的全年综合费用为元． 故答案为：3320；3000． （2）解：使用5年时，两款空调的综合费用相等，理由如下： 设使用空调的年数为t，由题意可得： ，解得：． 所以当，即使用5年时，两款空调的综合费用相等． （3）解：若空调的安全使用年限是10年，能效1级空调的全年综合费用为元； 能效3级空调的全年综合费用为元． 因为， 所以当空调安全使用10年时，购买1级能效等级的综合费用较低． 3．(23-24七上·天津宁河区·期末)某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 【答案】(1)见解析 (2)甲公司的收费是：（元）；乙公司的收费是：（元） (3)18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）根据所给的收费标准列式计算即可； （3）根据题意结合（2）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，甲公司收费9元；当，甲公司收费元；当时，乙公司收费元；当时，乙公司收费元； 填表如下： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 9 17 … 乙公司收费（元） 20 20 20 20 … （2）解：由题意得，甲公司的收费为元， 乙公司的收费为元； （3）解：由题意得，， 解得， ∴当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同， 故答案为：18． 4．(24-25七上·天津部分区·期末)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 【答案】(1) (2)该店有8间客房，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． （1）根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”填写表格即可． （2）房客总数相同列方程即可解答． 【详解】（1）解：填表如下： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 （2）解：根据题意可得：， 解得：， 故该店有8间客房． 5．(23-24七上·天津南开区·期末)学校七年级举行数学说题比赛，计划购买笔记本作为奖品．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．已知种笔记本的单价是11元，种笔记本的单价是9元． (1)若学校购买，两种笔记本作为奖品，设购买种笔记本本． ①根据信息填表（用含有的式子表示）． 型号 单价（元/本） 数量（本） 费用（元） 笔记本 11 笔记本 9 ②若购买笔记本的总费用为288元，则购买，笔记本各多少本？ (2)为缩减经费，学校最终购买，，三种笔记本共30本作为奖品，其中种笔记本的单价为6元，，两种笔记本单价不变．若购买种笔记本本，种笔记本本． ①则购买种笔记本________本，购买三种笔记本的费用为________元；（请用含有，的式子表示） ②若学校购买三种笔记本的费用为188元，则的值为________（本）． 【答案】(1)①，；②购买笔记本9本，笔记本21本． (2)①，；②1 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出相应的数量关系． （1）①设买种笔记本本，则种笔记本的数量为本，购买种笔记本的费用为元，种笔记本的费用为元，就可以得出结论； ②根据购买笔记本的总费用为288元建立方程式求出其解即可得出结论； （2）①购买笔记本的总数减去购买、两种笔记本的数即可，总费用就是三种笔记本费用之和； ②利用①中费用总和代数式等于188，分析讨论解答即可． 【详解】（1）①由题意，得： 型号 单价（元本） 数量（本 费用（元 笔记本 11 笔记本 9 ②根据题意得：， 解得：， （本． 答：购买笔记本9本，笔记本21本． 故答案为：；． （2）①购买种笔记本本，种笔记本本， 购买种笔记本为本， 购买三种笔记本的总费用为：元； ②学校购买三种笔记本的费用为188元， 、取正整数）； 整理得， 、取正整数， ，． 6．(23-24七上·天津西青区·期末)如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，且a，b满足． (1)填空： ________， ________． (2)点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴水平向右运动，同时点N从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴水平向右运动，设运动时间为ts． ①当时，求t的值． ②点C在数轴上点B的右侧，表示的数是x，若点M，N都运动到点C的右侧；且点M在点N右侧时，无论t取何值总有（k为固定的常数）成立，求k和x的值． 【答案】(1) (2)①或②， 【分析】（1）利用非负性进行求解即可； （2）①利用两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； ②根据两点间的距离公式列出方程，根据取值与无关，得到的系数为0，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①由题意，得：点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：或； ②由题意，得：， ∵， ∴， 整理，得：， ∵无论t取何值总有（k为固定的常数）成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式，整式加减运算，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 7．(23-24七上·天津河西区·期末)甲、乙两个商场以同样价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物超过元后，超出元的部分按收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x大于． (1)根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物 实际花费 … 在甲商场 … 在乙商场 … (2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？ 【答案】(1)见解析 (2)当，小红在甲、乙两商场的实际花费相同 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，累计购物元时：根据在甲商场的实际花费，在乙商场的实际花费；累计购物元（）时， 在甲商场的实际花费，在乙商场的实际花费；计算求解，然后填表即可； （2）依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，累计购物元时： 在甲商场的实际花费（元）， 在乙商场的实际花费（元）； 累计购物元（）时， 在甲商场的实际花费（元）， 在乙商场的实际花费（元）； 填表如下： 累计购物 实际花费 … 在甲商场 … 在乙商场 … （2）解：依题意得，， 解得，． 答：当小红在同一商场累计购物元时，在甲、乙两商场的实际花费相同． 2 / 44 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 实际问题与一元一次方程 7大高频考点概览 考点01方程 考点02 合并同类项和移项 考点03 去括号和去分母 考点04 销售盈亏 考点05 方案选择 考点06 几何问题 考点07 其他问题 地 城 考点01 方程 一、单选题 1．(24-25七上·天津育贤中学·期末)下列变形符合等式的性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25七上·天津滨海新区·期末)根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．(24-25七上·天津西青区·期末)下列各式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．(24-25七上·天津南开区·期末)下列等式的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．(23-24七上·天津滨海新区·期末)已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 6．(23-24七上·天津滨海新区·期末)根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．(23-24七上·天津西青区·期末)下列各式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若则． D．若，则． 8．(23-24七上·天津河北区·期末)是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 1．(23-24七上·天津津南区·期末)若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 地 城 考点02 合并同类项和移项 一、单选题 1．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)现定义对于一个数a， 我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如，．下列说法， 其中正确结论有（   ）个 ①若，则； ②当时，，则值为4 ③方程的解为或 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．(24-25七上·天津南开区·期末)下列方程变形正确的是（   ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得： D．方程，去分母，得 3．(24-25七上·天津滨海新区·期末)已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．16 B． C．2 D．4 4．(23-24七上·天津红桥区·期末)下列方程变形正确的是（  ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成 二、填空题 1．(24-25七上·天津津南区·期末)已知关于、的多项式是三次三项式，则的值为 ． 2．(24-25七上·天津南开区·期末)若关于x的方程是一元一次方程，则n的值是 ． 3．(23-24七上·天津红桥区·期末)若是关于的方程的解，则的值为 ． 4．(23-24七上·天津南开区·期末)若关于的方程是一元一次方程，则此方程的解是 ． 5．(23-24七上·天津河东区·期末)方程 是关于的一元一次方程， 则 地 城 考点03 去括号和去分母 一、单选题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)关于的方程的解是，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．(23-24七上·天津部分区·期末)如果是关于x的方程的解，那么a的值为（    ） A． B．4 C．6 D．10 3．(24-25七上·天津南开中学·期末)方程的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25七上·天津武清区·期末)关于的方程解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 2．(23-24七上·天津滨海新区·期末)将的分母化为整数 ． 三、解答题 1．(24-25七上·天津东丽区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 2．(22-23七上·天津红桥区·期末)解下列方程： (1) (2) 3．(22-23七上·天津东丽区·期末)解方程 (1)； (2)． 4．(22-23七上·天津部分区·期末)解方程 (1)； (2)． 5．(24-25七上·天津第七中学·期末)解下列方程： (1)； (2)． 地 城 考点04 销售盈亏 一、单选题 1．(24-25七上·天津西青区·期末)某种家电的进价为1800元，为促销这种家电，某商场以销售价打8折进行优惠销售，为保证每台家电有200元的利润，销售价应定为多少元？设销售价应定为x元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 1．(23-24七上·天津红桥区·期末)某商场为新年大促销制定如下销售方案：一次性购物不超过100元不优惠；超过 100元，不超过300元九折优惠（300元按九折优惠）；超过300元八折优惠．某人两次购物分别用了75元和288元． (1)请列一元一次方程求解：若此人两次购物的物品不打折，共要付多少钱？ (2)此人两次购物共节省了多少钱？ (3)若将两次购物的钱合起来，一次性购买同样的物品，是否更省钱？说明理由． 2．(23-24七上·天津和平区耀华中学·期末)某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表； 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 (1)该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利售价进价）若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为件，请完成下面的表格并作答： 单件售价（元） 进货量（件） 交易额 甲 ① ② 乙 40 ③ ④ (2)经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？ 单件售价（元） 进货量（件） 交易额 甲 25 乙 40 3．(23-24七上·天津部分区·期末)某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价25元，售价40元；B种商品每件售价70元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为__________，B种商品每件进价为__________元； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共100件，且全部售出，恰好总利润为2400元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款522元，求小华此次购物打折前的总金额．（直接写出结果） 4．(23-24七上·天津河东区·期末)甲、 乙两商场以同样价格出售同样的商品， 元旦期间甲、 乙两商场各自推出不同的优惠方案， 两商场张贴的优惠海报如下图所示：    (1)①当累计购物200 元的商品时：在甲商场实际付费 元，在乙商场实际付费 元； ②设累计购物x元，当x是多少元时，在甲、乙商场实际付费一样多？ (2)当累计购物500 元的商品时， 在甲、 乙哪个商场购物比较合适？说明理由． 5．(23-24七上·天津和平区·期末)平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价90元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2800元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 地 城 考点05 方案选择 一、解答题 1．(24-25七上·天津第十一中学·期末)某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费元． (1)若游泳次，按方式一付费，则总费用为________元； (2)什么情况下，两种方式费用相同？（列一元一次方程计算说明） 2．(24-25七上·天津外国语大学附属外国语学校·期末)影院筹备举办“跨年晚会”，成人票售价每张120元，学生票售价每张60元．影院制定了两种团体购票优惠方案，方案1：每购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按购票总价的付款．育才学校将组织10名老师与名（不少于10名）学生参加晚会． (1)当取何值时，两种优惠方案的付款金额相同？ (2)当时，选择哪种优惠方案更省钱？ 3．(24-25七上·天津滨海新区·期末)某校为奖励“跨学科项目学习活动中的优胜小组”，到文具店购买同一种笔作为奖品．询问得知这种笔的标价为每支2元，经协商，文具店提供两种优惠购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案． 方案一：每支笔优惠后的价格为元； 方案二：购买这种笔的数量不超过50支时按标价销售，超过50支时则超过的部分按标价的八折销售． 设某校购买这种笔的数量为支． (1)按方案一购买所需的费用为___________元，按方案二购买所需的费用为___________元（用含x的代数式表示）； (2)购买多少支这种笔时，按方案一和方案二购买所需费用一样？ (3)通过计算说明购买75支这种笔时，选择哪种购买方案更省钱？ 4．(24-25七上·天津宁河区·期末)某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种： 甲商品 乙商品 售价（单位：元） 100 20 促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品 促销方案二 甲商品和乙商品都打九折 （备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一） (1)若某单位购买甲商品x件，购买乙商品的件数比甲商品多20件， 选用方案一需花费________元； 选用方案二需花费________元；（用含x的代数式填空） (2)在（1）问的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？ (3)请根据购买甲商品的件数x的不同范围，直接写出选择哪种促销方案更合适． 地 城 考点06 几何问题 一、解答题 1．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)（1）如图1， 点B， D在线段上． ①填空：． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 2．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，O，A，B三点在数轴上，点O对应的数为0，点A，B对应的数分别是a和b，且a，b满足．P，Q为数轴上的两动点． (1)请完成以下填空： ①_______，_______； ②若点P到A，B两点的距离之和最小，则此最小值为_______； ③若点Q到A，B两点的距离之和为14，此时点Q对应的数为_______； (2)若点P从A点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，与此同时，点Q从B点处出发，以每秒2个单位长度的速度也向左运动，设运动时间为． ①若，求t的值； ②若在P，Q两点出发时，动点M同时从O点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，当点M与点Q相遇后，点M立即以原速度与P，Q两点一起向左运动．在点M的整个运动过程中，当点M恰好是线段的中点时，请直接写出t的值． 3．(24-25七上·天津滨海新区·期末)如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 4．(24-25七上·天津西青区·期末)如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，满足． (1)填空：_______，_______； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，在数轴上以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，在数轴上以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①运动t秒时，电子蚂蚁P表示的数是_______，Q表示的数是_______（用含t的式子表示）； ②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ③出发多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？ 5．(24-25七上·天津北辰区·期末)如图，已知数轴上有三点、、，用表示、两点的距离，表示、两点的距离，且，点、点对应的数是分别是、，且 (1)________，________，、两点间距离________； (2)若点、分别从、两点同时出发向左运动，速度分别为个单位长度每秒、个单位长度每秒，设运动时间为秒，当为多少时，到的距离与到的距离相等？ (3)若点、仍然以（）中的速度分别从、两点同时出发向左运动，、出发秒后，动点从点出发向右运动，点的速度为个单位长度每秒，运动的过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，问点运动了多少秒时，恰好能满足？ 地 城 考点07 其他问题 一、单选题 1．(24-25七上·天津河西区·期末)将循环小数化为分数形式为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·天津滨海新区·期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载：＂今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数，物价各几何？＂题目大意是：有几个人一起购买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人？该物品的价格是多少？若设人数共有人，则列方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·天津第十一中学·期末)如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（    ） A．63 B．70 C．84 D．105 二、填空题 1．(24-25七上·天津河北区·期末)在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“津”对应的值为 ． 12 我 爱 7 5 天 津 2．(24-25七上·天津西青区·期末)某市出租车的收费标准为：路程在以内（含）按起步价11元收取；路程超过，超过的部分按每千米2.2元收取，某人乘坐出租车后付款24.2元，则此人乘车的路程为 ． 三、解答题 1．(24-25七上·天津和平区·期末)某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦时；第二档，月用电量为千瓦时；第三档：月用电量超过400千瓦时）．设居民每月应交电费y（元），用电量为x（千瓦时）． 用电量（千瓦时） 收费（元） 不超过240千瓦时 每千瓦时0.55元 千瓦时 每千瓦时0.75元 超过400千瓦时 超过的部分每千瓦时1.5元 (1)①每月用电量不超过240千瓦时，____________； ②每月用电量超过400千瓦时，____________； (2)若某户居民某月用电量为312千瓦时，则应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦时？ 2．(24-25七上·天津河西区·期末)购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．李亮打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元/（），请你分析他购买使用哪款空调综合费用（空调的售价电费）较低． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（） 1级 3000 640 3级 2600 800 (1)在使用空调的第一年，能效1级空调的全年综合费用为________元； 在使用空调的第一年，能效3级空调的全年综合费用为________元； (2)设使用空调的年数为t，t取何值时，两款空调的综合费用相等？说明理由； (3)若空调的安全使用年限是10年，购买哪款空调的综合费用较低？（直接写出答案即可） 3．(23-24七上·天津宁河区·期末)某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 9 17 … 乙公司收费（元） 20 20 20 20 … 4．(24-25七上·天津部分区·期末)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 5．(23-24七上·天津南开区·期末)学校七年级举行数学说题比赛，计划购买笔记本作为奖品．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．已知种笔记本的单价是11元，种笔记本的单价是9元． (1)若学校购买，两种笔记本作为奖品，设购买种笔记本本． ①根据信息填表（用含有的式子表示）． 型号 单价（元/本） 数量（本） 费用（元） 笔记本 11 笔记本 9 ②若购买笔记本的总费用为288元，则购买，笔记本各多少本？ (2)为缩减经费，学校最终购买，，三种笔记本共30本作为奖品，其中种笔记本的单价为6元，，两种笔记本单价不变．若购买种笔记本本，种笔记本本． ①则购买种笔记本________本，购买三种笔记本的费用为________元；（请用含有，的式子表示） ②若学校购买三种笔记本的费用为188元，则的值为________（本）． 型号 单价（元本） 数量（本 费用（元 笔记本 11 笔记本 9 6．(23-24七上·天津西青区·期末)如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，且a，b满足． (1)填空： ________， ________． (2)点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴水平向右运动，同时点N从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴水平向右运动，设运动时间为ts． ①当时，求t的值． ②点C在数轴上点B的右侧，表示的数是x，若点M，N都运动到点C的右侧；且点M在点N右侧时，无论t取何值总有（k为固定的常数）成立，求k和x的值． 7．(23-24七上·天津河西区·期末)甲、乙两个商场以同样价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物超过元后，超出元的部分按收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x大于． (1)根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物 实际花费 … 在甲商场 … 在乙商场 … (2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？ 累计购物 实际花费 … 在甲商场 … 在乙商场 … 2 / 44 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $