第五章 一元函数的导数及其应用（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

该高中数学单元复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，以“知识点+即学即练”分层呈现导数概念、几何意义、运算及应用，构建从基础到综合的知识脉络，突出单调性、极值等核心内容的内在逻辑。 讲义亮点在于“题型分类+方法指导”设计，如切线问题结合几何意义、零点问题运用数形结合，培养数学思维与推理能力。典例与变式题梯度分明，基础题巩固概念，综合题提升逻辑推理，助力教师精准教学与学生自主复习。

第五章 一元函数的导数及其应用 教学目标 1.梳理导数与函数性质之间的逻辑关系，构建知识体系。 2.掌握利用导数研究函数性质的一般方法和步骤。 3.在利用导数研究函数性质及应用的过程中，促进学生深刻体会数形结合思想，转化思想、类比思想的应用，提升学生数学运算、直观想象和逻辑推理等素养。 4.复习函数零点的概念和梳理解决函数零点问题的常用方法。 5.掌握利用导数研究函数零点问题的一般步骤。 6.在利用导数研究函数零点的过程中，体会转化思想、类比思想、数形结合等思想方法的应用。 7.进一步体会利用导数研究函数性质的一般方法。 8.将问题与概念建立联系的意识，分类讨论、转化与化归、类比思想的应用。 9.通过数形结合的方式，对问题的解答过程进行严格论证。 10.学生能选择合适的方法研究函数零点问题，对参数进行分类讨论。 11.学生能够结合函数图象，利用零点存在性定理，对零点的存在性进行严格证明。 教学重难点 1.重点 ①导数的概念、物理和几何意义。 ②基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的导数。 ③利用导数求函数单调性、极值和最值。 ④能够利用导数求切线问题、图象问题。 2.难点 ① 物理和几何意义。 ② 导数的四则运算法则、简单复合函数的导数。 ③利用导数求单调性和极值。 知识点01 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：__________的增量与__________的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的__________． 【即学即练】 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．设函数在上处处存在导数，其导函数为.已知点、，在曲线上如图，则在下列选项中正确的是（    ）    A．; B．函数在处附近的平均变化率均小于; C．点是函数的一个极值点; D．函数在区间上不存在驻点. 知识点02 瞬时速度 (1)物体在__________的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的__________是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 【即学即练】 1．一个质量为的物体做直线运动，该物体的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：，表示物体的质量，单位：，表示物体的瞬时速度，单位：），则（    ） A．该物体瞬时速度的最小值为 B．该物体瞬时速度的最小值为 C．该物体在第秒末的动能为 D．该物体在第秒末的动能为 2．某物体的位移s与时间t的函数为，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（   ） A．5米/秒 B．6米/秒 C．8米/秒 D．110米/秒 知识点03 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的__________(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 【即学即练】 1．函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 2．若函数，则（    ） A．80 B． C．240 D． 知识点04 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝__________ 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为____________________． 【即学即练】 1．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．函数的极大值为 B．若，则 C．若方程有两个不等的实根，则 D．若过点恰有三条与曲线相切的直线，则 2．曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 知识点05 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近__________，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近__________，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 【即学即练】 1．已知定义在上的函数若方程恰有两个解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 知识点06 导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作__________或__________，即f′(x)＝y′＝ . 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【即学即练】 1．已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 2．若定义在上的函数满足对任意，都有，其中，则称为函数.给出下列函数：①；②；③；④.其中是函数的个数为（   ） A．2 B．4 C．1 D．3 知识点07 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 【即学即练】 1．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线关于点中心对称； (3)若当且仅当，求的取值范围. 知识点08 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 注： (3)＝(g(x)≠0)．（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 【即学即练】 23．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 24．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 知识点09 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的__________，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的__________． 【即学即练】 1．已知函数，对于任意的，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 2．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 知识点10 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式__________，解集在定义域内的部分为减区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的__________，从而确定单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 【即学即练】 1．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在时恒成立，求的取值范围． 2．已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，当时，判断是否存在零点，并说明理由； (3)当时，，求的取值范围. 知识点11 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是__________； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是__________． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程__________的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 【即学即练】 1．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 2．已知函数．求函数在区间内的极值． 知识点12 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：求出f(x)的极值点和极值； (5)求____________________； (6)求最值：__________极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 【即学即练】 1．已知点满足：，是函数图象上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 题型01 利用导数求曲线的切线问题 【典例1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【典例2】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)当时，，求a的取值范围． 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 【变式1】已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．是奇函数 C．过点的曲线的切线有且仅有1条 D．当时，恒成立 【变式2】已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 题型02 利用导数求函数的单调性 【典例1】若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的值. 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 二、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数． (1)证明：曲线关于点对称； (2)已知为增函数， ①求的取值范围； ②不等式对恒成立，求的取值范围． 题型03 利用导数求函数的极值 【典例1】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数有一个极大值 B．函数有且仅有一个零点 C．函数图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【典例2】已知函数的极值点为，则 ． 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 【变式1】已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【变式2】已知函数，则下列说法不正确（   ） A．在上单调递减 B．是的零点 C．的极小值为0 D．的极大值点为 题型04 利用导数求函数的最值 【典例1】已知函数，． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，均有，求的取值范围． 【典例2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【变式1】函数在上有且只有一个零点，则（   ） A．1 B．- C． D．- 【变式2】已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 题型05 利用导数证明不等式 【典例1】已知函数，若有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【典例2】已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点． ①记表示不超过a的最大整数，求的取值范围； ②证明：． 证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立. ②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）. (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”． 【变式1】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 【变式2】已知函数． (1)证明：当时，； (2)已知，证明：． 题型06 利用导数解决恒（能）成立问题 【典例1】已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，． (1)若时，，求的最大值； (2)探究曲线是否为轴对称图形． 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （3）对于任意的，总存在，使得； （4）对于任意的，总存在，使得； （5）若存在，对于任意的，使得； （6）若存在，对于任意的，使得； （7）对于任意的，使得； （8）对于任意的，使得； （9）若存在，总存在，使得 （10）若存在，总存在，使得． 【变式1】已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 【变式2】已知函数 (1)若 ，求 在点 的切线方程； (2)若 ，求 的取值范围； (3)若 ，设 ，且 ，证明: . 题型07 利用导数解决零点问题 【典例1】已知函数在内有两个不同的零点，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，则（ ） A．在上单调递减 B．的极大值点是 C．的图象关于对称 D．方程有三个实数根 基本步骤： 第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围； 第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式； 第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 下面我们通过实例来分析. 【变式1】已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线为轴，求的值: (2)函数的导函数为，曲线与曲线交于两点，求证:直线的斜率小于1. 【变式2】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 题型08 利用导数解决双变量问题 【典例1】已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【典例2】已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，（），且，证明：. 在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法： 1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。 2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。 3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。 【变式1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【变式2】已知有两个不同的极值点，则下列说法不正确的（    ） A． B． C． D． 题型09 利用导数解决实际问题 【典例1】某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入. (1)求蔬菜大棚带来的利润（万元）关于大棚个数的函数关系式； (2)建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润. 【典例2】甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为： 一设，设出自变量、因变量； 二列，列出函数关系式，并写出定义域； 三解，解出函数的最值，一般常用导数求解； 四答，回答实际问题. 【变式1】某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【变式2】某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 1．函数在上的平均变化率为 . 2．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2024 5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 6．已知是函数的两个零点，且，求证：． 7．关于曲线C：下列说法正确的有（   ） A．曲线C的方程可化简为 B．曲线C与直线有且只有一个公共点 C．曲线C全部位于第四象限内 D．点在曲线C上，则 8．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 9．已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； (3)若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 10．已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为 . 11．设函数，若恒成立，则的最小值是 ． 12．已知函数在处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的极值． 13．当时，不等式有解，则的取值范围是 ． 14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 教学目标 1.梳理导数与函数性质之间的逻辑关系，构建知识体系。 2.掌握利用导数研究函数性质的一般方法和步骤。 3.在利用导数研究函数性质及应用的过程中，促进学生深刻体会数形结合思想，转化思想、类比思想的应用，提升学生数学运算、直观想象和逻辑推理等素养。 4.复习函数零点的概念和梳理解决函数零点问题的常用方法。 5.掌握利用导数研究函数零点问题的一般步骤。 6.在利用导数研究函数零点的过程中，体会转化思想、类比思想、数形结合等思想方法的应用。 7.进一步体会利用导数研究函数性质的一般方法。 8.将问题与概念建立联系的意识，分类讨论、转化与化归、类比思想的应用。 9.通过数形结合的方式，对问题的解答过程进行严格论证。 10.学生能选择合适的方法研究函数零点问题，对参数进行分类讨论。 11.学生能够结合函数图象，利用零点存在性定理，对零点的存在性进行严格证明。 教学重难点 1.重点 ①导数的概念、物理和几何意义。 ②基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的导数。 ③利用导数求函数单调性、极值和最值。 ④能够利用导数求切线问题、图象问题。 2.难点 ① 物理和几何意义。 ② 导数的四则运算法则、简单复合函数的导数。 ③利用导数求单调性和极值。 知识点01 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 【即学即练】 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义，借助图形判断得解. 【详解】由导数的几何意义，得为函数图象在处切线的斜率， 为函数的图象在处切线的斜率， 为函数图象上点确定直线的斜率， 观察图象，得. 故选：B    2．设函数在上处处存在导数，其导函数为.已知点、，在曲线上如图，则在下列选项中正确的是（    ）    A．; B．函数在处附近的平均变化率均小于; C．点是函数的一个极值点; D．函数在区间上不存在驻点. 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义、极值点的定义、驻点的定义逐一判断即可. 【详解】A：根据导数几何意义可知：，因此本选项说法不正确； B：由函数的图象可知： ，因此本选项说法不正确；    C：点左右两侧的单调性都是单调递增，所以点不是函数的极值点， 因此本选项说法不正确； D：由图象可知函数在区间上不存在导函数为零的点，所以不存在驻点，因此本选项说法正确，. 故选：D 知识点02 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 【即学即练】 1．一个质量为的物体做直线运动，该物体的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：，表示物体的质量，单位：，表示物体的瞬时速度，单位：），则（    ） A．该物体瞬时速度的最小值为 B．该物体瞬时速度的最小值为 C．该物体在第秒末的动能为 D．该物体在第秒末的动能为 【答案】AD 【分析】求出函数的导数后结合配方法可求瞬时速度的最小值，故可判断AB的正误，结合导数及题设中的动能公式计算后可判断CD的正误. 【详解】对于AB，由题意得， 则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误. 对于CD，由，得，所以该物体在第秒末时的动能为， 故C错误，D正确. 故选：AD. 2．某物体的位移s与时间t的函数为，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（   ） A．5米/秒 B．6米/秒 C．8米/秒 D．110米/秒 【答案】C 【分析】求导，代入，得到答案. 【详解】因为位移s与时间t的函数为， 所以，当时，， 故物体在1秒末的瞬时速度是8米/秒. 故选：C 知识点03 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 【即学即练】 1．函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 【答案】C 【分析】首先确定函数定义域为，分别画出函数与函数的图象，再根据在端点处的斜率关系求出零点个数为6个，再由对称性可求出所有零点之和为9. 【详解】易知，可得，即函数的定义域为， 函数的零点即方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标. ，，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点， 且两个函数的图象都关于直线对称. 函数对应的曲线方程为，表示一个半圆，如图所示： 半圆在、处的切线斜率不存在， 而在、处的切线斜率分别为，， 可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称， 而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9 故选：C 2．若函数，则（    ） A．80 B． C．240 D． 【答案】D 【分析】利用导数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 知识点04 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【即学即练】 1．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．函数的极大值为 B．若，则 C．若方程有两个不等的实根，则 D．若过点恰有三条与曲线相切的直线，则 【答案】ABD 【分析】求导确定函数单调性即可判断ABC，对于D，设切点坐标为，通过斜率得到，化简可得：，问题转化成方程有3个不同的根，进而可求解. 【详解】定义域为，， 由得，由得， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 在时，取得极大值；A正确， 当时，，由单调性可知；B正确， 由函数单调性和极值可知：若方程有两个不等的实根，则，C错误； 设切点坐标为，则切线斜率为， 由两点得切线斜率，化简可得：， 若过点恰有三条与曲线相切的直线，则方程有3个不同的根， 令，定义域为，， 由得：或，由得：， 所以在单调递减，在单调递增， 极小值为，极大值，当时，，当时，， 所以方程有3个不同的根，即和的图象有3个交点，则，D正确； 故选：ABD 2．曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程，即可求得直线经过的定点. 【详解】令函数，则，故， 所以l的方程为，整理得， 所以l经过定点． 故选：D． 知识点05 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 【即学即练】 1．已知定义在上的函数若方程恰有两个解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程恰有两个解，得出与有一个交点，结合图象可得参数范围． 【详解】因为方程恰有两个解，又因为， 则为方程的一个解， 当时，由， 则有一个解， 所以与有一个交点， 当时，， 设，， 则，即在上单调递减， 所以， 所以，则在上单调递减， 当，且时，， 做出函数的图象，如下： 结合图象可得，要使与有一个交点， 则或． 故选：D． 2．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数求的单调区间，由在区间上单调，求的取值范围. 【详解】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 知识点06 导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【即学即练】 1．已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 2．若定义在上的函数满足对任意，都有，其中，则称为函数.给出下列函数：①；②；③；④.其中是函数的个数为（   ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】由题可得，由题设可得：若过函数图象上任意两不同点的割线的斜率小于0，则函数为“函数”.结合导数的几何意义，可知函数的导数在定义域上恒成立.逐项求导研究导数的符号即可求解. 【详解】由题可得， 由题设可得：若过函数图象上任意两不同点的割线的斜率小于0，则函数为“函数”. 结合导数的几何意义，可知函数的导数在定义域上恒成立. 的定义域为，恒成立， 所以是函数，故①正确； 的定义域为，恒成立， 所以是函数，故②正确； 的定义域为，不是，所以不是函数，故③错误； 的定义域为，恒成立，所以是函数，故④正确. 故选：D. 知识点07 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 【即学即练】 1．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，然后再根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】若，则， 则当时，， 为奇函数，， 即当时， ， ，则， 即曲线在点处的切线斜率. 因此可得：切线方程为， 即：. 故选：A 2．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线关于点中心对称； (3)若当且仅当，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图象上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为； （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为； （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 知识点08 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 注： (3)＝(g(x)≠0)．（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 【即学即练】 23．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由求出，再由求出的值. 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：A. 24．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 知识点09 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【即学即练】 1．已知函数，对于任意的，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 【答案】A 【分析】求出后结合题意可得，，结合周期性与题意所给单调性可得或，再分别验证即可得. 【详解】，由， 则有，即，， 由，则，故，， 则，，， 化简得，，， 令，则，， 由函数在上单调递增，则，即， 又，则或， 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递增，故在上单调递增， 故时符合题意； 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调，故不合题意； 综上所述：. 故选：A. 2．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据简单复合函数导数的求法，求出函数导数，根据函数导数值域，判断是否存在使导函数值乘积为的两个值，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 知识点10 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 【即学即练】 1．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在时恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在区间（）上单调递增，在区间（）上单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导，根据余弦函数的单调区间求解即可； （2）将恒成立问题转化为最值问题，借助第一问求得的单调区间，数形结合即可求得最值. 【详解】（1）由，函数定义域为，得， 当时，，； 当时，，. 故函数在区间（）上单调递增，在区间（）上单调递减． （2）解法1：分类讨论 令，， 则，． ①当时，在上单调递增，∴当时，，即成立． ②当时，令，则， ∴当时，，即在上单调递增， 因此当时，，即． 于是，在时，，不符合题意． ③当时，有，与题意矛盾． 综上所述，所求的取值范围为． 解法2：数形结合 不等式恒成立，说明函数，的图象在直线的下方． 函数的周期为，结合（1）中的单调区间，可作出函数的图象如图所示． 注意到，∴在处的切线斜率为，直线的斜率为． 于是，对任意，当且仅当时，成立． 故的取值范围为． 2．已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，当时，判断是否存在零点，并说明理由； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)函数在 上单调递减，在 单调递增； (2)不存在零点；理由见解析； (3) 【分析】（1）利用导数即可讨论函数的单调性； （2）利用导数求出函数的单调性，结合单调性得到函数的值域，即可判断零点个数； （3）求出，令，分类讨论的范围，结合导数研究函数的单调性， 从而得到的正负，求得函数的范围，即可得到的取值范围 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令， 则，由于，所以在上恒成立； 则在上单调递增，由于， 所以当时，，当时，； 则函数在 上单调递减，在 上单调递增； （2）当时，， 则， 令， 则，因为，则在上恒成立， 所以在上单调递减， 由于，所以当时，，则函数在上单调递减， 即， 所以若，当时，不存在零点， （3）由题可得： 令， 则， 当时，由于，则，则在上单调递减； 所以，则在上单调递减，则，不满足题意； 当时，令，解得：， 若，即时，则在上恒成立， 则在上单调递增，则，则在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，令，解得：, 令，解得：, 所以在上单调递减；在上单调递增， 则当时，，则函数在上单调递减； 则当时，，不满足条件； 综上：的取值范围为. 知识点11 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 【即学即练】 1．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 【答案】BCD 【分析】对A，由，举反例可判断；对B，由可判断；对C，由，结合，结合极大值定义判断；对D，求导，令，即，利用图象分析判断得解. 【详解】对于A，由，，则， 所以在上不是单调递减函数，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由，结合，在附近，均有，由极大值的定义可得0是极大值点，故C正确； 对于D，由，令， 所以，即，    如图，则有无数个解，所以函数有无数个极大值点，故D正确. 故选：BCD. 2．已知函数．求函数在区间内的极值． 【答案】答案见解析 【分析】首先根据已知条件求导，通过令可得或； 接下来列出当变化时，﹑的变化情况如下表，对分三种情况讨论，即可得到结果. 【详解】， 由得或. 当变化时，﹑的变化情况如下表: 极大值 极小值 注意到，从而 ①当，即时，的极大值为，此时无极小值； ②当即时，的极小值为，此时无极大值； ③当或或时，既无极大值又无极小值． 知识点12 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 【即学即练】 1．已知点满足：，是函数图象上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，,利用导数研究函数的单调性，得出当时，函数最小值为0，从而可得点P在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可． 【详解】设，， 设，，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以， 所以，即点在直线上运动． 设与平行的直线与相切于点，令， 得，故切点为，由图知其到直线的距离， 即的最小值为． 故选：D． 2．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程； （2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域. 【详解】（1）由， 因此在处的切线是. （2）由，列表如下 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 题型01 利用导数求曲线的切线问题 【典例1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【典例2】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程； （2）求导，分，和三种情况，得到函数单调性； （3）在（2）基础上，分三种情况，结合函数最值得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，， ，， 故在处的切线方程为，即； （2）， 由于，若，则，恒成立， 故在上单调递增， 若，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，若，在上单调递增； 若，在上单调递减，在上单调递增； 若，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，若，在上单调递增， 当时，， 要使当时，恒成立，只需，解得， 因此时，不等式恒成立； 若，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 令，解得； 若，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，也是最大值， 且，其中， 由于，故，故， 故当时，，舍去， 综上，a的取值范围是 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 【变式1】已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．是奇函数 C．过点的曲线的切线有且仅有1条 D．当时，恒成立 【答案】ABD 【分析】对函数求导得出的解集，可判断A正确，代入计算出的解析式，再由奇函数定义可判断B正确，设切点为，构造方程并根据方程解的个数判断出切弦条数，可得C错误，令，再根据二次函数最值解不等式即可判断D正确. 【详解】对于A，易知，令，解得， 因此可知在上单调递减，即A正确， 对于B，令函数， 显然满足，因此可得是奇函数，即B正确; 对于C，设切点为， 则切线斜率为，可知切线方程为, 代入点可得，即，解得或， 因此过点可作曲线的两条切线，即C错误； 对于D，令，可得， 由二次函数性质可得其最小值为， 当时，易知，因此恒成立，即D正确. 故选：ABD 【变式2】已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】2 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后利用导数几何的意义求得曲线的切点坐标，即可求解. 【详解】设，则，又，所以， 则切线方程为， 设，则，令，解得， 所以. 故答案为：2 题型02 利用导数求函数的单调性 【典例1】若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，将问题转化成或在上恒成立的问题，然后分离参数处理. 【详解】由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，. 故选：A 【典例2】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）分，两种情况结合正负性可得函数单调区间； （2）分，，三种情况结合在上的单调性可得答案. 【详解】（1）由题可得定义域为：.. 若，则在上单调递增； 若，则， 从而在上单调递减；在上单调递增. 综上，时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为； （2）由（1），若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符； 若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时，符合假设. 若，则在上单调递减， 则此时，这与假设不符. 综上可得，实数m的值为. 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 二、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 【变式2】设函数． (1)证明：曲线关于点对称； (2)已知为增函数， ①求的取值范围； ②不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据函数对称性定义验证即可证明； （2）①由题可得恒成立，分离参数转化为最值问题解决； ②根据题意可得为奇函数，且为增函数，可将问题转化为对恒成立，构造函数，利用导数求出最值即可求解. 【详解】（1）因为， 所以曲线关于点对称. （2）①因为为增函数，所以对于恒成立， 即对于恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 则的最大值为， 所以，即的取值范围是. ②由（1）知，曲线关于点对称，所以为奇函数， 由，，得， 则，即， 因为为增函数，所以为增函数，则， 即对恒成立， 设函数，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故， 所以的取值范围为. 题型03 利用导数求函数的极值 【典例1】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数有一个极大值 B．函数有且仅有一个零点 C．函数图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】构造函数，判定其单调性、奇偶性，零点、极值即可判断各选项. 【详解】令，显然，即为奇函数， 又均为R上增函数，所以为R上增函数， 函数的图象可由图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到， 对于A，由为增函数可知，亦为R上增函数，所以无极值，故A错误； 对于B，由，得，且， 根据零点存在性定理知，在上存在唯一的零点，故B正确； 对于C，由上可知，即， 则函数图象的对称中心为，故C错误； 对于D，，由C可知， 所以不等式， 所以，则，故D正确. 故选：BD 【典例2】已知函数的极值点为，则 ． 【答案】 【分析】求导，判断函数的单调性并结合极值点的定义判断. 【详解】由，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，即. 故答案为：. 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 【变式1】已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性即可； （2）根据，分类讨论结合导函数正负得出单调性及极值点计算求解. 【详解】（1）的定义域为，     ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为. （2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；     下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意；     当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则为函数的极大值点，不合题意；     当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 为函数的极小值点，符合题意；     综上，. 【变式2】已知函数，则下列说法不正确（   ） A．在上单调递减 B．是的零点 C．的极小值为0 D．的极大值点为 【答案】D 【分析】由导数确定单调性，从而可得极值点，计算函数值后可判断各选项． 【详解】, 当时，，所以在上单调递减，时，，在上单调递增，是极小值，，因此ABC正确，D错误， 故选：D． 题型04 利用导数求函数的最值 【典例1】已知函数，． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，均有，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将单调性转化为在区间上恒成立，求导，分离参数，求解函数的最值即可得解， （2）利用换元，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用导数求解最值即可求解. 【详解】（1）由于在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 故，即在区间上恒成立， 由于函数在区间上单调递增，故当时，取到最大值， 故. （2）由题意可得对，恒成立，即， 令，则， 由于恒成立，故在单调递增，故， 因此在恒成立，故， 记，则，故当，因此在单调递减，在单调递增， 故，故. 【典例2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解； （2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间； （3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参. 【详解】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【变式1】函数在上有且只有一个零点，则（   ） A．1 B．- C． D．- 【答案】A 【分析】先根据函数的零点只有一个列式，再构造函数，根据导函数得出函数单调性得出最小值即可计算求出参数范围，再构造，结合导函数单调性及零点个数计算求参. 【详解】函数在上有且只有一个零点等价于方程在上有且只有一个实数根， 即在上有且只有一个实数根. 令，则， 函数单调递增，当时，，当时，， 所以存在，使得，则=， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 由，解得， 所以， 令，其中， 则==. 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递减，且，所以， 所以，解得. 故选：A. 【变式2】已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 题型05 利用导数证明不等式 【典例1】已知函数，若有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导数研究函数单调性及极值，再结合零点个数确定参数范围； （2）结合已知条件对不等式变形转化，构造函数并求导，利用导数确定函数单调性，进而证明结论． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，令，解得，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 在处取得极大值（最大值）， 有两个不同的零点， 极大值，即，解得，即，，， 实数的取值范围为． （2）是的零点， ，，即，， ①，②， 把②代入①得． 不妨设，令，则，， ， 要证明，即证明（其中）， 令 ，求导得， 再求导得：在时恒成立，当时，在上单调递增， ， 当时，恒成立，在上单调递增， ， 当时，，即成立， 得证． 【典例2】已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点． ①记表示不超过a的最大整数，求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导，进而可求，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）①分析可知方程有两个解，构造，利用导数分析其单调性，结合单调性分析求解即可；②由的单调性可知：．分和两种情况，结合的单调性分析证明. 【详解】（1）当时，则，，且， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即． （2）①函数有两个零点，即方程有两个解， ，则， 设的导函数为，则， 当时，则，可得； 当时，则，可得， 可知在内单调递减，且，， 则存在，使得， 当时，， 时，， 综上所述：当时，， 时，， 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 构建，， 因为，可知在上单调递增， 又因为，则， 且当，，所以的取值范围为； ②由的单调性可知：． 若，则，有成立； 若，则， 因为，则， 因为，则，可得， 则， 因为，，且在单调递减， 所以，即； 综上所述：． 证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立. ②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）. (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”． 【变式1】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）（i）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； （ii）根据（i）求出函数的极小值点，根据韦达定理进行变形得到，令，，构造函数，利用导数判断单调性，得出结论. 【详解】（1）若，则， 所以， 故所求的切线方程为． （2）（i）． 设为的两个极值点，则是方程的两个实数根，即方程的两个正实数根． 所以解得， 即的取值范围是． （ii）根据（i）可知，当或时，，单调递增，当时，单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，即． 又， 所以． 设，由可知． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即． 【变式2】已知函数． (1)证明：当时，； (2)已知，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数证得，从而证得. （2）由（1）得到，利用赋值法证得成立. 【详解】（1）令，则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减， ，即． （2）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 令，，， ， 即，则，① 又由（1）知，，当且仅当时等号成立， 令，又，，② 由①②得，． 题型06 利用导数解决恒（能）成立问题 【典例1】已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析得在区间上恒成立，故只需利用导数求的最小值即可. 【详解】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 【典例2】已知函数，． (1)若时，，求的最大值； (2)探究曲线是否为轴对称图形． 【答案】(1)1 (2)为轴对称图形. 【分析】将导数问题转化成函数恒成立，研究函数单调性来求解的最大值. 根据函数图象轴对称的性质，通过验证与的关系来证明. 【详解】（1），的定义域为. ，由于当时，， 即，在上恒成立，故， 当时，单调递减，值域为， 因此在上单调递增，故，可得. 所以的最大值为. （2），的定义域为，关于对称. . 故. 故是轴对称图形且关于对称. 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （3）对于任意的，总存在，使得； （4）对于任意的，总存在，使得； （5）若存在，对于任意的，使得； （6）若存在，对于任意的，使得； （7）对于任意的，使得； （8）对于任意的，使得； （9）若存在，总存在，使得 （10）若存在，总存在，使得． 【变式1】已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过构造函数法进行求解即可； （2）根据对数式与指数式的恒等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意，则， 设切点为，则切线斜率为，由切线过原点， 得，化简得， 令，当时，，，即； 当时，，，即，当且仅当时， 故，，切点为，切线斜率为，所以切线方程为. （2）可化为，即， 令，则，故在上单调递增， 则即，可得， 即，令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以的取值范围为. 【变式2】已知函数 (1)若 ，求 在点 的切线方程； (2)若 ，求 的取值范围； (3)若 ，设 ，且 ，证明: . 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数切线方程的求法求解即可； （2）将不等式转化为，令，所以，利用导函数求出即可； （3）利用导数及零点存在定理，结合基本不等式的性质即可求解. 【详解】（1）当时，，， ，则， 所以 在点 的切线方程为，即. （2）由可得，即， 令，所以. ， 显然，令， 则， 所以在上单调递减，因为，所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 所以 的取值范围为. （3）由（2）知，当时，当且仅当时等号成立， 因为，所以，则，即， 同理可得，所以，即， 当时，，， 当时，，单调递增. 令，则， 当时，，当时，， 所以当时，，即在单调递增，所以在单调递增， 又，，所以存在唯一，使得， 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 则存在唯一，使得，因此当时，当时，，且，所以，即， 又，则，即，所以，所以. 题型07 利用导数解决零点问题 【典例1】已知函数在内有两个不同的零点，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数零点即方程的解，取对数得，此方程有两个解，引入函数，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论． 【详解】显然，有两个零点，即方程在上有两个解， 两边取对数得到，在上有两个解， 令，， 若，恒成立，即在上单调递增，不符合题意； 故， 由，得， 由，得， 在单调递增，在单调递减， 又当时，，当时，， 因为有两个零点，则， 解得.所以的取值范围是. 故选：B． 【典例2】已知函数，则（ ） A．在上单调递减 B．的极大值点是 C．的图象关于对称 D．方程有三个实数根 【答案】ACD 【分析】利用导数求函数的单调区间判断A选项；由单调区间判断极值点，求出极大值判断选项B；由函数奇偶性判断选项C，由单调性和极值判断函数零点个数判断选项D. 【详解】函数，， 对于A，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，故A正确； 对于B，时有极大值， 即的极大值点是，故B错误； 对于C，的定义域为，， 则函数是奇函数，图象关于对称，故C正确； 对于D，时有极大值，时有极小值， 又， ， 所以函数的图象与轴有三个交点，即方程有三个实数根，故D正确. 故选：ACD 基本步骤： 第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围； 第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式； 第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 下面我们通过实例来分析. 【变式1】已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线为轴，求的值: (2)函数的导函数为，曲线与曲线交于两点，求证:直线的斜率小于1. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，构造函数研究函数的单调性、最值计算即可求解； （2）联立导函数与函数方程计算得出A、B坐标，利用两点斜率公式，结合上问的结论，得出，再根据指对同构计算即可. 【详解】（1）函数求导， 由题意，曲线在处的切线为轴，则， 即，令，易知， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 即只有一个解，得； （2）曲线与的交点满足， 化简得， 则或即， 不妨令交点，则. 直线的斜率为， 由上可知，所以， 令，则，故， 于是. 【变式2】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 【答案】AD 【分析】对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式画出函数大致图象，从而判断A、B、C；令解得的值，结合函数的极值点及函数图象得到零点个数，从而判断D. 【详解】， 当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 当时，函数有极大值，当时，函数有极小值. 由，即，得或， 所以当时函数的图象在x轴上方，画出函数图象，如图    由图知，A正确，B错误； 若函数在上是减函数，实数a的取值范围是，故C错误； 由得或. 因为，， 所以与，的图象共有5个交点， 所以函数有5个零点，故D正确. 故选：AD. 题型08 利用导数解决双变量问题 【典例1】已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)在R上单调递增； (2)（i）；证明见解析. 【分析】（1）由题可得，然后由题意结合基本不等式可得的单调区间； （2）（i）由题可得，令，可得方程有两个相异正根，据此可得答案；（ii）由（i）可得，要证，即证，然后通过研究的单调性可完成证明. 【详解】（1）当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； （2）（i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 【典例2】已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，（），且，证明：. 【答案】(1)是的极小值点，极小值为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）通过求导找到函数的极值点和极值； （2）分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性； （3）依据（2）中的结论，可知证明即可，构造函数即可得出结论. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 对求导，可得， 令，即，因为，所以，解得， 当时，，，，则，单调递减； 当时，，，，则，单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. （2）的定义域为． 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，； 当时，，所以单调递减； 在上，，所以单调递增；   综上所得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：当时，； 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增； 由题意可得， 由及，得； 欲证，只要， 注意到在上单调递减，且，只要证明即可； 由，得； 所以 ， 令， 则， 则在上是单调递增的， 因此，即； 综上，． 在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法： 1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。 2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。 3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。 【变式1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性. （2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件. （3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明. 【详解】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 【变式2】已知有两个不同的极值点，则下列说法不正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义，由导函数及韦达定理计算参数a范围，可直接判定A；对于B项，消元转化为单变量，构造函数判定其单调性求最值即可；对于C项，利用韦达定理消元转化计算即可；对于D项，化简比值代数式，将问题化为判定两点斜率问题，结合对数函数的图象即可判定. 【详解】由题意知，则， 由于有两个不同的极值点， 即有2个正数根，则， 故需满足，解得， 对于A，，A错误； 对于B，，故， 令，则， 即在上单调递减，故， 即，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，可看作曲线上两点，连线的斜率， 由于，故不妨设， 由于，则曲线在处的切线斜率为1， 由于，故连线的斜率小于1，即， 所以，即，D正确． 故选：A． 题型09 利用导数解决实际问题 【典例1】某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入. (1)求蔬菜大棚带来的利润（万元）关于大棚个数的函数关系式； (2)建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润. 【答案】(1) (2)12个，120万元 【分析】（1）利润等于销售额减去投入成本及固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. 【详解】（1）根据题意得 当时，， 当时，， 所以 （2）当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为80， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为120， 所以建造12个生态农场获得的利润最大，最大利润为120万元. 【典例2】甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据汽车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域； （2）求导讨论单调性即可. 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时，所以 （2） 当时，当时，， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，最小； 当时，，单调递减，当时，最小； 综上：当时，应该以千米/小时行驶； 当时，应该以千米/小时行驶 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为： 一设，设出自变量、因变量； 二列，列出函数关系式，并写出定义域； 三解，解出函数的最值，一般常用导数求解； 四答，回答实际问题. 【变式1】某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定点D的位置. 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【变式2】某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据题意可列出每瓶液体材料的利润关于r的函数解析式，再利用导数求出函数单调性，即可得出利润最大时. 【详解】由题意可知，每瓶液体材料的利润， 所以，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故每瓶液体材料的利润最大时，. 故选：B. 1．函数在上的平均变化率为 . 【答案】 【分析】由平均变化率的定义即可求解. 【详解】由平均变化率的定义可得：， 故答案为： 2．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性得，，根据已知将问题化为在恒成立，应用换元法及导数研究右侧的单调性求右侧的范围，即可得. 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②，解得，， 所以不等式，可化为， 因为，所以， 设，则，故， 因为，，所以， 故在上是增函数，则， 又在上是增函数，所以，则， 因为在恒成立，所以， 所以正实数a的取值范围是. 故选：D 3．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将切化弦，整理得到，从而得到或，当时计算出角，代入已知，得到，产生矛盾 ，从而得到；由，计算出，利用求出，由和得到，代入整理后得到，将此式子放缩后得到，即，整理后得到，从而得到的范围；由和得到，由和得到和，从而得到；设，则，转化为且，设，利用导数法得到在内是减函数，利用二分法思想得到的零点在内，即，求出的范围，得到，由得到，由正弦定理得到，从而得到. 【详解】，， ， ，， ，，或， 若，， 代入已知，得到，这是不可能的，则舍去， ，故选项A正确； ，， ，，， ，，，， ，，， ，，， ，， ，，， ， ，， ，，，， 故选项B正确； ，，， ，， ，，， ，故选项C错误； 设，，， ，，， 设， ， 在内是减函数， ，， 在内有唯一的零点， 利用二分法思想，， 的零点在内， ，，， ，， ，， ，，， ，故选项D正确. 故选：ABD. 4．已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2024 【答案】B 【分析】求出导数，代入计算即可. 【详解】由题可得：，所以， 则, 则, 则. 故选：B 5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 6．已知是函数的两个零点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】分和两种情况讨论，把函数的两个零点问题转化为曲线与直线有两个交点的问题， 求导得到的单调性，进而得到，且，从而把要证， 转化为证明，再通过构造函数进行证明． 【详解】当时，，0不是的零点； 当，问题可以转化为曲线与直线有两个交点， 曲线求导得，当时，；当时，；当时，， 在和上单调递减，在上单调递增，且时，， 当时，，当时，，如下图所示， ，且，，则有， 要证，即证，即证． 令，，，不等式转化为，即证明， 设，求导得， 令，求导得，，， 单调递增，， 单调递增，． 原不等式成立，即，命题得证． 7．关于曲线C：下列说法正确的有（   ） A．曲线C的方程可化简为 B．曲线C与直线有且只有一个公共点 C．曲线C全部位于第四象限内 D．点在曲线C上，则 【答案】ACD 【分析】由给定等式同构变形，借助函数单调性判断A；利用导数，结合不等式推理判断B；利用不等式及确定曲线位置判断C；构造关于的函数，借助此函数有零点，再利用导数求解判断D. 【详解】依题意，， 对于A，令函数，函数在上单调递增，而， 则，，A正确； 令函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，， 因此，， 对于B，当时，，而，则，解得， 与矛盾，因此，B错误； 对于C，由，得， 即曲线上的点位于直线的下方； 由，得曲线上的点位于直线的上方，曲线全部位于第四象限，C正确； 对于D，曲线上的点满足方程， 令，则方程有解，， 由，得；由，得， 在上递增，在上递减， ，解得， 当从大于的方向趋近于时，，当时，， 因此必有解，D正确. 故选：ACD 8．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】首先得到，再判断其奇偶性和单调性和奇偶性，从而得到不等式，解出即可. 【详解】由题得：， 即，从而（其中为常数），，又， ，因为的定义域为R，且，则为偶函数， 又因为，当时，， 因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或， 故选：B． 9．已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； (3)若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 【答案】(1)最小值为，无最大值 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)通过求导找函数单调性的分界点，进而确定极值（也是最值）。 (2)分别分析与的极值存在性（结合a的取值分类讨论），再根据“极值相等”列方程求解a. (3)先通过求导确定的极值点满足的关系，再构造函数结合单调性证明不等式. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，求导得， 令，解得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，也是最小值， 最小值为，无最大值. （2）对求导得， 因为存在极值，所以在上有解，解得（）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，， 对，求导得, 因为存在极值，所以有解，解得（）, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值, ,因为和极值相等，所以， 即， 因为，所以，即，因此，实数a的值为 （3）由， 令， 即， 因为函数有两个不同的极值点， 所以①，②， 令③，则，代入②得： 由①得：，两式相减：， 所以， 又，得， 则，要证，即证， 即证，化简得， 即证，即 即证， 令， ，所以 即，所以在上单调递增， 所以，所以，得证. 10．已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，，即 为的增函数，，，即， 由题意，只需， 记，，令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，所以； 当时，，，符合题意. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 11．设函数，若恒成立，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据题意分析得出，即，构造新函数，利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，，由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为，所以不一定恒成立，矛盾，故不成立； 当时，由， 由， 所以要使得恒成立，则，即，所以． 设， 则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以有最小值，所以的最小值是． 故答案为：． 12．已知函数在处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1) (2)在处取得极小值，无极大值 【分析】（1）根据条件得，列出等式求解即可； （2）通过研究，求得在的单调性，进而求出的极值． 【详解】（1），因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得， 所以的解析式为． （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点， 因此函数在处取得极小值，无极大值，， 所以函数在内的极小值为，无极大值． 13．当时，不等式有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离，令，问题化为求有解时的取值范围，即．，令，则求出t的范围和的最小值即可． 【详解】当时，不等式有解，等价于存在使得． 设，则问题转化为求有解时的取值范围，即． ，令，则. ①求的值域： 对求导得，令得． 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故的最小值为，且时时， 因此． ②求的最小值： 对求导得，令得． 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故的最小值为，且对应（此时）， 因此，当且仅当时取等号． ③确定的取值范围： ，即． 故答案为：． 14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求的导数，进而结合二次不等式的性质对分类讨论可得结果； （2）（ⅰ）令，即，结合直线与无交点，并利用（1）的结果得到的取值范围； （ⅱ）由（1）中方程有，，化简可得，利用导数讨论单调性可得结果. 【详解】（1）由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． （2）（ⅰ）令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为． （ⅱ）由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 极小值为，极大值为. (3)或 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点的导数值和函数值，进而即可求出切线方程. （2）根据导数的符号求出函数的单调区间以及极值点和极值. （3）根据（2）的单调性和极值画出函数图象，进而可确定的范围. 【详解】（1）因为函数，对函数求导得. 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，则或. 当时，因为，所以，此时在上单调递增； 当时，因为，所以或，此时在，上单调递减； 所以在处取得极小值为， 在处取得极大值为. （3）因为集合恰有一个元素，即只有一个根. 也就是说函数与只有一个交点. 由（2）可画出函数的图象如下所示，    因为，时，， 所以根据图象可以得出当或时，集合恰有一个元素. 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $