专题5.3.1 函数的单调性（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

本讲义聚焦函数的单调性与导数的关系这一核心知识点，从导数符号与单调性的基本关系出发，梳理利用导数判断单调性的方法、求单调区间的步骤，进而延伸到含参数与不含参数的单调性讨论，构建递进式学习支架。 资料通过“即学即练”及时巩固与“典例变式”深化理解，引导学生从具体问题中抽象导数应用规律（数学眼光），在含参数单调性讨论中培养逻辑推理（数学思维），以步骤化题型设计规范表达（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后便于学生自主复习弥补知识盲点。

专题5.3.1 函数的单调性 教学目标 1.理解导数与函数的单调性的关系。 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。 4.会利用导数证明一些简单的不等式问题。 5.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。 教学重难点 1.重点 利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式. 2.难点 利用导数解决单调性与含参数相关的问题 知识点01 函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调___________； ②若，则在这个区间上单调___________； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 【即学即练】 1．已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．是奇函数 C．过点的曲线的切线有且仅有1条 D．当时，恒成立 2．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 知识点02 利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 注意（1）若函数在区间内单调递增，则___________，若函数在内单调递减，则___________ （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——___________：或． 【即学即练】 1．设． (1)求函数的单调区间； (2)若的三个顶点均在半径为的圆周上，求面积的最大值． 2．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 知识点03 利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成___________，判断在各个小区间内的___________． 【即学即练】 1．已知函数. (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)直接写出函数的零点个数. 2．已知函数，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 知识点04 讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能___________要进行___________，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像___________； 【即学即练】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 题型01 利用导数求函数的单调区间 【典例1】函数的增区间是 . （1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增． （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”． 【变式1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【变式2】已知函数若存在，使得，则的取值范围是 . 【变式3】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若单调．求的取值范围． 题型02 函数图象与导函数图象的关系 【典例1】已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为 . （1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性． （2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大． 【变式1】如图所示为函数的图象，则不等式的解集为    【变式2】已知函数的导函数的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．函数有2个极值点 B．，使得恒成立 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上没有零点 【变式3】已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 题型03 已知单调性求参数的取值范围 【典例1】设函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 （1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意． （2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养． 【变式1】若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式2】已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【变式3】已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 题型04 含参数单调性讨论 【典例1】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）． 2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段． 3、利用草稿图像辅助说明． 【变式1】已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 【变式2】已知函数． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【变式3】已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 题型05 判断、证明函数的单调性 【典例1】已知，，，则、、的大小关系是 ． 判断、证明函数的单调性的步骤： 1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数在上单调递增，. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【变式3】已知函数则（    ） A．存在a，b使得为奇函数 B．存在a，b使得为偶函数 C．当，时，在上单调递减 D．过曲线上一点作曲线的切线与交于，必有 1．已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 2．已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 4．已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 5．已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 7．已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意x，都有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 12．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 13．设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.1 函数的单调性 教学目标 1.理解导数与函数的单调性的关系。 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。 4.会利用导数证明一些简单的不等式问题。 5.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。 教学重难点 1.重点 利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式. 2.难点 利用导数解决单调性与含参数相关的问题 知识点01 函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 【即学即练】 1．已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．是奇函数 C．过点的曲线的切线有且仅有1条 D．当时，恒成立 【答案】ABD 【分析】对函数求导得出的解集，可判断A正确，代入计算出的解析式，再由奇函数定义可判断B正确，设切点为，构造方程并根据方程解的个数判断出切弦条数，可得C错误，令，再根据二次函数最值解不等式即可判断D正确. 【详解】对于A，易知，令，解得， 因此可知在上单调递减，即A正确， 对于B，令函数， 显然满足，因此可得是奇函数，即B正确; 对于C，设切点为， 则切线斜率为，可知切线方程为, 代入点可得，即，解得或， 因此过点可作曲线的两条切线，即C错误； 对于D，令，可得， 由二次函数性质可得其最小值为， 当时，易知，因此恒成立，即D正确. 故选：ABD 2．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数求的单调区间，由在区间上单调，求的取值范围. 【详解】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 知识点02 利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 注意（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 【即学即练】 1．设． (1)求函数的单调区间； (2)若的三个顶点均在半径为的圆周上，求面积的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （2）结合三角形面积公式和三角函数的性质求出面积的最大值. 【详解】（1），令，，，的单调增区间为； 令，，，的单调减区间为 ． 综上所述，函数的单调增区间为，单调减区间为 ． （2）不妨设为锐角，设为圆心，如图所示，   ，． 由第（1）问可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，． 当为等边三角形时，． 综上所述，面积的最大值为． 2．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 知识点03 利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 【即学即练】 1．已知函数. (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)直接写出函数的零点个数. 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为； (3)1 【分析】（1）求导，设切点为，由导数几何意义得到方程，解得，得到切点坐标，求出切线方程； （2）先求定义域，令得，令得或，从而求出单调区间； （3）令得，从而求出零点个数. 【详解】（1）， 切线的倾斜角是0，则切线斜率为， 设切点为，则，解得， 故，故切点坐标为， 故该切线方程为； （2）中，令，解得， 故定义域为， 由（1）知，，令得， 令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； （3）令得，解得， 故的零点为1，函数的零点有1个. 2．已知函数，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）由题意得，解出即可； （2）由（Ⅰ）得，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）由，解得； （2）由（Ⅰ）得， 则， 令，解得，又， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 知识点04 讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【即学即练】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，即结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间. 【详解】（1）解：当时，，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点为， 所以切线方程为，即. （2）解：由函数，可得函数的定义域，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，即，即，解得； 令，即，即，解得， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 题型01 利用导数求函数的单调区间 【典例1】函数的增区间是 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以函数的增区间是. 故答案为： （1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增． （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”． 【变式1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求导得，再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 【变式2】已知函数若存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论所在范围，据此求出的表达式，利用导数求解即可. 【详解】当时，， 所以，即， 所以，则. 设，则，则在上单调递增， 所以. 当时，，则， 所以，不存在，使得. 当时，，由，得， 所以，则2）. 令，易得在上单调递增， 所以，即. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若单调．求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间，无单调减区间 (2) 【分析】（1）求导，分析导数正负情况得单调区间； （2）根据单调，可得此区间上的导数正负情况，结合两个特殊值，找到符合条件的，再验证即可. 【详解】（1）当时，， ， 因为，所以，在单调递增， 所以单调增区间为，无单调减区间. （2）， ，， 若单调，则时，恒成立，或恒成立， 则，即 ，解得， 由（1）得，时，在单调递增，符合题意； 所以的范围是. 题型02 函数图象与导函数图象的关系 【典例1】已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据导函数图象可得函数的单调性，结合单调性分段解不等式即得. 【详解】在区间上的函数是偶函数， 由图知在单调递增，单调递减. 不等式， 当时，，则有， 当时，，则有， 所以不等式的解集为. 故答案为： （1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性． （2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大． 【变式1】如图所示为函数的图象，则不等式的解集为    【答案】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 【变式2】已知函数的导函数的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．函数有2个极值点 B．，使得恒成立 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上没有零点 【答案】B 【分析】由导函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由图象可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值， 对于A，函数有1个极大值点，故A错误； 对于B，，使得恒成立，只需即可，故B正确； 对于C，因为在区间上，所以函数在区间上单调递减，故C错误； 对于D，函数在区间上单调递减，无法判断零点情况，故D错误； 故选：B. 【变式3】已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 题型03 已知单调性求参数的取值范围 【典例1】设函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】由题可得，令，得在上为单调递增的奇函数，由于，，利用对称性求解即可. 【详解】因为，所以， 即， 令，，所以在上为单调递增的奇函数， 由于，， 所以，则， 故选：D． （1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意． （2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养． 【变式1】若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 【变式2】已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【变式3】已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 当时，，对称轴为，则， 当时，，则， 要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到. 又因为，即， 综上所述，，，所以 则的最大值为6， 故选：C. 题型04 含参数单调性讨论 【典例1】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标及切线斜率即可求得切线方程； （2）求导，分，两种情况，根据导数与单调性的关系求解. 【详解】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）． 2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段． 3、利用草稿图像辅助说明． 【变式1】已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数直接求解在某一点处的切线方程即可； （2）利用导数直接求解函数的单调区间. 【详解】（1）由题知，的定义域为， 则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由题知，， 其定义域为， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，令，，令，， 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，递减区间为. 【变式2】已知函数． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程； （2）求导，分和讨论判断导数的正负，得解. 【详解】（1）当时，，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）由，， 当时，有，即在上单调递增； 当时，令，得， 令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式3】已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，因式分解得到，分和进行讨论，再细分为，和，求出函数单调区间. 【详解】（1）时，，， ，故， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为R， ， 若，恒成立，令得，令得， 的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得或， 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，即时，恒成立， 所以的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 题型05 判断、证明函数的单调性 【典例1】已知，，，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】令，，利用导数分析该函数在上的单调性，可得出、的大小关系；利用作差法结合辅助角公式可得出、的大小关系，可判断、的大小关系.即可得出结论. 【详解】令函数，， 则由余弦函数性质得恒成立， 故函数在定义域上是增函数， 所以当时，，则， 于是，即；当时，， 则， 所以，而， 于是，即．综上可得． 故答案为： 判断、证明函数的单调性的步骤： 1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 【变式2】已知幂函数在上单调递增，. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，然后结合单调性可得解析式； （2）求出的解析式，然后换元，利用导数讨论其单调性，由单调性可得值域. 【详解】（1）由题意可知，，解得或， 又在上单调递增，所以，所以. （2）由（1）知，，所以，当时，， 即， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以时，，即函数的值域为. 【变式3】已知函数则（    ） A．存在a，b使得为奇函数 B．存在a，b使得为偶函数 C．当，时，在上单调递减 D．过曲线上一点作曲线的切线与交于，必有 【答案】AC 【分析】通过奇偶性定义推导A、B的成立条件，利用导数及二次函数性质分析C的单调性，取特殊值验证D的结论. 【详解】选项A，若为奇函数，则对任意，有， 代入，得， 化简为，两边消去， 得，即. 该式对任意成立，仅当，可为任意实数，故存在使为奇函数，A正确. 选项B，若为偶函数，则对任意，有， 代入得， 化简为，两边消去， 得，即，此方程不恒成立，B错误. 选项C，当，时，，. 令，其对称轴为，在区间内，， ，， 故，又时，， 因此恒成立，在该区间单调递减，C正确. 选项D，取，，则，，设， 在点处，， 切线方程为，即. 联立切线与方程，由消去得，即， 因式分解为，解得（与相同）或，故. 此时，故D错误. 故选：AC 1．已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 2．已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性可得函数的图像关于直线成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从而可判断和的大小，从而得结论. 【详解】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 3．已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据导数的几何意义，求得函数在处的切线斜率，并根据切点是函数图象与切线的交点，可求得实数a，b的值. (2)根据函数在上单调，得或在上恒成立，从而列出关于的不等式，求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数，所以. 所以. 所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 （2）解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立， 所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 4．已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 5．已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 6．已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，接着对函数进行求导，令，得到临界点和，最后根据与的大小关系，分四种情况讨论在不同区间的符号，从而确定的单调性.      （2）根据，构造函数，由条件得出在上单调递增，所以在上恒成立，变形得到在上恒成立，最后求的最大值即可得到的取值范围． 【详解】（1）的定义域为． 若，则． ①若，当时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增； ②若，当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③若，当且仅当时取等号，此时在上单调递增； ④若，当或时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）不妨设，则 ． 设，则， 所以在上单调递增，所以对恒成立， 所以对恒成立， 又，所以当时，取最大值， 所以，解得，即的取值范围为． 7．已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 8．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 9．已知则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可证明且，可判定A错误；将 看作，的图象与直线 交点的横坐标，数形结合可判断B；由题意可知，又，所以，即可判断C；构造函数 ，利用其单调性即可判断D． 【详解】若，则，，则不成立，A错误； 若，则，，不成立， 若，，则，， 所以不成立，所以且， 又，，则，可以分别看作，的图象与直线交点的横坐标， 作出，与的图象如图所示，        结合图象可知， 综上所述，故B错误； 由，，可得， 所以，C错误； 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 所以，D正确． 故选：D． 10．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 11．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意x，都有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，结合已知利用导数法得函数在上为减函数，结合奇函数性质得，即可求解. 【详解】设，，则， 且，所以函数在上为减函数． 又为奇函数，则有，所以． 当时，， 故不等式的解集是． 故选：B 12．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 13．设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象的单调性与导函数的符号之间的关系逐项分析判断. 【详解】由图象知，，的图象为增函数，则， 故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误. 故选：A 14．已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得函数为增函数，且为奇函数，进而可由得，解得答案. 【详解】函数，定义域为，恒成立，故函数为增函数， 又由，故函数为奇函数， ，则， 解得：. 故选：B. 15．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $