专题5.3.2 函数的极值与最大 (小) 值（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题5.3.2 函数的极值与最大 (小) 值 教学目标 1.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。 2.掌握函数极值的判定及求法。 3.掌握函数在某一点取得极值的条件。 4.能根据极值点与极值的情况求参数范围。 5.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。 6.会求某闭区间上函数的最值 7.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围 教学重难点 1.重点 求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.. 2.难点 求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题； 知识点01 函数的极值 1.函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 2.用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 【即学即练】 1．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围 . 【答案】 【分析】讨论函数的单调性进而得出极值点，再结合零点存在定理和放缩法即可证明. 【详解】，，， 令，令， 于是在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以时，函数有极大值为，时，函数有极小值为. 由题意函数在R上由3个不同的零点，则根据三次函数的性质知. 故答案为：. 2．已知函数． (1)求函数的极值． (2)是否存在过原点的曲线的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)有极大值 ，无极小值 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）求出导函数，判断导数的符号，研究其单调性后可得其极值； （2）假设存在，设出切点坐标并借助导数的几何意义表示出切线方程， 再利用切线过原点可得与切点横坐标有关方程，判断该方程是否有解，即可得结论. 【详解】（1） ， 则当 时， ，当 时， 即 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 有极大值 ，无极小值； （2）不存在，理由如下： 假设曲线 存在过原点的切线，且切点坐标为 因 ，则该切线斜率为 ， 即该切线方程为 ， 若切线经过原点，则有 ，整理得 该方程的根的判别式 ，该方程无解， 故过原点不存在曲线 的切线. 知识点02 函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 2.求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 【即学即练】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算和，得切线方程为； （2）先求导得，分和讨论，求出极小值，再由整理有，构造新函数，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，则，所以， 因为，所以在处的切线方程为． （2）因为，其中， 则， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， ②当时，令，可得，列表如下： - 0 + 递减 极小值 递增 所以， 由题意可得，即， 令，则． 因为，当等号成立， 所以函数在单调递增， 所以由，得， 所以实数的取值范围是． 2．已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数求得切线斜率，由函数解析式求得切点，根据切线方程，建立方程组，可得答案； （2）由函数解析式求导，根据极值与导数的关系，结合函数解析式，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 因为切线方程为， 所以，解得， 所以. （2）函数在处有极值 且或 恒成立，此时函数无极值点， 此时1是极值点，满足题意， 所以. 知识点03 最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 【即学即练】 1．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可. 【详解】当，则，， 依题意可得，解得， 即的取值范围是. 故选：A 2．若函数在有且仅有3个极值点，2个零点，则的取值范围 【答案】 【分析】令，问题化为在有且仅有3个极值点，2个零点，根据上界范围求参数范围. 【详解】在上， 则在有且仅有3个极值点，2个零点， 由正弦型函数的图象知：，则. 故答案为： 知识点04 函数极值与最值的简单应用 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 【即学即练】 1．已知函数． (1)证明：； (2)判断的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）令，利用导数求出的单调区间，求出的最小值证明； （2）求出，令，求出的单调区间，根据零点存在定理得到的零点，求出的单调区间，求出，求出的零点个数. 【详解】（1）令， 则只需证明，则， 易知在区间单调递增， 又，所以当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； （2）， 令，则， 易知在区间单调递增， 又， 所以使得， 即，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以， 又由对勾函数的单调性可知在区间上单调递增， 所以， 又， 所以在区间和上各有一个零点．故的零点个数为2． 2．已知函数． (1)当，求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案； （2）由，把函数的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令，利用导数法研究函数的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数的取值范围． 【详解】（1）将代入可得，其定义域为R，则. 和都在上增函数，所以在上单调递增且， 因此，当时，，函数为单调递减； 当时，，函数为单调递增； 综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）（2）由得，，令， 则， 时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减； 由单调性可知，当时，； 当时，； 当时，取得极小值，即； 当时，取得极大值，即. 所以和的大致图象如下： 综上所述，若有三个零点，则的取值范围为． 题型01 求函数的极值 【典例1】设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【答案】(1)函数的极大值点为，函数没有极小值点； (2). 【分析】（1）由题可得单调性，据此可得的极值点； （2）由，可得.令，由导数知识可得 大致图像，随后由图象与有2个交点可得答案. 【详解】（1）， 则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 则在时取极大值； 所以函数的极大值点为，函数没有极小值点； （2）令，因， 则.令，则. 令，则， 从而在上递增，又注意到， 则， 则， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，可画出大致图象. 又在上有两个零点等价于图象与有2个交点. 则由图可得. 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域． （2）求方程的根． （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况． 【变式1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 【变式2】设函数，则（    ） A．的极小值点为 B．在上为增函数 C．直线是曲线的切线 D．方程恰有一个解当且仅当 【答案】AC 【分析】根据函数求出函数导数，根据函数导数与极值点，单调性，切线，和方程的解的关系，逐一判断各选项正误. 【详解】由得，， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，所以A正确； 所以在上单调递减，所以B错误； 当时，解得，则， 所以在处切线方程为，所以C正确； 已知在上单调递减，在上单调递增，极小值； 当时，且，当时，， 所以当恰有一个解时，，所以D错误； 故选：AC. 【变式3】已知函数. (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若，，求出解析式，利用导函数求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）根据定义域为，利用极值点求出，可得，分类讨论，，，是否满足是的极大值点，即可求出的取值范围. 【详解】（1）若，，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意，得的定义域为，， 则，即，所以. 当时，在时，，单调递减； 在和时，，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在时，，单调递减； 在和时，，单调递增， 所以是的极小值点，不满足条件. 当时，在时，，单调递减；在时，，单调递增， 所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 题型02 由极值求参数的值或取值范围 【典例1】若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 【变式1】若函数在处取得极小值，则 ． 【答案】/ 【分析】通过导数判断的单调性，从而找到其极值点，进而求出. 【详解】的定义域为，, 令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点， 所以， 故答案为：. 【变式2】已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 【变式3】已知函数，，（）. (1)函数在处切线方程，求的值. (2)设， ①若，以参数讨论函数的单调性； ②若，有两个极值点，，求的范围. 【答案】(1)； (2)①答案见解析；②. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合给定切线求出的值. （2）①求出及导数，再分类求出其单调性；②把代入，求出导数，结合极值点及韦达定理列式求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 由函数在处切线方程，得，所以. （2）①当时，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，方程，， 当时，，恒成立，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ②当时，，求导得， 由有两个极值点，得是方程的两个不等正实根， ，，则， 因此，，令函数， 求导得，函数在上单调递增，，即， 所以的取值范围是. 题型03 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 【典例1】已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，     当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 【变式1】已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）由题可得在处取得极大值，据此可得答案. （2）由题可得，然后分，，三种情况解不等式可得单调区间； （3）将问题转化为函数与直线在上有2个交点，然后通过导数研究函数，可得大致图像，据此可得答案. 【详解】（1）由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； （2）由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； （3）由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 【变式2】已知函数的极小值为2，，. (1)求的值； (2)比较并证明与0的大小； (3)求的零点个数并进行证明. 【答案】(1) (2) (3)个零点，证明见解析 【分析】（1）求导，再分类讨论求出函数的极小值，再结合已知即可得解； （2）由（1）得，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得解； （3）先利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】（1）， 当时，，所以函数在上单调递增，所以函数无极值； 当时，则时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，所以； （2）由（1）得， 则， 令， 则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以； （3），， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以， 因为，所以， 又，所以函数在上有唯一零点， 因为， 所以，所以， 由（2）得， 所以函数在上有唯一零点， 综上所述，函数有个零点. 【变式3】已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由题意列出方程组，求出的值，再结合导数与单调性的关系，即可求得答案. （2）结合（1）求出函数的极大值极小值，结合零点与函数图象交点的关系，即可求得答案. 【详解】（1）由，得， 故，解得， 故， 令，得或；令，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得的极大值为，极小值为， 当x趋向于正无穷大和负无穷大时，也分别趋向于正无穷大和负无穷大， 故函数恰有3个零点，即的图象有3个交点， 故. 题型04 不含参函数的最值问题 【典例1】已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程； （2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域. 【详解】（1）由， 因此在处的切线是. （2）由，列表如下 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 求函数最值的步骤 （1）求函数的定义域． （2）求，解方程． （3）列出关于，，的变化表． （4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 【变式1】已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1)的单调递增区间为，； (2). 【分析】（1）求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间； （2）根据导数与函数最值的关系结合条件即得. 【详解】（1）因为， 所以， 由，可得或， ，的变化情况如下： 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以函数的单调递增区间为，； （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以为极大值点，为极小值点，又，，，， 所以在上的值域为. 【变式2】已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 【变式3】已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 题型05 含参函数的最值问题 【典例1】已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【变式1】已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的导数值建立方程求出. （2）由（1）求出在上的最大值并求得，进而求出函数在上的最小值. 【详解】（1）函数，求导得，由， 得，所以. （2）由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 【变式2】已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到函数单调性，在处取得极小值，且计算出，要想在区间上存在最小值，需满足，从而得到答案. 【详解】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值，需满足， 解得. 故选：C 【变式3】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 【答案】(1)(2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求出切点，再结合导数的几何意义求出斜率，最后得到切线方程即可. （2）先求出，进而结合因式分解法判断，再利用余弦函数的性质求解单调区间即可. （3）先利用换元法得到，再针对参数范围讨论的单调性，进而结合最大值为4建立方程，求解的值即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点为，可得， 由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为. （2）因为， 所以， 故， 令，则， 因为，所以，， 可得，令，， 令，， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是. （3）令，则可化为， 而，由题意得，故， 令，解得，下面我们讨论和的大小关系， 当时，解得，此时在上单调递减， 此时的最大值为， 令，则， 此时，故恒成立，则在上单调递增， 则，可得的最大值不可能为，故排除， 当时，解得，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 得到，解得. 题型06 由函数的最值求参数问题 【典例1】已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【分析】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【详解】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选： 已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题． 【变式1】对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 【答案】BCD 【分析】对A，由，举反例可判断；对B，由可判断；对C，由，结合，结合极大值定义判断；对D，求导，令，即，利用图象分析判断得解. 【详解】对于A，由，，则， 所以在上不是单调递减函数，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由，结合，在附近，均有，由极大值的定义可得0是极大值点，故C正确； 对于D，由，令， 所以，即，    如图，则有无数个解，所以函数有无数个极大值点，故D正确. 故选：BCD. 【变式2】已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）设，求导得，令，分和讨论，验证； （3）由（2），当时，，令，可得，得，求和得证. 【详解】（1）由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增. （2）设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时，当时，，即单调递减， 故，单调递减，故，不符合题意； 综上，. （3）由（2），当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即. 【变式3】已经函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 【答案】(1)极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象有两个交点，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得其图象，数形结合，即可求解； （3）构造函数，利用导数与函数单调性，可得，构造函数，利用导数与函数单调性，可得，即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 又的定义域为， 令，得到，由，解得，由，解得， 所以当时，的增区间为，的减区间为， 则的极大值为，无极小值． （2）因为有两个零点，即方程有两个解， 等价于方程有两个解；等价于与的图象有两个交点， 因为，令，解得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 则当时，取到最大值，且， 又当时，且时，， 当时，，且时，， 的图象如图所示， 所以当时，有没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，有两个零点． （3）当时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 令，∴， 当，∴，即在上单调递增， ∴，即． 令，∴， ∵，∴，即在上单调递增， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴成立， 即当时，不等式恒成立． 题型07 利用导数研究恒成立问题 【典例1】若时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，令，由已知可得，设，利用导数可得函数在上s单调递增，且有，从而得，，令，，利用导数求出函数的取值范围，即可得答案. 【详解】，即. 设，则. 由，得. 设，则， 所以在上单调递增， 由知，所以， 即，，，所以. 设，，则， 所以在单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数． 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 【变式1】已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析得在区间上恒成立，故只需利用导数求的最小值即可. 【详解】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，参变分离得在上恒成立，然后利用正弦函数的性质求解最值即可求解. 【详解】由得， 由题意得在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以恒成立，故实数的取值范围是． 故选：B 【变式3】定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】首先得到，再判断其奇偶性和单调性和奇偶性，从而得到不等式，解出即可. 【详解】由题得：， 即，从而（其中为常数），，又， ，因为的定义域为R，且，则为偶函数， 又因为，当时，， 因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或， 故选：B． 题型08 利用导数研究不等式问题 【典例1】若时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，令，由已知可得，设，利用导数可得函数在上s单调递增，且有，从而得，，令，，利用导数求出函数的取值范围，即可得答案. 【详解】，即. 设，则. 由，得. 设，则， 所以在上单调递增， 由知，所以， 即，，，所以. 设，，则， 所以在单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式1】已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析得在区间上恒成立，故只需利用导数求的最小值即可. 【详解】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，参变分离得在上恒成立，然后利用正弦函数的性质求解最值即可求解. 【详解】由得， 由题意得在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以恒成立，故实数的取值范围是． 故选：B 【变式3】定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】首先得到，再判断其奇偶性和单调性和奇偶性，从而得到不等式，解出即可. 【详解】由题得：， 即，从而（其中为常数），，又， ，因为的定义域为R，且，则为偶函数， 又因为，当时，， 因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或， 故选：B． 题型09 利用导数研究零点问题 【典例1】已知，函数存在零点，则实数的最小整数值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】令，则可得方程有解，即有解，构造函数，结合导数讨论其单调性后运用零点存在性定理虚设零点即可解决问题. 【详解】由题意知，函数定义域为， 因为时，函数存在零点， 则有解， 令，则， 则上式转化为有解， 又因为，所以，令， 求导得，令， 所以在上单调递减， 又， ， 所以存在正实数，使得，即， 则函数在单调递增，单调递减， 所以. 所以，的最小整数值为5. 故选：C. 解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题． 【变式1】函数零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由题意或，利用三角函数的性质解； 设，利用导数研究的性质，进而可判断方程无实数解. 【详解】或， 或 或， ，或或或； 设，则， ，，， 所以函数在单调递增，在单调递减， 可得，当且仅当取等号， ，与不符，方程无实数解. 故函数只有4个零点. 故选：A. 【变式2】已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数. 【详解】函数，求导得 ，由，得，令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数的大致图象如图， 由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点， 当或时，，；当时，，， 因此函数恰有2个极值点，B正确. 故选：B 【变式3】函数在上有且只有一个零点，则（   ） A．1 B．- C． D．- 【答案】A 【分析】先根据函数的零点只有一个列式，再构造函数，根据导函数得出函数单调性得出最小值即可计算求出参数范围，再构造，结合导函数单调性及零点个数计算求参. 【详解】函数在上有且只有一个零点等价于方程在上有且只有一个实数根， 即在上有且只有一个实数根. 令，则， 函数单调递增，当时，，当时，， 所以存在，使得，则=， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 由，解得， 所以， 令，其中， 则==. 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递减，且，所以， 所以，解得. 故选：A. 1．已知函数，则（    ） A．当时，函数单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，若，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【分析】因为，所以.当时，，即可判断选项A；当时，，此时单调递增，函数无极值，即可判断选项B；设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，代入并整理得.令，求导研究函数的单调性及极值，进一步判断函数的零点个数，即方程解的个数，即可判断选项C；当时，，因为，所以直线即为直线，过定点，且此点在曲线上，画出的大致图象与直线，求出函数图象的对称中心，根据对称性即可判断选项D. 【详解】因为，所以. 当时，，所以当时，单调递增.故选项A正确； 当时，令，则，所以当时，，所以单调递增，此时函数无极值. 故选项B不正确； 设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，代入得，整理得.令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以只有一个零点，即方程只有一个解，所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条. 故选项C正确； 当时，，因为，所以直线即为直线，即，所以直线过定点，且此点在曲线上，画出的大致图象（对求导，可得的单调区间和极值，进而可作出的大致图象）与直线，如图.    设函数图象的对称中心为（提示：任一三次函数的图象都有对称中心），则有，即，整理得，所以，解得，所以函数的图象关于点对称.设，则有，所以.故选项D正确. 故选：ACD. 2．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分和讨论导数的正负得解； （2）由题，问题转化为，当时，上式对恒成立，当时，上式转化为恒成立，令，易判断是偶函数，只需对恒成立即可，构造函数利用导数证明，即可得解. 【详解】（1）由，则，， 令， 当时，有，即，所以在R上单调递减； 当时，，， 方程的两根为，，且， 当和时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 所以不等式，即， 两边取对数可得， 当时，上式对恒成立， 当时，上式转化为恒成立， 令，由，知是偶函数， 所以只需对恒成立即可， 令，， 则， 令，则， ，则，故，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以在上单调递减， 所以，则，对， 所以， 即可. 所以的取值范围为. 3．若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离变量可得，令，利用导数研究的单调性，进而可得，求解可得结论. 【详解】令，因为，所以，令，所以， 因为存在唯一的满足：， 所以，当时，；当时，， 所以在、上分别单调递增、单调递减，为极大值点， 因为，所以当且仅当时， 直线与的图象有唯一的交点，即在上存在唯一的零点， 所以或，所以或. 结合选项，只有D符合题意， 故选：D. 4．已知函数，若对，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．e 【答案】A 【分析】通过分析，得时，不成立，所以. 令，通过求导判断，可得当时，函数取得最小值， 代入，得，即， 令，再次求得，可得当时，取得最小值，即得的最小值. 【详解】由，得， 令，即对，恒成立， ①若时，当时，趋向负无穷，不满足条件； ②若时，则， 令，得，则恒成立， 所以在上单调递增， 令，解得，且， 所以当时，恒成立，所以单调递减， 当时，恒成立，所以单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 则， 整理得，即， 令，则，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得最小值，即， 综上所述，的最小值为. 故选：A. 5．若关于的不等式在定义域内恒成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】令分类讨论求其最大值，再结合题意可得，再构造函数求其最大值即可. 【详解】令，， 若，即时，则在上恒成立， 则在上单调递增， 当且时，，即与矛盾； 若，即时，令得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 因不等式在定义域内恒成立，则，即， 则， 令，则， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 则的最大值为. 故答案为： 6．设函数的导函数为，则（   ） A． B．是函数的极值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据导数的运算法则，结合极值点、零点、导数的性质逐一判断即可. 【详解】. A：因为，所以A正确； B：因为当时，单调递增， 当时，单调递减，且， 所以是函数的极值点，因此B正确； C：，或， 由，因此有且仅有三个零点，所以C不正确； D：当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上的最小值为，因此D正确， 故选：ABD 7．若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，将问题转化为在上在上有两个不相等实数根，换元，令，进而根据二次函数的图像以及的图像交点个数求解. 【详解】 要使在上有两个极值点，则在上在上有两个不相等实数根， 令，由，则. 令；故， 由图象如下： 当或时，此时无实数根，不符合题意， 当，函数在时与只有一个交点，对应的值有两个，符合题意； 当时，无变号零点，不合题意； 而，对应的值有1个，故不为0. 故答案为： 8．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离参数法求解不等式恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得到结果. 【详解】由题知，当，恒成立， 即恒成立， 令，， 则， 令，得，令，得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以. 故选：A 9．已知函数. (1)当时，证明：在R上单调递减. (2)若有两个极值点，，且，求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）经过两次求导即可证明的单调性； （2）有两个极值点，，即至少有两个实数根，通过讨论的正负，利用导数判断函数的单调性和极值得到的两根的范围，再利用即可得到，最后利用即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 令，得. 令，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 在处取得极大值，即最大值， 且， ，，即，故在R上单调递减； （2），， 有两个极值点，，至少有两个实数根. 设，则， 当时，，则只有一个实数根，不合题意，舍去； 当时，，则在R上单调递增， 则至多只有一个实数根，不合题意，舍去； 当时，令，解得， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 在处取得极大值，且， 至少有两个实数根，至少有两个实数根， ，解得， ，，，，， 的两根中有一根在内，有一根在内. 若，则，这与矛盾，舍去. ，且， ，， 由，得恒成立， ， 由，得，解得， 由，， 令，，得， 则在上单调递增，，且， ，则， 又，且，的取值范围为. 10．已知函数，的导函数为，则（   ） A．存在，使得 B．对于定义域内的任意，都有 C．函数的图象关于原点对称 D．方程有4个实数根 【答案】BCD 【分析】对于A，根据函数式，通过计算得可判断B正确； 对于B，利用导数得函数的单调性结合函数的对称性求得可判断A不正确； 对于C，先求得，再求导，得，经验证得到，可判断C正确； 对于D，令，由，确定，方程的只有一个根且由在上的单调性得，再由方程有4个不相等的实数根.得到方程有4个不相等的实数根，判断D正确. 【详解】对于B，由得，，故B正确； 对于A，，定义域为. 当时，，， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增. 由B知，的图象关于对称， 所以在上单调递增，在上单调递减. .故A不正确； 对于C，， 当时，， 当时，，， 所以， 当时，， 当时，， 所以是奇函数，图象关于原点对称.故C正确； 对于D，由A知，的图象关于对称， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且. 令，则，由，得,， 根据的对称性和单调性知，方程，只有一个实数根且 由在上单调递增，，所以 而方程有4个不相等的实数根. 所以方程有4个不相等的实数根.故D正确. 故选：BCD. 11．已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，判断函数的单调性、极值，作出的图象，由，得或，结合图象得解. 【详解】由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，，， 作出的图象，如图，    令，得， 或， 当时，仅存在唯一的满足；因此，必须有两个根， 结合的图象，可得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 12．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 13．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)若且，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）要证，只需证，即证，构造函数，即证，利用导数分析函数的单调性，结合单调性证明即可. 【详解】（1）由题意得，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得，即． （2）令，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． （3）要证，只需证， 即证， 设函数，即证． 又， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以． 令，则， 所以在上单调递增，故， 而，所以， 故，即且． 14．已知函数 (1)若为实数，试讨论方程的根个数； (2)证明：； (3)若点在的图象上运动，求点到直线距离的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对求导，作出的图象，利用数形结合思想可解； （2）注意，，构造函数，利用单调性即可判断与的大小，结合的单调性即可判断； （3）根据条件，过点的切线与平行时距离的最小，利用导数几何意义求出切点即可. 【详解】（1）因为，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时， 取得极小值， 且当时，，当时，，的图象如图： 因方程的根个数即函数图象与直线的交点个数.由图知， 当时，与有两个交点，此时方程有2个实根； 当和时，与只有一个交点， 此时方程有1个实根； 当时，与没有交点， 此时方程没有实根. （2）由，， 故可构造函数，则， 当时，，当时，. 故上上为增函数，在上为减函数 由，可得， 由在上为增函数，可得， 故得. （3）设点，易知当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小， 又，则有. 令，则， 易知，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 且时，，又，所以，则， 故到直线的距离即点到直线距离的最小值，为. 15．设，，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为有两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组即可得解. 【详解】由题知，的定义域为，， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得，即的取值范围为. 故答案为： 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.2 函数的极值与最大 (小) 值 教学目标 1.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。 2.掌握函数极值的判定及求法。 3.掌握函数在某一点取得极值的条件。 4.能根据极值点与极值的情况求参数范围。 5.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。 6.会求某闭区间上函数的最值 7.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围 教学重难点 1.重点 求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.. 2.难点 求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题； 知识点01 函数的极值 1.函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个____________，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个____________，记作． 2.用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果____________，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 【即学即练】 1．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围 . 2．已知函数． (1)求函数的极值． (2)是否存在过原点的曲线的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由． 知识点02 函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上____________最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 2.求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的____________，最小者为函数在闭区间上的____________． 【即学即练】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 2．已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 知识点03 最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 【即学即练】 1．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在有且仅有3个极值点，2个零点，则的取值范围 知识点04 函数极值与最值的简单应用 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成____________（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的____________，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的____________问题． 【即学即练】 1．已知函数． (1)证明：； (2)判断的零点个数． 2．已知函数． (1)当，求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围． 题型01 求函数的极值 【典例1】设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域． （2）求方程的根． （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况． 【变式1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【变式2】设函数，则（    ） A．的极小值点为 B．在上为增函数 C．直线是曲线的切线 D．方程恰有一个解当且仅当 【变式3】已知函数. (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围 题型02 由极值求参数的值或取值范围 【典例1】若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 【变式1】若函数在处取得极小值，则 ． 【变式2】已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【变式3】已知函数，，（）. (1)函数在处切线方程，求的值. (2)设， ①若，以参数讨论函数的单调性； ②若，有两个极值点，，求的范围. 题型03 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 【典例1】已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 【变式1】已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【变式2】已知函数的极小值为2，，. (1)求的值； (2)比较并证明与0的大小； (3)求的零点个数并进行证明. 【变式3】已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 题型04 不含参函数的最值问题 【典例1】已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 求函数最值的步骤 （1）求函数的定义域． （2）求，解方程． （3）列出关于，，的变化表． （4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 【变式1】已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【变式2】已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【变式3】已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 含参函数的最值问题 【典例1】已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【变式1】已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【变式2】已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 题型06 由函数的最值求参数问题 【典例1】已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题． 【变式1】对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 【变式2】已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【变式3】已经函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 题型07 利用导数研究恒成立问题 【典例1】若时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数． 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 【变式1】已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 题型08 利用导数研究不等式问题 【典例1】若时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式1】已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 题型09 利用导数研究零点问题 【典例1】已知，函数存在零点，则实数的最小整数值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题． 【变式1】函数零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【变式2】已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】函数在上有且只有一个零点，则（   ） A．1 B．- C． D．- 1．已知函数，则（    ） A．当时，函数单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，若，直线与曲线有三个交点，，则 2．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)当时，，求a的取值范围． 3．若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．e 5．若关于的不等式在定义域内恒成立，则的最大值为 ． 6．设函数的导函数为，则（   ） A． B．是函数的极值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 7．若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 8．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数. (1)当时，证明：在R上单调递减. (2)若有两个极值点，，且，求m的取值范围. 10．已知函数，的导函数为，则（   ） A．存在，使得 B．对于定义域内的任意，都有 C．函数的图象关于原点对称 D．方程有4个实数根 11．已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 13．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)若且，证明：． 14．已知函数 (1)若为实数，试讨论方程的根个数； (2)证明：； (3)若点在的图象上运动，求点到直线距离的最小值. 15．设，，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 ． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $