数列通项公式的求解方法总结讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学数列通项公式求解方法总结讲义通过表格系统梳理六大核心考点，涵盖公式法、Sn与an关系、累加法等求解方法，按“知识点解析-例题分析-变式训练”分层呈现，构建清晰知识脉络，突出各类方法的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于真题变式分层训练，如构造法分五种考向示例，引导学生通过推理转化复杂递推关系，培养数学思维与模型观念。课后提升题适配不同层次，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学，提升单元复习效率。

数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 考点目录 公式法求数列通项公式 利用与的关系求数列通项公式 累加法求数列通项公式 累乘法求数列通项公式 构造法求数列通项公式 倒数法求数列通项公式 考点一 公式法求数列通项公式 【知识点解析】 1. 已知数列为等差数列，公差为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 2. 已知数列为等比数列，公比为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 【例题分析】 例1．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知等差数列的公差为，是等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设的公比为． 因为，所以，故． 又，所以． （2）记和的前项和分别为，，则． 又， ， 所以． 例2．（25-26高三上·四川成都·月考）等比数列中，，且数列单调递增. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由题意得，解得， 因为单调递增，所以，   所以的通项公式为， 即； （2）因为，所以，                                            记，则，                            所以， 即， 综上所述. 【变式训练】 变式1．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. （2）由题知， 所以. 变式2．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得， 故， （2）， 所以， 所以 ， 考点二 利用与的关系求数列通项公式 【知识点解析】 1. 利用与的关系求数列通项公式 （1）因为① ② 所以（）. （2）注意事项 ①. ②因为当时，才有意义，所以需检验通项公式当时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式. ③不一定每次都能得到的具体表达式，有可能需要进一步化简. ④若题目求或出现二项式，需要将题目所给条件中的反向化为，对进行探索. ⑤代表数列的前项和. 【例题分析】 例1．（24-25高二下·青海海南·期末）已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. (1)求，； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)1，3； (2) (3). 【详解】（1）由1，，成等比数列，得，所以，. （2）当时，，而满足上式， 所以的通项公式是. （3）由（2）知，， 则， 则. 例2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式， 所以. （2）由于， 所以数列前200项和为 . 例3．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以或时，取最小值时，最小值为； （2）因为， 所以，当时，， 所以， 当时，， 所以. 例4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以数列是以1为首项，公差为2的等差数列； （2）由（1）知，所以， 所以. 例5．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式， 所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 例6．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 【答案】(1)证明见解析 (2)或13，最小值为. 【详解】（1）由，得①， 所以②， 由②-①，得， 化简得， 所以数列是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列的公差为1. 由，得， 解得. 所以， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）中，令得， 当时，， 又适合上式，所以； （2）由（1）知：，   所以. 变式2．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 变式3．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知下列数列的前n项和的公式. (1)求的通项公式； (2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)不是等差数列，理由见解析 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 当时，上式不成立， 所以； （2）由（1）得， 因为， 所以数列不是等差数列. 变式4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）由（1）可得 当为偶数时，， 则， 则， 则 ， 则. 当为奇数时，. 故 变式5．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前12项和. 【答案】(1) (2)4095 【详解】（1）数列的前n项和为，，， 当时，，所以， 当时，由，可得， 两式相减得，得到， 又，又， 满足，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以数列前12项和. 变式6．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 变式7．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设（），求和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 由已知， 两式作差得， 则 ，，时也符合， 所以数列的通项公式. （2）， 所以当时. 变式8．（25-26高三上·安徽·月考）设正项数列的前项和为，，且当时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下解不等式：． 【答案】(1) (2) (3)解集为 【详解】（1）正项数列的前项和为，，且当时，，即， 当时，，解得或（舍负）， 当时，，解得或（舍负）， 由时，由，可得， 两式相减可得， 化为， 由得，可得，且， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，则. （2）由（1）得， 则， ， 两式相减可得， 化简得. （3）由，即，化为， 设，则， 所以，则数列为递减数列，而，，，， 可知，当且时，；当且时，. 则不等式的解集为． 考点三 累加法求数列通项公式 【知识点解析】 1.累加法：已知或 （1）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （3）可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列. 【例题分析】 例1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知在数列中，，， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）令，可得，又， 所以， 令，可得，又， 所以； （2） ，， 当时，符合， 所以 例2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知正项数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， ， ….. ， 累加可得，即， 易得当也符合上式，所以. （2）数列的通项为， 所以. 例3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段练习）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 所以当时， ， 是首项为1的正项数列， 则， 又满足上式，所以. （2）由（1）可得，， 所以. 例4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由已知得， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得 ， 则； （2）依题意得， ， 则， 又，所以，所以， 即． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． （ⅰ）设数列的前项和为，求证：； （ⅱ）若对任意，恒成立，写出实数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为，即， 所以，，…，将这个等式累加， 得， 又，所以， 因为也满足，所以． （2）（ⅰ）因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； （ⅱ）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以，则实数的最小值. 变式2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 （2） 变式3．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且当时，. (1)求； (2)设数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，，得， 当时，，故， 即， 所以，，，，…，， 将各等式左、右两边分别相加得， . ，符合上式， 所以. （2）由（1）知， 所以， 因为，所以，所以. 考点四 累乘法求数列通项公式 【知识点解析】 1.累乘法：已知或 （1）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （3）如论是或，均需注意最后求和的项数. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列满足：. (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)记[x]表示不超过的最大整数，若，证明. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题知：         当时，； 当时，符合， .                   两式作差得：              （2）， 是递减数列，         当时，； 当时，； 当时，；         当时，         当时，     当时，          综上所述 例2．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法一：累乘法 依题意：， 当时，； 当时，符合，故. 解法二：构造法 依题意：，则数列为常数数列， 则. （2）， 故， 由题意，， 故满足条件的最大整数的值为8. 例3．（2025·浙江宁波·一模）记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. （2）由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以， 【变式训练】 变式1．（2025·福建南平·模拟预测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若满足，．设为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)-240 【详解】（1）因为，， 所以当时，，则，即， 当时，也成立，所以． （2）由（1），， 则， 则 ． 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记为数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)证明: 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意 ① 当时， ② 由①-②， 得 ∴当且时， 又 也符合上式，即 （2） 变式3．（25-26高三上·湖南湘西·阶段练习）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，是公差为的等差数列， 所以，即． 当时，，整理可得， 所以，，，，， 累乘得，所以（也满足该式）， 故． （2）由（1）知， 所以， 所以 ． 考点五 构造法求数列通项公式 【知识点解析】 1.构造法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列. （5）若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明. 【例题分析】 考向一 已知构造目标型 例1．（25-26高二上·海南海口·期中）已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 【答案】(1); (2)证明见解析，首项为1，公差为1； (3) 【详解】（1）∵,且, ∴, . （2）由, 得. 又,故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知：,,故； , , 两式相减，得 , , , ; 故. 例2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 又，则，故， 所以是首项与公比都为的等比数列. （2）依题意，， 当时，， 两式相减，得 整理得，即，则， 又，所以， 所以是各项为的常数列， 所以，即. （3）由（1）得，即， 所以， 则， 所以， 两式相减，得 . 所以. 考向二 构造等比数列型 例1．（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； （2）因为． 所以 ． 例2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）因为， 取可得，又， 所以，解得， 当时，用替换可得， 所以， 即， 所以，又， 即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即． （2）因为， 所以，① ，② ①－②得 所以， 所以． 考向三 构造等比数列型 例1．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列，满足的前项和，，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知：，将化为, 可得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由题，，则， 两式相减可得，即， 整理得，所以； 令，可得，即，所以 ； 当为偶数时，可得： ①； 当为奇数时，可得： ， ②； 结合①②可得：， 则 ， 且满足上式， 综上所述， 例2．（2025·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以，即； （2）由（1）知． 设前项和为， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 考向四 构造等比数列型 例1．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于，则， 化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． （2）由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②，得 化简后得 ． 例2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 考向五 构造等差数列型 例1．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知数列满足，且． (1) 求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以，，故 （2）由（1）知； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 【变式训练】 考向一 已知构造目标型 变式1．（24-25高三上·河北·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得，，整理得，即， 令得，，，， ∴是以为首项，公比的等比数列. （2）由（1）得，，， ∴. ， ， 两式相减得， ， ∴. 变式2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列满足，， (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记集合中元素的个数为，求使成立的最小正整数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可知， 所以集合中元素的个数为，即， 所以 ， 由指数函数的图象和性质可得恒成立， 所以单调递增， 因为， ， 所以使成立的最小正整数为. 考向二 构造等比数列型 变式1．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求； (3)若，且数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （2）由（1）可得， 所以 所以 （3）由（1）可得 易知在上单调递增，且恒成立，所以 故得证. 变式2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在正整数，理由见解析 【详解】（1），故， ，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以； （2）， 所以①，故②， 式子①-②得， 故； （3）不存在正整数，使得、、成等差数列，理由如下： 、、成等差数列，故， 即，即， 设，则， 当时，恒成立， 所以当时，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数，均有， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 考向三 构造等比数列型 变式1．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1) 求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由得, , 又, 故是以为首项,为公比的等比数列. 所以， 则. （2）由（1）知, , 故 . 变式2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列中，，满足，设为数列的前项和． (1) 求的通项公式； (2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）因为， 所以 ， 若对于恒成立，即， 可得即对于任意正整数恒成立， 所以，令，则， 所以，可得，所以， 所以的取值范围为． 考向四 构造等比数列型 变式1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）由，则，又，则， 所以是首项、公比都为4的等比数列，则，故； （2）由（1）及已知有， 所以， 所以. 变式2．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，. 【详解】（1）由已知，所以，又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即 . （2）已知，① 当时，． 当时，，② ①②得，也适合，所以；   设函数，则函数是上的减函数，且，， 所以当时，，即； 当时，，即． 因此，当时，；当时，． 考向五 构造等差数列型 变式1．（25-26高三上·湖北恩施·阶段练习）已知数列满足：，且. (1)求； (2)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）数列中，由，得， 因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，则， 所以. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 因此，由，得， 依题意，对恒成立， 当时，，则； 当时，不等式恒成立； 当时，，则，于是， 所以实数的取值范围是. 考点六 倒数法求数列通项公式 【知识点解析】 1.倒数法：已知 （1）取倒数得 （2）若，则数列是以为首项，为公差的等差数列. （3）若，则进行二次构造等比数列. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足：. (1)求证：为等差数列； (2)设数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）因为，两边同时取倒数可得， 所以， 因为， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）可知， 则，， 所以， 所以 ， 因为，得证. 例2．（2025·山西·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)数列满足，设为数列的前项和，证明：. (3)设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）在数列中，由，得， 则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，解得. （2）由（1）知， ， ， 两式相减得， 因为，所以. （3）由题. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以，得. 因为，，所以，， 则是2的倍数，除以2余1，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第项； (2)猜想数列的通项公式，并证明. 【答案】(1)，，. (2)，证明见解析. 【详解】（1），，. （2）由（1）可猜想. 证明：由，可得， 即，又，所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 则，所以. 变式2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）证明： ①对任意的，； ②. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（Ⅰ），， 又，所以是以为首项，以为公比的等比数列， ，； （Ⅱ）证明：①由（Ⅰ）知， ； ②先证右边不等式，由可知 ，当时等号成立； 再证左边不等式，由①知，对任意， 有， 取，则， . . 课后提升训练 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得，所以. 当时，.                                    当时，. 因为不满足上式，. （2）由（1）知，. 当时，. 当时，，            所以 .                                   又满足上式，. 2．（24-25高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． （2）因为， 所以． 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解；. (2) 【详解】（1）由，①， 当时，，② ①②，得，所以， 又当时，，得， 所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）由（1），， . 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， （2）数列中，． 则 所以 故 所以 5．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，. 验证，当时，，符合， 综上，数列的通项公式为. （2）令. . 6．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，当时，，故 当时，，，则 又  数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 故得，整理得 （2）由（1）知，，． ① ② 由①②得 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 考点目录 公式法求数列通项公式 利用S,与a,的关系求数列通项公式 累加法求数列通项公式 累乘法求数列通项公式 构造法求数列通项公式 倒数法求数列通项公式 考点一 公式法求数列通项公式 【知识点解析】 1.己知数列{an}为等差数列，公差为d. (1)通项公式：an=a,+n-1d=am+(n-m)d. (2)前n项和：Sn=n·a+ nn-1d=nata.) 2 2 2.已知数列a}为等比数列，公比为g· (1)通项公式：a,=a,g”=ang”-m. a1-q" (2)前n项和：Sn={1-g ,9≠1 (na1,9=1 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 【例题分析】 例1.(24-25高二上甘肃定西·期末)己知等差数列{an}的公差为-2，{bn}是等比数列，ab2=2a,b,=2b3=4. (1)求{an}和{b}的通项公式： (2)求数列{an+bn}的前n项和Sn 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 例2.(25-26高三上·四川成都月考)等比数列{an}中，a2=16,S,=56,且数列{an}单调递增 (I)求数列{an}的通项公式： 1 (2)设bn=log2an,求数列 的前n项和Tn B.b 【变式训练】 变式1.(2425高二上江苏常州期末)已知等差数列an}的前n项和为Sn,a,+a4=3,S,=14. (I)求{an}的通项公式： (2)若bn=2+2an,求{bn}前n项和Tn. 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 变式2.(25-26高三上·四川成都开学考试)已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且S,=15,a1,a,a,成 等比数列. (I)求数列{an}的通项公式： 1+L++<2neN). ②证明：+sS. 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 考点二 利用S与4的关系求数列通项公式 【知识点解析】 1.利用Sn与4，的关系求数列通项公式 (1)因为Sn=a1+a2+a+.+an-1+an① Sn-1=a1+a2+a3+..+an-1(n22)② 所以S。-S=aa(n≥2). (2)注意事项 ①Sa-Sn=aah ②因为当之2时，Sn-1才有意义，所以需检验通项公式当n=l时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式. ③不一定每次Sn-Sm-,都能得到{an}的具体表达式，有可能需要进一步化简. ④若题目求Sn或Sn出现二项式，需要将题目所给条件中的an反向化为Sn-Sm1,对Sn进行探索。 ⑤a,f四+a2f(2)+a‘f3)+…+an·fm)代表数列{anf(n}的前n项和. 【例题分析】 例1.(24-25高二下·青海海南期末)己知数列an}的前n项和为Sn,且1，n,Sn成等比数列. (1)求a,a2; (2)求{an}的通项公式： )若6，=】，求数列b,的前”项和工 aan 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 例2.(24-25高二下.上海阶段练习)已知数列{an}的前n项Sn和满足Sn=n2+2n,n为正整数. (1)求数列an}的通项公式： 1 (2)求数列 前200项和. andne 例3.（24-25高二上·湖北黄冈阶段练习)己知数列{an}的前n项和为S。=2n2-10n+1 (I)当Sn取最小值时，求n的值； (2)求出{an}的通项公式， 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 例4.(24-25高二下…海南省直辖县级单位·期中)已知数列an}的前n项和为Sn,且满足4=1，S1=S,+a,+2 (1)求证：数列{an}是等差数列； (2)求数列 an+2n2+1 的前n项和Tn 2n 例5.(2425高二下贵州六盘水阶段练习)已知S,是数列{a,}的前n项和，且9+4+马++=2”-1. 248 (I)求{an}的通项公式： 1 (2若b,=10g,a,-l0g2 -,求数列{bn}的前n项和Tn. 6 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 例6.2425高二下-山西太原阶段练习》记S为数列a,的前n项和已知2S+n=2a,+1 n (1)证明：{an}是等差数列： (2)若a4,a,a,成等比数列，求Sn的最小值.以及此时的n的值 【变式训练】 变式1.2425商=下四川成都期中)已知数列a,的前n项和为S,=+A,m∈N 1 (1)求{an}的通项公式an; (2)设b6,=1 anan+ ，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn. 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 变式2.(2025·云南红河三模)已知Sn为数列{an}的前n项和，2S,=3n2+n (I)求{an}的通项公式； (2)若bn=26-an)·2,求b取得最大值时n的值. 变式3.(24-25高二下山东淄博阶段练习)己知下列数列an}的前n项和Sn的公式S。=n2-3n+1. (1)求{an}的通项公式： (2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由. P 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 变式4.(2025·河北沧州模拟预测)已知数列{a,}的前n项和为S,S,=2+3-8 (I)求{an}的通项公式： 1log2an,n为奇数， (2)若bn= an,n为偶数， 求数列bbn+}的前n项和T 变式5.(24-25高二下…江西南昌·期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a=1,S。=2-2a1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{二}前12项和 a 9 数列提升：数列通项公式的求解方法总结讲义 变式6.(23-24高二上广东梅州期末)已知数列{an}满足a,+2a,+3a,+…+na,=3”-1 (1)求a1,a2和an; (2)证明：数列{a,n}为单调递增数列. 变式7.(25-26高二上·福建莆田期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn=a+n2-n (1)求数列{a}的通项公式： ②设6，=。1（n之2)，求和T,=,+6+…+b an·an-l ⊙