4.2等差数列知识点与题型总结讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：等差数列知识点与题型总结讲义 数列：等差数列知识点与题型总结讲义 考点目录 等差数列的定义与特征值的计算 等差数列通项公式的性质 等差数列前项和的性质 含有绝对值的等差数列的前项和 考点一 等差数列的定义与特征值的计算 【知识点解析】 1. 等差数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列.该常数称为公差，记为. 即对任意正整数，. 也可表示为对任意正整数，. 2. 等差数列的通项：. 3. 等差数列前项和. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．6 B．18 C．36 D．42 例2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 例3．（25-26高三上·福建·期中）记等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 例4．（25-26高三上·上海·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，，则 . 例5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列的前n项和为，则 ． 例6．（2025·陕西西安·三模）记为等差数列的前项和.若，则 例7．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知均为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 例8．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式训练】 变式1．（2025·广西柳州·一模）记等差数列的前n项和为,,,则（   ） A．120 B．130 C．140 D．150 变式2．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 变式3．（2025·陕西榆林·一模）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式4．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知等差数列的前项和为，若，则公差为 . 变式5．（25-26高三上·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 变式6．（25-26高三上·山东临沂·期中）记为等差数列的前项和，，，则 . 变式7．（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 变式8．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 考点二 等差数列通项公式的性质 【知识点解析】 性质 性质解析 下标和性质 若数列是等差数列，且对于任意正整数、、、，只要满足下标和相等，则对应的项的和也相等. 即对、、、，只要，则. 下标和性质的推广 若，则. 等差中项 若、、为等差数列，则，此时为、的等差中项. 间隔取出性质 若从原等差数列中每隔项取一项（即步长为），新数列的公差为原公差的倍. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·福建漳州·期中）数列为等差数列，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 例2．（25-26高三上·北京·期中）已知等差数列，，，则等于（   ） A． B．0 C．2 D．5 例3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若数列是等差数列，且，则（   ） A．1 B． C． D． 例4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例5．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例7．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习·多选）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 例8．（25-26高二上·甘肃平凉·月考·多选）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知数列为等差数列，若，则的值为 . 变式2．（24-25高二下·四川达州·阶段练习）方程的两根的等差中项为 . 变式3．（25-26高二上·甘肃白银·期中）记为等差数列的前项和.若，，则 . 变式4．（2025·山西吕梁·模拟预测）若等差数列的前三项和为7，且，则该等差数列的公差为 ． 变式5．（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 变式6．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 变式7．（25-26高三上·安徽·开学考试·多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 变式8．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习·多选）设等差数列的前项和为且，则（    ） A． B．为递减数列 C． D．的最小值为 考点三 等差数列前项和的性质 【知识点解析】 1. 等差数列前项和与等差中项 等差数列的前项和，可利用等差中项的性质对进行替换. 2. 且为等差数列. 3. 求等差数列前项和最值的方法 （1）若已知和，写出的表达式，则当且仅当取最接近对称轴的正整数时，有最值. （2）若未知和，则需找出的正负交界值，进而确定的最值. 4.等差数列片段和的性质：、、依旧是一个等差数列. 【例题分析】 考向一 等差数列前项和的函数性质与最值问题 例1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（    ） A．1 B．27 C．28 D．29 例2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为 ，的最小值为 .（用数字作答） 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 考向二 等差数列前项和的片段和性质 例1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 例2．（24-25高二下·福建福州·期末）等差数列的前项和为，且，则为（   ） A．45 B．81 C．90 D．162 考向三 等差数列前项和与等差中项 例1．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．50 B．100 C．150 D．200 例2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 例3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 例4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 等差数列前项和的函数性质与最值问题 变式1．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 变式2．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（    ） A．7 B．8 C．7或8 D．8或9 变式3．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为 . 变式4．（25-26高二上·甘肃陇南·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 考向二 等差数列前项和的片段和性质 变式1．（24-25高二下·广西北海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 变式2．（25-26高二上·甘肃·月考）已知等差数列的前项和为.若，则 . 变式3．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）在等差数列中，已知，，则 . 变式4．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 考向三 等差数列前项和与等差中项 变式1．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 变式2．（2025·河北石家庄·模拟预测）等差数列的前n项和记为，若，则（    ） A．3033 B．4044 C．6066 D．8088 变式3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 变式4．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 变式5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 考点四 含有绝对值的等差数列的前项和 【知识点解析】 已知等差数列，前项和为.存在正整数，满足.求数列的前项和. （1） 找到的临界值； （2） 若，； 若，. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 例2．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 例3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 变式2．（25-26高三上·河北·阶段练习）记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 变式3．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 变式4．（24-25高二下·青海西宁·期中）在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 课后提升训练 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知数列的前n项和为，则最小时，（   ） A．47 B．48 C．49 D．50 2．（24-25高二下·海南海口·期末）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 5．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 7．（24-25高二下·广东揭阳·期末·多选）已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．若，则的最大值是 8．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 9．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若数列满足，，则 ． 10．（24-25高二下·北京大兴·期末）设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 11．（24-25高二下·江西九江·期末）已知数列满足，，则取最小值时 ． 12．（24-25高二上·江苏南京·期末）在无穷等差数列中，若，且，则 ． 13．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 14．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．”（注：1匹=4丈，1丈=10尺，一月按30天算）．若该女子从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，问： (1)她每天比前一天多织多少尺布？ (2)第15天织布多少尺？ 15．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知数列是公差为3的等差数列，满足． (1)求的通项公式； (2)设的前项和为，若，求的最大值． 16．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：等差数列知识点与题型总结讲义 数列：等差数列知识点与题型总结讲义 考点目录 等差数列的定义与特征值的计算 等差数列通项公式的性质 等差数列前项和的性质 含有绝对值的等差数列的前项和 考点一 等差数列的定义与特征值的计算 【知识点解析】 1. 等差数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列.该常数称为公差，记为. 即对任意正整数，. 也可表示为对任意正整数，. 2. 等差数列的通项：. 3. 等差数列前项和. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．6 B．18 C．36 D．42 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以. 故选：C 例2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由题得. 故选：C 例3．（25-26高三上·福建·期中）记等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由可得，可得， 即得，故有. 故选：B. 例4．（25-26高三上·上海·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，，则 . 【答案】121 【详解】依题意得： ， 解得：， 由等差数列的前项和公式得： . 故答案为： 例5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列的前n项和为，则 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 故答案为： 例6．（2025·陕西西安·三模）记为等差数列的前项和.若，则 【答案】100 【详解】因为为等差数列的前项和，设等差数列的公差为. 所以，故 又，故， 所以. 故答案为：100. 例7．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知均为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得． 则的首项为3、公差为2，的首项为1、公差为2． 故． （2）由（1）得． 故． 则． 例8．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由① 由， 即② 联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）， 则 . 【变式训练】 变式1．（2025·广西柳州·一模）记等差数列的前n项和为,,,则（   ） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【详解】 故选：D. 变式2．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 变式3．（2025·陕西榆林·一模）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解法1：因为，所以， 所以，所以公差，则． 解法2：因为即得所以， 故选：B． 变式4．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知等差数列的前项和为，若，则公差为 . 【答案】 【详解】由，得，即， 所以，则. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 【答案】28 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 变式6．（25-26高三上·山东临沂·期中）记为等差数列的前项和，，，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则 由题意得，，化简得， 解得. 所以. 所以. 故答案为：. 变式7．（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. （2）因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 变式8．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； （2）， 则，又，故使成立的的最大值为. 考点二 等差数列通项公式的性质 【知识点解析】 性质 性质解析 下标和性质 若数列是等差数列，且对于任意正整数、、、，只要满足下标和相等，则对应的项的和也相等. 即对、、、，只要，则. 下标和性质的推广 若，则. 等差中项 若、、为等差数列，则，此时为、的等差中项. 间隔取出性质 若从原等差数列中每隔项取一项（即步长为），新数列的公差为原公差的倍. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·福建漳州·期中）数列为等差数列，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由数列为等差数列， 则，解得． 故选：C． 例2．（25-26高三上·北京·期中）已知等差数列，，，则等于（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，所以，即. 故选：C. 例3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若数列是等差数列，且，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为是等差数列， 所以，，解得，故． 故选：D 例4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由，可得，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，解得. 故选：A. 例5．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若， 则，， ，， 所以，， 则“为单调递增的数列”. 综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件. 故选：C 例6．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 例7．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习·多选）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【详解】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 例8．（25-26高二上·甘肃平凉·月考·多选）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知数列为等差数列，若，则的值为 . 【答案】10 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 故答案为：10 变式2．（24-25高二下·四川达州·阶段练习）方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 变式3．（25-26高二上·甘肃白银·期中）记为等差数列的前项和.若，，则 . 【答案】 【详解】因为，由等差数列的性质，可得，解得， 又因为，所以， 设等差数列的公差为，可得， 则，所以. 故答案为：. 变式4．（2025·山西吕梁·模拟预测）若等差数列的前三项和为7，且，则该等差数列的公差为 ． 【答案】3 【详解】设公差为d，由题意，所以， 又，所以， 所以，则该等差数列的公差为3. 故答案为：3 变式5．（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 变式6．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 变式7．（25-26高三上·安徽·开学考试·多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以， 由，所以，所以，且， 所以数列是递减的等差数列，且， 则当时，最大，故A正确； 对于B，由上述分析可知，当时，单调递减， 且，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 对于C，由，且， 所以，即，故C错误； 对于D，因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 且，， 则有，， 所以，即， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD． 变式8．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习·多选）设等差数列的前项和为且，则（    ） A． B．为递减数列 C． D．的最小值为 【答案】AC 【详解】对于AC，因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以，故AC正确； 对于B，因为的公差，所以为递增数列，故B错误； 对于D，因为，故最小，故D错误. 故选：AC. 考点三 等差数列前项和的性质 【知识点解析】 1. 等差数列前项和与等差中项 等差数列的前项和，可利用等差中项的性质对进行替换. 2. 且为等差数列. 3. 求等差数列前项和最值的方法 （1）若已知和，写出的表达式，则当且仅当取最接近对称轴的正整数时，有最值. （2）若未知和，则需找出的正负交界值，进而确定的最值. 4.等差数列片段和的性质：、、依旧是一个等差数列. 【例题分析】 考向一 等差数列前项和的函数性质与最值问题 例1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（    ） A．1 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，所以数列是首项，的等差数列， ，则， ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为. 故选：B 例2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A 例3．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为 ，的最小值为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由可得，解得， 所以，， 可知当或时，取最小值，即. 故答案为：，. 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，的最大值为30，此时为5或 6 【详解】（1）设首项为 ，公差为 ， 依题意得： ， 解方程得：， 所以通项公式为：. （2）由等差数列求和公式： ， ， 即：， 这是一个开口向下的二次函数（系数 )，在对称轴处取得最大值， 对称轴方程为：， 由于 为正整数，需检查 和 ： ， . 因此， 的最大值为 30，此时的值为5或6. 考向二 等差数列前项和的片段和性质 例1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【详解】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 例2．（24-25高二下·福建福州·期末）等差数列的前项和为，且，则为（   ） A．45 B．81 C．90 D．162 【答案】B 【详解】等差数列的前项和为， 则成等差数列，所以， 即，解得. 故选：B. 考向三 等差数列前项和与等差中项 例1．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且，所以, 所以. 故选：C 例2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】B 【详解】 因为，所以． 故选：B． 例3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 例4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. 【变式训练】 考向一 等差数列前项和的函数性质与最值问题 变式1．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【详解】由题意知为等差数列， 由，知数列为递增数列， 且当时，，当时，， 所以当的取值为22时，取最小值. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（    ） A．7 B．8 C．7或8 D．8或9 【答案】C 【详解】根据题意，数列为等差数列，所以（为正整数），， 因为，，所以， 解得， 所以，最大时，， 但由于为正整数，所以当或，最大. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，当时，，当时，， 所以的最大值为， 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·甘肃陇南·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 考向二 等差数列前项和的片段和性质 变式1．（24-25高二下·广西北海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 所以，即，解得． 故选：C． 变式2．（25-26高二上·甘肃·月考）已知等差数列的前项和为.若，则 . 【答案】12 【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 变式3．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）在等差数列中，已知，，则 . 【答案】60 【详解】由于成等差数列，所以成等差数列，故，故， 故答案为：60 变式4．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】18 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 故答案为：18 考向三 等差数列前项和与等差中项 变式1．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由等差数列前项和性质知，解得. 故选：D. 变式2．（2025·河北石家庄·模拟预测）等差数列的前n项和记为，若，则（    ） A．3033 B．4044 C．6066 D．8088 【答案】C 【详解】由等差数列知，， 所以， 故选：C 变式3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【详解】由题意得 所以. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 变式5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 考点四 含有绝对值的等差数列的前项和 【知识点解析】 已知等差数列，前项和为.存在正整数，满足.求数列的前项和. （1） 找到的临界值； （2） 若，； 若，. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 例2．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， ， 所以. 例3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2)52 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）知，所以， . 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1），，，，，，，，，，，，，，. （2），，， 当且时，， 当且时，， 当且时， ； 当且时， ， . 变式2．（25-26高三上·河北·阶段练习）记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）由可得， 两式相减，得，即， 当时，，则． 当时，，即， 于是由递推关系得，得， 而，满足上式， 故数列的通项公式为． （2）由得， 当时，，则， 所以； 当时，，注意到， 故． 综上，． 变式3．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为. 由， 可得 解得 则. （2）由（1）可知，当时，，则， 则. 当时，，则， 则. 故 变式4．（24-25高二下·青海西宁·期中）在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，，设公差为， 则，则， 故，故通项公式． （2），由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述，． 课后提升训练 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知数列的前n项和为，则最小时，（   ） A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】D 【详解】因为，所以当时，最小. 故选：D. 2．（24-25高二下·海南海口·期末）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 【答案】B 【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：B 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 5．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 7．（24-25高二下·广东揭阳·期末·多选）已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．若，则的最大值是 【答案】BC 【详解】对于AB选项，，解得，故，A错B对； 对于C选项，， 所以，故， 令，故， 所以，数列是递减数列，C对； 对于D选项，令，即，解得， 因为，故的最大值为，D错. 故选：BC. 8．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 【答案】AB 【详解】A选项，设等差数列的公差为，由，得， 即，解得，A正确； B选项，，B正确； C选项，由上可知，所以， 根据一次函数的性质可知，数列为递减数列，C错误； D选项，由二次函数的性质可知，其对称轴方程为， 又，所以当或时，取得最大值，D错误． 故选：AB 9．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若数列满足，，则 ． 【答案】19 【详解】由题意得，故数列为首项为，公差为2的等差数列， 则，故． 故答案为：19. 10．（24-25高二下·北京大兴·期末）设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 【答案】3 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，所以，所以， 由等差数列的求和公式可知，，易知当时最小. 故答案为：3 11．（24-25高二下·江西九江·期末）已知数列满足，，则取最小值时 ． 【答案】4 【详解】由题意，， 在数列中，， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当即时等号成立， ∴取最小值时， 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏南京·期末）在无穷等差数列中，若，且，则 ． 【答案】0 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 故. 故答案为：0. 13．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 14．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．”（注：1匹=4丈，1丈=10尺，一月按30天算）．若该女子从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，问： (1)她每天比前一天多织多少尺布？ (2)第15天织布多少尺？ 【答案】(1)尺 (2)尺 【详解】（1）由题可得每天织布数满足等差数列，设每天比前一天多织d尺布，即等差数列公差为d， 由题可得，， 则， 即她每天比前一天多织尺布； （2）由（1），. 15．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知数列是公差为3的等差数列，满足． (1)求的通项公式； (2)设的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为数列是公差为3的等差数列，所以， 由可得，解得， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， 由得， 整理得，解得， 由于，所以的最大值为5． 16．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2)和 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $