等比数列知识点与题型总结讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学等比数列复习讲义通过表格化考点目录系统构建知识体系，涵盖定义与特征值计算、通项公式性质、前n项和性质及应用四大模块。知识点解析梳理核心概念与公式，例题分析结合各地期中真题，清晰呈现重难点及内在逻辑关系。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，例题涵盖正项等比数列与等差数列综合、古算题应用等题型，变式训练对应巩固，培养数学思维与应用意识。课后提升训练兼顾基础与拓展，助力不同层次学生掌握，为教师实施精准复习教学提供系统支持。

数列：等比数列知识点与题型总结讲义 数列：等比数列知识点与题型总结讲义 考点目录 等比数列的定义与特征值的计算 等比数列通项公式的性质 等比数列前项和的性质 等比数列的应用 考点一 等比数列的定义与特征值的计算 【知识点解析】 1.等比数列的证明：(1) (2) (3). 2.等比数列的通项公式：. 3.等比数列的前项和公式：. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 例2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（   ） A． B．1或 C．1 D．1或 例3．（25-26高三上·上海·期中）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 例4．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”.则该塔从塔底数第二层灯的盏数为 . 例5．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东聊城·期中）设等比数列前项和为，若，，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．63 变式2．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知正项等比数列的前n项和为，公比为，，则 . 变式4．（25-26高三上·上海·期中）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 变式5．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知是等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 考点二 等比数列通项公式的性质 【知识点解析】 1.等比数列通项公式的性质 ①若，则. ②若，则. ③若、、为等比数列，则，为、的等比中项. ④若为等比数列，则、、…依旧是等比数列. ⑤当且时，数列单调递增；当且时，数列单调递减. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·福建漳州·月考）数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 例4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习·多选）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 例5．（25-26高三上·山东青岛·开学考试·多选）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．是中的最小项 D．是中的最小项 例6．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习·多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．最大值是 D．最大值为 例7．（25-26高三上·天津·期中），，若2是与的等比中项，则的最小值是 . 例8．（25-26高三上·重庆·阶段练习）若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 例9．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖北·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 变式2．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知2，，成等比数列，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 变式3．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 变式4．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5．（25-26高三上·辽宁·阶段练习·多选）记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为递增数列 C．若，则取得最小值时 D．若，则 变式6．（24-25高二下·四川泸州·期末·多选）的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列是递增数列 D．整数的个位数可以是6 变式7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列中，，则等比数列的公比 ． 变式8．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若成等比数列，则实数 . 变式9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ． 考点三 等比数列前项和的性质 【例题分析】 例1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 例2．（25-26高三上·河北·月考）设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 例3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习·多选）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 例4．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 例5．（2025·广西·模拟预测）已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 变式2．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 变式3．（24-25高二下·广西河池·期末·多选）记等比数列的公比为q，其前n项和为，且，则下列说法一定正确的有（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．，，是等比数列 D．是等比数列 变式4．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 变式5．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 考点四 等比数列的应用 【例题分析】 例1．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 例2．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 例3．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 例4．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）《庄子∙天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看作“1”，那么第六天剩下的“棰”的长度为 . 例5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 变式3．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 变式4．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 变式5．（2025·陕西·模拟预测）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金，用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入2500元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)为了鼓励学生参与社会实践，银行与某企业合作，为参与勤工俭学的学生提供以下三种薪资调整方案（每月按30天计算）： 方案甲：每天工资固定为60元.方案乙：第1天工资10元，从第2天起每天比前一天多4元.方案丙：第1天工资元，以后每天工资是前一天的2倍.学生小张计划勤工俭学个月，试分析小张应如何根据的值选择薪资方案. 课后提升训练 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 5．（24-25高二下·四川凉山·期末·多选）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末·多选）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 7．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为 . 8．（24-25高二下·北京大兴·期末）设无穷等比数列的公比是q，能说明命题“若存在正整数，当时，，则为递增数列”是假命题的一组，的值为 ， ． 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么至少前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：，）． 10．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是 . 11．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 12．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：等比数列知识点与题型总结讲义 数列：等比数列知识点与题型总结讲义 考点目录 等比数列的定义与特征值的计算 等比数列通项公式的性质 等比数列前项和的性质 等比数列的应用 考点一 等比数列的定义与特征值的计算 【知识点解析】 1.等比数列的证明：(1) (2) (3). 2.等比数列的通项公式：. 3.等比数列的前项和公式：. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】是等比数列， ， ，，解得或（舍去）， ，， ，解得． 故选：A． 例2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（   ） A． B．1或 C．1 D．1或 【答案】C 【详解】因为成等差数列，故, 即, 两边消去,得, 得. 故选：C. 例3．（25-26高三上·上海·期中）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 【答案】 【详解】设该数列的前项和为，公比为， 则有，，则， 故或，又，故. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”.则该塔从塔底数第二层灯的盏数为 . 【答案】96 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列， 设塔顶灯盏数为， 则有，解得， 从塔底数第二层灯的盏数为. 故答案为：96. 例5．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以. （2）由，得， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东聊城·期中）设等比数列前项和为，若，，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．63 【答案】B 【详解】设的公比为，则，可得， 所以，则. 故选：B 变式2．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题设，又，解得. 故选：B 变式3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知正项等比数列的前n项和为，公比为，，则 . 【答案】3 【详解】因为，所以，即， 因为，所以，解得或， 因为，所以，所以不满足条件， 所以. 故答案为：3. 变式4．（25-26高三上·上海·期中）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）； 综上可得. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知是等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则，所以， 又，所以，所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， 所以， 所以. 考点二 等比数列通项公式的性质 【知识点解析】 1.等比数列通项公式的性质 ①若，则. ②若，则. ③若、、为等比数列，则，为、的等比中项. ④若为等比数列，则、、…依旧是等比数列. ⑤当且时，数列单调递增；当且时，数列单调递减. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·福建漳州·月考）数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为成等比数列，所以. 设等差数列的公差为，则， 因为，所以. 所以，化简得， 解得或(舍去)， 所以. 故选：C. 例2．（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 例3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】D 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：， ，， 所以 故选：D. 例4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习·多选）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 例5．（25-26高三上·山东青岛·开学考试·多选）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．是中的最小项 D．是中的最小项 【答案】BCD 【详解】设等比数列的公比为，由可得，因，故得， 又由可得，代入解得. 对于A，因 ，而，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，当为奇数时，，当为偶数时，， 此时由知数列的偶数项为递增数列，故是中的最小项，故C正确； 对于D，，要求的最小项，因的符号性质，需使为偶数， 此时有，因，则， 即，故的偶数项为递增数列，即是中的最小项，故D正确. 故选：BCD. 例6．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习·多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．最大值是 D．最大值为 【答案】ABC 【详解】因，且，则，则为正项递减数列. 对于A，，故A正确； 对于B，因，则与，一个小于1，一个大于1， 又，则，则，故B正确； 对于C，由B分析可知， 当时，；时，. 则时，随着n增大而增大，在时，随着n增大而减小，故最大值是，故C正确； 对于D，因为正项递减数列，则随着n增大而增大，则，故最大值不为，故D错误. 故选：ABC 例7．（25-26高三上·天津·期中），，若2是与的等比中项，则的最小值是 . 【答案】9 【详解】因为是与的等比中项，得到，得到， 又，，所以，当且仅当，即，时，取等号， 故答案为：9. 例8．（25-26高三上·重庆·阶段练习）若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 【答案】 【详解】因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得，解得， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 例9．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 【答案】7 【详解】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 故答案为：7. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖北·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 【答案】D 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知2，，成等比数列，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为2，，成等比数列， 所以，解得. 故选：C 变式3．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 变式4．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 变式5．（25-26高三上·辽宁·阶段练习·多选）记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为递增数列 C．若，则取得最小值时 D．若，则 【答案】AD 【详解】设等比数列的公比为. 由题可知：， 化简得：，解得或. 所以或. 选项A：，所以选项A正确； 选项B：当时，数列为递减数列； 当时，数列为递增数列，所以选项B错误； 选项C：若，则，所以， 所以，. 所以. 当或时，取得最小值，最小值为.所以选项C错误； 选项D：若，则，所以， 所以，. 所以. 因为，所以，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 变式6．（24-25高二下·四川泸州·期末·多选）的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列是递增数列 D．整数的个位数可以是6 【答案】ABD 【详解】， 所以， 因为是整数，且， 所以的整数部分为，小数部分为， 即，， 是以为首项，为公比的等比数列，A正确， ，是等比数列，首项是，公比是，又，因此是递减数列，C错误， 而，B正确； ，个位数是6，D正确． 故选：ABD. 变式7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列中，，则等比数列的公比 ． 【答案】2或 【详解】因为， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 故答案为：2或 变式8．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若成等比数列，则实数 . 【答案】 【详解】由等比数列的性质可知，， ， 得. 故答案为： 变式9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ． 【答案】 【详解】由等比数列的公比，且， 则 ， 所以. 故答案为：. 考点三 等比数列前项和的性质 【例题分析】 例1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 例2．（25-26高三上·河北·月考）设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】设为公比大于1的等比数列的前项和， 所以成等比数列，所以， 因为，所以， 解得或者, 因为等比数列公比大于1，所以， 所以, 故选：D 例3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习·多选）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 【答案】AB 【详解】对于A，因为，则，， ，由，得到，解得，故A正确， 对于B，由，得到，所以，故B正确， 对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，， 此时不成等比数列，故C错误， 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以前项和在时取得最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时，所以D错误. 故选：AB. 例4．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 【答案】/ 【详解】由题可得， 所以， 即，解得. 故答案为： 例5．（2025·广西·模拟预测）已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 【答案】/0.5 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设的公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 变式2．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【答案】C 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 变式3．（24-25高二下·广西河池·期末·多选）记等比数列的公比为q，其前n项和为，且，则下列说法一定正确的有（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．，，是等比数列 D．是等比数列 【答案】BCD 【详解】对于A，取，，此时，显然错误， 对于B：设， 所以， 由通项公式可知为等差数列，正确， 对于C，因为， 由等比数列前项和的性质可知，，成等比数列， 所以，且，同号， 所以， 所以，，是等比数列，正确， 对于D：因为，所以， 所以， 由通项公式可知其为等比数列，正确. 故选：BCD 变式4．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】21 【详解】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21 变式5．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】31 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 考点四 等比数列的应用 【例题分析】 例1．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 例2．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【详解】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 例3．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个， 则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 例4．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）《庄子∙天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看作“1”，那么第六天剩下的“棰”的长度为 . 【答案】 【详解】由题意可知每天剩下的“棰”的长度为， 构成了首项为，公比为的等比数列， 故第六天剩下的“棰”的长度为， 故答案为： 例5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 变式2．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【详解】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 变式3．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 【答案】41t 【详解】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量， 则，， 所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：， 所以，第一轮参数为， 第二轮参数增加的数量为， 第三轮参数增加的数量为， 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为， 所以第五轮训练的模型参数的数量为. 故答案为： 变式4．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 【答案】 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 变式5．（2025·陕西·模拟预测）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金，用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入2500元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)为了鼓励学生参与社会实践，银行与某企业合作，为参与勤工俭学的学生提供以下三种薪资调整方案（每月按30天计算）： 方案甲：每天工资固定为60元.方案乙：第1天工资10元，从第2天起每天比前一天多4元.方案丙：第1天工资元，以后每天工资是前一天的2倍.学生小张计划勤工俭学个月，试分析小张应如何根据的值选择薪资方案. 【答案】(1)16044元， (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得 ， 即在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为16044元. （2）设小张参与勤工俭学的天数为， 方案甲领取的报酬为； 方案乙每天的报酬与天数成首项为10，公差为4的等差数列， 由等差数列的求和公式可得领取的报酬为； 方案丙每天报酬与天数成首项为，公比为2的等比数列， 由等比数列的求和公式可得领取的报酬为. 先令，即，解得（舍去）或26， 所以当时，；当时，； 再比较和，当时，，，； 当时，，，； 最后比较和，由函数的增长快慢可得当时，，，； 当时，，，. 综上，当天时，即个月时选择方案甲； 当天时，选择方案丙，即个月时选择方案丙. 课后提升训练 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若为递减数列，则对任意有即， 所以或， 如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立； 若，，则数列为递减数列，所以必要性成立. 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【详解】设公比为，,则， 又，故，解得， 所以. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 5．（24-25高二下·四川凉山·期末·多选）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】已知，则，所以A错误； 由，可得， 可得，即， 当时，，即数列自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即，所以B错误； ，所以C正确， 当时，，符合条件， 当时，，所以D正确； 故选：CD. 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末·多选）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以当时，，故A正确； 对于B，当时，，所以， 即， 又，不满足，所以数列不是等比数列，故B错误， 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，当时，， 综上，故D正确. 故选：ACD 7．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为 . 【答案】，（或）（两组任写一组即可） 【详解】依题意可知，即； 若顺序调整为，即， 联立，解得，此时公比为1，不合题意，舍去； 若顺序调整为或，即， 联立，解得或（舍去）； 若顺序调整为或，即， 联立，解得或（舍去）； 综上可得，m，n的值依次可以为或. 故答案为：（或）（两组任写一组即可） 8．（24-25高二下·北京大兴·期末）设无穷等比数列的公比是q，能说明命题“若存在正整数，当时，，则为递增数列”是假命题的一组，的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一）   （答案不唯一） 【详解】要说明该命题为假命题，需要找到反例，即找一组，，使存在正整数，满足时，，但不是递增数列， 取，则等比数列通项公式为， 验证条件：由通项公式可得，， ，，， 可以发现当时，，即，满足存在正整数，当时，， 递增数列要求对任意的，都有， ，，满足条件， 但，，不满足条件， 不是递增数列， 故答案为：；. 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么至少前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：，）． 【答案】8 【详解】设第个正方形的边长为，则， 因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， 所以，， 所以外围第2个正方形的边长为， 同理，外围第个正方形的边长为， 即数列是首项为3，公比为的等比数列， 所以， 所以第个正方形的面积为 所以前个正方形的面积之和， 由得， 两边取常用对数得，，， 因为，所以至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：8. 10．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】由题意设数列的公差为，首项为，数列的公比为，首项为，则， 对于①：令，假设是等比数列，则为常数， 而与有关不为常数，故矛盾，故①正确； 对于②：设，满足题意，则， 由，所以数列不是递增数列，故②错误； 对于③：假设为等差数列，所以，即， 所以，解得与矛盾，故③正确； 对于④：，则， 若能构成等比数列，则，即， 化简整理得矛盾，故④正确； 故选：①③④. 11．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 又， 故，故， 因此 （2）， 由于， 故为等差数列，且公差为2， 故 12．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $