精品解析：天津市第二十中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026第一学期高二年级数学学科期中考试 一、单选题： 1. 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角． 【详解】由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于， 故倾斜角为． 故选：C． 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 3. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点， ． 故选：C． 4. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解. 【详解】根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得. 则离心率为. 故选：C 5. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可. 【详解】由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C 6. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 7. 圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以根据圆心在轴上且与轴相切设圆的圆心为，再根据过点即可列出方程解出的值，最后得出结果． 【详解】由题意，圆心在轴上且过点的圆与轴相切， 设圆的圆心为，半径为． 则，解得 所求圆的方程为，即，故选B． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，主要考查圆的方程的求解，圆心到圆上的点的距离都是半径是解决本题的关键，考查方程思想，是简单题． 8. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C. 考点：1、直线与圆位置关系；2、两条直线垂直的应用. 9. 已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆、直线的方程确定圆心、半径及直线所过定点，并判断定点与圆的位置关系，分析最小时直线的位置情况，再应用弦长的几何求法求的最小值. 【详解】圆，即，圆心，半径， 直线，即，恒过定点， 由，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小，此时， 所以的最小值为. 故选：B 10. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围. 【详解】因为圆心到直线的距离， 故要满足题意，只需，解得. 故选：A. 二、填空题： 11. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 12. 若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长轴定义得到，再利用离心率公式即可得到答案. 【详解】由题可设椭圆方程为， 则由题意得，解得， 则. 则其标准方程为. 故答案为：. 13. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 14. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则： ，解得：，则圆的方程为. 点睛：求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 15. 已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设关于直线的对称点为，列出方程组，求得，根据反射后恰好平分圆C的圆周，得到反射光线经过两点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心， 设关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 因为反射后恰好平分圆C的圆周，所以反射光线经过两点， 又由，所以反射光线的方程为，即. 故答案为：. 16. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】如图所示： 由，得， 则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，， 则圆的圆心为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故答案为：6. 三、解答题： 17. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点（2，3）的直线被圆C所截得的弦的长是，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心,由两点间的距离及圆心在直线上，列出方程组，求解即可求出圆心坐标，进而求出半径，写出圆的方程（2）由的长是，求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在求解. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 依题意可得： 解得，半径. ∴圆C的标准方程为； （2）,∴圆心到直线m的距离 ①直线 斜率不存在时，直线m方程为：； ②直线m斜率存在时，设直线m为. ,解得 ∴直线m的方程为 ∴直线m的方程为或. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质可得底面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证. （2）由（1）利用异面直线夹角的向量求法求解. （3）求出平面法向量再利用点到平面距离的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，取的中点，连接，由，得， 由侧面底面，平面，侧面底面，则底面， 以为原点，过平行于的直线为轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，因此，所以. 【小问2详解】 由（1）知，设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离. 19. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 20. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 解：假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期高二年级数学学科期中考试 一、单选题： 1. 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 150° D. 120° 2 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知椭圆与椭圆有相同焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 7. 圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是 A. B. C. D. 8. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9. 已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 10. 若圆上恰有2个点到直线距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 11. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 12. 若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为_______． 13. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 14. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 15. 已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是______. 16. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______. 三、解答题： 17. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C标准方程； （2）若过点（2，3）的直线被圆C所截得的弦的长是，求直线的方程． 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 20. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $