精品解析：河北省石家庄桥西区第十七中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期初三年级期中学情分析 数学学科 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 反比例函数的图像经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例图像的性质，反比例函数的象限分布由比例系数 的符号决定． 当比例系数 时，图像位于第一、三象限，当比例系数 时，图像位于第二、四象限． 【详解】解：∵ ， ∴ 图像经过一、三象限． 故选：A． 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：C． 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 则的值为． 故选：A． 5. 已知点，在函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点，在函数的图象上，且， ∴； 故选B． 6. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出方程根的判别式，再根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 8. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 9. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象过第一、三象限 C. 若，则 D. 点、是图象上的两点，，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可． 【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意； D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；由题意易得，然后根据可分别得出的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 11. 如图，在一个圆柱体容器内装入一些水，水面在圆心下方，且，水的最大深度是，则图中截面圆的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解半径是解答此题的关键．根据题意，连接，作，即可得到是直角三角形，利用勾股定理，求出截面圆的半径． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，, 设截面圆的半径为， 在中， 即 故选： 12. 如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 嘉嘉正确，淇淇也正确 D. 嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将所求分式拆分为已知分式与常数的和． 将拆分为，结合已知代入计算即可． 【详解】解：， 因为，所以原式． 故答案为：． 14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点），，，点为上一点．若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆周角定理，勾股定理，根据题意知，格点为所在圆的圆心，连接、，由勾股定理，圆周角定理可得，，然后通过弧长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，格点为所在圆的圆心，连接、， 则，， ∴的长为：， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．若双曲线L：将矩形内（不包含边界）的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有___________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及性质、矩形的性质、坐标与图形等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质、矩形的性质是解题的关键． 先得出点，然后根据偶点的定义可得偶点的坐标分别为、、、、、，再计算出双曲线L经过各偶点是的k值，然后根据偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点，据此确定k的取值范围即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，为，， ∴， ∴偶点的坐标分别为、、、、、， ∴矩形（不包含边界）内的偶点的个数为6， 当双曲线L经过点时，k的值为4， 双曲线L经过点、时，k的值为8， 双曲线L经过点时，k的值为16， 双曲线L经过点时，k的值为12， 双曲线L经过点时，k的值为24， ∵双曲线L将矩形（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点， ∴， ∴k的整数值为9，10，11， ∴k的整数值有3个． 故答案为：3． 三、解答题（共8道大题，共72分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再进行实数运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了特殊值三角函数的运算，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练记忆特殊角的三角函数值是解决此题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 因式分解，得： 或 解得， 18. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移4个单位，请画出平移后的； （2）以原点O为位似中心，请在网格内第四象限画出，使与的位似，且位似比为，并写出点的坐标； 【答案】（1） 如图，为所求； （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移和图形的位似，点平移的坐标变化规律为:横坐标左减右加,纵坐标上加下减；若与关于原点位似，且位似比为k，则只需将A、B、C的坐标分别乘以，再在坐标系中描点连线，即可得到关于原点的位似图形． （1）根据平移分别画出A、B、C三点的对应点、、，再依次连接即可； （2）依题意，可将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘以，得到其对应点、、的坐标，再在坐标系中描点连线即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园ABCD．如图所示，墙长25m，另外三面用45m长的篱笆围成，其中CD边开有一扇1m宽的门（不含篱笆，其它材料制作），当矩形花园的BC边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为240m2． 【答案】矩形花园的BC边的长为16米时，围成的矩形花园的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设BC边的长为x米 则AB的长为米， 由题意得： ∴ ∴． ∴， ∵墙长25米，∴． ∴米， 答：矩形花园的BC边的长为16米时，围成的矩形花园的面积为． 20. 如图，平分，为中点，，求证：． 【答案】 证明：∵为中点， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，由线段的中点定义可得，进而证明得到即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 【答案】（1）秋千绳索的长度为尺； （2）该秋千的长度约为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识点， (1)设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可； (2)在和中，解直角三角形得到,代入计算即可求得答案； 熟练掌握其性质并把实际问题转化为直角三角形问题是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，尺，尺， 尺， 在中，由勾股定理得：, ,解得， 答：秋千绳索的长度为尺； 【小问2详解】 解：由题可知，， 在中，, , 同理，, , , , ， 答：该秋千的长度约为米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数图象交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为（1，3）． （1）______，______． （2）求的面积． （3）已知点，过点P作平行于轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D． ①当时，求线段的长； ②结合函数的图象，直接写出的的取值范围． 【答案】（1）2，3 （2） （3）①；②或； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． （1）把代入即可求出，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）先求出点的坐标，根据即可求解； （3）①时，即把代入和即可求解；②结合函数的图象，直线在函数的上方；即可求解． 【小问1详解】 由题意得：把代入，解得：； 把代入得： ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）得：反比例函数的解析式为 当时， ∴ 由（1）得：， ∴ 【小问3详解】 ①当时，即把代入得：，把代入得： ∴； ②直线在函数的上方； ∴或； 24. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒 （1）______； （2）求的长．（用含t的代数式表示） （3）取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求的长． ②连结，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）3 （2）或 （3）①；②满足条件的t的值为或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可. （2）分两种情形：当时，当时，分别求解. （3）①证明，由此构建方程，可得结论. ②分两种情形：如图中，当时，，此时由此构建方程，即可解决问题.如图中，当时，过点作于.根据构建方程，可得结论. 【小问1详解】 在中， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当时，； 当 时， ； 【小问3详解】 ①当 时， 解得 此时 ②如图中, 当时，, 此时， 在中，， ， ， ， ， ∵关于点对称, ， ， ， ， 如图中，当时，过点作于， ， ，， ， ， ， ， ， ， 经检验是分式方程的解， 综上所述，满足条件的t的值为或 ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三年级期中学情分析 数学学科 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 反比例函数的图像经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，在函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 8. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象过第一、三象限 C. 若，则 D. 点、是图象上的两点，，则 10. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，在一个圆柱体容器内装入一些水，水面在圆心下方，且，水的最大深度是，则图中截面圆的半径为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 嘉嘉正确，淇淇也正确 D. 嘉嘉错误，淇淇也错误 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若，则的值是_____． 14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点），，，点为上一点．若，则的长为___． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．若双曲线L：将矩形内（不包含边界）的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有___________个． 三、解答题（共8道大题，共72分） 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移4个单位，请画出平移后的； （2）以原点O为位似中心，请在网格内第四象限画出，使与的位似，且位似比为，并写出点的坐标； 19. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园ABCD．如图所示，墙长25m，另外三面用45m长的篱笆围成，其中CD边开有一扇1m宽的门（不含篱笆，其它材料制作），当矩形花园的BC边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为240m2． 20. 如图，平分，为中点，，求证：． 21. 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 22. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数图象交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为（1，3）． （1）______，______． （2）求的面积． （3）已知点，过点P作平行于轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D． ①当时，求线段的长； ②结合函数的图象，直接写出的的取值范围． 24. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒 （1）______； （2）求的长．（用含t的代数式表示） （3）取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求的长． ②连结，当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $