25-阶段提升（十） 三角函数的图象与性质（范围：5.4）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

阶段提升（十） 三角函数的图象与性质（范围：5.4） 题型一 三角函数的图象与性质 1．下列函数中，最小正周期为 ，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.在 选项中，函数 的最小正周期为 ，不符合条件；在 选项中，函数 的最小正周期为 ，不符合条件；在 选项中，函数 的最小正周期为 ，但是在 上不单调，不符合条件；在 选项中，函数 的最小正周期为 ，且在 上单调递减，符合条件. 2．函数在区间内的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.当 时，， 则，故排除，；当 时，；当 时，， ，且，故排除. 3．设函数，若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】令，定义域为，关于原点对称， 所以，所以 为奇函数，又， 所以，， 所以. 三角函数的图象与性质主要包括以下几个方面的内容：三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.整体代换是研究与三角函数有关问题的基本方法，数形结合是研究三角函数问题的重要数学思想. 题型二 三角函数的对称性 ［例1］ （多选）已知为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点,对称 C. 在区间,上单调递减 D. 函数为偶函数 【答案】AC 【解析】因为 为函数 图象的一条对称轴， 所以， 故 ，, 因为 ，所以令，解得，得到.对于， ，则 的最小正周期为 ，故 正确；对于，，即 的图象不可能关于点,对称，故 错误； 对于，因为,， 所以,. 令,,， 则原函数化为，,，由余弦函数性质得 在 上单调递减， 得到 在区间 上单调递减，故 正确； 对于，因为，所以， 令， 而，得到， 则函数 不是偶函数，故 错误. （1）正弦曲线对称中心的坐标是,.正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为. （2）余弦曲线的对称轴方程是,对称中心的坐标为 ,. （3）正切曲线的对称中心为，，没有对称轴. ［跟踪训练1］． （1） 函数图象的一个对称中心为（ ） A. , B. , C. , D. , （2） 若方程在上的解为,，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选.令， 可得. 所以当 时，，故,满足条件. （2） 令，,即 图象的对称轴方程为，, 由，可得,， 因为 在 上的解为,， 可得,关于直线 对称， 所以， 则. 题型三 三角函数中的参数问题 角度1 利用周期性、对称性求参数 ［例2］ （1） 已知函数,图象的两个相邻对称中心为,，,，则（ ） A. B. C. D. （2） 设函数与函数的对称轴完全相同，则 的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 由 图象的两个相邻对称中心为,，,， 可得，所以 ， 又，故， 又 ,， 则，, 结合，得. （2） 由题意可知，与 周期相同， 故,. 对于函数， 令 ，解得, 对于函数， 令， 解得， 所以， 又,解得. 三角函数的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ ”的取值. 角度2 利用单调性、最值求参数 ［例3］ 已知函数是区间上的增函数，则正实数 的取值范围是（ ） A. B. , C. D. 【答案】C 【解析】因为 ， 所以， 又因为函数 是区间 上的增函数， 所以 ，解得，又， 所以,所以正实数 的取值范围是. （1）根据三角函数的单调性求参数的范围，要把已知条件转化为集合的包含关系，进而建立参数满足的不等式（组）求解. （2）利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 的不等式（组），进而求出 的值或取值范围. 角度3 利用零点求参数 ［例4］ 函数在区间上有且仅有3个零点，则实数 有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】D 【解析】令 , ，则函数的零点为,,所以函数在 轴右侧的四个零点分别是，,,, 又函数 在 上有且仅有3个零点， 所以 解得， 所以实数 有最小值为，无最大值. 三角函数两个相邻零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究 的值或取值范围. ［跟踪训练2］． （1） 已知函数的图象关于原点对称，则 的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. （2） 设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由题意得 为奇函数， 可得 ，， 当 时，. （2） 设，则， 由，， 则， 又 的最大值为1，但最小值不为，所以 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $