4.3.2 对数的运算 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.3.2　对数的运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 1.对数的运算性质 (1)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么, ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R). |微|点|助|解| (1)对数运算性质的语言表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”. (2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. (2)对数运算中的常用结论 已知a>0,且a≠1. ①loga=logaM-1=-logaM(M>0); ②loga=loga=logaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1); ③推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*,N1,N2,…,Nk均大于0). 2.换底公式 (1)对数换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). (2)推论 ①logab·logba=1(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). ②logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1). ③恒等式:loMn=logaM(n∈R,m≠0). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3). (　 ) (2)logaM·logaN=loga(M+N). (　 ) (3)loga(M+N)=logaM+logaN. (　 ) (4)loga=. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 (　 ) A.a-b2 B.a-2b C. D. 解析:选B　∵lg 3=a,lg 7=b, ∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 3.计算log92×log43= (　 ) A.4 B.2 C. D. 解析:选D　log92×log43=×=×=. 4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43=　　　　.  解析:log43===. 答案: 题型(一)　对数运算性质的应用 [例1]　计算下列各式的值: (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2); (3)log535-2log5+log57-log51.8. 解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式= ==. (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2. 　　|思|维|建|模| 对数式化简或求值的常用方法 (1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是: ①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式; ②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). (2)对常用对数的化简要创设情境,充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. (3)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简. (4)当真数是形如“±”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”. 　　[针对训练] 1.计算: (1)2(lg )2+lg ×lg 5+; (2)log535+2lo-log5-log514. (3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 解:(1)原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1. (2)原式=log5+2lo=log553-1 =3-1=2. (3)法一　原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 法二　原式=2lg 5+2lg 2+(1-lg 2)(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+1-(lg 2)2+(lg 2)2=2+1=3. 题型(二)　对数换底公式的应用 [例2]　已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456. 解:因为2b=3,所以b=log23, 即log32=. 所以log1456== = ==. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变,试用a,b表示log2898. 解:log2898=====. 2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢? 解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37,所以log1456===. 　　|思|维|建|模| 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 　　[针对训练] 2.已知log37=a,log74=b,用a,b表示log427. 解:由log37=a,log74=b,可得ab=log37×log74=log34=2log32. 则log427====. 3.求值: (1)log23×log35×log516; (2)(log32+log92)(log43+log83). 解:(1)原式=××===4. (2)原式= = =×=. 题型(三)　对数运算性质的综合应用 [例3]　(1)设3a=4b=36,求+的值; (2)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z. 解:(1)法一　由3a=4b=36,得a=log336,b=log436, 由换底公式得=log363,=log364, ∴+=2log363+log364=log3636=1. 法二　由3a=4b=36,两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2, ∴=log63,=log64=log62, ∴+=log63+log62=log66=1. (2)令2x=3y=5z=k(k>0), ∴x=log2k,y=log3k,z=log5k, ∴=logk2,=logk3,=logk5, 由++=1, 得logk2+logk3+logk5=logk30=1,∴k=30, ∴x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56. |思|维|建|模| 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解. 　　[针对训练] 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  解析:根据题意有-=-,即3loga2-=-.设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,解得t=(舍负),所以loga2=,所以=2,解得a=64. 答案:64 5.已知a>b>1,且logab+logba=,ab=ba,求a的值. 解:∵a>b>1,且logab+logba=, 即+logba=, ∴设logba=t,则t>1. ∴t+=,解得t=2或t=(舍去), 即logba=2.∴a=b2. ∵ab=ba,∴(b2)b=b2b=, ∴2b=b2,解得b=2或b=0(舍去),∴a=4. 题型(四)　实际问题中的对数运算 [例4]　(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　 ) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 解析:选D　由题意,得=2.1,=3.15.若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=. 　　 |思|维|建|模| 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算. 　　[针对训练] 6.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=(e为自然对数的底数,ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度. 解:因为v=ln=2 000ln,且M=2m,所以v=2 000×ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时,火箭的最大速度约为2 198 m/s. [课时检测] 1.若a>0,a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式: =nlogax;=logaxn;③logax=-loga;④ =logax;⑤=loga.其中正确的有 (　 ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析:选A　根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③与⑤正确. 2.计算lg 2-lg-eln 2等于 (　 ) A.-1 B. C.3 D.-5 解析:选A　原式=lg-2=-1. 3.化简得log832的值为 (　 ) A. B.2 C.4 D. 解析:选D　log832===. 4.已知10x=3,10y=5,则用x,y表示lg为 (　 ) A. B. C.2x+y-1 D.2x-y+1 解析:选C　因为10x=3⇔x=lg 3,10y=5⇔y=lg 5,所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3-(1-lg 5)=2lg 3+lg 5-1=2x+y-1. 5.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) (　 ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析:选D　由已知得,lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093. 6.17世纪初,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,在科学技术中,还常使用以无理数e为底数的自然对数,其中e=2.718 28…,对数是简化运算的有效工具,依据下表数据,计算ln的结果约为 (　 ) x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 … ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 … A.1.334 B.1.244 C.2.747 D.3.733 解析:选A　ln=ln(31.9×1.312) =[ln(31.9)+ln(1.312)]=(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334. 7.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有 (　 ) A.+=1 B.+=lg 20 C.+=2 D.+= 解析:选AB　由已知,得a=log210,b=log510,+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确;+=+=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确;+=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确. 8.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y,则的值为 (　 ) A.1 B.4 C.1或4 D.或4 解析:选B　由对数的运算性质可得,lg(x-2y)2=lg(xy),所以(x-2y)2=xy.即x2-5xy+4y2=0,所以(x-y)(x-4y)=0.所以=1或=4.又x-2y>0,x>0,y>0,所以>2.所以=4. 9.(5分)若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab的值等于　　　.  解析:∵lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,∴lg a+lg b=-=2.∴ab=100. 答案:100 10.(5分)已知m>0,且10x=lg(10m)+lg,则x=　　　　.  解析:lg(10m)+lg=lg 10+lg m+lg=1,所以10x=1=100,所以x=0. 答案:0 11.(5分)十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN,现在已知a=log48,b=log24,则4a=　　　　　,a+b=　　　　　.(用最简结果作答)  解析:已知a=log48,b=log24,所以4a==8,a+b=+2=+2=. 答案:8　 12.(5分)计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)=　　　　.  解析:法一　原式==·=log25·(3log52)=13log25·=13. 法二　原式===·=13. 答案:13 13.(10分)计算下列各式的值: (1)log3+lg 25+lg 4+;(5分) (2)2log32-log3+log38-.(5分) 解:(1)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. (2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 14.(10分)设xa=yb=zc,且+=,求证:z=xy. 证明:设xa=yb=zc=k,k>0,且k≠1, 则a=logxk,b=logyk,c=logzk. 因为+=,所以+=, 即logkx+logky=logkz. 所以logk(xy)=logkz, 即z=xy. 15.(15分)已知集合A={log52,log425,2},集合B=.记集合A中最小元素为a,集合B中最大元素为b. (1)求A∩B及a,b的值;(5分) (2)证明:函数f(x)=x+在[2,+∞)上单调递增;并用上述结论比较a+b与的大小.(10分) 解:(1)因为log425=log25,所以A={log52,log25,2},B={log25,-2},即A∩B={log25}.因为log52<log525=2=log24<log25,所以a=log52,b=log25. (2)证明:设x1,x2为[2,+∞)上任意两个实数,且2≤x1<x2,则x1-x2<0,x1x2>1, f(x1)-f(x2)=- =x1-x2+-=(x1-x2)×<0, 即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在[2,+∞)上单调递增. 所以f(x)>f(2)=. 所以log52+log25=+log25=f(log25)>. 学科网（北京）股份有限公司 $$