14-3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值-课后达标 检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦函数单调性、最值求解及实际应用等核心知识点，从基础的函数单调性判断最值（如第1题），到含参数问题分类讨论（如第2题），再到销售利润等实际情境中的函数建模（如第4题），构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料通过分层设计（A基础、B能力、C素养），以实际应用题（如按摩椅销售建模）培养数学语言的模型意识，借助分类讨论（如二次函数区间最值）提升数学思维的推理能力，结合图像分析（如折线图求最值）发展数学眼光的几何直观。课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化核心素养。

课后达标 检测 A 基础达标 1．已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.因为 在 上单调递减，所以. 2．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 【答案】C 【解析】选.方法一：当 时，由题意得，则； 当 时，，则； 当 时，不满足题意. 综上，. 方法二：令，,由题意得，即，化简得，解得. 3．若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.函数 图象的对称轴为直线， 由函数 在区间 内存在最大值，得， 解得， 所以 的取值范围是. 4．某大型家电商场在一周内计划销售，两种电器，已知这两种电器每台的进价都是1万元，且该家电商场进货的台数不高于的台数的2倍，且进货至少2台，而，的售价分别为12 000元/台和 12 500元/台，若该家电商场每周进货，的总数为6台，所进电器都能销售出去，则该商场在一周内销售，电器所得总利润（利润售价-进价）的最大值为（ ） A. 1.2万元 B. 2.8万元 C. 1.6万元 D. 1.4万元 【答案】D 【解析】选.设该家电商场在一周内进货 的台数为，则一周内进货 的台数为，设该商场在一周内销售，电器的总利润为 万元，由题意可得 解得，且， ，函数 在 上单调递增，故（万元）.故选. 5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.依题意，，,当且仅当 时取等号， 由 对任意实数 恒成立，得，解得， 所以实数 的取值范围为. 6．（多选）已知函数，下列选项正确的是 （ ） A. 若，则 B. 函数在定义域内是减函数 C. 若，则的值域是 D. 若，则函数有最小值也有最大值 【答案】AD 【解析】选.对于，由，可得， 解得，故 正确； 对于，的定义域为， 所以 在 上单调递减，且， 在 上单调递减，且， 故 在 上不是单调函数，故 错误； 对于，由 可得，当 时， ， 当 时，，所以 的值域是， 当 时，无意义，故 错误； 对于，当 且 时， ， 当 且 时，， 所以若，则函数 有最小值也有最大值，故 正确. 7．已知函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】令，则，则， 故,则 在区间 内单调递增， 则， 解得，则， 则． 8．函数在上的最大值为1，则的值为_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】因为 的图象是由 的图象向右平移1个单位长度得到， 即 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减， 所以，解得. 9．函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】函数 的图象如下， 当 时，令， 得（舍去），， 当 时，令， 得，（舍去）， 结合图象可得. 10．（13分）已知函数，点，是图象上的两点. （1） 求，的值；（4分） （2） 求函数在上的最大值和最小值.（9分） 【答案】 （1） 解：因为点，是 图象上的两点， 所以 解得 （2） 由（1）得，设， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 所以函数 在 上单调递减. 故，. B 能力提升 11．（多选）若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.因为函数 的图象是开口向上，以直线 为对称轴的抛物线，所以函数 在区间 上单调递减，上单调递增. 当 时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为，符合题意； 当 时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为，符合题意； 当 时，函数的最小值为， 因为， 所以最大值为，所以函数的值域为，符合题意； 当 时，最小值为， 因为， 所以最大值为，得函数的值域为， 综上可得区间 不可能为. 12．，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】在同一平面直角坐标系内作出直线，，， 由 取，，三个函数值中的最小值， 得 的图象为图中实线构成的折线图， 则 的最大值即为 图象的最高点对应的纵坐标值， 观察图象知，图象的最高点是直线 与 的交点， 由 得 因此 图象的最高点是， 所以 的最大值为2. 13．（13分）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（单位：台）与零售价（单位：元）间满足：，已知第1，2月份销售情况如表所示： 月份 1月 2月 零售价元 6 000 6 500 月销售量台 60 55 （1） 若厂家某月将该按摩椅定价为6 700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？（6分） （2） 若厂家生产一台按摩椅的成本为4 000元，则该厂家应该如何定价才能使月利润最大？最大利润是多少？（7分） 【答案】 （1） 解：由题意知，将,和,分别代入， 得 解得 故． 当 时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2） 由，得, 设月利润为 元，则，， 当 元时，，故当该按摩椅定价为8 000元/台时，月利润最大，最大利润为160 000元． 14．（15分）已知二次函数,,. （1） 求函数的解析式；（4分） （2） 若函数在区间上不单调，求的取值范围；（5分） （3） 求函数在区间上的最大值（6分） 【答案】 （1） 解：因为二次函数 满足，且， 故函数图象的对称轴为直线，且 的最大值为16， 可设函数,， 根据，解得， 故． （2） 函数 图象的对称轴为直线， 要使函数 在区间 上不单调， 则， 即， 解得，所以 的取值范围为. （3） 由（1）知，函数 图象的对称轴为直线，且开口向下， 当 时，函数 在 上单调递减，此时最大值； 当，即 时，函数 在 上单调递增， 此时最大值； 当，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 此时最大值； 综上所述， C 素养拓展 15．设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】选.,,当,即 时，单调递减，在 上的最小值； 当，即 时，,； 当,即 时，单调递增，在 上的最小值为， 因此 可得当 时，取得最大值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $