2.4圆的标准方程（八大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4 圆的标准方程 题型一 由圆心（或半径）求圆的方程 1．以为圆心，直径为4的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心为，直径为4，即半径为2， 所以该圆的标准方程为. 故选：C 2．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由中点坐标公式求出圆心和两点距离公式求出半径即可得解. 【详解】线段的中点为，则半径为， 则以线段为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 3．已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)求圆心到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心在圆的弦的中垂线上和直线上，可得圆心的坐标；由圆心到圆上点的距离等于半径，可得圆的半径，代入圆的标准方程即可求得； （2）利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由圆经过点和，可得线段的中点坐标为， 则圆心在直线上，又在直线上， 故可得圆心，则半径， 所以圆的方程为. （2）由（1），可得圆心到直线的距离为. 故圆心到直线的距离为. 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 4．过三点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为． 故选：D． 5．过三点，，圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心在弦的中垂线上可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可. 【详解】由题，设三点，，，则的中垂线方程为， 又的中点为，且直线的斜率为，故直线的中垂线斜率为， 故直线的中垂线方程为，即， 由 故圆心的坐标为，半径， 故圆的方程为. 故答案为： 6．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用待定系数法求标准方程； （2）用直接法求轨迹方程. 【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，则有，整理求得， 故圆心为，， 则圆的方程为； （2）设线段中点，， 由题意知，， ∵点P在圆上运动， ∴， ∴的轨迹方程为. 题型三 由标准方程确定圆心和半径 7．若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标，再根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆心，进而得到直线定过的点. 【详解】圆的标准方程为，圆心为． 由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 8．圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点，即对称圆的圆心，两对称圆的半径相等，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆关于直线的对称的圆的方程为. 故答案为：. 9．已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解； （2）先求圆外点到圆心的距离，则可知：. 【详解】（1）设圆的标准方程为：， 由题意得：，得：， 即：圆的圆心坐标：. （2）由题意得:， 所以：， 所以：最大值为：：，最小值为：. 题型四 圆的一般方程与标准方程的相互转化 10．已知△ABC的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法、配方法进行求解即可. 【详解】设△ABC的外接圆方程为， 因为的三个顶点分别为， 所以有， 配方得， 故选：C 11．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，用两点间距离公式表示，化简可得动点的轨迹方程； 【详解】设动点，则，， ∵点满足， ∴，化简，整理得. ∴动点的轨迹方程为. 故答案为：. 12．在△ABC中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题意可得，，联立求解即可； （2）设，则的中点坐标为，分别将，两点坐标代入相应的直线方程，联立求出点坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【详解】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，，所以点的坐标为； （2）设，则的中点坐标为， 将代入直线的方程得③， 将代入直线的方程得④， 将③④联立解得，，即， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以的外接圆的一般方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 13．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，关于的方程表示一个圆或点求解. 【详解】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 14．已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可. 【详解】由， 化简可得， 圆心在第二象限，则， 所以，解得， 所以实数的范围. 故答案为： 15．已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 【答案】(1)； (2)圆心坐标为，半径为. 【分析】（1）由二元二次方程表示圆的条件列不等式求解； （2）配方得圆的标准方程后可得圆心坐标与半径. 【详解】（1）由题意，解得：， 所以的取值范围是； （2）圆的标准方程是， 圆心坐标为，半径为. 题型六 求圆的一般方程 16．及的坐标分别是及，其中是一个常数．设为直角坐标平面上的一动点使得．若的轨迹方程是，求的值．（　　） A．-8 B．-6 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设，由两点距离公式得到，比较系数即可求解. 【详解】设， 由题意可得：， 化简可得：， 比较系数可得：，解得， 故选：B 17．已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的一般方程为， 将点代入得， 解得，满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 故答案为： 18．在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为， (1)求对角线所在直线的方程： (2)求过、、三点的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形对角线互相垂直平分，求出对角线的中点坐标和斜率，进而得到对角线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程； （2）先求出点坐标，再设出圆的一般方程，将三点代入方程，解方程组即可求出. 【详解】（1）菱形的顶点和，利用中点坐标公式可得对角线的中点坐标为， 根据斜率公式求出，又菱形对角线互相垂直，，， 又菱形对角线互相平分，直线过对角线的中点， 根据点斜式可得对角线所在直线的方程为，即. （2）由（1）可得直线的方程为， 联立，解得，点坐标为，点坐标为， 设圆的一般方程为， 把三点代入方程，得，解得， 圆的一般方程为. 题型七 圆过定点问题 19．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 20．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 21．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型八 由圆的一般方程确定圆心和半径 22．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 23．若点是圆上任意一点，点，则线段的中点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设，则，结合已知代入化简即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以，即. 故答案为：. 24．已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解. （2）求出圆的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心到直线的距离最大的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 圆的标准方程 题型一 由圆心（或半径）求圆的方程 1．以为圆心，直径为4的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为 . 3．已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)求圆心到直线的距离. 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 4．过三点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．过三点，，圆的方程为 . 6．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 题型三 由标准方程确定圆心和半径 7．若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 8．圆关于直线对称的圆的方程为 9．已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 题型四 圆的一般方程与标准方程的相互转化 10．已知△ABC的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 12．在△ABC中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. . 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 13．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为 . 15．已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 题型六 求圆的一般方程 16．及的坐标分别是及，其中是一个常数．设为直角坐标平面上的一动点使得．若的轨迹方程是，求的值．（　　） A．-8 B．-6 C．6 D．8 17．已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 18．在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为， (1)求对角线所在直线的方程： (2)求过、、三点的圆的方程. 题型七 圆过定点问题 19．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 20．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 21．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 题型八 由圆的一般方程确定圆心和半径 22．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 23．若点是圆上任意一点，点，则线段的中点的轨迹方程是 . 24．已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $