精品解析：安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题

智学大联考·皖中名校联盟 合肥八中2025－2026学年第一学期高二年级期中检测 数学试题卷 命题人：何振华 陆睿 审题人：王育庆 关良玲 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为150分钟. 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得直线的斜率，进而可得倾斜角． 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又，， 所以的倾斜角为． 故选：B． 2. 经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】椭圆方程，左、右焦点分别为，，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆方程，设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆长轴长， ，，得的周长为． 故选：C 3. 从点发出的光线，经直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. －2 B. －3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，再结合在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，，的中点坐标为， 则，解得，，， 由题意可知，在反射光线上，又反射光线恰好通过点， 则，即反射光线所在直线的斜率为－3． 故选：B. 4. 一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论． 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 抛物线焦点到顶点的距离为． 故选：D． 5. 如图，是三棱锥的棱的中点，是的中点，点在线段上，且，设，，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，以为基底，结合空间向量的加法与减法法则将用表示即可． 【详解】由，可得，又， 所以，故，，则. 故选：C． 6. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，利用抛物线定义可得，再由等边三角形的边长为4，即可求得，即可得到的值. 【详解】因为是边长为4的等边三角形， 由题意可知，，由抛物线定义可得， 设准线与轴的交点为D，如下图所示： 因此与平行，由 ，可得， 所以，即. 故选：A. 7. 经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果． 【详解】因为点为直线上一动点， 设，，是圆的切线， ，，是圆与以为直径的两圆的公共弦， 的中点为，可得以为直径的圆的方程为： ① 又，② ①与②相减得：， 化为， 由可得， 可得总满足直线方程，即过定点， 故选：A． 8. 点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，若曲线上两点、满足面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意求得动点的轨迹方程,再分析与面积的表达式求解的关系进而求得离心率即可. 【详解】由题可设,则因为,故 .化简得：. 故当时面积最大, 面积的最小. 故 .故椭圆的离心率. 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆的轨迹方程的求解以及离心率的求解问题,需要根据题意列出满足的条件,再化简求得方程,属于中等题型. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是双曲线且渐近线方程为 B. 曲线不可能是圆 C. 当时，曲线是双曲线 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 【答案】AC 【解析】 【分析】将曲线化为，将代入即可判断B，将代入即可判断A，若曲线是离心率为的椭圆，分焦点在轴和焦点在轴两种情况讨论即可判断D． 【详解】将曲线化为， 对于A，若时，曲线的方程为， 则曲线是双曲线，且渐近线方程为，故A正确； 对于B，当时，曲线的方程为， 所以曲线是以原点为圆心，2为半径的圆，故B错误； 对于C，当时，曲线的方程为，曲线是一个双曲线，故C正确； 对于D，曲线是离心率为的椭圆，由， 即，得且， 当焦点在轴上时，，则，解得， 当焦点在轴上时，，则，解得， 综上，若曲线是离心率为的椭圆，则或，故D错误． 故选：AC． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知及双曲线的定义得且、，再依次判断各项的正误. 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 11. 已知圆与圆相交于两点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 当时， C. 当且时， D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由方程得出圆心坐标；由两圆的位置关系得出的范围；由勾股定理结合距离公式判断C；由为圆的直径，结合二次函数的性质判断D. 【详解】由圆的方程可知圆的圆心坐标为，即正确； 当时，圆，， 所以有，即，解得，即B正确； 因为，且，所以， 即，解得或，即C错误； 因为圆的直径为2，所以当时，为圆的直径， 所以， 当且仅当时，，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在棱长为2的正方体中，是的中点，则点到直线的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】法一：根据空间向量的坐标运算求解点到直线的距离即可．法二：利用等面积法可求点到直线的距离即可． 【详解】法一：以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，. 法二：由题意得， 又，所以． 故答案为：． 13. 已知直线及直线截圆所得的弦长均为6，则圆的半径是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由两平行线之间的距离可以求出圆的圆心到两直线的距离均为，然后由勾股定理即可求出答案． 【详解】由题意直线与直线平行， 则它们之间的距离为， 从而圆的圆心到两直线的距离均为， 又因为直线及直线截圆所得的弦长均为， 所以圆的半径是． 故答案为：5． 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为､，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得的坐标，设，，运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得，的方程，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，， 设双曲线的一条渐近线方程为， 可得直线的方程为， 联立双曲线，可得，， 设，， 由三角形的等面积法可得， 化简可得① 由双曲线的定义可得② 在三角形中，为直线的倾斜角）， 由，，可得， 可得，③ 由①②③化简可得， 即为， 可得，则． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 直线过点，且与直线平行． （1）求直线的方程； （2）已知圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行先求斜率，进而利用点斜式即可求解； （2）先求线段的中垂线的方程，联立方程组求圆心的坐标，进而得半径，最后由圆的标准方程即可求解. 【小问1详解】 因为与直线平行，所以的斜率为2， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 直线的斜率为，则线段的中垂线的斜率为， 又线段的中点为， 则线段的中垂线方程为，即 联立，解得， 即圆心的坐标为，又半径， 则圆的标准方程为． 16. 已知椭圆的离心率为，长轴的长为8． （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率与椭圆长轴长，计算出，进而可得椭圆方程； （2）根据椭圆的性质，利用余弦定理解，即可得答案. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则的离心率为， 又长轴的长为8，即，则，，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ，设，， 又，则为锐角，且， 在中，， 即，即①， 又，即②， 由①②解得，， 所以的面积为． 17. 如图，三棱锥中，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1） 过点作，垂足为，连接， 在中，，，则，， 因为，， 所以，， 且，可知， 则，，即， 且，在中，，则， 且，平面，则平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，连接，根据长度关系可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）建系标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，，两两互相垂直， 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）求过点，且与抛物线的准线相切的圆的方程； （3），两点在抛物线上，点，若直线，是圆的两条切线，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式求解即可； （2）求得线段的中垂线方程，设圆心为，利用，求得，可求圆的方程； （3）设，，求得直线的方程，根据，可求直线的方程． 【小问1详解】 点，设直线方程为，，， 由，得，则， 从而， 所以，则，抛物线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，则线段的中点为， 从而线段的中垂线方程为，即， 由此可设所求圆的圆心为， 则， 由圆与的准线相切，得圆的半径为， 又，，在中， 即，即，解得或1， 从而圆的方程为或． 【小问3详解】 如图： 设，，则， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为 ，即，又， 则，即，同理可得， 所以直线的方程为． 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线，且． （1）求双曲线的方程； （2）点，若直线与双曲线的右支交于，两点，且轴是的平分线， 证明：直线过定点； （3）若直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 设，，由， 得， 则，，因为轴是的平分线， 所以直线，的倾斜角互补，从而两条直线的斜率之和为0， 即， 即，即， 从而，整理得，即， 所以直线方程为，从而直线过定点． （3）． 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程可得，，求得可求得双曲线方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，利用根与系数的关系可得，，根据，可求得的关系，进而可求定点； （3）由（2）可得，可得，设点的坐标为，求得点的坐标为，求得直线方程为，可求得的坐标为，可求轨迹方程. 【小问1详解】 设双曲线的方程为，焦距为， 由右焦点为，得， 由一条渐近线方程为，即，得，即， 又，解得，，从而双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，联立直线与双曲线的方程， 得（且， 因为与有唯一的公共点， 则， 整理得，设点的坐标为， 则，即， 从而， 所以点的坐标为，又直线过点，且， 则直线方程为， 令，得，即； 令，得，即， 所以点的坐标为， 从而，， 所以，即，其中， 所以点的轨迹方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智学大联考·皖中名校联盟 合肥八中2025－2026学年第一学期高二年级期中检测 数学试题卷 命题人：何振华 陆睿 审题人：王育庆 关良玲 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为150分钟. 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 26 3. 从点发出的光线，经直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. －2 B. －3 C. D. 4. 一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是三棱锥的棱的中点，是的中点，点在线段上，且，设，，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（ ） A. B. C. D. 8. 点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，若曲线上两点、满足面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是双曲线且渐近线方程为 B. 曲线不可能是圆 C. 当时，曲线是双曲线 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 11. 已知圆与圆相交于两点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 当时， C. 当且时， D. 当时，的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在棱长为2的正方体中，是的中点，则点到直线的距离为_____． 13. 已知直线及直线截圆所得的弦长均为6，则圆的半径是_____． 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为､，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 直线过点，且与直线平行． （1）求直线的方程； （2）已知圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程． 16. 已知椭圆的离心率为，长轴的长为8． （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积． 17. 如图，三棱锥中，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 18. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）求过点，且与抛物线的准线相切的圆的方程； （3），两点在抛物线上，点，若直线，是圆的两条切线，求直线的方程． 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线，且． （1）求双曲线的方程； （2）点，若直线与双曲线的右支交于，两点，且轴是的平分线， 证明：直线过定点； （3）若直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $