学易金卷：高一数学上学期第三次月考模拟卷03（全国通用，人教A版必修第一册1～4章：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程与不等式+函数及其性质+指对函数）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C D B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）设比例系数为k，则(2分) 又，，所以，即，(5分) 所以(8分) （2）由（1）可得 所以当时，y有最小值为1250万元(12分) 所以天然气供气站建在距甲城50km时费用最小，最小费用的值为1250万元，(13分) 16．（15分） 【详解】（1） (7分) （2）令， 则，即，得， 即， 则，所以不等式的解集为.(15分) 17．（15分） 【详解】（1）在上单调递减.(1分) 证明：任取，(5分) ∵，∴，，， ∴，(9分) ∴在上单调递减.(10分) （2）由（1）可知在上单调递减， ∴(14分) ∴在的值域：(15分) 18．（17分） 【详解】（1）不等式为 ，其中 ， ． 因为 ，(5分) ，，所以，，(7分)从而 ，即 ．(8分) （2）法一：，，且，所以 ，则有， ， 当且仅当时，取等号．(10分) 由（1）不等式知 ，(15分) 所以 ． (17分) 法二：因为，所以，因为，， 所以，即，所以有： ， 因为，，所以.(15分) 19．（17分） 【详解】（1）对于集合， 满足条件①：和恰好都含有3个元素； 满足条件②：为单元素集合； 但不满足条件③：，则不是“优选集”；3分) 对于集合， 满足条件①：，和恰好都含有3个元素； 满足条件②：，，为单元素集合； 满足条件③：．所以集合是“优选集”．(6分) （2）由集合S为“优选集”， 结合（1）显然，可以属于S中的零个集合，一个集合，两个集合， 取集合，其中，，，，，，， 此时，可以属于S中的两个集合，三个集合， 假设存在，使得可以属于S中的四个集合，即，其中， 为了满足条件③，显然还存在， 为了满足条件②，中的元素必须在，，，中除外的另外两个元素中各选一个， 此时中有4个元素，显然不满足条件①， 因此假设不成立， 故若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合；(10分) （3）结合（2）有集合，其中，，，，，，，此时S的元素个数为7，(12分) 假设存在，则可得中必有元素或， 不妨令，要使，，都为单元素集合， 则或或或， 当时，，舍去； 当时，不是单元素集合，舍去； 当时，不是单元素集合，舍去； 当时，不是单元素集合，舍去， 因此假设不成立， 故集合S的元素个数的最大值为7．(17分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．函数在有意义，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 8．设函数，若对任意，存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．命题，是假命题，则实数b的值可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知实数，满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域是 ． 13．关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 14．若方程在区间内有两个不等的实根，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 甲、乙两城相距100km，某天然气公司计划在两地之间建天然气站P给甲、乙两城供气，设P站距甲城.xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y（万元）与甲、乙两地的供气距离（km）的平方和成正比（供气距离指天然气站到城市的距离），当天然气站P距甲城的距离为40km时，建设费用为1300万元. （1）把建设费用y（万元）表示成P站与甲城的距离x（km）的函数，并求定义域； （2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值. 16．（15分） (1)计算： (2)解关于的不等式： 17．（15分）已知函数. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求函数在上的值域. 18．（17分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)已知，，且，求证：. 19．（17分）设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件： ①，恰好都含有3个元素； ②，，为单元素集合； ③ 则称集合S为“优选集”． (1)判断集合，是否为“优选集”； (2)证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合； (3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 请在各圈目的容题区域内作答，超出黑色柜形边框限定区域的客案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，部出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15,(13分) 姓名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自已的姓名。准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2:选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或网珠笔答 题：字体工整、笔迹清听。 3,请按题号藏序在各恩目的客题区域内作客，超出 区域书写的容案无效：在草稿纸，试墨卷上容题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4。保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分） [A][B][C][D] s [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] [A][B][C][D] 8[A][B]IC][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 1o [A][B][C][D] 11[A][B][C][D) 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答圈区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答程区域内作答。超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 数学第1页（共6页》 数学第2页（共6页 数学第3页（共6页） 情在各题目的答避区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的容案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边瓶限定区域的答案无效！ 请在各盟目的答题区域内作荐，超出燃色矩形边框限定区域的等案无效1 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题目的答愿区城内作养，超出烟色矩形边缸限定区域的答案无效： 请在各题日的答碧区城内作答：超出黑色矩形边都限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第4页〔共6页 数学第5页（共6页） 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．函数在有意义，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 8．设函数，若对任意，存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．命题，是假命题，则实数b的值可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知实数，满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域是 ． 13．关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 14．若方程在区间内有两个不等的实根，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 甲、乙两城相距100km，某天然气公司计划在两地之间建天然气站P给甲、乙两城供气，设P站距甲城.xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y（万元）与甲、乙两地的供气距离（km）的平方和成正比（供气距离指天然气站到城市的距离），当天然气站P距甲城的距离为40km时，建设费用为1300万元. （1）把建设费用y（万元）表示成P站与甲城的距离x（km）的函数，并求定义域； （2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值. 16．（15分） (1)计算： (2)解关于的不等式： 17．（15分）已知函数. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求函数在上的值域. 18．（17分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)已知，，且，求证：. 19．（17分）设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件： ①，恰好都含有3个元素； ②，，为单元素集合； ③ 则称集合S为“优选集”． (1)判断集合，是否为“优选集”； (2)证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合； (3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合，其真子集有：，，，，，，，共7个. 故选：C 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3．定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由满足，得，所以函数的周期， 且当时，为偶函数，所以. 故选：A. 4．已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，求出，在上恒成立， ，当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立，故， 综上，的取值范围为. 故选：C 5．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意，函数的值恒大于零， 设，即在上恒成立， 因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 所以 ，解得或，即的取值范围是. 故选：D 6．函数在有意义，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知对任意的恒成立，令， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，此时函数在上单调递增， 所以，，解得，此时； ②当时，即当时，则有，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 7．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以，所以实数a的最小值是. 故选：B. 8．设函数，若对任意，存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，.当时，， ①若，则，此时对于时，有，不符合题意. ②若，是增函数，， 此时对于时，有，符合题意. ③若，是减函数，， 要使“对任意，存在实数，使得”，则需. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．命题，是假命题，则实数b的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，，得，.由于命题p是假命题，所以是真命题，所以在时恒成立，则，解得. 故选：BCD. 10．已知实数，满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】函数和函数的图象如图所示： 若，均为正数，则；若，均为负数，则， 若，， 故选：ABC． 11．已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A，由于幂函数的图象经过点， 故，解得，故，A正确， 对于B，无意义，故B错误， 对于C，定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数，C正确， 对于D，由于是偶函数，且在单调递减， 故由可得，解得且，故D错误， 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】求函数的定义域满足 所以函数的定义域为 故答案为： 13．关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或， 故答案为：. 14．若方程在区间内有两个不等的实根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若，则为一次方程， 若，为二次方程. 则问题等价于方程在上有1根，方程在上有且仅有1根， 或方程在上无根，方程在上有两不等实根. ,方程在上有1根, 则或， 方程在上无根，则. ，令，因， 则，则， 注意到函数在上单调递减，在上单调递增， 据此可得函数在上的大致图象如下. 则方程根的个数相当于直线与函数图象交点的个数 方程在上有且仅有1根，则或； 方程在上有两不等实根，则. 则方程在上有1根，方程在上有且仅有1根， 可得； 方程在上无根，方程在上有两不等实根， 可得. 综上可得，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 甲、乙两城相距100km，某天然气公司计划在两地之间建天然气站P给甲、乙两城供气，设P站距甲城.xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y（万元）与甲、乙两地的供气距离（km）的平方和成正比（供气距离指天然气站到城市的距离），当天然气站P距甲城的距离为40km时，建设费用为1300万元. （1）把建设费用y（万元）表示成P站与甲城的距离x（km）的函数，并求定义域； （2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值. 【答案】（1）；（2）天然气供气站建在距甲城50km时费用最小，最小费用的值为1250万元. 【详解】（1）设比例系数为k，则 又，，所以，即， 所以 （1）由（1）可得 所以 所以当时，y有最小值为1250万元 所以天然气供气站建在距甲城50km时费用最小，最小费用的值为1250万元， 16．（15分） (1)计算： (2)解关于的不等式： 【答案】(1)985；(2) 【详解】（1） （2）令， 则，即，得， 即， 则，所以不等式的解集为. 17．（15分）已知函数. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减.证明见详解.(2) 【详解】（1）在上单调递减. 证明：任取， ∵，∴，，， ∴， ∴在上单调递减. （2）由（1）可知在上单调递减， ∴ ∴在的值域： 18．（17分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)已知，，且，求证：. 【答案】(1)，证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）不等式为 ，其中 ， ． 因为 ， ，， 所以，，从而 ，即 ． （2）法一：，，且，所以 ，则有， ， 当且仅当时，取等号． 由（1）不等式知 ， 所以 ． 法二：因为，所以，因为，， 所以，即，所以有： ， 因为，，所以. 19．（17分）设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件： ①，恰好都含有3个元素； ②，，为单元素集合； ③ 则称集合S为“优选集”． (1)判断集合，是否为“优选集”； (2)证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合； (3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值． 【答案】(1)不是“优选集”， 是“优选集”；(2)证明过程见详解；(3)7 【详解】（1）对于集合， 满足条件①：和恰好都含有3个元素； 满足条件②：为单元素集合； 但不满足条件③：，则不是“优选集”； 对于集合， 满足条件①：，和恰好都含有3个元素； 满足条件②：，，为单元素集合； 满足条件③：．所以集合是“优选集”． （2）由集合S为“优选集”， 结合（1）显然，可以属于S中的零个集合，一个集合，两个集合， 取集合，其中，，，，，，， 此时，可以属于S中的两个集合，三个集合， 假设存在，使得可以属于S中的四个集合，即，其中， 为了满足条件③，显然还存在， 为了满足条件②，中的元素必须在，，，中除外的另外两个元素中各选一个， 此时中有4个元素，显然不满足条件①， 因此假设不成立， 故若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合； （3）结合（2）有集合，其中，，，，，，，此时S的元素个数为7， 假设存在，则可得中必有元素或， 不妨令，要使，，都为单元素集合， 则或或或， 当时，，舍去； 当时，不是单元素集合，舍去； 当时，不是单元素集合，舍去； 当时，不是单元素集合，舍去， 因此假设不成立， 故集合S的元素个数的最大值为7． / 学科网（北京）股份有限公司 $