第四章指数函数和对数函数单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章指数函数和对数函数单元检测 一、单选题 1．化简：（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．声强是表示声波强度的物理量，由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级，其中是常数，声强级的单位是分贝，若甲地区的声强级比乙地区的声强级大30分贝，则甲地区的声强为乙地区声强的（    ）倍. A．10 B．100 C．1000 D．10000 6．已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则函数在定义域内是增函数 C．存在实数a，使得函数为偶函数 D．若函数的值域为，则a的取值范围为 11．设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B．在上单调递减 C．为奇函数 D．方程仅有10个不同实数解 三、填空题 12．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围 . 13．已知函数，且满足，则实数的取值范围为 . 14．设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 四、解答题 15．（1）计算的结果； （2）求解方程. 16．已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 17．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 18．已知，其中为奇函数，为偶函数. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)若对于任意的实数，都有恒成立，求的取值范围. 19．已知函数（其中为常数）. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)试证明：函数为偶函数； (3)若对于任意，关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】利用根式运算、指数运算等知识进行化简求值. 【详解】 . 故选：C 2．D 【分析】根据幂函数和指数函数单调性即可判断. 【详解】，由指数函数单调性可知，所以， ，由幂函数单调性可知，所以， 综上，. 故选：D 3．B 【分析】利用换底公式换成以为底的形式，再拆分分子分母的对数结合对数运算法则,化为已知和的组合. 【详解】已知， . 故选：B 4．D 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 5．C 【分析】根据声强级的定义，结合甲、乙两地区声强级的关系建立等式，进而求出甲、乙两地区声强的倍数关系. 【详解】设甲地区的声强为，声强级为；乙地区的声强为，声强级为， ，， 甲地区的声强级比乙地区的声强级大30分贝， ，即， ，. 故选：C. 6．A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 7．C 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 8．D 【分析】判断函数单调性，结合单调性性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减，因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 则,解得：，则关于的不等式的解集是: 故选：D 9．AD 【分析】利用函数的奇偶性和单调性定义逐一判断. 【详解】对于A，设，定义域为，，所以为奇函数， 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，故A正确； 对于B，设，定义域为，，所以为奇函数，因为在上单调递增，故B错误； 对于C，设，定义域为，，所以为偶函数，故C错误； 对于D，设，定义域为，则，所以为奇函数， ，由于在上单调递增，所以在上单调递减，则在上单调递减，故D正确. 故选：AD 10．ABD 【分析】利用解析式求函数值判断A选项；由复合函数单调性判断B选项；由函数奇偶性的定义判断选项C；由函数值域得要取遍所有正数，分类讨论求a的取值范围判断D选项. 【详解】，A正确； 若，由复合函数单调性可知，在定义域内是增函数，B正确； 若函数为偶函数，则需要对定义域内任意成立. 由得， 即，解得，即. 此等式仅在时成立，不恒成立， 故不存在实数a，使得函数为偶函数，C错误； 若的值域为，则要取遍所有正数，得或，解得，D正确． 故选：ABD 11．ACD 【分析】由为奇函数和为偶函数得，即是周期为8的周期函数即可判断AC，作出函数在和的函数图像，利用数形结合即可判断BD. 【详解】由为奇函数，所以，即， 所以的图像关于对称，即， 又为偶函数，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以， 所以是周期为8的周期函数， 所以，故A正确； 由， 又为奇函数，所以为奇函数，故C正确； 由方程，即与的交点个数， 作出函数在和的函数图像： 由图可知在上单调递增，故B错误； 由图可知，与有10个交点，即方程仅有10个不同实数解，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性，结合分段函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】对于的图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对于在R上单调递减，而在R上为减函数， 综上，，可得. 故答案为： 13． 【分析】化简函数，可得，进而可得，又函数为增函数，所以可得，解不等式即可. 【详解】由题意，函数，化简得， 又，即， 又，即， 又，所以， 所以， 令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以， , 所以，所以函数单调递增， 则有，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14． 【分析】由已知求出函数的周期为，结合，可得，再，求出的范围，即可得解. 【详解】∵是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， 又是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， ∴，∴， 即的周期为. 又易知，∴， ∴，， 即，的一个零点恰为． ∵，令，解得， 又，所以， 所以在区间至少有个零点． 故答案为： 15．（1）4；（2）. 【分析】（1）指对数运算律结合指对数转化计算求解即可； （2）利用换元法解指数方程即可. 【详解】（1）原式 （2）令， 则原方程化为，解得或， 则或， 所以原方程的解集为. 16．(1); (2). 【分析】（1）利用对数恒等式即可求解； （2）利用对数换底公式和同底对数的加减运算，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，，且， 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； （2）由，可得，, 而. 17．(1)奇函数，理由见解析 (2)在上是单调递增函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数. （3）由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 18．(1)； (2)在上是增函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）将中的换，利用奇偶性，得到的另一个等式，将这两个等式相减即得； （2）先求出定义域，在上任取两个数，且，求与0的大小，根据增减函数的定义得解； （3）在上是增函数得到在上是增函数， 由对于任意的实数，都有恒成立，结合定义域得到，设，利用基本不等式结合定义域得解. 【详解】（1），， 为奇函数，， 为偶函数，， ，， 联立，解得； （2）在上是增函数. 证明如下： ，，的定义域为， 在上任取两个数，且， ， ， ，，， ，， ， ，， ，，在上是增函数. （3）在上是增函数，在上是增函数， 对于任意的实数，都有恒成立， ，，，，， 设，， ， 当且仅当，即时，等号成立，而，则等号不成立， 故，，又，，的取值范围. 19．(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用基本不等式求解最值即可； （2）根据偶函数定义证明即可； （3）令，则在上有解在有解.令，则在上有解，然后根据二次函数性质求解即可. 【详解】（1）由得 ， 故的最小值为1，当且仅当时取到最小值. （2）函数的定义域为，关于原点对称. ， 则， ， 所以，即为偶函数. （3）， 令， 则在上有解等价于在上有解， 即在有解. 令，则由可得：， 即在上有解. 因为，所以在上单调递减， 所以， 因为，所以， 则在上有解可得， 所以方程在上有解，实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $