5.3组合（第一课时）课件-2025-2026学年学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦组合问题，系统讲解组合的概念、组合数公式及性质。通过选体育场、取元素等实际问题导入，结合列举法与排列知识对比，搭建从排列到组合的学习支架，衔接前后知识点。 其亮点在于以问题驱动探究，从实际情境抽象组合本质培养数学眼光，推导公式时通过逻辑推理发展数学思维，用符号体系精准表达关系体现数学语言。如通过问题1-3的探究及性质应用实例，助学生提升抽象与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

§3 组 合 问 题 第五章 第五章：计 数 原 理 3.1 组 合 1.通过解决实际的计数问题，掌握组合的相关概念。（重点） 2.能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别和联系。（难点） 学习目标 问题1：某个城市有3座大型体育场A,B,C,需要选择2座体育场承办一次运动会，共有多少种选择方案？ 思考下面的问题，并找出问题的共同点： 分析：不是排列问题。利用列举法：AB,AC,BC.因此,从3座大型体育场A,B,C中选择2座体育场承办一次运动会,共有3种选择方案. 探索新知 问题2：从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有多少种可能？ 方法1：利用列举法，我们把所有可能都列出来,共有6种,分别是ab,ac,ad,bc,bd,cd.因此,从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有6种可能. 方法2：从排列问题分析. 从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤： 探索新知 第1步，从 a，b，c，d这4个不同元素中取出2个元素，设其取法总数为x； 第2步，将取出的 2 个元素进行排列，排列数为 根据分步乘法计数原理， =x,从而x==6 所以从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有6种可能. 问题3：某次团代会，要从5名候选人中选出3名担任代表，共有多少种方案？ 方法1：列举法： abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde. 因此,要从5名候选人中选出3名担任代表,共有10种方案. 探索新知 方法2：从排列问题分析. 从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤： 第1步，从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为x； 第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为 . 根据分步乘法计数原理， =x,从而x==10 所以从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素，共有10种方案. 3个问题的共同点：只取出元素，并没有排序！ 一、组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.有关求组合的个数的问题叫作组合问题. 探索新知 注意：1. 元素“只取不排”，即取出m个元素与顺序无关，无序是组合的特征性质. 2.两个组合相同：只要两个组合中的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合.两个组合中的元素不完全相同，就是不同的组合. 二、排列与组合的联系与区别： 组合：与对象的顺序无关 (只选不排) 探索新知 相同点：从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象 排列：与对象的顺序有关 (先选后排) 区别： 典例讲解 例1 下列问题不是组合问题的是( ). D A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法 B.平面上有2 024个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点， 可以构成多少条线段 C.集合，，， ， 含有3个元素的子集有多少个 D.从高三（1）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞 节目，有多少种选法 典例讲解 方法总结 判断一个问题是否是组合问题的方法技巧 区分排列问题与组合问题的关键是看结果是否与元素的顺序有关. 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题； 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题. （1）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分 完，有多少种分配方法？ （2）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母 构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ （3）从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 巩固训练 判断下列问题是排列问题，还是组合问题. 组合问题 排列问题 组合问题 探索新知 三、组合数： 1.定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 表示组合 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 问题1：某个城市有3座大型体育场A,B,C,需要选择2座体育场承办一次运动会，共有多少种选择方案？ 将问题1，2，3分别用组合数表示： 探索新知 问题3：某次团代会，要从5名候选人中选出3名担任代表，共有多少种方案？ 问题2：从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有多少种可能？ =3 =6 =10 1.从3个不同元素a, b, c中取出2个元素的组合数与排列数的关系： 2.从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的组合数与排列数的关系： 组合 ab 排列 ac bc ab ba ac ca bc cb 由分步计数原理可得 组合 abc 排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 探索新知 由分步计数原理可得 下面我们就来探究 探索新知 三、组合数： 2.组合数公式： “ 从个不同元素中取出,且, 个元素进行排列”这件事，可以分以下两步完成： 第1步，从 n个不同元素中取出m个元素，其取法总数为种取法； 第2步，将取出的 m 个元素进行排列，排列数为种排法 根据分步乘法计数原理， =,从而= 组合数公式： 这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 2.组合数公式： 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 探索新知 三、组合数： 常用于计算 常用于化简，证明 典例讲解 例1 计算： （5） . （6）解关于的不等式 . （6）由，得， ∴，解得 . ∵且，∴，7，8，9， （5） . 性质1 性质2 3.组合数性质： 探索新知 三、组合数： 当m> 典例讲解 例2: 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加，有多少种选法？ 解：从10名队员中选出6人参加比赛共有种选法. 若队长必须参加，则有 种选法； 若队长不能参加，则有 种选法. 从本题可知：从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得 . 符合组合数性质： . 巩固训练 （1）化简： . （2）已知，求 的值. 解：（1）原式 . （2）由，可得 ， 则，故，解得 . 方法总结 （1）性质“<m></m>”的意义及作用 （2）要注意 的顺用、逆用及其变形应用.顺用是将一个组合数拆 成两个，逆用则是“合二为一”，变形一般为 ，它为某些项相互抵消 提供了方便，在解题中要注意灵活运用. 典例讲解 $