精品解析：福建省福州第二中学2025-2026学年高二上学期第一学段考试数学试题

福州二中2025—2026学年第一学段考试 高（二）年级 （数学）学科 选择性必修一 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高二数学集备组 审核：高二数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3 3. 设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 4. 在平行六面体中，，，，则棱的长度是（ ） A. B. C. D. 5 5. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆上到直线的距离等于的点有个，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知:.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，下列对双曲线C判断正确的是（ ） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为2 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量 ，则 点到直线 的距离为_____. 13. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，.若透明窗垂直于所在的直线，且所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为__________. 14. 已知圆和定点，直线．若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 16. 已知直线经过点. （1）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值，其中. 17. 已知点是离心率为的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 18. 如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 材料：在空间直角坐标系中，经过点，法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为阅读上面材料：并解决下列问题：平面的方程为，直线l的方程为 （1）证明：平面； （2）已知直线，求直线与平面所成角的余弦值； （3）已知点，直线，若点P与直线都在平面上，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州二中2025—2026学年第一学段考试 高（二）年级 （数学）学科 选择性必修一 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高二数学集备组 审核：高二数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程求得直线的斜率，结合斜率等于倾斜角的正切值，列出方程，即可求解． 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率存在，故， 由直线方程，可得直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为，可得，解得. 故选：A. 2. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行确定的值，再由两平行直线的距离公式计算即得. 【详解】直线即，因，可得， 则直线与之间的距离为. 故选：A. 3. 设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 4. 在平行六面体中，，，，则棱的长度是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，分别求出的模长和两两之间的数量积，将用表示，并利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【详解】 如图，不妨取，则，，， ，，. 因为， 则 ，故. 故选：A. 5. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 6. 已知圆上到直线的距离等于的点有个，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化条件为圆心到直线的距离为2，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为3， 因为圆上到直线的距离等于的点有个， 所以点到直线的距离，所以. 故选：A. 7. 已知:.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式表示直线上的动点到定点的距离之和，求出点A关于直线对称的点，结合两点距离公式计算即可求解. 【详解】设， 表示直线上的动点到定点的距离之和， 如图， 设点A关于直线对称的点为， 则，解得， 所以. 故答案为： 8. 已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，，根据勾股定理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，， 设椭圆的右焦点为，连接， 因为，可知点为的中点， 且点为的中点，则∥，， 由椭圆定义可知：， 因为为切点，可知，则， 可得，即， 解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 【点睛】方法点睛：1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2.焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，下列对双曲线C判断正确的是（ ） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为2 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出，然后结合选项逐项分析即可求出结果. 【详解】因为，所以， 则实轴长为，虚轴长为，则实轴长是虚轴长的倍，故A错误； 焦距为，故B错误； 离心率为，故C正确； 渐近线方程为，即，故D正确； 故选：CD. 10. 设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令可得；BC根据直线与过点和的直线垂直判断；D利用数量积的几何意义求出. 【详解】对于A：由有， 令有，所以，所以直线过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小， 则， 由余弦定理有，故C正确； 对于D：， 即的最大值为24，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量 ，则 点到直线 的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，， 故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，.若透明窗垂直于所在的直线，且所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先在中由勾股定理求出的值，再由椭圆定义求出的值，再在中由勾股定理结合椭圆的定义求出，即可求出面积的值. 【详解】由，，，得， 则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得， 又因为， 在直角中有， 因此，所以的面积为. 故答案为：5 14. 已知圆和定点，直线．若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】求设，根据得到点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】设，则， 由，，得， 化简得，所以点的轨迹是以为圆心，8为半径的圆． 又因为点在直线上，所以与圆有公共点， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 16. 已知直线经过点. （1）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值，其中. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线与直线和分别相交于，两点， 利用点为线段的中点， 求出点坐标，即可得解； （2）设直线的方程为，则，，利用基本不等式得解. 【小问1详解】 设直线与直线和分别相交于，两点， 设，因为点为线段的中点，则， 因为点在直线上， 则，解得，则， 所以直线的方程为：，即. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为， 则，， ， 当且仅当，即时取等号. 17. 已知点是离心率为的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 【答案】（1） （2）直线和的斜率之积为定值； （3）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及过点即可求出椭圆方程； （2）设，可得，从而可得，即可求解； （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 由题可得，，， 将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0， 设，所以，，， ，所以直线和的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 由消去，整理得， ，则，则，， ， 点到直线的距离为， ，，即，此时直线的方程为. 18. 如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2） （3）存在 ， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B到平面的距离. （3）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. 【小问3详解】 存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 19. 材料：在空间直角坐标系中，经过点，法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为阅读上面材料：并解决下列问题：平面的方程为，直线l的方程为 （1）证明：平面； （2）已知直线，求直线与平面所成角的余弦值； （3）已知点，直线，若点P与直线都在平面上，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】（1） 由题意可知：平面的方程为，直线l的方程为， 所以平面的法向量为，直线l的方向向量， 因为，所以， 在直线l上取一点代入， 显然，所以平面，所以平面， 所以平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出平面的法向量为，直线l的方向向量，根据，即可得证； （2）由题意得出直线方向向量，设直线与平面所成角为，利用向量夹角公式求解即可； （3）由题意得出直线的方向向量为，求出平面的法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角公式，结合二次函数性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得：直线方向向量为， 平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为 【小问3详解】 在直线上取一点， 因为，，所以， ，所以， 直线的方向向量为， 设平面法向量为， 则， 令，则，， 所以， 平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以当，即时，取最大值，最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $