学易金卷：高二数学上学期第三次月考模拟卷02（全国通用，人教A版选择性必修第一册全部内容：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A D A C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AB AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（﹣1，1） 13． 14．[3，63] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】（1）3x+y﹣14＝0； （2）（x﹣2）2+y2＝8． 【分析】（1）根据直线AB、AC的方程联解，求得A（0，﹣2），结合线段的中点坐标公式求得C的坐标，根据BC与AB垂直求得直线BC的斜率，进而可得BC边所在直线的方程； （2）根据题意，矩形ABCD的外接圆就是经过B、C、D三点的圆，圆心为M（2，0），半径r|AC|，进而求出所求圆的标准方程． 【解答】解：（1）由，解得，所以点A的坐标为（0，﹣2）， 因为矩形ABCD两条对角线相交于M（2，0），所以C与A关于点M对称， 设C（x0，y0），可得，解得，所以点C的坐标为（4，2）， 因为直线AB：x﹣3y﹣6＝0，斜率为，且BC与AB垂直， 所以BC边所在直线的斜率为﹣3，方程y﹣2＝﹣3（x﹣4），即3x+y﹣14＝0；……(6分) （2）因为矩形ABCD的顶点A、B、C、D在同一个圆上， 所以经过B、C、D三点的圆，就是矩形ABCD的外接圆， 圆心为M（2，0），半径r，圆的方程为（x﹣2）2+y2＝8， 综上所述，经过B、C、D三点的圆的方程是（x﹣2）2+y2＝8．……(13分) 16．（15分）【答案】（1）（x﹣3）2+（y+2）2＝9； （2）x＝2或3x+4y﹣6＝0． 【分析】（1）通过解方程组求得圆心C的坐标，运用两点之间的距离公式求出半径r，进而可得圆C的标准方程； （2）根据圆的弦长公式算出圆心C到直线l的距离，然后按直线l的斜率是否存在加以讨论，结合点到直线的距离公式进行求解，可得满足条件的直线l的方程． 【解答】解：（1）由，解得，可知直线x﹣y﹣5＝0与直线x＝3交于点C（3，﹣2）， 根据|CM|3，可得半径r＝3， 所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝9； ……(6分) （2）设圆心C到直线l的距离为d，则直线l被圆C截得的弦长为，可得d1， ①若直线l经过P（2，0）且斜率不存在，则l的方程为x＝2， 此时直线l到圆心C的距离d＝|3﹣2|＝1，符合题意； ……(10分) ②若直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0， 圆心C到直线l的距离d，解得k， 所以直线l的方程为y（x﹣2），即3x+4y﹣6＝0． 综上所述，满足条件的直线l方程为x＝2或3x+4y﹣6＝0．……(15分) 17．（15分）【答案】（1）m，y2＝2x； （2）8． 【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件求得p＝1，得其解析式，代入点M，计算即得m的值； （2）依题意设直线，直线BD：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和|BD|＝2+2k2，结合AC⊥BD，表示出四边形ABCD的面积，借助于基本不等式即可求出其最小值． 【解答】解：（1）因抛物线y2＝2px的焦点为F，又点， 则，解得p＝1， 即抛物线C的方程：y2＝2x， 又点在抛物线y2＝2x上， 所以m2＝3，解得， 综上：，抛物线C的方程：y2＝2x；……(4分) （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图， 设直线，直线， 设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）， 联立，化简得4k2x2﹣（4k2+8）x+k2＝0，……(7分) 所以，又， 同理，联立，化简得4x2﹣（4+8k2）x+1＝0， 所以，又|BD|＝|BF|+|DF|＝p+x2+x4， 所以|BD|＝2+2k2，又AC⊥BD， 所以 ， 当且仅当，即k＝±1时，四边形ABCD面积的最小，最小值是8．……(15分) 18．（17分）【答案】（1）因为AB∥CD，PQ∥CD，CD＝2PQ＝2AB＝2， 所以AB∥PQ，AB＝PQ， 所以四边形ABQP是平行四边形， 又E，M分别为AP，BQ的中点， 所以EM∥AB，EM＝AB＝1， 而AB∥CF，ABCD＝CF， 所以EM∥CF，EM＝CF， 即四边形EFCM是平行四边形， 所以EF∥CM， 又EF⊄平面CPM，CM⊂平面CPM， 所以EF∥平面CPM． （2）． （3）． 【分析】（1）先说明四边形ABQP是平行四边形，进一步可得四边形EFCM是平行四边形，从而知EF∥CM，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）以D为原点建系，利用向量法求面面角即可； （3）设，λ∈[0，1]，利用向量法求线面角可得关于λ的方程，解之确定点N的位置，再利用向量法求点到平面的距离即可． 【解答】（1）证明：连接EM， 因为AB∥CD，PQ∥CD，CD＝2PQ＝2AB＝2， 所以AB∥PQ，AB＝PQ， 所以四边形ABQP是平行四边形， 又E，M分别为AP，BQ的中点， 所以EM∥AB，EM＝AB＝1， 而AB∥CF，ABCD＝CF， 所以EM∥CF，EM＝CF， 即四边形EFCM是平行四边形， 所以EF∥CM， 又EF⊄平面CPM，CM⊂平面CPM， 所以EF∥平面CPM． ……(4分) （2）解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD， 所以DA，DC，DP两两垂直， 故以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，2），Q（0，1，2），C（0，2，0），M（1，1，1）， 所以（1，1，﹣1），（0，1，0），（0，﹣2，2）， 设平面QPM的法向量为（x，y，z），则， 取x＝1，则y＝0，z＝1，所以（1，0，1）， 设平面CPM的法向量为（a，b，c），则， 取b＝1，则a＝0，c＝1，所以（0，1，1）， 所以|cos，|， 所以平面QPM与平面CPM夹角的大小为．……(10分) （3）解：设λ（0，﹣1，2），λ∈[0，1]， 则（0，2，0）+λ（0，﹣1，2）＝（0，2﹣λ，2λ）， 由（2）知，平面QPM的一个法向量为（1，0，1）， 因为直线DN与平面QPM所成的角正弦值为， 所以|cos，|， 整理得15λ2+4λ﹣4＝0，即（5λ﹣2）（3λ+2）＝0， 解得λ或λ（舍负）， 所以λ（0，﹣1，2）＝（0，，）， 由（2）知平面CPM的一个法向量为（0，1，1）， 所以N到平面CPM的距离为．……(17分) 19．（17分）【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设P（x．y），根据两点距离公式建立方程，整理即可求解； （2）易知直线l1的斜率k存在，设直线l1方程为y＝kx+1，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示|PQ|； （i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当k＝0、k≠0时S的取值范围即可； （ii）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l1方程联立圆得方程，利用韦达定理表示x1+x2，x1x2，同时表示OP和CQ的方程，求出交点N的坐标即可证明． 【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得|PA|＝2|PB|， 即，化简得x2+（y﹣2）2＝4， 所以点P的轨迹Q的方程为x2+（y﹣2）2＝4；……(4分) （2）由题易知直线l1的斜率存在， 设直线l1的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0， 则圆心（0，2）到直线l1的距离， 所以， ……(6分) （i）若k＝0，则直线l2的斜率不存在， 易得，|EF|＝4，则； 若k≠0，则直线l2的方程为，即x+ky﹣k＝0， 则圆心（0，2）到直线l2的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即k＝±1时，取等号， 又，所以S的最大值为7； ……(11分) （ii）证明：由题，C（0，4），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，消y得（k2+1）x2﹣2kx﹣3＝0，Δ＝4k2+12（k2+1）＞0， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线y＝﹣2上．……(17分) 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．已知点在抛物线y＝ax2上，则该抛物线的准线方程为（　　） A． B． C．y＝﹣2 D．x＝﹣2 3．已知圆的一条直径的端点分别是A（2，1），B（﹣4，﹣3），则该圆的方程为（　　） A．（x+1）2+（y+1）2＝13 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝9 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝5 4．已知向量（﹣1，2，1），（3，x，y），且∥，那么实数x+y等于（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 5．过点M（0，1）作圆O1：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则原点O到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 6．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，AA1的中点，过MN作平面α，使得BD∥α，则直线MC1与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 7．已知P是双曲线C：右支上的一点，F是C的右焦点，点P关于原点O的对称点为M，延长PF交C于点N，且，，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是（　　） ①当λ＝μ≠0时，BP∥平面AB1D1； ②当λ＝μ时，AP⊥B1C； ③当λ+μ＝1时，AP长度的最小值为； ④当λ+μ＝1时，存在点P，使得AP与平面BCC1B1所成的角为． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（　　） A． B． C．BD1与AC所成角的余弦值为 D．在方向上的投影向量是 10．已知直线l：（λ+1）x+2y+λ﹣1＝0，圆C1：x2+y2﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，则下列结论正确的是（　　） A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．直线l与圆C1一定相交 C．圆C1与圆C2公共弦所在直线方程为y＝﹣x D．当λ＝0时，圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1 11．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，P（x0，y0）为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则（　　） A． B．x0+y0的最小值为 C．x0y0的最大值为 D．线段OP的中垂线不可能经过C的顶点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点A（3，﹣3）关于直线l：x﹣y﹣2＝0的对称点的坐标为 　 　 ． 13．在正三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝1，，则点S到平面ABC的距离为　 　 ． 14．已知点P为椭圆上一点，直线l过圆M：（x﹣3）2+y2＝1的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，AC所在直线的方程为x﹣y﹣2＝0． （1）求BC边所在直线的方程； （2）求经过B，C，D三点的圆的方程． 16．（15分）已知圆C的圆心为直线x﹣y﹣5＝0与直线x＝3的交点，且圆C经过点M（0，﹣2）． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，P（2，0）且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 17．（15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点，其焦点为F，若|MF|＝2． （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值． 18．（17分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：EF∥平面CPM； （2）求平面QPM与平面CPM夹角的大小； （3）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角正弦值为，求N到平面CPM的距离． 19．（17分）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点P到A（0，﹣2）的距离是点P到B（0，1）的距离的2倍． （1）求点P的轨迹Ω的方程； （2）过点B作直线l1，交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上． （i）过点B作与直线l1垂直的直线l2，交轨迹Ω于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹Ω与y轴正半轴的交点为C，直线OP，CQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷：？8品 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 A. 3 B. C.5v3 9 D.2v3 3 0 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 7,已知P是双曲线C: =1(a>0,b>0)右支上的一点，F是C的右焦点，点P关于原点O的 法意事项」 对称点为M,延长PF交C于点N且MF·FN=O, IMFI =3,则C的离心奉为() FNI 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上· 2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铂笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 4.② 4 B.V66 6 C. n 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，点P满足BP=BC+μBB1,1∈[0,1，μ∈0,1， 在本试卷上无效。 则下列说法正确的是() 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范国：人教A版(2019)选择性必修第一册。 ①当a=μ≠0时，BP∥平面AB1D1: 第一部分（选择题共58分） ②当1=μ时，AP⊥B1C: 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 ③当+μ=1时，AP长度的最小值为，： 求的。 ④当X+单=1时，存在点P,使得AP与平面BCCB1所成的角为号 1.直线x-V3y-2025=0的领斜角为() D c.3 D. 2.已知点(2，为)在抛物线y=a2上，则该抛物线的准线方程为〈) 0 A,y=-克 B.x=-克 C.y=-2 D.x=-2 3.已知圆的一条直径的端点分别是A(2,1),B(-4,-3),则该圆的方程为() A.①② B.①③ C.②③ D.②④ A,(x+1)2+(+1)2=13 B.(x-1)4(y-1)2=1 C.(x+1)24(y-1)2=9 D.(x-1)2+(+1)2=5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 4.已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,y),且a∥b,那么实数x+y等于() 9如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为项点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°， A.3 B.-3 C.9 D.-9 则下列说法中正确的是() 0 5,过点M(01)作圆01：(x-2)4(y-2)2=1的两条切线，切点分别为A,B,则原点0到直线AB 的距离为() A.5 B.v2 C.3 D.22 6.在棱长为4的正方体ABCD-A山B1CD中，M,N分别是棱AB,AA的中点，过N作平面a,使得 BD∥a,则直线MC与平面a所成角的正弦值为() A.BD =-AB+AD +AA B.BD=6 C.BD:与AC所成角的余弦值为5 D.BD1在AC方向上的投影向量是 AC 试题第1页（共4页） 试遇第2页（共4实） 窗学科网·学易金卷：” 10.已知直线h(入+1)x+2y+入-1=0，圆C1:x2+y2-4y=0,圆C2:x2+2-4x=0,则下列结论正确的是 17.(15分)已知抛物线C:y2=2xp>0)过点MG,m,其焦点为R,若4=2. () (1)求m的值以及抛物线C的方程： A.直线1恒过定点(-1,1) (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的最小 B.直线1与圆C1一定相交 值。 C.圆C1与圆C2公共弦所在直线方程为y=-x D.当入=0时，圆C1上恰有3个点到直线1的距离等于1 年 1。已知椭圆C:景+y严=m的长轴长是离心率的两倍，P(0,w)为C上任意一点，且原点0为C的 18.(17分)如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PQ∥CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2. 对称中心，则() 点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点. Am=克 B.0m的最小值为-号 (1)求证：EF∥平面CPM Cm的最大植为号 D.线段OP的中垂线不可能经过C的顶点 (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小： 河 (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角正弦值为严 10 求N到平面CPM的距 第二部分（非选择题共2分） 离 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点A(3,·3)关于直线：x-y-2=0的对称点的坐标为 13.在正三棱锥S~ABC中，M=SB=SC=1,∠ASB=∠BSC=∠CSA=牙则点S到平面ABC的距离 为一· x2 y2 14.已知点P为稀污+6=1止一点，直线I过圆Mx~3)之1的题心且与圆M交于4，B两 点，侧PA·PB的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(17分)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定 15.(13分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC 点的距离之比值为常数入（入>0,1≠1）的点的轨迹是圆，我们称之为阿被罗尼斯圆.己知点P到A(0, 所在直线的方程为x-y-2=0. -2)的距离是点P到B(0,1)的距离的2倍 (1)求BC边所在直线的方程： (1)求点P的轨迹0的方程： (2)求经过B,C,D三点的圆的方程. (2)过点B作直线h,交轨迹n于P,Q两点，P,Q不在y轴上， ()过点B作与直线h垂直的直线2，交轨迹Q于E,F两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的最 16.(15分)已知圈C的圆心为直线x-y·5=0与直线x=3的交点，且圆C经过点M(0,-2) 大值： (1)求圆C的标准方程： ()设轨迹n与y抽正半轴的交点为C,直线OP,CQ相交于点N,试证明点N在定直线上，求出该 (2)若直线1过点，P(2.0)且被圆C截得的弦长为4v2,求直线1的方程 直线方程. 试题第3页（共4页） 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．已知点在抛物线y＝ax2上，则该抛物线的准线方程为（　　） A． B． C．y＝﹣2 D．x＝﹣2 3．已知圆的一条直径的端点分别是A（2，1），B（﹣4，﹣3），则该圆的方程为（　　） A．（x+1）2+（y+1）2＝13 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝9 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝5 4．已知向量（﹣1，2，1），（3，x，y），且∥，那么实数x+y等于（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 5．过点M（0，1）作圆O1：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则原点O到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 6．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，AA1的中点，过MN作平面α，使得BD∥α，则直线MC1与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 7．已知P是双曲线C：右支上的一点，F是C的右焦点，点P关于原点O的对称点为M，延长PF交C于点N，且，，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是（　　） ①当λ＝μ≠0时，BP∥平面AB1D1； ②当λ＝μ时，AP⊥B1C； ③当λ+μ＝1时，AP长度的最小值为； ④当λ+μ＝1时，存在点P，使得AP与平面BCC1B1所成的角为． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（　　） A． B． C．BD1与AC所成角的余弦值为 D．在方向上的投影向量是 10．已知直线l：（λ+1）x+2y+λ﹣1＝0，圆C1：x2+y2﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，则下列结论正确的是（　　） A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．直线l与圆C1一定相交 C．圆C1与圆C2公共弦所在直线方程为y＝﹣x D．当λ＝0时，圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1 11．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，P（x0，y0）为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则（　　） A． B．x0+y0的最小值为 C．x0y0的最大值为 D．线段OP的中垂线不可能经过C的顶点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点A（3，﹣3）关于直线l：x﹣y﹣2＝0的对称点的坐标为 　 　 ． 13．在正三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝1，，则点S到平面ABC的距离为　 　 ． 14．已知点P为椭圆上一点，直线l过圆M：（x﹣3）2+y2＝1的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，AC所在直线的方程为x﹣y﹣2＝0． （1）求BC边所在直线的方程； （2）求经过B，C，D三点的圆的方程． 16．（15分）已知圆C的圆心为直线x﹣y﹣5＝0与直线x＝3的交点，且圆C经过点M（0，﹣2）． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，P（2，0）且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 17．（15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点，其焦点为F，若|MF|＝2． （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值． 18．（17分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：EF∥平面CPM； （2）求平面QPM与平面CPM夹角的大小； （3）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角正弦值为，求N到平面CPM的距离． 19．（17分）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点P到A（0，﹣2）的距离是点P到B（0，1）的距离的2倍． （1）求点P的轨迹Ω的方程； （2）过点B作直线l1，交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上． （i）过点B作与直线l1垂直的直线l2，交轨迹Ω于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹Ω与y轴正半轴的交点为C，直线OP，CQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ▣▣■■▣中■▣。。■。■。■=▣。■=。。■=。=■■■▣▣■▣中■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填： 缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【W1【/】 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C]D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A[B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9[AJ[B][C][D] 10[A]B][CI[D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12 13, 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 18.(17分) P E M --- A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第一册。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.直线x-V3y-2025=0的倾斜角为() B.3 c D.g 2.已知点(2， 为)在抛物线y=心2上，则该抛物线的准线方程为（ ) Ay=最 BX=立 C.y=-2 D.x=-2 3.己知圆的一条直径的端点分别是A(2,1),B(-4,-3),则该圆的方程为() A.(x+1)2+(+1)2=13 B.(x-1)2+(y-1)2=1 C.(x+1)2+(y-1)2=9 D.(x-1)2+(y叶1)2=5 4.已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,y),且a∥b,那么实数x+y等于() A.3 B.-3 C.9 D.-9 5.过点M(0,1)作圆O1:(x-2)2+(y-2)2=1的两条切线，切点分别为A,B,则原点O到直线AB 的距离为() A.√5 B.V2 C.3 D.2V2 6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是棱AB,AA1的中点，过MN作平面，使得BD ∥a,则直线MC与平面所成角的正弦值为() D 115 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A. 3 B. 2V3 2 D. 3 7.已知P是双曲线C: x2 y2 a2-b2 =1(a>0,b>0)右支上的一点，F是C的右焦点，点P关于原点O的对 称点为M,延长PF交C于点N,且MFFN=O,ME=3,则c的离心率为(） IFNI A.② 4 B.V6 c.② 3 D.②G 4 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=元BC+uBB1,∈[0,1]，μ∈[0,1]， 则下列说法正确的是() ①当入=≠0时，BP∥平面AB1D1; ②当=μ时，AP⊥B1C: B当冲=1时，P长度的最小值为浮 ④当+μ=1时，存在点P,使得AP与平面BCCB1所成的角为3 D B D C A B A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°， 则下列说法中正确的是() D A B D B A.BD=-AB+AD+AA B.BD6 215 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C.BD1与AC所成角的余弦值为3 6 D.BD,在AC方向上的投影向量是二AC 10.已知直线1：(+1)x+2y+入-1=0，圆C1:x2+y2-4y=0,圆C2:x2+y2-4x=0,则下列结论正确的是 () A.直线1恒过定点(-1,1) B.直线1与圆C1一定相交 C.圆C与圆C2公共弦所在直线方程为y=-x D,当入=0时，圆C1上恰有3个点到直线1的距离等于1 11.已知椭圆C: +y2=m的长轴长是离心率的两倍，P(0,o)为C上任意一点，且原点O为C百 称中心，则() 1 A.m=2 B.o+0的最小值为-3y3 4 C.0o的最大值为 D.线段OP的中垂线不可能经过C的顶点 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点A(3,-3)关于直线1：x-y-2=0的对称点的坐标为 13.在正三棱锥S-ABC中，SM=SB=SC=1,∠ASB=∠BSC=∠CSA=7,则点S到平面ABC的距离 为 4已知点P为疏两行+后 =1上一点，直线1过圆M:(x-3)2+y2=1的圆心且与圆M交于A,B两点， 则PA·PB的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC所 在直线的方程为x-y-2=0. (1)求BC边所在直线的方程； (2)求经过B,C,D三点的圆的方程. 3/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)己知圆C的圆心为直线x-y-5=0与直线x=3的交点，且圆C经过点M(0,-2). (1)求圆C的标准方程： (2)若直线1过点，P(2,0)且被圆C截得的弦长为4W2,求直线1的方程. 17.(15分)已知抛物线C:y2=2x(p>0)过点M(,m),其焦点为P,若M=2. (1)求m的值以及抛物线C的方程： (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)如图，PD⊥平面ABCD,ADLCD,AB∥CD,PQ∥CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点 E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点， (1)求证：EF∥平面CPM: (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小： (3)若N为线段CO上的点，且直线DN与平面OPM所成的角正弦值为Y ,求N到平面CPM的距离 10 M 19.(17分)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定 点的距离之比值为常数入(>0，入≠1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.己知点P到A(0, -2)的距离是点P到B(0,1)的距离的2倍 (1)求点P的轨迹2的方程； (2)过点B作直线1，交轨迹2于P,Q两点，P,Q不在y轴上 (i)过点B作与直线h垂直的直线12，交轨迹于E,F两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的最 大值： (i)设轨迹与y轴正半轴的交点为C,直线OP,CQ相交于点N,试证明点N在定直线上，求出该 直线方程. 515 11 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果． 【解答】解：由已知可得直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为． 故选：D． 2．已知点在抛物线y＝ax2上，则该抛物线的准线方程为（　　） A． B． C．y＝﹣2 D．x＝﹣2 【答案】C 【分析】把点的坐标代入求出a，进而求解结论． 【解答】解：由题可得：a×22，解得a， 故抛物线方程为：x2＝8y，2p＝8，p＝4， 故该抛物线的准线方程为y＝﹣2． 故选：C． 3．已知圆的一条直径的端点分别是A（2，1），B（﹣4，﹣3），则该圆的方程为（　　） A．（x+1）2+（y+1）2＝13 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝9 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝5 【答案】A 【分析】根据线段的中点坐标公式，求得AB的中点为C（﹣1，﹣1），由两点之间的距离公式求出r＝|CA|，进而求得该圆的标准方程，可得答案． 【解答】解：根据A（2，1）、B（﹣4，﹣3），可得AB的中点为C（，），即C（﹣1，﹣1）， 以AB为直径的圆心，圆心为C，半径r＝|CA|， 所以该圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝13． 故选：A． 4．已知向量（﹣1，2，1），（3，x，y），且∥，那么实数x+y等于（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 【答案】D 【分析】由（﹣1，2，1），（3，x，y），且∥，知，由此能求出实数x+y的值． 【解答】解：∵（﹣1，2，1），（3，x，y），且∥， ∴， 解得x＝﹣6，y＝﹣3， ∴实数x+y＝﹣6﹣3＝﹣9． 故选：D． 5．过点M（0，1）作圆O1：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则原点O到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解四边形MAO1B的外接圆的方程，再求解直线AB的方程，即可求解点到直线的距离． 【解答】解：由图可知，O1A⊥MA，O1B⊥MB， 则M，A，O1，B四点共圆，圆的直径是MO1，点M（0，1），O1（2，2）， ，MO1的中点坐标为， 所以四边形MAO1B的外接圆的方程为， 即x2+y2﹣2x﹣3y+2＝0，圆， 两式相减得直线AB的方程2x+y﹣5＝0， 则原点到直线2x+y﹣5＝0的距离． 故选：A． 6．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，AA1的中点，过MN作平面α，使得BD∥α，则直线MC1与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AA1为z轴建立空间直角坐标系，取AD中点Q，平面MNQ即为平面α．再根据线面角的向量法求解即可． 【解答】解：如图，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AA1为z轴建立空间直角坐标系， 取AD中点Q，因为M是棱AB的中点， 故MQ∥BD， 又MQ⊂平面MNQ，BD⊄平面MNQ， 则BD∥平面MNQ， 故平面MNQ即为平面α． ∴M（2，0，0），N（0，0，2），Q（0，2，0），C1（4，4，4）， ∴， 设平面α的一个法向量为， 则，即， 令a＝1，则， 即为平面α的一个法向量， ∴直线MC1与平面α所成角的正弦值为：． 故选：C． 7．已知P是双曲线C：右支上的一点，F是C的右焦点，点P关于原点O的对称点为M，延长PF交C于点N，且，，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，设双曲线的左焦点为F'，连接MF'，NF'，PF'，设|NF|＝m，则|MF|＝3m，由双曲线定义可得|MF'|、|NF'|的表达式，根据点P和点M关于原点对称，可得四边形MFPF'为平行四边形，可得|FP|、|PN|，又，可得平行四边形MFPF'为矩形，在Rt△NPF'和Rt△MF'F中，运用勾股定理，可解得m与a的关系式以及双曲线的离心率． 【解答】解：如图， 设双曲线的左焦点为F'，连接MF'，NF'，PF'， 设|NF|＝m，则|MF|＝3m， 由双曲线定义可得|MF'|＝3m﹣2a，|NF'|＝m+2a， 因为点P和点M关于原点对称，所以四边形MFPF'为平行四边形， 所以|FP|＝|MF'|＝3m﹣2a，则|PN|＝|NF|+|FP|＝4m﹣2a， 又，所以平行四边形MFPF'为矩形，MF⊥NF，NP⊥F'P， 则在Rt△NPF'中，|PF′|2+|PN|2＝|NF'|2，即9m2+（4m﹣2a）2＝（m+2a）2， 整理得m， 所以|MF'|，|MF|， 则在Rt△MF'F中，|MF'|2+|MF|2＝|F'F|2，即4c2， 解得离心率e． 故选：D． 8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是（　　） ①当λ＝μ≠0时，BP∥平面AB1D1； ②当λ＝μ时，AP⊥B1C； ③当λ+μ＝1时，AP长度的最小值为； ④当λ+μ＝1时，存在点P，使得AP与平面BCC1B1所成的角为． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理，三垂线定理，线面角的概念，针对各个问题，分别求解即可． 【解答】解：对①，当λ＝μ≠0时，P为线段BC1上的点（不含B点）， 显然BP∥AD1，又BP⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1； 所以BP∥平面AB1D1；所以①正确； 对②，当λ＝μ时，P为线段BC1上的点，又AB垂直右侧面， 所以AP在右侧面的射影为BC1，又BC1⊥B1C， 所以根据三垂线定理可得AP⊥B1C，所以②正确； 对③，当λ+μ＝1时，P为线段B1C上的点， 又三角形AB1C是边长为的等边三角形， 所以AP长度的最小值为该等边三角形的高，即为，所以③错误； 对④，当λ+μ＝1时，P为线段B1C上的点，又AB垂直右侧面， 所以AP与平面BCC1B1所成的角为∠AOB，且tan∠APB， 所以当BP取最小值BC1时，tan∠APB取得最大值tan， 所以∠APB小于，所以不存在点P，使得AP与平面BCC1B1所成的角为，所以④错误． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（　　） A． B． C．BD1与AC所成角的余弦值为 D．在方向上的投影向量是 【答案】AD 【分析】以，，为基底，表示出，由空间向句量的线性运算和数量积运算逐个选项判断即可． 【解答】解：对于A，，， 则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确． 故选：AD． 10．已知直线l：（λ+1）x+2y+λ﹣1＝0，圆C1：x2+y2﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，则下列结论正确的是（　　） A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．直线l与圆C1一定相交 C．圆C1与圆C2公共弦所在直线方程为y＝﹣x D．当λ＝0时，圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1 【答案】AB 【分析】根据直线过定点的求法可判断A正确；利用定点与圆C1的位置关系，可判断B；根据圆与圆的位置关系可判断出两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，判断C；通过圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，判断D． 【解答】解：对于A，直线l：（λ+1）x+2y+λ﹣1＝0可整理为（x+1）λ+（x+2y﹣1）＝0， 由，解得：，∴直线l恒过定点（﹣1，1），A正确； 对于B，圆C1：x2+y2﹣4y＝0的圆心（0，2），半径为2，∵，∴点（﹣1，1）恒在圆C1：x2+y2﹣4y＝0内部， ∴l与圆C1一定相交，B正确； 对于C，由圆的方程可得：圆C1（0，2），半径r1＝2；圆C2（2，0），半径r2＝2， |C1C2|，∴|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2， ∴两圆相交，∴两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为：x﹣y＝0，C不正确； 对于D，λ＝0时，直线l：（λ+1）x+2y+λ﹣1＝0，化为x+2y﹣1＝0，圆C1：x2+y2﹣4y＝0的圆心（0，2），半径为2， 圆的圆心到直线的距离为：1，所以圆C1上有2个点到直线l的距离等于1，D不正确． 故选：AB． 11．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，P（x0，y0）为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则（　　） A． B．x0+y0的最小值为 C．x0y0的最大值为 D．线段OP的中垂线不可能经过C的顶点 【答案】AC 【分析】根据曲线表示椭圆可得m范围，分别讨论0＜m＜1和m＞1的情况，根据长轴长为离心率的两倍可构造方程求得A正确； 设，，θ∈[0，2π），结合三角恒等变换和三角函数值域的知识可确定BC正误； 将椭圆顶点坐标代入线段OP中垂线方程中，发现方程可以成立，则D错误． 【解答】解：对于选项A，根据椭圆方程得：，因此，解得：m＞0且m≠1， 当0＜m＜1时，m2＜m，椭圆C焦点在y轴上，则其长轴长为，焦距为， 因此，因此，解得：； 当m＞1时，m2＞m，椭圆C焦点在x轴上，则其长轴长为2m，焦距为， 因此，因此，整理可得：m3﹣m+1＝0， 当m＞1时，m3﹣m＝m（m+1）（m﹣1）＞0，∴m3﹣m+1＝0无解； 综上所述：，因此选项A正确； 对于选项B，根据A知：椭圆， 设，，θ∈[0，2π）， 因此（其中，）， 那么当时，x0+y0取得最小值，因此选项B错误； 对于选项C，， 则当或时，x0y0取得最大值，因此选项C正确； 对于选项D，因为O（0，0），所以OP中点， 若P不是椭圆C顶点，则， 所以OP中垂线方程为：，即， 将代入方程得：，化简得：， 解得：或，又，∴， 所以OP中垂线可能经过椭圆C顶点，因此选项D错误． 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点A（3，﹣3）关于直线l：x﹣y﹣2＝0的对称点的坐标为 　　 ． 【答案】（﹣1，1）． 【分析】设点A（3，﹣3）关于直线x﹣y﹣2＝0的对称点B（a，b），根据轴对称的性质建立关于a、b的方程组，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：设点B（a，b）是点A关于直线l：x﹣y﹣2＝0的对称点， 则AB的中点在对称轴l上，可得①， 由AB⊥l，且l的斜率为1，可得②， 根据①②组成方程组，解得a＝﹣1，b＝1，即B的坐标为（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 13．在正三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝1，，则点S到平面ABC的距离为　　 ． 【答案】． 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求点到平面的距离． 【解答】解：建系如图： 则S（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）． 所以，，． 设是平面ABC的法向量， 则，取x＝1，得y＝1，z＝1， 则是平面ABC的一个法向量． 因此，点S到底面ABC的距离． 故答案为：． 14．已知点P为椭圆上一点，直线l过圆M：（x﹣3）2+y2＝1的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围为　　 ． 【答案】[3，63]． 【分析】由题意可得，所以，再由|PM|的范围，可得的取值范围． 【解答】解：圆M：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为M（3，0），半径为1， 椭圆中，a2＝25，b2＝16，c2＝a2﹣b2＝9， 所以a＝5，c＝3，所以圆心M为椭圆的右焦点， 由题意，AB是圆M的直径，所以M为AB的中点，且，所以， 如图，连接PM，可得， 因为点P为椭圆上任意一点，所以，， 由，得． 故答案为：[3，63]． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，AC所在直线的方程为x﹣y﹣2＝0． （1）求BC边所在直线的方程； （2）求经过B，C，D三点的圆的方程． 【答案】（1）3x+y﹣14＝0； （2）（x﹣2）2+y2＝8． 【分析】（1）根据直线AB、AC的方程联解，求得A（0，﹣2），结合线段的中点坐标公式求得C的坐标，根据BC与AB垂直求得直线BC的斜率，进而可得BC边所在直线的方程； （2）根据题意，矩形ABCD的外接圆就是经过B、C、D三点的圆，圆心为M（2，0），半径r|AC|，进而求出所求圆的标准方程． 【解答】解：（1）由，解得，所以点A的坐标为（0，﹣2）， 因为矩形ABCD两条对角线相交于M（2，0），所以C与A关于点M对称， 设C（x0，y0），可得，解得，所以点C的坐标为（4，2）， 因为直线AB：x﹣3y﹣6＝0，斜率为，且BC与AB垂直， 所以BC边所在直线的斜率为﹣3，方程y﹣2＝﹣3（x﹣4），即3x+y﹣14＝0； （2）因为矩形ABCD的顶点A、B、C、D在同一个圆上， 所以经过B、C、D三点的圆，就是矩形ABCD的外接圆， 圆心为M（2，0），半径r，圆的方程为（x﹣2）2+y2＝8， 综上所述，经过B、C、D三点的圆的方程是（x﹣2）2+y2＝8． 16．（15分）已知圆C的圆心为直线x﹣y﹣5＝0与直线x＝3的交点，且圆C经过点M（0，﹣2）． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，P（2，0）且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）（x﹣3）2+（y+2）2＝9； （2）x＝2或3x+4y﹣6＝0． 【分析】（1）通过解方程组求得圆心C的坐标，运用两点之间的距离公式求出半径r，进而可得圆C的标准方程； （2）根据圆的弦长公式算出圆心C到直线l的距离，然后按直线l的斜率是否存在加以讨论，结合点到直线的距离公式进行求解，可得满足条件的直线l的方程． 【解答】解：（1）由，解得，可知直线x﹣y﹣5＝0与直线x＝3交于点C（3，﹣2）， 根据|CM|3，可得半径r＝3， 所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝9； （2）设圆心C到直线l的距离为d，则直线l被圆C截得的弦长为，可得d1， ①若直线l经过P（2，0）且斜率不存在，则l的方程为x＝2， 此时直线l到圆心C的距离d＝|3﹣2|＝1，符合题意； ②若直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0， 圆心C到直线l的距离d，解得k， 所以直线l的方程为y（x﹣2），即3x+4y﹣6＝0． 综上所述，满足条件的直线l方程为x＝2或3x+4y﹣6＝0． 17．（15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点，其焦点为F，若|MF|＝2． （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1）m，y2＝2x； （2）8． 【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件求得p＝1，得其解析式，代入点M，计算即得m的值； （2）依题意设直线，直线BD：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和|BD|＝2+2k2，结合AC⊥BD，表示出四边形ABCD的面积，借助于基本不等式即可求出其最小值． 【解答】解：（1）因抛物线y2＝2px的焦点为F，又点， 则，解得p＝1， 即抛物线C的方程：y2＝2x， 又点在抛物线y2＝2x上， 所以m2＝3，解得， 综上：，抛物线C的方程：y2＝2x； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图， 设直线，直线， 设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）， 联立，化简得4k2x2﹣（4k2+8）x+k2＝0， 所以，又， 同理，联立，化简得4x2﹣（4+8k2）x+1＝0， 所以，又|BD|＝|BF|+|DF|＝p+x2+x4， 所以|BD|＝2+2k2，又AC⊥BD， 所以 ， 当且仅当，即k＝±1时，四边形ABCD面积的最小，最小值是8． 18．（17分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：EF∥平面CPM； （2）求平面QPM与平面CPM夹角的大小； （3）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角正弦值为，求N到平面CPM的距离． 【答案】（1）因为AB∥CD，PQ∥CD，CD＝2PQ＝2AB＝2， 所以AB∥PQ，AB＝PQ， 所以四边形ABQP是平行四边形， 又E，M分别为AP，BQ的中点， 所以EM∥AB，EM＝AB＝1， 而AB∥CF，ABCD＝CF， 所以EM∥CF，EM＝CF， 即四边形EFCM是平行四边形， 所以EF∥CM， 又EF⊄平面CPM，CM⊂平面CPM， 所以EF∥平面CPM． （2）． （3）． 【分析】（1）先说明四边形ABQP是平行四边形，进一步可得四边形EFCM是平行四边形，从而知EF∥CM，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）以D为原点建系，利用向量法求面面角即可； （3）设，λ∈[0，1]，利用向量法求线面角可得关于λ的方程，解之确定点N的位置，再利用向量法求点到平面的距离即可． 【解答】（1）证明：连接EM， 因为AB∥CD，PQ∥CD，CD＝2PQ＝2AB＝2， 所以AB∥PQ，AB＝PQ， 所以四边形ABQP是平行四边形， 又E，M分别为AP，BQ的中点， 所以EM∥AB，EM＝AB＝1， 而AB∥CF，ABCD＝CF， 所以EM∥CF，EM＝CF， 即四边形EFCM是平行四边形， 所以EF∥CM， 又EF⊄平面CPM，CM⊂平面CPM， 所以EF∥平面CPM． （2）解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD， 所以DA，DC，DP两两垂直， 故以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，2），Q（0，1，2），C（0，2，0），M（1，1，1）， 所以（1，1，﹣1），（0，1，0），（0，﹣2，2）， 设平面QPM的法向量为（x，y，z），则， 取x＝1，则y＝0，z＝1，所以（1，0，1）， 设平面CPM的法向量为（a，b，c），则， 取b＝1，则a＝0，c＝1，所以（0，1，1）， 所以|cos，|， 所以平面QPM与平面CPM夹角的大小为． （3）解：设λ（0，﹣1，2），λ∈[0，1]， 则（0，2，0）+λ（0，﹣1，2）＝（0，2﹣λ，2λ）， 由（2）知，平面QPM的一个法向量为（1，0，1）， 因为直线DN与平面QPM所成的角正弦值为， 所以|cos，|， 整理得15λ2+4λ﹣4＝0，即（5λ﹣2）（3λ+2）＝0， 解得λ或λ（舍负）， 所以λ（0，﹣1，2）＝（0，，）， 由（2）知平面CPM的一个法向量为（0，1，1）， 所以N到平面CPM的距离为． 19．（17分）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点P到A（0，﹣2）的距离是点P到B（0，1）的距离的2倍． （1）求点P的轨迹Ω的方程； （2）过点B作直线l1，交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上． （i）过点B作与直线l1垂直的直线l2，交轨迹Ω于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹Ω与y轴正半轴的交点为C，直线OP，CQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设P（x．y），根据两点距离公式建立方程，整理即可求解； （2）易知直线l1的斜率k存在，设直线l1方程为y＝kx+1，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示|PQ|； （i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当k＝0、k≠0时S的取值范围即可； （ii）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l1方程联立圆得方程，利用韦达定理表示x1+x2，x1x2，同时表示OP和CQ的方程，求出交点N的坐标即可证明． 【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得|PA|＝2|PB|， 即，化简得x2+（y﹣2）2＝4， 所以点P的轨迹Q的方程为x2+（y﹣2）2＝4； （2）由题易知直线l1的斜率存在， 设直线l1的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0， 则圆心（0，2）到直线l1的距离， 所以， （i）若k＝0，则直线l2的斜率不存在， 易得，|EF|＝4，则； 若k≠0，则直线l2的方程为，即x+ky﹣k＝0， 则圆心（0，2）到直线l2的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即k＝±1时，取等号， 又，所以S的最大值为7； （ii）证明：由题，C（0，4），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，消y得（k2+1）x2﹣2kx﹣3＝0，Δ＝4k2+12（k2+1）＞0， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线y＝﹣2上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 情在各圈目的答题区域内作答，超出黑色电形边框限定区城的客美无效」 请在各题目的答思区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15.(13分) 姓名 准考证号： 注意事项 1。答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题.不得用铅笔或圆珠笔答 月 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题登上容恩 无效。 此栏考生禁填 缺考口 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄被 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分》 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6 [A][B]IC][D] T 叔 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8A]B]ICD可 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) [A][B][C][D] 1o [A][B][C][D] 11[A][BI [C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 13. 请在各整目的容福区或内作答，超出黑色矩形边E限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。随出黑色矩形边根限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各碧日的答避区域内作答，超出需色矩形边E限定区域的答案无效！ 请在各恶目的答思区域内作答，超出黑色矩形边陆限定区城的答案无效！ 请在各题日的答题区域内作答，超出需色犯形边概限定区城的答案无效1 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) e w 请在各题目的答愿区域内作答，超出黑色矩形边艇限定区城的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。望出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边：限定区域的答案无效： 数学弟4页（共6页 数学第5顶（共6页） 数学弟6页（其6页）