学易金卷：高一数学上学期第三次月考模拟卷02（全国通用，人教A版必修第一册第一章～第四章：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程与不等式+函数及其性质+指对函数）

■■■■ 情在各圈目的答题区域内作答，超出黑色电形边框限定区城的客美无效」 请在各题目的答思区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15.(13分) 姓名： 准考证号： 注意事项 1。答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题.不得用铅笔或圆珠笔答 月 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题登上容恩 无效。 此栏考生禁填 缺考口 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄被 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分》 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6 [A][B]IC][D] T 叔 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8A]B]ICD可 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) [A][B][C][D] 1o [A][B][C][D] 11[A][BI [C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 13. 请在各整目的容福区或内作答，超出黑色矩形边E限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。随出黑色矩形边根限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各碧日的答避区域内作答，超出需色矩形边E限定区域的答案无效！ 请在各悲目的答思区域内作答，超出黑色矩形边艋限定区城的答案无效！ 请在各题日的答题区域内作答，超出需色犯形边概限定区城的答案无效1 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题目的答愿区域内作答，超出黑色矩形边艇限定区城的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。望出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边：限定区域的答案无效： 数学弟4页（共6页） 数学第5页（其6页） 数学弟6页（其6页）2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ▣▣■■▣中■▣。。■。■。■=▣。■=。。■=。=■■■▣▣■▣中■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填： 缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C]D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A[B][C[D] 8[A][B][C[D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9[A][B][C][D] 10[A]B][CI[D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13, 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)必修第一册第1-4章。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是() A.Va,bER,d2+b2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.x∈R,√x=x0 D.一次函数的图象是直线 2.设全集U=R,集合A=以≥0，B=N,则图中的阴影部分表示的集合为（) U A.{1}》 B.{1,2} C.{2} D.{1,2,3} 3.“Va>V万”是“2a>2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 115 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4.已知a=1.20.7,b=1og1.20.7,c=log0.50.7,则（) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 5.函数f()=产的图象大致是（) 6.在声学中，人们用分贝dB来描述声音的强弱等级.分贝数dB由声音强度I(单位：Wm)与基准声强 6(通常取102mm2,是人耳能听到的最弱声音)的比值共同决定，计算公式为：B=10×1g云一 场热闹的演唱会正在进行，其声音强度Ic是基准声强I0的10倍，而普通交谈时的声音分贝约为60B.记 普通交谈时的声音强度为，则=() A.102 B.102 C.103 D.103 7.己知函数f(x)= (n(-x),x<0 若函数g(x)=f(x)]-a有7个零点，则a可以为() 2x-4,x≥0 A.2 B.3 C.4 D.5 8.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯取整函数，例如，[21]=2，[-1.8 -2,定义函数f)=+05,则下列命题： ①f(x)的定义域为{xr≠0： ②f(x)的图象关于y轴对称： ③f(x)的值域是[0,2]： ④关于x的方程f(x)=1有无数个解. 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.命题“xER,x2+x+1>0”是真命题 B.若a>b,c>d,则ac>bd 215 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C.若幂函数y=(m2-m-1)xm2-2m-3在区间(0，+∞)上是减函数，则m=2或-1 D.方程x2+(a-3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0 10.设正数a,b满足+3b=1,则下列说法正确的是() A助的录大位为号 R子+的小检4石 c.a2-8的最小值为-司 D.Va+V3b的最大值为V2 11.已知函数f(x)= 2*-1 2+1 则() A.不等式fx1<专解集为(-1,1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)是R上的递增函数 D.f(x)的值域为(-1,1) 第二部分（非选择题共92分》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知2<x<3,-2<y<-1,则2x-y的取值范围是 13.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且在[0,1)上单调递减，若方程f(x)=-1在[0， 1)上有实根，则方程f(x)=0.7在区间[-1,11]上根的个数为，且所有实根之和为 14.设o是函数f(x)=x2e3+x-3的零点，则e3-x0+lnx0=_ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)化简求值 (1)()3-8°+[-2)2]2+2×3)6： (2)log35·logs9+(g5)2+lg5,lg20+7lg16-2o23. 3/5 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)已知集合A={x0<x<2},B={xa-1<x<2t3}. (1)若“xEB”是“xEA”的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. 17.(15分)进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台，某 汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析， 全年需投入固定成本3000万元，每生产x(百辆)，需投入流动成本C(x)(万元)，且C(x)= (10x2+2000x,0<x<28 2504x+3600-6400,x≥28 其中100xEZ.由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产 的车辆当年能全部销售完。 (1)写出年利润S(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式： (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. (总利润=总销售收入-固定成本-流动成本) 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.（17分)己知函数f(x)=2xk-d+x,其中aER. (1)当a=0时，求证f(x)是奇函数； (2)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,4]上的最大值： (3)若x∈[，1]，函数∫(x)的图象恒在g(x)=2x图象下方，求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)的定义域为D,若存在常数k(k>0),使得对D内的任意x,都有f()=f(均 则称了(x)具有“k-互倒性”.设f0)=log2x·lo9是g()=a心+去-m. (1)判断函数f()=og2x·loge是否具有“k-互倒性”，并说明理由： (2)当a=1时，若函数f(x)与g(x)的图象恰有一个交点，求实数m的值： (3)当a>1时，设h(x)=∫(x)-g(x),已知h(x)在区间(0，+∞)上有两个零点x1,x2,证明： x1x2<4. 515………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第一册第1-4章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（　　） A．∀a，b∈R，a2+b2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 2．设全集U＝R，集合，B＝N，则图中的阴影部分表示的集合为（　　） A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{1，2，3} 3．“”是“2a＞2b”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a＝1.20.7，b＝log1.20.7，c＝log0.50.7，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a 5．函数的图象大致是（　　） A． B． C．D． 6．在声学中，人们用分贝dB来描述声音的强弱等级．分贝数dB由声音强度I（单位：W/m2）与基准声强I0（通常取10﹣12W/m2，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度Ic是基准声强I0的109倍，而普通交谈时的声音分贝约为60dB．记普通交谈时的声音强度为It，则（　　） A．102 B．10﹣2 C．103 D．10﹣3 7．已知函数f（x），若函数g（x）＝f[f（x）]﹣a有7个零点，则a可以为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯取整函数，例如，[2.1]＝2，[﹣1.8]＝﹣2，定义函数，则下列命题： ①f（x）的定义域为{x|x≠0}； ②f（x）的图象关于y轴对称； ③f（x）的值域是[0，2]； ④关于x的方程f（x）＝1有无数个解． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”是真命题 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，则m＝2或﹣1 D．方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0 10．设正数a，b满足a+3b＝1，则下列说法正确的是（　　） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．a2﹣b2的最小值为 D．的最大值为 11．已知函数，则（　　） A．不等式解集为（﹣1，1） B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）是R上的递增函数 D．f（x）的值域为（﹣1，1） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则2x﹣y的取值范围是 　 　 ． 13．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实根，则方程f（x）＝0.7在区间[﹣1，11]上根的个数为　 　 ，且所有实根之和为　 　 ． 14．设x0是函数f（x）＝x2ex﹣3+lnx﹣3的零点，则 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）化简求值 （1）； （2）． 16．（15分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}． （1）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 17．（15分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台．某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需投入流动成本C（x）（万元），且，其中100x∈Z．由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）写出年利润S（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （总利润＝总销售收入﹣固定成本﹣流动成本） 18．（17分）已知函数f（x）＝2x|x﹣a|+x，其中a∈R． （1）当a＝0时，求证f（x）是奇函数； （2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值； （3）若，函数f（x）的图象恒在g（x）＝2x图象下方，求实数a的取值范围． 19．（17分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x，都有，则称f（x）具有“k﹣互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“k﹣互倒性”，并说明理由； （2）当a＝1时，若函数f（x）与g（x）的图象恰有一个交点，求实数m的值； （3）当a＞1时，设h（x）＝f（x）﹣g（x），已知h（x）在区间（0，+∞）上有两个零点x1，x2，证明：x1x2＜4． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A B A C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5，8） 13．6， 30 14． 3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】（1）29； （2）1． 【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式； ……(5分) （2）原式 ＝2+2（lg5+lg2）﹣3＝2+2﹣3＝1．……(13分) 16．（15分）【答案】（1）[]； （2）（﹣∞，﹣4]． 【分析】（1）根据，可知集合A是集合B的子集，由此建立关于a的不等式，进而求出实数a的取值范围； （2）根据交集的运算性质列式求出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）因为“x∈B”是“x∈A”的必要条件，所以集合A是集合B的子集， 因为A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，所以a﹣1≤0且2a+3≥2， 解得，即实数a的取值范围是[]； ……(6分) （2）由A∩B＝B，可得B⊆A，有如下两种情况： ①B＝∅，此时2a+3≤a﹣1，解得a≤﹣4； ……(8分) ②B≠∅，可得解得a∈∅． ……(14分) 综上所述，a≤﹣4，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]． ……(15分) 17．（15分）【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据总利润＝总销售收入﹣固定成本﹣流动成本，分段列出函数关系式即可； （2）分0＜x＜28和x≥28两种情况，结合二次函数的性质，基本不等式求函数的最大值，即可得解． 【解答】解：（1）当0＜x＜28时，S（x）＝2500x﹣（10x2+2000x）﹣3000＝﹣10x2+500x﹣3000； 当x≥28时，， 综上，S（x）． ……(6分) （2）当0＜x＜28时，S（x）＝﹣10x2+500x﹣3000＝﹣10（x﹣25）2+3250， 所以S（x）max＝S（25）＝3250万元； 当x≥28时，， 当且仅当4x，即x＝30时，S（x）max＝S（30）＝3160万元， 而3160＜3250， 所以当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元． ……(15分) 18．（17分）【答案】（1）证明：因为函数f（x）＝2x|x﹣a|+x，其中a∈R， 所以当a＝0时，f（x）＝2x|x|+x，函数定义域为R， 且f（﹣x）＝2（﹣x）|﹣x|+（﹣x）＝﹣2x|x|﹣x＝﹣f（x）， 所以函数f（x）是奇函数； （2）28； （3）． 【分析】（1）由奇函数的定义即可证明函数的奇偶性； （2）代入a＝1并化简函数解析式，由二次函数的对称轴得到函数在[0，4]的单调区间，由单调性求得最大值； （3）令函数h（x）＝g（x）﹣f（x），得到，h（x）＞0恒成立，然后讨论a的取值，得到h（x），借助二次函数的性质求得最小值，并令最小值恒大于0，求得实数a的取值范围． 【解答】解：（1）证明：因为函数f（x）＝2x|x﹣a|+x，其中a∈R， 所以当a＝0时，f（x）＝2x|x|+x，函数定义域为R， 且f（﹣x）＝2（﹣x）|﹣x|+（﹣x）＝﹣2x|x|﹣x＝﹣f（x）， 所以函数f（x）是奇函数； ……(3分) （2）当a＝1时，， 因为，， 所以函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（1，4）上单调递增， 因为，f（4）＝28， 所以函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）＝28； ……(6分) （3）令函数h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x﹣2x|x﹣a|， 由题意可知，，h（x）＞0恒成立， ①当时，x﹣a≥0， 即h（x）＝﹣2x2+（2a+1）x， 即函数h（x）是开口向下的二次函数， 即令， 所以，此时无解； ……(10分) ②当a≥1时，x﹣a≤0，即h（x）＝2x2﹣（2a﹣1）x， 即函数h（x）是开口向上的二次函数， ∵，不满足题意，∴此时无解； ……(12分) ③时，， 因为，所以h（x）在上单调递增， 因为，即，所以h（x）在[a，1]上单调递减， 所以，即， 所以， ……(16分) 综上所述，． ……(17分) 19．（17分）【答案】（1）f（x）是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可log2x•log2， 可知f（）log2x•log2f（x）， 即f（x）＝f（）， 故f（x）是“反比例对称函数”； （2）m； （3）证明：不妨先设a＝1， 由题可知h（x）＝f（x）﹣g（x）log2x•log2xm， 显然h（）log2x•log2xm＝h（x）， 已知h（x）有两个零点x1，x2， 则两个零点满足x1， 此时x1x2＝4， 即函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的两个交点横坐标满足x1x2＝4； 可知log2x（log2x）2， 利用复合函数单调性可知，当x∈（0，2）时，f（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，f（x）单调递减； 由对勾函数性质可知g（x）＝xm在x∈（0，2）时，单调递减；在x∈（2，+∞）时，单调递增； 得两函数示意图： ， 当a＞1，此时，， 相当于函数g（x）＝xm，g（ax）＝axm， 故所有的横坐标缩小为原来的倍； 故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小， 故x1x2＜4． 【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可； （2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可； （3）将两个函数看作两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k时的图象，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图象发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可． 【解答】解：（1）是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可log2x•log2， 可知f（）log2x•log2f（x）， 即f（x）＝f（）， 故f（x）是“反比例对称函数”； ……(3分) （2）由题可知，x＞0， 当a＝1时，g（x）＝xm， 因为函数f（x）与g（x）的图象恰有一个交点， 即f（x）﹣g（x）＝0有一个解， 得log2x•log2xm＝0， 即m＝xlog2x•log2只有一个解， 令H（x）＝xlog2x•log2， 得m＝H（x）仅有一个解， 显然H（）＝xlog2x•log2H（x）， 因为m＝H（x）， 则有m＝H（）， 要使m＝H（x）仅有一个解， 只需x，即x＝2或x＝﹣2（舍）， 所以m＝H（2）； ……(8分) （3）证明：不妨先设a＝1， 由题可知h（x）＝f（x）﹣g（x）log2x•log2xm， 显然h（）log2x•log2xm＝h（x）， 已知h（x）有两个零点x1，x2， 则两个零点满足x1， 此时x1x2＝4， 即函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的两个交点横坐标满足x1x2＝4； ……(11分) 可知log2x（log2x）2， 利用复合函数单调性可知，当x∈（0，2）时，f（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，f（x）单调递减； 由对勾函数性质可知g（x）＝xm在x∈（0，2）时，单调递减；在x∈（2，+∞）时，单调递增； 得两函数示意图： ， 当a＞1，此时，， 相当于函数g（x）＝xm，g（ax）＝axm， 故所有的横坐标缩小为原来的倍； 故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小， 故x1x2＜4． ……(17分) 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第一册第1-4章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（　　） A．∀a，b∈R，a2+b2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 2．设全集U＝R，集合，B＝N，则图中的阴影部分表示的集合为（　　） A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{1，2，3} 3．“”是“2a＞2b”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a＝1.20.7，b＝log1.20.7，c＝log0.50.7，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a 5．函数的图象大致是（　　） A． B． C．D． 6．在声学中，人们用分贝dB来描述声音的强弱等级．分贝数dB由声音强度I（单位：W/m2）与基准声强I0（通常取10﹣12W/m2，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度Ic是基准声强I0的109倍，而普通交谈时的声音分贝约为60dB．记普通交谈时的声音强度为It，则（　　） A．102 B．10﹣2 C．103 D．10﹣3 7．已知函数f（x），若函数g（x）＝f[f（x）]﹣a有7个零点，则a可以为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯取整函数，例如，[2.1]＝2，[﹣1.8]＝﹣2，定义函数，则下列命题： ①f（x）的定义域为{x|x≠0}； ②f（x）的图象关于y轴对称； ③f（x）的值域是[0，2]； ④关于x的方程f（x）＝1有无数个解． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”是真命题 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，则m＝2或﹣1 D．方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0 10．设正数a，b满足a+3b＝1，则下列说法正确的是（　　） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．a2﹣b2的最小值为 D．的最大值为 11．已知函数，则（　　） A．不等式解集为（﹣1，1） B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）是R上的递增函数 D．f（x）的值域为（﹣1，1） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则2x﹣y的取值范围是 　 　 ． 13．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实根，则方程f（x）＝0.7在区间[﹣1，11]上根的个数为　 　 ，且所有实根之和为　 　 ． 14．设x0是函数f（x）＝x2ex﹣3+lnx﹣3的零点，则 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）化简求值 （1）； （2）． 16．（15分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}． （1）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 17．（15分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台．某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需投入流动成本C（x）（万元），且，其中100x∈Z．由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）写出年利润S（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （总利润＝总销售收入﹣固定成本﹣流动成本） 18．（17分）已知函数f（x）＝2x|x﹣a|+x，其中a∈R． （1）当a＝0时，求证f（x）是奇函数； （2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值； （3）若，函数f（x）的图象恒在g（x）＝2x图象下方，求实数a的取值范围． 19．（17分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x，都有，则称f（x）具有“k﹣互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“k﹣互倒性”，并说明理由； （2）当a＝1时，若函数f（x）与g（x）的图象恰有一个交点，求实数m的值； （3）当a＞1时，设h（x）＝f（x）﹣g（x），已知h（x）在区间（0，+∞）上有两个零点x1，x2，证明：x1x2＜4． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（　　） A．∀a，b∈R，a2+b2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的特征，以及真命题即可结合选项求解． 【解答】解：对于A，∀a，b∈R，a2+b2＜0为全称量词命题，但是a2+b2≥0，故是假命题，故A错误， 对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误， 对于C，是存在量词命题，故C错误， 对于D，既是全称量词命题也是真命题，故D正确． 故选：D． 2．设全集U＝R，集合，B＝N，则图中的阴影部分表示的集合为（　　） A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{1，2，3} 【答案】B 【分析】根据集合的补集、交集运算得解． 【解答】解：由韦恩图可知图中表示的集合为（∁UA）∩B， 由题可得或x≥3}， 故∁UA＝{x|1≤x＜3}， 故图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B＝{1，2}． 故选：B． 3．“”是“2a＞2b”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式、指数函数性质以及充分条件，必要条件相关定义可解． 【解答】解：若“”成立，则a＞b＞0，结合指数函数性质可知“2a＞2b”也成立，则充分性成立； 若“2a＞2b”成立，则a＞b，不能推出“”成立，则必要性不成立， 则“”是“2a＞2b”的充分不必要条件． 故选：A． 4．已知a＝1.20.7，b＝log1.20.7，c＝log0.50.7，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间值0，1分析判断即可． 【解答】解：因为指数函数y＝1.2x在R上单调递增， 所以1.20.7＞1.20＝1，即a＞1， 因为对数函数y＝log1.2x在（0，+∞）上单调递增， 所以log1.20.7＜log1.21＝0，即b＜0， 因为对数函数y＝log0.5x在（0，+∞）上单调递减， 所以0＝log0.51＜log0.50.7＜log0.50.5＝1，即0＜c＜1， 所以b＜c＜a． 故选：B． 5．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据f（x）的奇偶性以及在特殊点处的取值，可得f（x）的大致图象． 【解答】解：由已知，f（x）的定义域为{x|x≠±1}， f（﹣x）f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除C、D， 又f（）0，故B错误，A正确． 故选：A． 6．在声学中，人们用分贝dB来描述声音的强弱等级．分贝数dB由声音强度I（单位：W/m2）与基准声强I0（通常取10﹣12W/m2，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度Ic是基准声强I0的109倍，而普通交谈时的声音分贝约为60dB．记普通交谈时的声音强度为It，则（　　） A．102 B．10﹣2 C．103 D．10﹣3 【答案】C 【分析】由已知条件和分贝公式，分别计算普通交谈声音强度It和演唱会声音强度Ic，先将60代入可求得It，再由可求得Ic，计算比值即可求得结果． 【解答】解：先将60代入分贝公式，可得，得到It＝106I0， 再由条件，得到Ic＝109I0， 再计算，得103，所以C正确． 故选：C． 7．已知函数f（x），若函数g（x）＝f[f（x）]﹣a有7个零点，则a可以为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】作出函数y＝f（x）的图象，令f（x）＝t，分a＜0、a＝0、0＜a＜3、a＝3及a＞3分别求解即可． 【解答】解：作出函数y＝f（x）的图象，如图所示： 令f（x）＝t， 则g（x）＝f[f（x）]﹣a＝f（t）﹣a， 令g（x）＝0，则有f（t）＝a， 由图形可知：当a＜0时，f（t）＝a只有一个解，设为t1， 此时t1＜0，且f（x）＝t1只有一个解， 即g（x）只有一个解，不满足题意； 当a＝0时，f（t）＝0有两个解，t1＝﹣1，t2＝2， 因为f（x）＝﹣1只有一个解，f（x）＝2有两个解， 所以g（x）共有3个解，不满足题意； 当0＜a＜3时， f（t）＝a有三个解，设为t1，t2，t3， 由图象可得t1＜﹣1，0＜t2＜2＜t3＜log27， 此时f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2有三个解，f（t）＝t3有三个解， 此时g（x）有7个解，满足题意； 当a＝3时， f（t）＝3有三个解，设为t1，t2，t3， 可得t1＜﹣1，t2＝0，t3＝log27， 此时f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2＝0有两个解，f（t）＝t3＝log27有三个解， 此时g（x）有6个解，不满足题意； 当a＞3时，f（t）＝a有两个解，设为t1，t2， 由图象可得t1＜﹣1，t2＞log27， 此时f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2最多三个解， 此时g（x）最多4个解，满足题意； 综上，当0＜a＜3时，g（x）才有7个零点． 故选：A． 8．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯取整函数，例如，[2.1]＝2，[﹣1.8]＝﹣2，定义函数，则下列命题： ①f（x）的定义域为{x|x≠0}； ②f（x）的图象关于y轴对称； ③f（x）的值域是[0，2]； ④关于x的方程f（x）＝1有无数个解． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，可判断①； 举反例判断②； 当x为非零整数求得f（x）＝1，当x不为非零整数，令f（x）进行验证，可判断③； 根据③，可判断④． 【解答】解：对于①，因为， 所以函数的定义域为{x|x≠0}，故①正确； 对于②，因为f（0.5）2，f（﹣0.5）0， 所以f（0.5）≠f（﹣0.5）， 所以函数y＝f（x）不是偶函数， 所以其图象不关于y轴对称，故②错误； 对于③，当x为非零整数时，1， 当x不为非零整数时， 当x＞0时， 设x＝n+k，n∈N，k∈（0，1）， 令f（x）， 则有n+k＝3[n+k+0.5]， 当0＜k＜0.5时， 则n+k＝3n， 解得n，显然无解； 当0.5≤k＜1时， 则有n+k＝3（n+1）， 解得n∈[﹣1.25，﹣1），显然无解； 当x＜0时， 设x＝n﹣k，n∈Z﹣，k∈（0，1）， @令f（x）， 则有n﹣k＝3[n﹣k+0.5]， 当0＜k＜0.5时，0＜﹣k+0.5＜0.5， 则n﹣k＝3n， 解得n，显然无解； 当0.5≤k＜1时，﹣0.5＜﹣k+0.5≤0， 则有n﹣k＝3n， 解得n，显然无解； 综上，函数y＝f（x）的值域中不含，故③错误； 对于④，由③可知，当x为非零整数时，f（x）＝1， 所以f（x）＝1有无数个解，故④正确． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”是真命题 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，则m＝2或﹣1 D．方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0 【答案】AD 【分析】结合全称量词命题的真假检验选项A，结合不等式性质检验选项B，结合幂函数定义及性质检验选项C，结合二次方程根的分布检验选项D． 【解答】解：因为x2+x+1＝（x）20恒成立，即“∀x∈R，x2+x+1＞0”是真命题，A正确； 当a＝0，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣2时，B显然错误； 幂函数在区间（0，+∞）上是减函数， 则，解得m＝2，C错误； 程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则，解得a＜0，D正确． 故选：AD． 10．设正数a，b满足a+3b＝1，则下列说法正确的是（　　） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．a2﹣b2的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】分别对每个选项构造函数或利用基本不等式（明确等号成立条件），结合范围求解最值或范围． 【解答】解：选项A，由a＝1﹣3b＞0得，则ab＝（1﹣3b）b＝﹣3b2+b， 当时取得最大值，此时，故A正确． 选项B，， 当且仅当且a+3b＝1，即，时等号成立，故B错误． 选项C，a2﹣b2＝（1﹣3b）2﹣b2＝8b2﹣6b+1，在上单调递减， 当时趋近于，故C错误． 选项D，设，则， 当且仅当a＝3b且a+3b＝1，即，时等号成立，故，D正确． 故选：AD． 11．已知函数，则（　　） A．不等式解集为（﹣1，1） B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）是R上的递增函数 D．f（x）的值域为（﹣1，1） 【答案】ACD 【分析】根据函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：函数1， 不等式，可得1，可得2x＜2，解得﹣1＜x＜1，A对； f（﹣x）f（x），故f（x）的图象关于原点对称，B错误； y＝2x单调递增，可得y单调递减，故f（x）是R上的递增函数，C对； 因为2x＞0，可得2x+1＞1，故02，可得f（x）∈（﹣1，1），D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则2x﹣y的取值范围是 　　 ． 【答案】（5，8）． 【分析】利用不等式的基本性质可求得2x﹣y的取值范围． 【解答】解：由2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1可得4＜2x＜6，1＜﹣y＜2， 由不等式的基本性质可得5＜2x﹣y＜8． 故答案为：（5，8）． 13．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实根，则方程f（x）＝0.7在区间[﹣1，11]上根的个数为　　 ，且所有实根之和为　　 ． 【答案】6；30． 【分析】根据函数的奇偶性和已知条件求得函数f（x）的图象关于x＝1对称，周期为4，进而画出函数的图象判断函数的零点个数． 【解答】解：由于f（x）是奇函数，因此f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0， 又由于f（x）＝f（2﹣x），因此﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），即﹣f（x）＝f（x+2），且函数f（x）的图象关于x＝1对称， 由﹣f（x）＝f（x+2）得﹣f（x+2）＝f（x+4），因此f（x）＝f（x+4），因此函数周期为4． 根据f（x）在[0，1）上单调递减，f（x）＝﹣1在[0，1）上有实根可知f（x）＝﹣1在[0，1）上有且仅有一个实根， 作出f（x）的大致图象如图所示： 根据图可知f（x）的图象与y＝0.7在[﹣1，11]上有6个交点，且两两关于x＝5对称， 因此f（x）＝0.7在[﹣1，11]上根的个数为6， 所有实根之和为（x1+x6）+（x2+x5）+（x3+x4）＝3×10＝30． 故答案为：6；30． 14．设x0是函数f（x）＝x2ex﹣3+lnx﹣3的零点，则 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：由题意，． 又因为， 所以， 在两边同时加上x0+lnx0， 即， 即， 设函数g（x）＝ex+x，显然该函数是实数集上的增函数， 由题意可得g（x0+2lnx0﹣3）＝g（lnx0）， 即x0+2lnx0﹣3＝lnx0，即x0+lnx0﹣3＝0， 所以lnx0＝3﹣x0， 所以． 故答案为：3． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）化简求值 （1）； （2）． 【答案】（1）29； （2）1． 【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ＝2+2（lg5+lg2）﹣3＝2+2﹣3＝1． 16．（15分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}． （1）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 【答案】（1）[]； （2）（﹣∞，﹣4]． 【分析】（1）根据，可知集合A是集合B的子集，由此建立关于a的不等式，进而求出实数a的取值范围； （2）根据交集的运算性质列式求出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）因为“x∈B”是“x∈A”的必要条件，所以集合A是集合B的子集， 因为A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，所以a﹣1≤0且2a+3≥2， 解得，即实数a的取值范围是[]； （2）由A∩B＝B，可得B⊆A，有如下两种情况： ①B＝∅，此时2a+3≤a﹣1，解得a≤﹣4； ②B≠∅，可得解得a∈∅． 综上所述，a≤﹣4，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]． 17．（15分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台．某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需投入流动成本C（x）（万元），且，其中100x∈Z．由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）写出年利润S（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （总利润＝总销售收入﹣固定成本﹣流动成本） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据总利润＝总销售收入﹣固定成本﹣流动成本，分段列出函数关系式即可； （2）分0＜x＜28和x≥28两种情况，结合二次函数的性质，基本不等式求函数的最大值，即可得解． 【解答】解：（1）当0＜x＜28时，S（x）＝2500x﹣（10x2+2000x）﹣3000＝﹣10x2+500x﹣3000； 当x≥28时，， 综上，S（x）． （2）当0＜x＜28时，S（x）＝﹣10x2+500x﹣3000＝﹣10（x﹣25）2+3250， 所以S（x）max＝S（25）＝3250万元； 当x≥28时，， 当且仅当4x，即x＝30时，S（x）max＝S（30）＝3160万元， 而3160＜3250， 所以当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元． 18．（17分）已知函数f（x）＝2x|x﹣a|+x，其中a∈R． （1）当a＝0时，求证f（x）是奇函数； （2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值； （3）若，函数f（x）的图象恒在g（x）＝2x图象下方，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明：因为函数f（x）＝2x|x﹣a|+x，其中a∈R， 所以当a＝0时，f（x）＝2x|x|+x，函数定义域为R， 且f（﹣x）＝2（﹣x）|﹣x|+（﹣x）＝﹣2x|x|﹣x＝﹣f（x）， 所以函数f（x）是奇函数； （2）28； （3）． 【分析】（1）由奇函数的定义即可证明函数的奇偶性； （2）代入a＝1并化简函数解析式，由二次函数的对称轴得到函数在[0，4]的单调区间，由单调性求得最大值； （3）令函数h（x）＝g（x）﹣f（x），得到，h（x）＞0恒成立，然后讨论a的取值，得到h（x），借助二次函数的性质求得最小值，并令最小值恒大于0，求得实数a的取值范围． 【解答】解：（1）证明：因为函数f（x）＝2x|x﹣a|+x，其中a∈R， 所以当a＝0时，f（x）＝2x|x|+x，函数定义域为R， 且f（﹣x）＝2（﹣x）|﹣x|+（﹣x）＝﹣2x|x|﹣x＝﹣f（x）， 所以函数f（x）是奇函数； （2）当a＝1时，， 因为，， 所以函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（1，4）上单调递增， 因为，f（4）＝28， 所以函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）＝28； （3）令函数h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x﹣2x|x﹣a|， 由题意可知，，h（x）＞0恒成立， ①当时，x﹣a≥0， 即h（x）＝﹣2x2+（2a+1）x， 即函数h（x）是开口向下的二次函数， 即令， 所以，此时无解； ②当a≥1时，x﹣a≤0，即h（x）＝2x2﹣（2a﹣1）x， 即函数h（x）是开口向上的二次函数， ∵，不满足题意，∴此时无解； ③时，， 因为，所以h（x）在上单调递增， 因为，即，所以h（x）在[a，1]上单调递减， 所以，即， 所以， 综上所述，． 19．（17分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x，都有，则称f（x）具有“k﹣互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“k﹣互倒性”，并说明理由； （2）当a＝1时，若函数f（x）与g（x）的图象恰有一个交点，求实数m的值； （3）当a＞1时，设h（x）＝f（x）﹣g（x），已知h（x）在区间（0，+∞）上有两个零点x1，x2，证明：x1x2＜4． 【答案】（1）f（x）是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可log2x•log2， 可知f（）log2x•log2f（x）， 即f（x）＝f（）， 故f（x）是“反比例对称函数”； （2）m； （3）证明：不妨先设a＝1， 由题可知h（x）＝f（x）﹣g（x）log2x•log2xm， 显然h（）log2x•log2xm＝h（x）， 已知h（x）有两个零点x1，x2， 则两个零点满足x1， 此时x1x2＝4， 即函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的两个交点横坐标满足x1x2＝4； 可知log2x（log2x）2， 利用复合函数单调性可知，当x∈（0，2）时，f（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，f（x）单调递减； 由对勾函数性质可知g（x）＝xm在x∈（0，2）时，单调递减；在x∈（2，+∞）时，单调递增； 得两函数示意图： ， 当a＞1，此时，， 相当于函数g（x）＝xm，g（ax）＝axm， 故所有的横坐标缩小为原来的倍； 故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小， 故x1x2＜4． 【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可； （2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可； （3）将两个函数看作两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k时的图象，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图象发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可． 【解答】解：（1）是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可log2x•log2， 可知f（）log2x•log2f（x）， 即f（x）＝f（）， 故f（x）是“反比例对称函数”； （2）由题可知，x＞0， 当a＝1时，g（x）＝xm， 因为函数f（x）与g（x）的图象恰有一个交点， 即f（x）﹣g（x）＝0有一个解， 得log2x•log2xm＝0， 即m＝xlog2x•log2只有一个解， 令H（x）＝xlog2x•log2， 得m＝H（x）仅有一个解， 显然H（）＝xlog2x•log2H（x）， 因为m＝H（x）， 则有m＝H（）， 要使m＝H（x）仅有一个解， 只需x，即x＝2或x＝﹣2（舍）， 所以m＝H（2）； （3）证明：不妨先设a＝1， 由题可知h（x）＝f（x）﹣g（x）log2x•log2xm， 显然h（）log2x•log2xm＝h（x）， 已知h（x）有两个零点x1，x2， 则两个零点满足x1， 此时x1x2＝4， 即函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的两个交点横坐标满足x1x2＝4； 可知log2x（log2x）2， 利用复合函数单调性可知，当x∈（0，2）时，f（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，f（x）单调递减； 由对勾函数性质可知g（x）＝xm在x∈（0，2）时，单调递减；在x∈（2，+∞）时，单调递增； 得两函数示意图： ， 当a＞1，此时，， 相当于函数g（x）＝xm，g（ax）＝axm， 故所有的横坐标缩小为原来的倍； 故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小， 故x1x2＜4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $